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华工高数第10章答案


院 系

班级

姓 名

作业编号

第十章 微分方程
作业 20 微分方程基本概念
1.写出下列条件所确定的微分方程: (1)曲线在点 M ( x, y ) 处的法线与 x 轴的交点为 Q ,且线段 MQ 被 y 轴平分; 解:法线方程为 Y ? y = ? 由已知 0 =

1 ( X ? x ) ,法线与 x 轴的交点 Y = 0, ? X = x + y′y y′

x + X x + x + y′y = ? y′y + 2 x = 0 2 2

(2)曲线上任意点 M ( x, y ) 处的切线与线段 OM 垂直; 解:切线的斜率为 y ′ ,线段 OM 的斜率为 k = 由已知 y′ ?

y x

y = ?1, ? yy′ = ? x x

(3)曲线上任意点 M ( x, y ) 处的切线,以及 M 点与原点的连线,和 x 轴所围成的 三角形的面积为常数 a . 解:切线方程为 Y ? y = y′ ( X ? x ) , M 点与原点的连线为 Y = 切线与 x 轴即直线 Y = 0 的交点, Y = 0, ? X = x ?
2

y X x

y y′

由已知

1 ? y? y2 y ? ? x ? ? = a 2 , ? xy ? = ±2a 2 , ( xy ± 2a 2 ) y′ = y 2 ′? ′ 2 ? y y
x ?x

2..求曲线簇 xy = C1e + C2 e

(C1 , C 2为任意常数) 所满足的微分方程.
x ?x

解:由已知,两边对自变量 x 求导 y + xy ′ = C1e ? C2 e 两边再对自变量 x 求导 2 y ′ + xy ′′ = C1e + C2 e
x ?x

? 2 y′ + xy′′ = xy

3.潜水艇垂直下沉时所遇到的阻力和下沉的速度成正比,如果潜水艇的质量为 m , 且是在水面由静止开始下沉,求下沉的速度所满足的微分方程和初始条件. 解:由已知, m

dv = mg ? kv, v ( 0 ) = 0 dt

1

《高等数学》同步作业册

作业 21 可分离变量的微分方程
1.解微分方程 y ? xy ′ = a ( y 2 + y ′) . 解:微分方程即 y ? ay = ( x + a )
2

dy dx

分离变量

dy dx = 2 y ? ay x+a

两边积分

? ∫ x + a = ∫ ay (1 ? ay ) = ∫ ? ay ? ay ? 1 ?d ( ay ) ? ay acy acy + ln c = ln ? x+a = ay ? 1 ay ? 1 ay ? 1

dx

ady

? 1

1

?

从而 ln ( x + a ) = ln

2. 求解初值问题: (1 + e ? x ) y′ tan y + 1 = 0, y x =0 = π . 解:微分方程即 (1 + e ) tan y 分离变量
?x

dy = ?1 dx

sin ydy dx =? cos y 1 + e? x
x

d (1 + e d cos y dx e x dx 两边积分 ? ∫ = ?∫ = ?∫ = ?∫ ?x x cos y 1+ e 1+ e 1 + ex
从而 ? ln cos y = ? ln 1 + e x ? ln c ? cos y = c 1 + e x 由 y x =0 = π , cos π = c 1 + e

)

(

)

(

)
x

(

0

) = 2c ? c = ? 1 , cos y = ? 1 (1 + e ) 2 2

3 . 当 ?x → 0 时 , α 是 比 ?x 高 阶 的无穷 小 量, 函数 y (x ) 在 任 意 点处 的 增量

y?x + α ,且 y (0) = π ,求 y (1) . 1+ x2 ?y y dy ?y y 解:由已知 = ,从而 = lim = 2 ?x 1 + x dx ?x →0 ?x 1 + x 2
?y =
分离变量

dy dx = y 1 + x2

两边积分



dy dx =∫ ? ln y = arctan x + ln c ? y = cearctan x y 1 + x2

由 y x =0 = π , π = ce arctan 0 = c ? c = π , y = π e arctan x

2

院 系

班级

姓 名

作业编号

4.解微分方程 xy ′ = y ln y . 解:微分方程即 x 分离变量

dy = y ln y dx

dy dx = y ln y x

两边积分

∫ y ln y =∫

dy

d ln y dx = ∫ ? ln ln y = ln x + ln c ? ln y = cx, y = ecx ln y x

5.一曲线通过点(2,3) ,它在两坐标轴之间的任意切线段均被切点所平分,求这 曲线方程. 解:由已知 y ( 2 ) = 3, Y ? y = y′ ( X ? x ) 当 X = 0, Y = y ? xy′, 分离变量

Y +0 dy = y ? y ? xy′ = 2 y, x = ?y 2 dx

dy dx =? y x

两边积分



dy dx c = ? ∫ ? ln y = ? ln x + ln c ? y = y x x c 6 , ? c = 6, y = 2 x

由 y x=2 = 3 , 3 =

6. 设有连接 O (0,0)和A(1,1) 的一段向上凸的曲线弧 OA ,对于 OA 上任一点 P ( x, y ) , 曲线弧 OP 与直线段 OP 所围成的面积为 x ,求曲线弧 OA 的方程. 解:设曲线为 y = f ( x ) 由已知 y ( t ) dt ?
2


0

x

1 y + xy′ xy = x 2 , y ( 0 ) = 0, y (1) = 1 ? y ? = 2x 2 2 xy′ ? y ? y ?′ 2 =? ? =? 2 x x ?x?

