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江西省南昌市第二中学2013-2014学年高三上学期第二次月考数学(理)试卷


江西省南昌市第二中学 2013-2014 学年高二上学期第二次月考

数学(理)试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1. f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 2 在区间 ? ?1,1? 上的最大值是( A. ? 2 2. 函数 y ? 2sin( x ? A. x ? ) D. 4 ) D. x ? 2? B. 0 C. 2

?
4

) 图象的一条对称轴方程是(
B. x ?

3? 4

?
8

C. x ?

?
2

3. 把函数 y = sin x(x ? R) 的图象上所有的点向左平行移动 上所有点的横坐标缩短到原来的 A. y = sin (2 x-

? 个单位长度, 再把所得图象 3

?
3

),x ? R ),x ? R

C. y = sin (2 x +

?
3

1 倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是 2 x ? B. y = sin ( + ),x ? R 2 6 2? D. y = sin (2 x + ),x ? R 3

4. 在△ABC 中角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c, 若(2b﹣c)cosA=acosC,则∠A 为 ( )

? ? ? B. C. 4 3 6 5. 对于 ?ABC ,有如下四个命题: ①若 sin 2 A ? sin 2B ,则 ? ABC 为等腰三角形, ②若 sin B ? cos A ,则 ? ABC 是直角三角形 ③若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 ? ABC 是钝角三角形
A. 其中正确的命题个数是 A. 1 B. 2 ( ) C. 3

D.

5? 6

D. 4
x

6. 现有四个函数:① y ? x sin x ② y ? x cos x ③ y ? x cox ④ y ? x 2 的图象(部分)如下, 但顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( ) A.①④②③ B.①④③② C.④①②③ D.③④②① 7.函数 y ? 3sin x ? 4cos x, x ? [0, ? ] 的值域为( )

A. [?5,5]

B. [?4,5]

C. [?3,5]
1

D. [?4,3]

8. 若函数 f ( x) ? 2sin ? x ?? ? 0 ? 的图象在 ? 0, 2? ? 上恰有一个极大值和一个极小值,则

? 的取值范围是(
A.

)

3 ( ,1] 4
) B.

B.

5 (1, ] 4

C.

(

34 ] 45
?

D.

(

35 ] 44
x1 ? x2 2

9. 已知函数 f ( x) ? 的值为( A. 3

3 sin 2 x ? cos 2 x ? m在[0, ] 上有两个零点 x1 , x2 ,则 tan 2

3 2 3 C. D. 2 2 3 2 10 .设函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ? a ln x 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 < x2 ,则 1 ? 2 ln 2 1 ? 2 ln 2 A. f ( x2 ) ? B. f ( x2 ) ? 4 4 1 ? 2 ln 2 1 ? 2 ln 2 C. f ( x2 ) ? D. f ( x2 ) ? 4 4
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11. 曲线 xy ? 1 与直线 y=x 和 y=3 所围成的平面图形的面积为_________. 12. 己知△ABC 三边长成等比数列,公比为 2 .则其最大角的余弦值为______. 13. 已知函数 f ( x ) ? cos x , x ? (

?

2

, 3 ),若方程 f ( x) ? m 有三个不同的实根,且从小到 ?

大依次成等比数列,则 m 的值为 _____________ .

? 1 1 ? 1? ?? 3 x ? 6 , x ? ?0, 2 ? ? ? ? 14. 已知函数 f ( x ) ? ? 3 , ? 2 x , x ? ? 1 ,1? ? ? ? x ?1 ?2 ? ? π 函数 g ( x ) ? a sin( x ) ? 2a ? 2,(a ? 0) , 若存在 x1 , x2 ? ? 0,1? , 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 6
则实数 a 的取值范围是 15. 给出下列个命题: ①若函数 f ( x) ? a sin(2 x ? 。

?
3

? ? )( x ? R)为偶函数,

则 ? ? k? ?

?
6

(k ? Z )

②已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? 单调递减,则 ? 的取值范围是 [ , ]

?
4

) 在 ( ,? ) 上 2
O

?

y
x

1 5 2 4

? 3
x

7? 12
x

x
x

?1
2

③函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0,| ? |? 解析式为 f ( x) ? sin(2 x ?

?
2

)的图象如图所示,则 f ( x) 的

?
3

);

④设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c 若 (a ? b)c ? 2ab ;则 C ?

