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【人教A版】2018版高考数学(文)一轮:第3章第2讲导数在研究函数中的应用(第3课时)


第3课时 导数与函数的综合应用 考点突破 课堂总结 考点一 用导数研究生活中的优化问题 【例 1】 某商场销售某种商品的经验表明, 该商品每日的销 售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关系 式 y= a +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售 x -3 价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值, 使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 考点突破 课堂总结 a 解 (1)因为 x=5 时,y=11,所以2+10=11,a=2. 2 (2)由(1)可知,该商品每日的销售量为 y= +10(x-6)2, x-3 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 ? 2 ? 2? ? f(x)=(x-3)?x-3+10(x-6) ?=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6. ? ? 从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)· (x-6), 于是,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) (3,4) 4 0 (4,6) + 单调递增 - 单调递减 考点突破 课堂总结 f ( x) 极大值42 由上表可得,x=4时,函数f(x)取得极大值,也是最大值, 所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42. 故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的 利润最大. 考点突破 课堂总结 规律方法 (1)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤: ①设自变量、因变量,建立函数关系式 y = f(x) ,并确定其 定义域; ②求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0; ③比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最 大(小)者为最大(小)值; ④回归实际问题作答. (2)如果目标函数在定义域内只有一个极值点,那么根据实 际意义该极值点就是最值点. 考点突破 课堂总结 【训练 1 】 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 ( 不计厚度 ). 设该蓄水池的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米 . 假 设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为 100 元 / 平方 米,底面的建造成本为 160 元 / 平方米,该蓄水池的总建造成 本为12 000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域; (2) 讨论函数 V(r) 的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的 体积最大. 考点突破 课堂总结 解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh=200πrh 元, 底面的总成本为 160πr2 元. 所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元. 又根据题意得 200πrh+160πr2=12 000π, 1 所以 h= (300-4r2), 5r π 从而 V(r)=πr h=5(300r-4r3). 2 因 r>0,又由 h>0 可得 0<r<5 3, 故函数 V(r)的定义域为(0,5 3), 考点突破 课堂总结 π (2)因 V(r)=5(300r-4r3)(0<r<5 3), π 故 V′(r)=5(300-12r2), 故 V′(r)=0,解得 r=5 或-5(因 r=-5 不在定义域内, 舍去). 当 r∈(0,5)时,V′(r)>0,故 V(r)在(0,5)上为增函数; 当 r∈(5,5

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