微分方程即 xy′ ? y = ?2 x, 从而

y 2 = ? ∫ dx, y = ? x ( 2 ln x ? c ) = x ( c ? 2 ln x ) x x

由 y x =1 = 1 , 1 = c ? 2 ln1, ? c = 1, y = x (1 ? 2 ln x ) ,

3

《高等数学》同步作业册

作业 22 齐次方程
1.解微分方程 xy ′ = y ln 解:令 u =

y . x

y , 则 y = ux, y′ = u + xu ′ x y y y 微分方程 xy ′ = y ln ,即 y′ = ln = u ln u = u + xu ′ x x x
u ( ln u ? 1) = x

du dx du ,分离变量 = dx u ( ln u ? 1) x
du d ( ln u ? 1) ln u ? 1 =∫ dx x

两边积分

∫ u ( ln u ? 1) = ∫

ln ( ln u ? 1) = ln x + ln c, ln
2.求解初值问题 ( y + 解:令 u =

y = 1 + cx, y = xe1+ cx x

x 2 + y 2 )dx ? xdy = 0( x > 0), y (1) = 0 .

y , 则 y = ux, y′ = u + xu ′ x
2

微分方程

dy y + x 2 + y 2 y ? y? 2 = ,即 y′ = + 1 + ? ? = u + 1 + u = u + xu ′ dx x x ?x?
du du dx du dx ,分离变量 = ,两边积分 ∫ =∫ 2 2 dx x x 1+ u 1+ u

1+ u2 = x

ln u + 1 + u 2 = ln x + ln c, y + x 2 + y 2 = cx 2
由 y (1) = 0 , 0 + 1 + 0 = c, ? c = 1, y +

(

)

x2 + y 2 = x2

3.作适当的变量代换,求下列方程的通解:

dy = ( x + y )2 ; dx du du du 解:令 u = x + y , ? = 1 + y′ = 1 + u 2 , ? = dx, ∫ = dx 2 dx 1+ u 1+ u2 ∫
(1)

arctan u = x + c, y = tan ( x + c ) ? x
(2) y ′ =

y ? x +1 ; y+ x+5 dY Y ? X + b ? a + 1 = dX Y + X + b + a + 5

解:令 x = X + a, y = Y + b ,则 y′ =

再令 b ? a + 1 = 0, b + a + 5 = 0 ? b = ?3, a = ?2 , x = X ? 2, y = Y ? 3
4

院 系

班级

姓 名

作业编号

再令 Y = uX , ? Xu ′ + u =

u ?1 u ?1 ?1 ? u 2 , Xu ′ = ?u = u +1 u +1 u +1

从而



( u + 1) du =
1+ u
2

∫ ? 1+ u ?

? u

2

+

dX 1 ? du = ? ∫ , 2 ? 1+ u ? X

1 1 ln (1 + u 2 ) + arctan u = ? ln X ? ln c, e ?2arctan u = cX 2 (1 + u 2 ) 2 2 e
?2arctan y +3 x+2 2 2 = c ?( x + 2 ) + ( y + 3) ? ? ?

(3) ( x + 2 y ) y ′ = 1 .
2

解:令 u = x + 2 y ,则 u ′ = 1 + 2 y ′ = 1 +

2 u2 + 2 u2 = ,分离变量 2 du = dx , u2 u2 u +2

u2 + 2 ? 2 u du = ∫ dx ? u ? 2 arctan = x+c 两边积分 ∫ 2 u +2 2
x + 2 y ? 2 arctan x + 2y x + 2y = x + c, 2 y ? c = 2 arctan 2 2

4.求曲线 y = y ( x ) ,使它正交于圆心在 x 轴上且过原点的任何圆(注:两曲线正交 是指在交点处两曲线的切线互相垂直) . 解:可设在 x 轴上且过原点的任何圆为 ( x ? a ) + y = a ,
2 2 2

x2 + y 2 a?x 则 x + y = 2ax, a = , 2 ( x ? a ) + 2 yy′ = 0, y′ = y 2x
2 2

由已知曲线 y = y ( x ) 应满足 y′ = ?

y y 2 xy =? 2 =? 2 2 x +y a?x y ? x2 ?x 2x

2 y 2u u + u 3 (1 ? u ) du dx 令 u = , 则 y = ux, y ′ = u + xu ′ = , xu ′ = , = , 1? u2 1 ? u 2 u (1 + u 2 ) x x

1 + u 2 ? 2u 2 dx 2 ∫ u (1 + u 2 ) du = ∫ x , ln u ? ln (1 + u ) = ln x + ln c

? u y y2 ? = cx, = cx ?1 + 2 ? , y = c ( x 2 + y 2 ) 1+ u2 x ? x ?

5

《高等数学》同步作业册

作业 23 一阶线性微分方程
1.解微分方程

dy y sin x + = . dx x x dy + P ( x) y = Q ( x), 解:对照标准的一阶线性微分方程 dx
? P ( x ) dx ? P ( x ) dx 1 sin x ? P ( x) = , Q ( x) = ,y=e ∫ Q ( x ) e∫ dx + C ? ?∫ ? x x ? ?

1 1 1 ? dx ? sin x ∫ dx ? ? sin x ln x ? ln ? sin x ? y = e ∫ x ?∫ e x dx + C ? = e ? ln x ? ∫ e dx + C ? = e x ? ∫ xdx + C ? ? x ? ? x ? ? x ?

1? C ? cos x ∫ sin xdx + C ? = x ? x? dy x + y = x 2 + 3x + 2 . 2.解微分方程 dx =
解:微分方程即

d ( xy ) = x 2 + 3 x + 2, dx

1 3 3 2 1 3 c x + x + 2 x + c, y = x 2 + x + 2 + 3 2 3 2 x dy 2 3.解微分方程 ( y ? 6 x) + 2y = 0. dx
解:观察发现,微分方程等价为 y 2 ? 6 x + 2 y

xy = ∫ ( x 2 + 3 x + 2 ) dx =

dx dx 3 y = 0, ? x = ? , dy dy y 2

? P( y) = x=e
?

? P ( y ) dy ? P ( y ) dy ?3 ?y ? ,Q ( y) = ,x =e ∫ ∫ Q ( y ) e∫ dy + C ? ? y 2 ? ?



?3 dy y

? ? y ∫ ?y3 dy ? ? ? y ?3ln y ? e dy + C ? = e3ln y ? ∫ e dy + C ? ?∫ 2 2 ? ? ? ? ? ?