?
2

⑤设ω >0, 函数 y ? sin(? x ? 重
3 合,则ω 的最小值是 . 2

?
3

) ? 2 的图象向右平移

4? 个单位后与原图象 3

其中正确的命题为____________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? 3 sin x cos x ? cos x ? a . (1)写出函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间;
2

(2)当 x ? [?

? ?

3 , ] 时,函数 f(x)的最大值与最小值的和为 ,求 a 的值. 6 3 2

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? m sin ? x ? 2 cos ? x(? ? 0, m ? 0) 的最 ? 5? 大值为 2.且 x ? , x ? 是相邻的两对称轴方程. 4 4 (1)求函数 f ( x) 在 [0, ? ] 上的值域; ? ? (2)△ABC 中, f ( A ? ) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B ,角 A、B、C 所对的边分 4 4 别是 a、b、c,且 C=60?,c=3,求△ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6x ? a . 2 (1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围.

3

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2sin ? x ? cos ? x ? 2 3 cos2 ? x ? 3 ? 1 (其中 ? ? 0 ) x1 、x 2 是 , 函数 y ? f (x) 的两个不同的零点,且 | x1 ? x2 | 的最小值为 (1)求 ? 的值; (2)若 f (a) ?

? . 3

2 5? ,求 sin( ? 4a) 的值. 3 6

20. (本小题满分 13 分)

(1)若 a ? 1, 求 f ? x ? 的单调区间及 f ? x ? 的最小值; (2)试比较 证明你的结论.

f ? x ? ? x ? a ? ln x ?a ? 0 ? .

ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 ?n ? 1??2n ? 1? ? 2 ??? 2 与 的大小. ?n ? N ? 且n ? 2 ? ,并 2 2?n ? 1? 2 3 n

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x ln x, g ( x ) ? ? x ? ax ? 2 (1)求函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (2)若函数 y=f(x)+g(x)有两个不同的极值点 x1,x2(x1<x2)且 x2﹣x1>ln2,求 实数 a 的取值范围.
2

(附加题) (本小题满分 10 分) 已知对任意 x ? R, a cos x ? b cos2 x ? 1 ? 0, 恒成立(其 中 b ? 0) ,求 a ? b 的最大值.

4

江西省南昌市第二中学 2013-2014 学年高三上学期第二次月考

数学(理) 参考答案
一、CACCA ABDDC
'

2 x2 ? 2 x ? a ,因为 f(x)两个极值点 x x1、x2 ,所以 x1、x2 是方程 2x2 ? 2x ? a ? 0 的两根。又因为 x1 < x2 ,且 x1 + x2 ? 1 , 1 2 ) 1 )? ( 2 ) 令 < x2 ? 1 , a ? 2 x2 ? 2 x2 , 所 以 f ( 2x ? 2 ( x? 2 2 2 2x 2 ? x 。 lx n 2 2 1 2 g ( t? ) (? 2 2 2 ( ? t, )其 lt中 < t ? 1 , g ' (t ) ? 2(1 ? 2 t) lnt ? 0 , 所 以 1 t )? t n 2 1 1 ? 2 ln 2 1 ? 2 ln 2 ,所以 f ( x2 ) ? . g (t ) ? g ( ) ? 2 4 4 1 2 1 4 二、11. 4 ? ln3 12. ? 13. ? 14. [ , ] 15. ①②③⑤ 2. 4 2 3
(10)C 由题设,f(x)的定义域为 x>0, 求导得 f ( x) ?

16. 解(1) ∴T=π . 2k? ?



?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

? k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6



故函数 f(x)的单调递增区间是 [k? ?
(2)∵ 当 ,∴

?

, k? ? ](k ? Z ) . 3 6
.∴ .

?

时 , 原 函 数 的 最 大 值 与 最 小 值 的 和 = ,∴a=0(12 分)

17. 【解析】(1)由题意, f ( x) 的最大值为 m 2 ? 2 ,所以 m 2 ? 2=2 .

而 m ? 0 ,于是 m ? 2 , f ( x ) ? 2sin(? x ? ) . 4 2? 轴方程.∴T=2π = , ∴ω =1

?

∵x?

?
4

,x ?

5? 是相邻的两对称 4

?

? ? 5? 2 ? ? ?? ? sin( x ? ) ? 1 ? f ( x ) ? 2sin( x ? ) ,∵ 0 ? x ? ? ? ? x ? ? 4 4 4 2 4 4
∴ f ( x ) 的值域为 [ ? 2, 2] .
5

(2)设△ABC 的外接圆半径为 R ,由题意,得 2 R ?

c 3 ? =2 3 . sin C sin 60?

