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高一数学教案:根式2



题:2.5.1

指数-根式
王新敞
奎屯 新疆

教学目的: 1.掌握根式的概念和性质,并能熟练应用于相关计算中 2.培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、化归转化能力; 教学重点:根式的概念性质
王新敞
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教学难点:根式的概念 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教材分析: 指数函数是基本初等函数之一,应用非常广泛 它是在本章学习完函数概念 和两个基本性质之后较为系统地研究的第一个初等函数 为了学习指数函数应该将初中学过的指数概念进行扩展,初中代数中学习 了正整数指数、零指数和负整数指数的概念和运算性质 本节在此基础上学习的 运算性质 为下一节学习分数指数幂概念和性质做准备 教学过程:
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一、复习引入: 1.整数指数幂的概念
n个a
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an ? a ?? a? ? a? ? a(n ? N*) ? ?
a 0 ? 1(a ? 0)
2.运算性质:

a ?n ?

1 (a ? 0, n ? N *) an

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a m ? a n ? a m? n (m, n ? Z ) (a m ) n ? a mn (m, n ? Z ) (ab) ? a ? b (n ? Z )
n n n
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3.注意 ① a ? a 可看作 a ? a
m n m ?n

∴a ?a =a ?a
m n m

?n

=a

m?n
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n ?n ② ( ) 可看作 a ? b
n

a b

n ?n ∴ ( ) = a ?b =
n

a b

an bn

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二、讲解新课: 1.根式: ⑴计算(可用计算器)

①3 = 9

2

,则 3 是 9 的平方根



② (?5) 3 =-125 ,则-5 是-125 的立方根 ; ③若 6 =1296 ,则 6 是 1296 的 4 次方根 ; ④ 3.7 =693.43957 ,则 3.7 是 693.43957 的 5 次方根 ⑵定义: 一般地,若 x n ? a(n ? 1, n ? N*) 则 x 叫做 a 的 n 次方根
n
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4

5

.

a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数

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例如,27 的 3 次方根表示为 3 27 ,-32 的 5 次方根表示为 5 ? 32 , a 的 3
6

次方根表示为 3 a 6 ;16 的 4 次方根表示为? 4 16 ,即 16 的 4 次方根有 两个,一个是 4 16 ,另一个是- 4 16 ,它们绝对值相等而符号相反. ⑶性质: ①当 n 为奇数时:正数的 n 次方根为正数,负数的 n 次方根为负数 记作:

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x?n a

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②当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个(互为相反数) 记作:

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x ? ?n a

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③负数没有偶次方根, ④ 0 的任何次方根为 0

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注:当 a ? 0 时, n a ? 0,表示算术根,所以类似 4 16 =2 的写法是错误的. ⑷常用公式 根据 n 次方根的定义,易得到以下三组常用公式: ①当 n 为任意正整数时,( n a ) =a.例如,( 3 27 ) =27,( 5 ? 32 ) =-32.
n 3 5

②当 n 为奇数时, n a n =a;当 n 为偶数时, n a n =|a|= ?

?a(a ? 0) . ?? a(a ? 0)

3 2 例如, 3 (?2) =-2, 5 25 =2; 4 34 =3, (?3) =|-3|=3.

⑶根式的基本性质:

np

(a ? 0). a mp ? n a m ,
3

2 注意, ⑶中的 a ? 0 十分重要, 无此条件则公式不成立. 例如 6 ( ?8) ?

?8 .

用语言叙述上面三个公式: ⑴非负实数 a 的 n 次方根的 n 次幂是它本身. ⑵n 为奇数时,实数 a 的 n 次幂的 n 次方根是 a 本身;n 为偶数时,实数 a 的 n 次幂的 n 次方根是 a 的绝对值. ⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂, 那么这个根式的根 指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数,根式的值不变. 三、讲解例题: 例 1(课本第 71 页 例 1)求值
3 ① 3 (?8) = -8

; 10 ;

2 ② ( ?10 ) = |-10| =

4 ③ 4 (3 ? ? ) = | 3 ? ? | =

? ?3 ;
a- b .

2 ④ ( a ? b) ( a ? b) = |a- b| =

去掉‘a>b’结果如何? 例 2 求值:

(1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 ; (2)2 3 ? 3 1.5 ? 6 12
分析: (1)题需把各项被开方数变为完全平方形式,然后再利用根式运算性质; 解:

(1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 ? ( 3) 2 ? 2 3 ? 2 ? ( 2 ) 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? ( 3) 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 2 ? ( 2 ) 2 ? (( 3 ? 2 ))2 ? (2 ? 3 ) 2 ? (2 ? 2 ) 2 ?| 3 ? 2 | ? | 2 ? 3 ? | ? | 2 ? 2 | ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? (2 ? 2 ) ?2 2 注意:此题开方后先带 上绝对值,然后根据正 负去掉绝对值符号。

(2)2 3 ? 3 1.5 ? 6 12 =2 ? 3 ? 3
6 3 6

3 6 2 ? 2 ?3 2
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32 6 2 =2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 2 =2 ? 6 33 ? =2 ? 3 ? 6
四、练习:

32 2 ?2 ?3 22

五、小结 本节课学习了以下内容: 1.根式的概念; 2.根式的运算性质: ①当 n 为任意正整数时,( n a ) =a. ②当 n 为奇数时, n a n =a;当 n 为偶数时, n a n =|a|= ?
np
n

?a(a ? 0) . ? a ( a ? 0 ) ?

⑶根式的基本性质: 六、课后作业: 七、板书设计(略) 八、课后记:
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(a ? 0). a mp ? n a m ,

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