? ? ? 1 ? y2 1 = y 3 ? ? ∫ 2 dy + C ? = y 3 ? +C? = + Cy 3 2y 2y 2 ? ? ? ?
4.求解初值问题

dy ? y tan x = sec x , y x =0 = 0 . dx dy 解:对照标准的一阶线性微分方程 + P ( x) y = Q ( x), dx
? ? tan xdx ? ∫ ? tan xdx dx + C ? ? P ( x ) = ? tan x, Q ( x ) = sec x, y = e ∫ ∫ sec x ? e ? ? ? ?

y = e ? ln cos x ? ∫ sec x ? eln cos x dx + C ? = ? ?
6

x+c ,由 y cos x

x =0

= 0, y =

x cos x

院 系 5. 设曲线积分

班级

姓 名
2

作业编号

∫ yf ( x)dx + [2 xf ( x) ? x
L

]dy

在右半平面 x > 0) 内与路径无关, (

其中 f (x ) 可导,且 f (1) = 1 ,求 f (x ) . 解 : 由 曲 线 积 分 在 右 半 平 面 ( x > 0) 内 与 路 径 无 关 可 知 ,

f ( x) = 2 xf ′( x) + 2 f ( x ) ? 2 x, f ′( x) +

1 f ( x) = 1 2x

? P ( x) = y=

1 1 ? dx ? dx ? ? 1 ln x ? 1 ln x ? 1 , Q ( x ) = 1, y = e ∫ 2 x ? ∫ 1? e ∫ 2 x dx + C ? = e 2 ? ∫ e 2 dx + C ? 2x ? ? ? ?

? 2 1 ?2 3 c 2 = f ( x) ? x +c? = x + x?3 x ? 3
2 1 2 1 + c, ? c = , f ( x ) = x + 3 3 3 3 x

由 f (1) = 1 , 1 =

6.解微分方程

dy ? 3 xy = xy 2 . dx x x x 1 dy d ?1? d ?1? ? 3 = x, ? ? ? ? 3 = x , ? ? + 3 = ? x , 2 y dx y dx ? y ? y dx ? y ? y

解:微分方程化为

令u =

1 du ,? + 3 xu = ? x, 为一阶线性微分方程 y dx
? 3 xdx
3 2 3 2 ? ? x ? e ∫ 3 xdx dx + C ? = e? 2 x ? ? xe 2 x dx + C ? ? ∫ ? ?∫ ( ) ? ? ? ? ?
3 ? x2 ? 1 3 x2 ? 1 ? e 2 + C ? = Ce 2 ? ? 3 ? 3 ?

P ( x ) = 3 x, Q ( x ) = ? x, u = e ∫
u=
3 ? x2 1 =e 2 y

? 1 3 x2 ? 3 2 ? ? ? 3 x2 ?∫ e 2 d ? x ? x + C ? = e 2 ? ?2 ? ? 3 ?

7

《高等数学》同步作业册

作业 24
2 2 2 2

全微分方程

1. 判别下列方程中哪些是全微分方程,并求全微分方程的通解: (1) (3 x + 6 xy )dx + (6 x y + 4 y )dy = 0 ;

? (3x 2 + 6 xy 2 ) ? (6 x 2 y + 4 y 2 ) 解:因为 =12xy = 且连续,从而该方程是全微分方程 ?y ?x
4 0 = 3 x 2 dx + 6 xy 2 dx + 6 x 2 ydy + 4 y 2 dy = dx3 + 3 y 2 dx 2 + 3 x 2 dy 2 + dy 3 3

4 4 ? ? = d ? x3 + +3 x 2 y 2 + y 3 ? ,从而 x3 + +3 x 2 y 2 + y 3 = c 3 3 ? ?
(2) ( x cos y + cos x ) y ′ ? y sin x + sin y = 0 ; 解:方程即 ( x cos y + cos x) dy + ( ? y sin x + sin y ) dx = 0 因为

? ( ? y sin x + sin y ) ? ( x cos y + cos x) = ? sin x + cos y = 且连续,从而该方程 ?y ?x

是全微分方程,方程右边为某个函数 u ( x, y ) 的全微分, 即 ?u , u x = ? y sin x + sin y , u y = x cos y + cos x

u = y cos x + x sin y + g ( y ) , u y = x cos y + cos x = cos x + x cos y + g ′ ( y ) ? g ′ ( y ) = 0, g ( y ) = c1
从而微分方程的通解为 y cos x + x sin y = c (3) e y dx + ( xe y ? 2 y )dy = 0 . 解:因为

?e y y ? ( xe y ? 2 y ) =e = 且连续,从而该方程是全微分方程,从而该方程是 ?y ?x

全微分方程,方程右边为某个势函数 u ( x, y ) 的全微分,可用曲线积分法求一个来。
( x, y )

u=

( 0,0)



e y dx + ( xe y ? 2 y )dy = ∫ e0 dx + ∫ ( xe y ? 2 y )dy = xe y ? y 2
0 0

x

y

从而微分方程的通解为 xe y ? y 2 = c

8

院 系

班级

姓 名

作业编号

作业 25
1.求下列微分方程的通解 (1) y′′ = x + sin x ; 解: y′ =

可降阶的高阶微分方程

∫ ( x + sin x )dx = 2 x

1

2

? cos x + c1 ,

1 ?1 ? y = ∫ ? x 2 ? cos x + c1 ?dx = x3 ? sin x + c1 x + c2 6 ?2 ?
(2) y′′(e + 1) + y′ = 0 ;
x

解:令 p = y′, ? y′′ = 分离变量

dp x dp , (e + 1) + p = 0 dx dx

dp dx =? x , p e +1

两边积分

dp ex +1 ? ex e x + 1 dy = ?∫ dx = ? x + ln ( e x + 1) + ln c1 , p = c1 x = ∫p ex + 1 e dx
ex +1 ex + 1 dx ,两边积分 y = c1 ∫ x dx = c1 ∫ (1 + e ? x ) dx ex e

分离变量 dy = c1

y = c2 + c1 ( x ? e ? x )
(3) y′′ +

2 y ′2 = 0 ; 1? y dp dp dy dp dp 2 = ? = p ,p + p2 = 0 dx dy dx dy dy 1 ? y

解:令 p = y ′, ? y ′′ =

分离变量

dp 2 = dy , p y ?1

两边积分



dp 2 dy 2 =∫ dy, ln p = 2 ln ( y ? 1) + ln c1 , p = c1 ( y ? 1) = p y ?1 dx

分离变量

dy

( y ? 1)

2

= c1dx ,两边积分 c1 x + c2 = ∫

dy

( y ? 1)

2

=

?1 y ?1

y = 1?