π π 化简 f ( A ? ) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B ,得 4 4 sin A ? sin B ? 2 6 sin A sin B . 由正弦定理,得 2 R ? a ? b ? ? 2 6ab , a ? b ? 2ab .
2 2
2



由余弦定理,得 a ? b ? ab ? 9 ,即 ? a ? b ? ? 3ab ? 9 ? 0 . ② 将①式代入②,得 2 ? ab ? ? 3ab ? 9 ? 0 .
2

3 3 3 1 解得 ab ? 3 ,或 ab ? ? (舍去). S?ABC ? ab sin C ? . 4 2 2 ' 2 18. 解: (1) f ( x) ? 3x ? 9 x ? 6 ? 3( x ? 1)( x ? 2) ,

因为 x ? (??, ??) , f ( x) ? m , 即 3x ? 9 x ? (6 ? m) ? 0 恒成立,
'
2

3 3 ,即 m 的最大值为 ? 4 4 ' ' ' (2) 因为 当 x ? 1时, f ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ; 5 所以 当 x ? 1 时, f ( x) 取极大值 f (1) ? ? a ; 2 当 x ? 2 时, f ( x) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ; 5 故当 f (2) ? 0 或 f (1) ? 0 时, 方程 f ( x) ? 0 仅有一个实根. 解得 a ? 2 或 a ? . 2 ? 19. ⑴ f ( x ) ? sin 2? x ? 3 cos 2? x ? 1 ? 2sin(2? x ? ) ? 1 , 3 ? 1 ?sin(2? x ? ) ? , 3 2 ? ? ? 5? ? 2? x1 ? ? ? 2k? 或 2? x2 ? ? ? 2k? (k ? Z ) 3 6 3 6 2? ? 2? | x1 ? x2 |? 2k? (k>0)或 2? | x1 ? x2 |? 2k? ? 3
所以 ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 得 m ? ?

?| x1 ? x2 |min ?

⑵ f ( x ) ? 2sin(2 x ?

? ? ? 3? 3 ?

∴ ? ? 1.

3 5? 3? 5? ? ∵ sin( ? 4? ) ? ? cos[ ? ( ? 4? )] ? ? cos 2(2? ? ) 6 2 6 3 ? 7 ? 2 sin 2 (2? ? ) ? 1 ? . 18 3

) ? 1 ,由 f (a) ?

2 ? 5 ,得 sin(2? ? ) ? , 3 6 3

6

20. 解:(1) a ? 1, f ? x ? ? x ? 1 ? ln x 当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ? ln x, f
'

?x ? ? 1 ? 1 ?
x
'

? f ? x ? 在区间 ?1,?? ? 上是递增的
当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ? ln x, f

x ?1 ? 0. x

x ? f ? x ? 在区间 ?0,1? 上是递减的. 故 a ? 1 时, f ? x ? 的增区间为 ?1,?? ? ,减区间为 ?0,1? , f ? x ?min ? f ?1? ? 0 ln x 1 (2) 由(1)可知,当 a ? 1, x ? 1 时,有 x ? 1 ? ln x ? 0, 即 ? 1? x x 2 2 2 ln 2 ln 3 ln n 1 1 1 1 1 ? ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 1? 2 ?1? 2 ? ? ?1? 2 ? n ?1? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 3 n 2 3 n 3 n ? ?2

?x ? ? ?1 ? 1 ? 0.

? 1 1 1 ? 1 1 ? ?1 1 1 1 ? n ?1? ? ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n?n ? 1? ? ? n ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ?n ? 1??2n ? 1? ?1 = n ?1? ? ? . ?? 2?n ? 1? ? 2 n ?1? 1 21. 解: (1)由 f′(x)=lnx+1=0,可得 x= , e 1 1 1 ∴∴①0<t< ,时,函数 f(x)在(t, )上单调递减,在( ,t+2)上单调递增, e e e 1 1 ∴函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值为 f( )=﹣ , e e 1 ②当 t≥ 时,f(x)在[t,t+2]上单调递增, e
∴f(x)min=f(t)=tlnt,

? f ( x ) m in

1 ? 1 ? ,0 ? t ? ? e ? e ?? ; ?t ln t , t ? 1 ? e ?

