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华南师大附中2012-2013学年度第二学期高三综合测试(一)数学(文)试题


华南师大附中 2012-2013 学年度第二学期高三综合测试(一) 数学(文)试题
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答 题卡的密封线内。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷 各题 目指定区域内的相应位置上;如需改动,选划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷和答题卡一并收回. 5 6 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 m 一项是符合题目要求的) n 1.若 sin ? ? 0且 sin 2? ? 0,则角?的终边所在象限是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ( C. )

第一部分

选择题(共 50 分)

2.函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期是 A. 2? B. ?

? 2

D.

? 4

? x ? 1 ? 2   ? 1 x ? 3.设 f ( x) ? ? 1 则 f ( f (3)) =     ? 1 x ? 2 ?1 ? x
A.0 B.1 C. ?

11 10

D. ?2

3 2 4.函数 f ( x) ? ax ? (a ?1) x ? 48(b ? 3) x ? b 的图象关于原点中心对称,则 f ( x ) (



A.有极大值和极小值 C.无极大值有极小值 5.已知 f ( x)=ln(

B.有极大值无极小值 D.无极大值无极小值 ( )

e x ? e? x ) ,则下列正确的是 2

A.非奇非偶函数,在(0,+ ? )上为增函数 B.奇函数,在 R 上为增函数

C.非奇非偶函数,在(0,+ ? )上为减函数 D.偶函数,在 R 上为减函数 6.下列关系式中成立的是 ( A. log 3 4 ? ( ) ? log 10
0



1 5

1 3

1 0 5 1 1 0 C. log 3 4 ? log 10 ? ( ) 3 5 1 1 0 D. log 10 ? log 3 4 ? ( ) 3 5

B. log 10 ? ( ) ? log 3 4

1 3

7.若集合 A ? ? y y ? ( ) ? , B ? ? y y ? 2 ? ? , 则A ? B 等于 A. (??, 2) ? (2, ??) C. (0, 2) ? (2, ??) B. ? 0, ??) D. ?2?

? ?

1 x? 3 ?

? ?

1? x?

8.函数 f ( x) ? 2 x2 ? mx ? 5 在区间 ? ?2, ??) 上增函数,在区间 (??, ? 2? 上是减函数,则

f (?1) 等于
A.-1 B.1 C.-15 D.15





9.为了得到函数 y ? 3 ? ( ) 的图象,可以把函数 y ? ( ) 的图象
x x

1 3

1 3

A.向左平移 3 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度 C.向左平移 1 个单位长度 D.向右平移 1 个单位长度 10.设 b ? 0 ,二次函数 y ? ax ? bx ? a ?1 的图挖墙脚为下列之一,则 a 的值为(
2 2



5 6 m n

A.1

B.-1

C.

?1 ? 5 2

D.

?1 ? 5 2

第二部分

非选择题(100 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分, 11. cos 223? sin13? ? cos 47? cos167? 的值为 12.曲线 y ? x ?

。 。 。

1 5 在点P(2, ) 处的切线方程为 x 2

5 6 m n

13.函数 y ? lg( x2 ? 3kx ? k 2 ? 5) 的值域为 R,则 k 的取值范围是 14.已知集合 M 是满足下列条件的函数 f ( x ) 的全体; ①当 x ? ? 0, ? ? ? 时,函数值为非负实数; ? ②对于任意的 s、 t ? x ? 0, ??) , ? ? 0, 都有

f ( x) ? ? f (t ) s ? ?t ? f( ) 1? ? 1? ?

在三个函数 f1 ( x) ? x ?1, f2 ( x) ? 2x ?1, f3 ( x) ? ln x ?1 中,属于集合 M 的是 (写出您认为正确的所有函数。 ) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 12 分) 如图, ?ACD 是等边三角形, ?ABC 是等腰直角三角形, ?ACB ? 90?, BD交AC

于E,AB ? 2, 。
(1)求 cos ?CBE 的值; (2)求 AE。

16. (本小题满分 12 分) 已知全集 U=R,集合 A ? ? x

? 6 ? ? 1, x ? R ? , B ? ? x x 2 ? 2 x ? m ? 0? ? x ?1 ?

(1)当 m=3 时,求 A? 養 ; U (2)若 A ? B ? x ? 1 ? x ? 4 , 求实数 m 的值.

?

?

17. (本小题满分 14 分) 求函数 y ? sin 2 x ? 2sin x ? 2cos x 的最大值和最小值,并指出当 x 取何值时,函数取 得最值。

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, A ? 0, ? ? 0, ? ? (1)试确定 f ( x ) 的解析式; (2)若 x ??0,1? ,求函数 f ( x ) 的值域.

?
2

)的图象(部分)如图所示.

19. (本小题满分 14 分) 某厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为鼓励销售商 订购,决定当一次订购量超过 100 个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就 降低 0.02 元,但实际出厂单价不能低高分低于 51 元. (1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为 51 元? (2)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 P 元,求出函数 P ? f ( x) 的表达式.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (1)当 a ?

x2 ? 2 x ? a , x ? ?1, ??) x

1 时,求函数 f ( x ) 的最小值; 2

(2)若对任意 x ??1, ??), f ( x) ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

参考答案
1-5 ABCAA 11. 6-10 ACADB 13. (??, ? 2? ??2, ??) 14. f1 ( x), f3 ( x) ……2 分

1 2

12. 3x ? 4 y ? 4 ? 0

5 6 m n

15.解: (1)? ?BCD ? 90? ? 60? ? 150?, CB ? AC ? CD,

??CBE ? 15?