1 c1 x + c2

9

《高等数学》同步作业册 (4) y ′′ = ( y ′) + y ′ .
3

解:令 p = y′, ? y′′ =

dp dp dy dp dp = ? = p ,p = p3 + p dx dy dx dy dy

分离变量

dp = dy , p2 +1

两边积分 y =

∫p

2

1 dy dp = arctan p ? c1 , p = tan ( y + c1 ) = , +1 dx

分离变量 cot ( y + c1 ) dy = dx , 两边积分 x + c2 = cot ( y + c1 ) dy = ln sin ( y + c1 ) , sin ( y + c1 ) = ± e



x + c2

? y 3 y′′ + 1 = 0 ? 2.求解初值问题 ? . ? y x =1 = 1, y′ x =1 = 0 ?
解:令 p = y ′, ? y′′ =

dp dp dy dp dp = ? = p , y3 p +1 = 0 dx dy dx dy dy

分离变量 pdp =

?1 p2 ?1 1 1 dy ,两边积分 = ∫ 3 dy = 2 + c1 , p 2 = y ?2 + c1 , 3 y y 2 2y 2 = 0 , 0 = 1 + c1 , ? p 2 = y ?2 ? 1, p =
= ± dx , 两 边 积 分 ? ∫
dy = ± y ?2 ? 1 dx
2

由y

x =1

= 1, y′

x =1

分离变量

ydy 1? y
2

?2 ydy 2 1? y

= ± x ? c = ? 1? y2 ,

1 ? y 2 = ± x + c ,由 y

x =1

= 1, c = m1 ,从而 1 ? y 2 = ± x m 1

3. 设第一象限内的曲线 y = y (x ) 对应于 0 ≤ x ≤ a 一段的长在数值上等于曲边梯形:

0 ≤ y ≤ y ( x) ,0 ≤ x ≤ a 的面积,其中 a > 0 是任意给定的, y (0) = 1 ,求 y (x) .
解:由已知


0

a

1 + ? y′ ( x ) ? dx = ∫ y ( x ) dx ? 1 + y′2 = y, y′ = ± y ? 1 ? ?
2 0 2

a



(c ± x) dy = ± ∫ dx = c ± x, 2 y ? 1 = c ± x, y = 1 + 4 y ?1
由 y (0) = 1 , 1 = 1 +

c2 x2 , c = 0, y = 1 + 4 4

10

院 系

班级

姓 名

作业编号

作业 26
x

线性微分方程解的结构

1. 已知 y1 ( x ) = e 是齐次线性方程

(2 x ? 1) y′′ ? (2 x + 1) y′ + 2 y = 0 的一个解,求此方程的通解.
解:方程即 y′′ ?

2x + 1 2 2x +1 2 y′ + y = 0, p ( x ) = ? , q ( x) = 2x ?1 2x ?1 2x ?1 2x ?1

由刘维尔公式 y2 = y1
?



1 ? ∫ p( x ) dx 1 ? ? 2 x +1 dx e dx = e x ∫ 2 x e ∫ 2 x ?1 dx y12 e dx = e x ∫ e?2 x e x + ln ( 2 x ?1) dx = e x ∫ ( 2 x ? 1) e ? x dx

y2 = e x ∫ e ?2 x e

? ? ∫ ?1+ 2 x ?1 ?dx

2 ?

= ?e x ∫ ( 2 x ? 1) de? x = ? e x ?( 2 x ? 1) e ? x + 2e ? x ? = ?2 x ? 1 ? ?
由解的结构定理可知,方程的通解 y = c1e ? c2 ( 2 x + 1)
x

2. 若 y1 , y 2 , y 3 是二阶非齐次线性微分方程(1)的线性无关的解,试用 y1 , y 2 ,

y 3 表达方程(1)的通解.
解:由解的结构定理可知, y2 ? y1 , y3 ? y1 均为对应的二阶齐次线性微分方程的解, 而且现行无关。 从而:由解的结构定理方程(1)的通解为 y = c1 ( y2 ? y1 ) + c2 ( y3 ? y1 ) + y1 3 . 已 知 y1 = x ,y2 = x +x ,y3 = e +x
2 2 x 2

都 是 二 阶 线 性 非 齐 次 方 程

(x - 1)y ''? xy '+ y = ? x 2 + 2 x ? 2 的解,求此方程的通解.
解 : 易 知 y2 ? y1 = x,y3 ? y1 = e 线 性 无 关 , 从 而 为 二 阶 线 性 齐 次 方 程
x

(x - 1)y ''? xy '+ y = 0 的线性无关的特解,由解的结构定理,二阶线性非齐次方程
(x - 1)y ''? xy '+ y = ? x 2 + 2 x ? 2 的通解为 y = x 2 +c1 x + c2 e x

11

《高等数学》同步作业册

作业 27
1.求下列微分方程的通解 (1) 4 y ′′ ? 12 y ′ + 9 y = 0 ; 解:特征方程为

二阶常系数齐次线性微分方程

4r ? 12r + 9 = 0, r1,2 =
2

? ( ?12 ) ±
3 x

( ?12 )
2?4

2

? 4? 4?9

=

3± 9?9 3 = 2 2

从而通解为 y = ( c1 + c2 x ) e 2 (2)

d 2 s ds + =0; dt 2 dt
2

解:特征方程为 r + r = r ( r + 1) = 0, r1 = 0, r2 = ?1 从而通解为 y = c1 + c2 e
?x

(3) y′′ + 6 y ′ + 13 y = 0 ;