(2)y=f(x)+g(x)=xlnx﹣x2+ax﹣2,则 y′=lnx﹣2x+1+a 题意即为 y′=lnx﹣2x+1+a=0 有两个不同的实根 x1,x2(x1<x2) , 即 a=﹣lnx+2x﹣1 有两个不同的实根 x1,x2(x1<x2) , 等价于直线 y=a 与函数 G(x)=﹣lnx+2x﹣1 的图象有两个不同的交点 ∵G′(x)=﹣ +2, ,∴G(x)在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增, 画出函数图象的大致形状(如右图) ,

7

由图象知,当 a>G(x)min=G( ) )=ln2 时,x1,x2 存在,且 x2﹣x1 的值随着 a 的增大 而增大而当 x2﹣x1=ln2 时,由题意 两式相减可得 ln =2(x2﹣x1)=2ln2 ,

∴x2=4x1 代入上述方程可得 x2=4x1= ln2, 此时 a= ln2﹣ln( )﹣1, )﹣1;
2

所以,实数 a 的取值范围为 a> ln2﹣ln(

(附加题) 由题意知 : a cos x ? b cos 2 x ? 1 ? a cos x ? b(2cos

x ? 1) ? 1

? 2b cos2 x ? a cos x ? 1 ? b.
令 cos x

? t, t ? [?1,1] ,则当 f (t ) ? 2bt 2 ? at ? 1 ? b ? 0, t ? [?1,1] 恒成立,开口向上,
2

①当 b ? 1 时, f (0) ? 1 ? b ? 0 ,不满足 f (t ) ? 2bt ? at ? 1 ? b ? 0, t ? [?1,1] 恒成立;

? f (1) ? a ? b ? 1 ? 0 ?a ? ?(b ? 1) ?? ?| a |? b ? 1 ……(*) ? f ( ?1) ? b ? a ? 1 ? 0 ?a ? b ? 1 a a 当对称轴 t ? ? ? [?1,1] 时,即 | |? 1 ,也即 | a |? 4b 时,有 4b≤|a|≤b+1, 4b 4b 1 4 5 4 1 5 则 b≤ ,则 | a |? b ? 1 ? ,则 a ? b ? ,当 a ? , b ? 时, ( a ? b) max ? . 3 3 3 3 3 3 a a [? 1?, 时 ] , 即 | 1 |? 1 , 也 即 | a ? b4 时 , 则 必 有 | 当 对 称 轴 t? ? 4b 4b ? ? a 2 ? 8b(1 ? b) ? 0 ,即 a 2 ? 8b(1 ? b) ? 8b ? 8b2 , 又由(*)知 a 2 ? (b ? 1)2 ,
②当 0<b≤1 时,则必有 ? 则由于 (b ? 1) ? (8b ? 8b ) ? 9b ? 6b ? 1 ? (3b ? 1) ? 0 ,故只需 a ? 8b ? 8b 成立即
2 2 2 2

2

2

可,问题转化为 a ? 8b ? 8b 的条件下,求 a ? b 的最大值, 法一(三角换元)把条件配方得:
2 2

a2 1 ? 4(b ? ) 2 ? 1 设 2 2 ?a ? 2r cos ? r sin ? 1 3 1 3r 1 ? ? ? r sin(? ? ? ) ? ? ? ? 2 ? 1 ? r sin ? (0 ? r ? 1) ? a ? b ? 2r cos ? ? 2 2 2 2 2 2 ?b ?
? 2
? (a ? b) max ? 2
法二(导数)
8

令?

?a ? x x 2 ? ? 2( y ? 1) 2 ? 1, b? y 2 ?

则即求函数的导数,椭圆的上半部分

1? 1? y?
? ( x ? y )max ? 2

x2 2 ? y? ? 1 ? 2 4

?x x2 1? 2

? ?1 ? x ?

4 2 ,? y ? 3 3

(法三、柯西不等式)由柯西不等式可知:

1 1 1 2 1 1 (a ? b ? )2 ? [a ? 1 ? 8(b ? ) ? ] ? [a 2 ? 8(b ? ) 2 ][12 ? ( ) 2 ] 2 2 2 8 8 1 8 (b ? ) 1 9 a 2 2 2 , 即 a ? 8(b ? 1 ) 及 ? (8b ? 8b ? 8b ? 8b ? 2)(1 ? ) ? , 当 且 仅 当 ? 1 8 4 2 1 8 4 2 a 2 ? 8b ? 8b2 时等号成立.即当 a ? , b ? 时,a+b 最大值为 2. 3 3 综上可知 ( a ? b) max ? 2 .

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