……4 分

? cos ?CBE ? cos15? ? cos(45? ? 30?) ?
(2)在 ?ABE 中,AB=2,由正弦定理得:

6? 2 4

……6 分

AE 2 ? sin(45? ? 15?) sin(90? ? 15?)

…9 分

? AE=

2 s i n? 3 0 ? 6? 2 cos15?

……12 分 ……2 分

16.解: A ? x ? 1 ? x ? 5

?

? ?

(1)当 m ? 3时,B ? x ? 1 ? x ? 3 则 ? B ? x x ? ?1或x ? 3 U

?

?

……3 分

?

……4 分 ……6 分

? A ? ?U B ? ? x 3 ? x ? 5?
(2)? A ? B ? x ? 1 ? x ? 4

?

?

? 4 为集合 B 的右端点
……9 分

……8 分

? 42 ? 2 ? 4m?
解得 m=8

? 0
……11 分

此时 B ? x ? 2 ? x ? 4 , 符合题意. 17.解:设 t ? sin x ? cos x ?

?

?

……12 分 ……2 分
2

2 sin( x ? ), 4

?

则 t ? ?- 2,2 ? ,sin 2 x ? 2sin x cos x ? 1 ? t ,

?

?

……6 分

? y ? 1 ? t 2 ? 2t ? ?(t ? 1)2 ? 2
3? ?当t ? 2 即 x ? , 4 ??k 2

……8 分

(k ? Z ) 取得最小值,为-1-2 时 ,y

2 ;……11 分

当 t ? ?1, 即x ? 2k? 或2k? ?

?
2

时,y 取得最大值为 2。……14 分

18.解: (1)由图象可知 A=2

……1 分

T 5 1 1 且 ? ? ? ……2 分 4 6 3 2 ?T ? 2 ……3 分 2? ?? ? ?? ……4 分 T 1 ? 将点 P( , 2)代入y ? 2sin(? x ? ? ), 得 sin( ? ? ) ? 1 3 3
又? ?

……5 分

?

2

, 所以? ?

?

6

………6 分

故所求解析式为 f ( x) ? 2sin(? x ? (2)? x ? ? 0,?? x ? 1?

?
6

)( x ? R )

……8 分

?

? ? 7? ? ?? , ? 6 ?6 6 ? 1 ……12 分
……14 分

……10 分

? s i ? x(? n

?

? 1 ? ? ?- , ) 6 ? 2 ? ?

? f ( x)的值域为?-1,2?

19.解: (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元时,一次订购量为 x0 个,则

x0 ? 1 0 ? 0

6 0 5 1 ? ? 5 5 0 0.02

……4 分

因此,当一次订购量为 550 个时,每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元.…6 分 (2)当 0 ? x ? 100时,P=60 ……8 分

当 100 ? x ? 550时,P ? 60 ? 0.02( x ? 100) ? 62 ? 当 x ? 550时,P=51 ……13 分

x 50

……11 分

( 0 1 0 0 ) ?6 0 , ? x ? ? x ? ? P ? f (x ) ? 6 2 ? ? , ? x ? 0 x ? N 5 0 ……14 分 ) (1 0 5 ) ( 50 ? ?51, ( x ? 550) ?
20. (1)解:当 a ?

1 1 时,f ( x) ? x ? ?2 ……2 分 2 2x 1 ? ? x ? 1时, f ( x) 1 2 ? ? ? 0 ……4 分 2x

? f ( x 在区间? ?? 上为增函数, ) 1, )

……5 分

) ? f ( x 在区间? ?? 上的最小值为 f ( 1 ? ) 1, )
(2)解法一:在区间 ?1, ??) 上,

7 2

……7 分

f ( x) ?

x2 ? 2 x a ? ? 恒成立 ? 0 x

2

x ?

? x ? a恒成立 2 0

……8 分

2 ? a ? ? 2 ?恒成立 x x

……9 分

2 ?a ? ? ( x

2 m )a ?x

x

, x ? 1 ……11 分
……12 分

? ? x2 ? 2 x ? ?( x ? 1)2 ? 1
2 ?当x ?时, ? 1 ( x

?m a x 2x )
……14 分

? ? ……13 分 3

?a ? 3 ?

? x2 ? 2 x ? a 解法二:在区间 ?1, ??)上,f ( x) ? ? 0 恒成立 x ?
? x2 ? 2x ? a ? 0恒成立
2

……8 分 ……9 分 ……10 分

设 y ? x ? 2x ? a, x ??1, ??) ,

? y ? x2 ? 2x ? a ? ( x ? 1)2 ? a ?1 递增, ?当x ? 1时,ym i ? 3 ? a n
……11 分

当且仅当 ymin ? 3 ? a ? 0时,函数f ( x) ? 0恒成立,

……13 分

?a ? 3 ?

……14 分


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