?6 ± 62 ? 4 ?1?13 解:特征方程为 r + 6r + 13 = 0, r1,2 = = ?3 ± 2i, α = ?3, β = 2 2
2

从而通解为 y = ( c1 cos 2 x + c2 sin 2 x ) e (4) y (5) + 2 y ′′′ + y ′ = 0 . 解:特征方程为 r 5 + 2r 3 + 1 = r r 2 + 1

?3 x

(

)

2

= 0, r1,2 = i, r3,4 = ?i, r5 = 0

从而通解为 y = ( c1 + c2 x ) cos 2 x + ( c3 + c4 x ) sin 2 x + c5 2.求方程 4 y ′′ + 4 y ′ + y = 0 满足所给初始条件 y
2 2

x =0

= 2 , y′

x =0

= 0 的特解.

解:特征方程为 4r + 4r + 1 = ( 2r + 1) = 0, r1,2 = ? 从而通解为 y = ( c1 + c2 x ) e 由 y′
1 ? x 2

1 2

,由 y

x =0

= 2 得 2 = ( c1 + c2 ? 0 ) e0 ? c1 = 2
1 ? 1? ? 1? ? ? ? ? 得 0 = c2 + c1 ? ? ? ? , c2 = c1 = 1 2 ? 2? ? 2?

′ x = 0 = 0 ,y = c2 e
1 ? x 2

1 ? x 2

+ ( c1 + c2 x ) e

1 ? x 2

因此 y = ( 2 + x ) e

12

院 系

班级

姓 名

作业编号

3. 设可微函数 ? ( x ) 满足方程 ? ( x) = e ? 解:由已知 ? (0) = e , ? ( x) = e ? x
x



x

0

( x ? u )? (u )du ,求 ? ( x) .
x 0



x

0

? (u )du + ∫ u? (u )du

? ? ′( x) = ? ∫ ? (u )du, ? ′(0) = 0 , ? ? ′′( x) = ?? ( x), ? ′′( x) + ? ( x) = 0
0

特征方程为 r + 1 = 0, r1,2 = ±i
2

从而通解为 ? ( x ) = c1 cos x + c2 sin x, ,由 ? (0) = e 得 e = c1 + c2 ? 0 ? c1 = e 由 ? ′ ( 0 ) = 0 , ? ′ ( x ) = ?c1 sin x + c2 cos x, 得 0 = 0 + c2 , c2 = 0 因此 ? ( x ) = e cos x

13

《高等数学》同步作业册

作业 28 二阶线性非齐次微分方程
1.求下列各方程的通解 (1) y′′ + 5 y ′ + 4 y = 3 ? 2 x ; 解:对应齐次方程特征方程为 r + 5r + 4 = ( r + 4 )( r + 1) = 0, r1 = ?4, r2 = ?1
2

非齐次项 f ( x ) = 3 ? 2 x ,与标准式 f ( x ) = Pn ( x ) e 对比特征根,推得 k = 0 ,从而 y = x Qn ( x ) e
* k

λx

比较得 n = 1, λ = 0

λx

= ax + b, y*′ = a, y*′′ = 0
1 11 ,b = 2 8

代入方程得 0 + 5a + 4 ( ax + b ) = 3 ? 2 x ? 5a + 4b = 3, 4a = ?2, a = ? 从而通解为 y = c1e
?4 x

+ c2 e? x ?

1 11 x+ 2 8

x (2) 2 y′′ + y′ ? y = 2e ;

解:对应齐次方程特征方程为

2r + r ? 1 = 0, r1,2 =
2

?1 ± 12 ? 4 ?1 ? ( ?1) 2?2
x

=

?1 ± 3 1 , r1 = , r2 = ?1 4 2
λx

非齐次项 f ( x ) = 2e ,与标准式 f ( x ) = Pn ( x ) e 对比特征根,推得 k = 0 ,从而 y = x Qn ( x ) e
*

比较得 n = 0, λ = 1

k

λx

= ae x , y*′ = ae x , y*′′ = ae x

代入方程得 2a + a ? a = 2 ? a = 1 从而通解为 y = c1e + c2 e
x 2 ?x

+ ex

(3) y′′ + 3 y ′ + 2 y = 3 xe ? x ; 解:对应齐次方程特征方程为 r + 3r + 2 = ( r + 2 )( r + 1) = 0, r1 = ?2, r2 = ?1
2

非齐次项 f ( x ) = 3 xe ,与标准式 f ( x ) = Pn ( x ) e
?x

λx

比较得 n = 1, λ = ?1

对比特征根,推得 k = 1 ,从而 y = x Qn ( x ) e
* k

λx

= (ax 2 + bx)e? x ,

y*′ = (? ax 2 + 2ax ? bx + b)e? x , y*′′ = (ax 2 ? 4ax + bx + 2a ? 2b)e ? x
代入方程得 ( ax 2 ? 4ax + bx + 2a ? 2b) + 3( ? ax 2 + 2ax ? bx + b) + 2( ax 2 + bx ) = 3 x

3 ?3 ? ? 2a + b = 0, 2a = 3, ? a = , b = ?2a = ?3 , y = ? x 2 ? 3 x + c1 ? e? x + c2 e ?2 x 2 ?2 ?

14

院 系

班级

姓 名

作业编号

(4) y ′′ + 4 y = x cos x ; 解:对应齐次方程特征方程为 r + 4 = 0, r1,2 = ±2i
2

非齐次项 f ( x ) = x cos x, ,与标准式 f ( x ) = e

αx

? Pm ( x ) cos β x + Pl ( x ) sin β x ? ? ?

比较得 n = max {m, l} = 1, λ = i ,对比特征根,推得 k = 0 ,从而特解形式可设为

y* = x k ? 1 Qn ( x ) cos β x + 2 Qn ( x ) sin β x ? eα x = (ax + b) cos x + ( cx + d ) sin x, ? ?

y*′ = (? ax ? b + c) sin x + ( cx + d + a ) cos x, y*′′ = (? ax ? b + 2c) cos x ? ( cx + d + 2a ) sin x
1 2 代入方程得 3ax + 3b + 2c = x,3cx + 3d ? 2a = 0 ? a = , c = 0, b = 0, d = 3 9

1 2 y = c1 cos 2 x + + c2 sin 2 x + cos x + sin x 3 9
2 (5) y′′ ? y = sin x .

解:对应齐次方程特征方程为 r ? 1 = 0, r1,2 = ±1
2

非齐次项 f ( x ) =

1 1 ? cos 2 x, 利用解的结构定理知特解形式可设为 2 2

y* = a + b cos 2 x + c sin 2 x, y*′ = ?2b sin 2 x + 2c cos 2 x, y*′′ = ?4b cos 2 x ? 4c sin 2 x
代入方程得 ? a ? 5b cos 2 x ? 5c sin 2 x =

1 1 1 1 ? cos 2 x ? a = ? , b = , c = 0 2 2 2 10

1 1 y = c1e x + c2 e ? x ? + cos 2 x 2 10
2.求方程 y′′ + 4 y′ + 4 y = e ?2 x 满足初始条件 y (0) = 0 , y′(0) = 1 的特解. 解:对应齐次方程特征方程为 r + 4r + 4 = ( r + 2 ) = 0, r1 = r2 = ?2
2 2

非齐次项 f ( x ) = e

?2 x

,与标准式 f ( x ) = Pn ( x ) e

λx

比较得 n = 0, λ = ?2

对比特征根,推得 k = 2 ,从而

y* = x k Qn ( x ) eλ x = ax 2 e?2 x , y*′ = ( 2ax ? 2ax 2 ) e?2 x , y*′′ = ( 2a ? 8ax + 4ax 2 ) e ?2 x
代入方程得 2a ? 8ax + 4ax 从而通解为 y = (c1 + c2 x +

(

2

) + 4 ( 2ax ? 2ax ) + 4ax
2

2

= 1, 2a = 1, a =

1 2

1 2 ?2 x x )e , y (0) = 0 ? c1 = 0 2

15

《高等数学》同步作业册

1 ? ? y′ = (?2c2 x ? x 2 + c2 + x)e ?2 x , y′(0) = 1, ? c2 = 1 要的特解为 y = ? x + x 2 ? e?2 x 2 ? ?
3. 已知二阶线性非齐次微分方程 y′′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f ( x) 的三个特解为 y1 = x ,

y2 = e x , y3 = e 2 x .试求方程满足初始条件 y (0) = 1 , y′(0) = 3 的特解.
解:由这个三个解的线性无关性,以及解的结构理论,得通解为

y = c1 ( e x ? x ) + c2 ( e 2 x ? x ) + x ,由 y (0) = 1 得 c1 + c2 = 1 y′ = c1 ( e x ? 1) + c2 ( 2e2 x ? 1) + 1 及 y′(0) = 3 得 c2 ( 2 ? 1) + 1 = 3 ? c2 = 2, c1 = ?1
所要特解为 y = x ? e x + 2e 2 x ? 2 x + x = 2e 2 x ? e x 4.设 f ( x) = sin x ? ( x ? t ) f (t )dt ,其中 f ( x ) 连续,求 f ( x ) .
0
x x



x

解: f ( x ) = sin x ? x f (t ) dt + tf (t ) dt ? f ( 0 ) = 0


0


0

f ′( x) = cos x ? ∫ f (t )dt ? f ′ ( 0 ) = cos 0 = 1 , f ′′( x) + f ( x) = ? sin x
0

x

对应齐次方程特征方程为 r + 1 = 0, r1,2 = ±i
2

非齐次项 f ( x ) = ? sin x, ,与标准式 f ( x ) = eα x ? Pm ( x ) cos β x + P ( x ) sin β x ? l ? ? 比较得 n = max {m, l} = 0, λ = i ,对比特征根,推得 k = 1 ,从而特解形式可设为

y* = x k ? 1 Qn ( x ) cos β x + 2 Qn ( x ) sin β x ? eα x = ax cos x + bx sin x, ? ? y*′ = (a + bx) cos x + (b ? ax) sin x, y*′′ = (2b ? ax) cos x + (?2a ? bx) sin x
代入方程得 2b cos x ? 2a sin x = ? sin x ? b = 0, a =

1 2

x f ( x ) = c1 sin x + c2 cos x + cos x ,由 f ( 0 ) = 0 ? c2 = 0 2 x 1 1 f ′ ( x ) = c1 cos x ? c2 sin x ? sin x + cos x ,由 f ′ ( 0 ) = 1 ? c1 = 2 2 2 1 x 因此 f ( x ) = sin x + cos x 2 2

16

院 系

班级

姓 名

作业编号

第十章《微分方程》 第十章《微分方程》测试题
1.填空题 (1)函数 y = e 是常系数线性微分方程 y ′′ + py ′ + qy = 0 的解的充分必要条件是
rx

r 2 + pr + q = 0 ;
满足的一阶微分方程是 y + ( y ′ ) = 1 ; (2) 曲线簇 y = cos( x + C )( C 为任意常数)
2 2

( 3 ) 已 知 二 阶 线 性 齐 次 方 程 的 两 个 解 y1 = e , y2 = xe , 则 该 方 程 为
x x

y′′ + 2 y′ + y = 0 ;
(4)方程 y ′ =

y y y + tan 的通解 y 为 sin = cx ; x x x
2 2 x

(5)设 y1 = 3 , y2 = 3 + x , y3 = 3 + x + e 都是方程

( x 2 ? 2 x) y′′ ? ( x 2 ? 2) y′ + (2 x ? 2) y = 6 x ? 6
的解,则方程的通解为 y = 3 + c1 x + c2 e .
2 x

2.求下列各方程的通解 (1) (1 + e )dx + e (1 ?
x y x y

x )dy = 0 ; y

解:令 u =

x ,则 x = yu , dx = ydu + udy y

原方程化为 (1 + eu ) ydu + (u + eu )dy = 0 ,分离变量

(1 + eu )du dy + =0, u + eu y

两边积分得

(1 + eu )du dy u ∫ (u + eu ) + ∫ y = ln(u + e ) + ln y = ln c
u x y

从而 y (u + e ) = c, x + ye = c (2)

dy y = ; dx x + y 3 dx x ? = y2 , , dy y
17

解:原方程化为

《高等数学》同步作业册
?1 ?1 ? ∫ y dy ? 2 ∫ y dy 从而 x = e dy + c ? = eln y ?∫ y e ? ? ? ? ?

(

∫ ydy + c =

)

y3 + cy 2

(3) (1 + x 2 ) y′′ + 2 xy′ = 0 ; 解:令 y′ = p ,则 y ′′ = p′ 原方程化为 (1 + x ) p′ + 2 xp = 0 ,
2

分离变量

dp 2 xdx + = 0, p 1 + x2

两边积分得



dp 2 xdx +∫ = ln p + ln (1 + x 2 ) = ln c p 1 + x2

从而 p =

dy c = , y = c arctan x + c1 dx 1 + x 2 1 x (4) y′′ = y ′ + xe ; x 1 p = xe x , x
x x 1

解:令 y′ = p ,则 y ′′ = p′ 原方程化为 p′ ? 从而 p = e
? ?1 ?1 ∫ x dx ? xe x e ∫ x dx dx + c ? = eln x ?∫ ? ? ?

( ∫ e dx + 2c ) = xe

+ 2c1 x =

dy dx

y = ∫ xe x dx + c1 x = ( x ? 1)e x + c1 x 2 + c2
(5) y ′′ + 9 y = x sin 3 x ; 解:对应齐次方程特征方程为 r + 9 = 0, r1,2 = ±3i
2

非齐次项 f ( x ) = x sin 3 x, ,与标准式 f ( x ) = eα x ? Pm ( x ) cos β x + P ( x ) sin β x ? l ? ? 比较得 n = max {m, l} = 1, λ = 3i ,对比特征根,推得 k = 1 ,从而特解形式可设为

y* = x k ? 1 Qn ( x ) cos β x + 2 Qn ( x ) sin β x ? eα x = (ax 2 + bx) cos 3 x + ( cx 2 + dx ) sin 3 x, ? ? y*′ = (3cx 2 + 3dx + 2ax + b) cos 3 x + ( 2cx + d ? 3ax 2 ? 3bx ) sin 3 x y*′′ = (2c ? 6b ? 12ax ? 9dx ? 9cx 2 ) sin 3 x + ( 6d + 2a + 12cx ? 9bx ? 9ax 2 ) cos 3 x
代入方程得 (2c ? 6b ? 12ax) sin 3 x + ( 6d + 2a + 12cx ) cos 3 x = x sin 3 x

2c ? 6b ? 12ax = x, 6d + 2a + 12cx = 0 ? a = ? y = c1 cos 3 x + + c2 sin 3 x ?

1 1 , c = b = 0, d = 12 36

1 2 1 x cos 3 x + x sin 3 x 12 36

18

院 系
2

班级

姓 名

作业编号

(6) xy′′ ? y′ = x ;

解:方程可化为 因此 y =

xy′′ ? y′ ? y ?′ y′ = ? ? = 1 ,从而 = x + 2c1 , y′ = x 2 + 2c1 x x2 x ?x?
1 3 x + c1 x + c2 3

∫(x

2

+ 2c1 x ) dx =

(7) y′′ + 4 y ′ + 4 y = 3e ?2 x ; 解:对应齐次方程特征方程为 r + 4r + 4 = ( r + 2 ) = 0, r1 = r2 = ?2
2 2

非齐次项 f ( x ) = 3e

?2 x

,与标准式 f ( x ) = Pn ( x ) e

λx

比较得 n = 0, λ = ?2

对比特征根,推得 k = 2 ,从而

y* = x k Qn ( x ) eλ x = ax 2 e?2 x , y*′ = ( 2ax ? 2ax 2 ) e?2 x , y*′′ = ( 2a ? 8ax + 4ax 2 ) e ?2 x
代入方程得 2a ? 8ax + 4ax 从而通解为 y = (c1 + c2 x +

(

2

) + 4 ( 2ax ? 2ax ) + 4ax
2

2

= 3, 2a = 3, a =

3 2

3 2 ?2 x x )e 2

(8) (2 x ? 5 y + 3)dx ? (2 x + 4 y ? 6)dy = 0 . 解:令 x = X + a, y = Y + b ,则 y′ =

dY 2 X ? 5Y + 2a ? 5b + 3 = dX 2 X + 4Y + 2a + 4b ? 6

再令 2a ? 5b + 3 = 0, 2a + 4b ? 6 = 0 ? b = 1, a = 1 , x = X + 1, y = Y + 1 再令 Y = uX , ? Xu ′ + u =

2 ? 5u 2 ? 5u 2 ? 7u ? 4u 2 , Xu ′ = ?u = 2 + 4u 2 + 4u 2 + 4u

从而

4 ? ? ?2 2 + 4u 3 + 3 ?du = dX , du = ∫ ? ∫ (2 + u )(1 ? 4u) ∫X ? 2 + u 1 ? 4u ? ? ? 2 1 1 ? ln ( 2 + u ) ? ln (1 ? 4u ) = ln X ? ln c 3 3 3 2 ln ( 2 + u ) + ln (1 ? 4 x ) + 3ln X = ln c, ( 2 + u ) (1 ? 4u ) X 3 = c
2

( 2 X + Y ) ( X ? 4Y ) = c 即 ( 2 x + y ? 3) ( x ? 4 y + 3) = c
2 2

3. 设 f (x ) 具有二阶连续导数,且 f (0) = 0, f ′(0) = 1 ,并且

[ xy ( x + y ) ? f ( x) y ]dx + [ f ′( x) + x 2 y ]dy = 0
为一全微分方程,求 f (x ) .

19

《高等数学》同步作业册 解:由已知 x( x + 2 y ) ? f ( x) = f ′′( x) + 2 xy, ? f ′′( x) + f ( x) = x 对应齐次方程特征方程为 r + 1 = 0, r1,2 = ±i
2
2

非齐次项 f ( x ) = x ,与标准式 f ( x ) = Pn ( x ) e
2

λx

比较得 n = 2, λ = 0 ,对比特征根,推得 k = 0 ,从而特解形式可设为

y* = ax 2 + bx + c, y*′ = 2ax + b, y*′′ = 2a 2a + ax 2 + bx + c = x 2 ? a = 1, b = 0, c = ?2
从通解为 f ( x ) = c1 cos x + c2 sin x + x ? 2, f ′( x ) = c2 cos x ? c1 sin x + 2 x ,
2

由 f (0) = 0, f ′(0) = 1 , c1 ? 2 = 0, c2 = 1, c1 = 2
2 因此 f ( x ) = 2 cos x + sin x + x ? 2

4.已知方程

?2 z ?2 z + 2 = ze 2 x 有形如 z = f (e x sin y ) 的解,试求出这个解. 2 ?x ?y

解:因为

2 ?z ?2 z = f ′ ( u ) e x sin y, 2 = f ′′ ( u ) ( e x sin y ) + f ′ ( u ) e x sin y ?x ?x

2 ?z ?2 z = f ′ ( u ) e x cos y, 2 = f ′′ ( u ) ( e x cos y ) + f ′ ( u ) e x (? sin y ) ?y ?y

?2 z ?2 z + 2 = f ′′ ( u ) e2 x = f (u )e 2 x , ? f ′′ ( u ) ? f (u ) = 0 2 ?x ?y
特征方程为 r ? 1 = 0, r1 = 1, r2 = ?1, f ( u ) = c1e + c2 e
2
u

?u

因而,这个解为 z = f (e sin y ) = c1e
x

e x sin y

+ c2 e? e

x

sin y

5.设函数 f (x ) 在 (?∞,+∞) 内具有连续导数,且满足

f (t ) = 2

∫∫
x2 + y 2 ≤t 2

( x 2 + y 2 ) f ( x 2 + y 2 )dxdy + t 4 ,

求 f (x ) . 解:由极坐标 f (t ) = 2 dθ r f ( r ) rdr + t = 4π r f ( r ) dr + t


∫ ∫
0 0

t

2

4


0

t

3

4

20

院 系
3

班级
3

姓 名
3

作业编号
3

从而 f ′(t ) = 4π t f ( t ) + 4t , f ( 0 ) = 0 ,即 f ′(t ) ? 4π t f ( t ) = 4t ,
3 4 ? 4 4 ? ( ? 4π t 3 ) ? 1 1 ? 3 ∫ ( ?4π t ) f (t ) = e ∫ dt + c ? = eπ t ? ? e?π t + c ? = ? + ceπ t ? ∫ 4t e ? π ? ? ? π ?

由 f ( 0 ) = 0 ,得 c =

1

π

, f (t ) =

1

π

eπ t ?
4

1

π

, f ( x) =

1

π

eπ x ?
4

1

π

6.设函数 ? ( x ) 在实轴上连续, ? ′(0) 存在,且具有性质 ? ( x + y ) = ? ( x )? ( y ) ,试 求出 ? ( x ) . 解:由已知 ? ( x + 0) = ? ( x)? (0), ? ? ( 0 ) = 1

? ′( x) = lim
y →0

? ( x + y ) ? ? ( x)
y

= lim
y →0

? ( x)? ( y ) ? ? ( x)
y

= ? ( x) lim
y →0

? ( y ) ? ? (0)
y

从而 ? ′( x) = ? ( x)? ′(0) , ∫

d? ( x) = ? ′(0) dx = ? ′(0) x + ln c ? ( x) ∫

因此 ? ( x) = ce? ′ (0) x ,由于 ? ( 0 ) = 1 ,故 c = 1, ? ( x) = e? ′ (0) x 7.设函数 y ( x) ( x ≥ 0 )二阶可导,且 y ′( x ) > 0 , y (0) = 1 ,过曲线 y = y ( x ) 上 任一点 P ( x, y ) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线,上述两直线与 x 轴所围成的三角 形面积记为 S1 ,区间 (0, x ] 上以 y = y ( x ) 为曲边的曲边梯形面积记为 S2 ,并设

2S1 ? S 2 恒为 1.求此曲线 y = y ( x) 的方程.
解:过曲线 y = y ( x ) 上任一点 P ( x, y ) 作该曲线的切线为 Y ? y = y′ ( X ? x ) 当 Y = 0, X = x ?

1 y ,从而 S1 = y′ 2

x ? ? y ?? y 2 y ? x ? ? x ? ?? = , S2 = ∫ y ( x ) dx y′ ? ? 2 y′ ? ? 0
x

y2 2 由已知 y ( 0 ) = 1, 2 S1 ? S 2 = 1, ? ∫ y ( x ) dx = 1, ? y′ ( 0 ) = 1, , y ( y′ ) ? y 2 y′′ = 0 y′ 0
令 y′ = p, ? y′′ = p

dp dp dp dy , yp 2 = y 2 p , ∫ = ∫ , ln p = ln y + ln c dy dy p y

从而 y′ = p = cy,



dy = cdx, ln y = cx + ln c1 , y = c1ecx , y ∫
x

由于 y ( 0 ) = 1, y′ ( 0 ) = 1 ,因此 c = 1, c1 = 1, y = e

21


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