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山东省潍坊市2017届高三数学一模试卷(理科) Word版含解析


2017 年山东省潍坊市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设集合 A={x|x=2n,n∈N*},B={x ≤2},则 A∩B=( )

A.{2} B.{2,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4} 2.若复数 z 满足(1﹣i)z=i,则 z 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

3.已知命题 p:对任意 x∈R,总有 2x>x2;q:“ab>1“是“a>1,b>1”的充分不 必要条件,则下列命题为真命题的是( A.p∧q )

B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬p∧¬q )

4.已知函数 f(x)=logax(0<a<1) ,则函数 y=f(|x|+1)的图象大致为(

A.

B.

C



D.

5. 运行如图的程序框图, 如果输出的数是 13, 那么输入的正整数 n 的值是 (



A.5

B.6

C.7

D.8 )
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6.下列结论中错误的是(

A.若 0<α<

,则 sinα<tanα 为第一象限或第三象限角

B.若 α 是第二象限角,则

C.若角 α 的终边过点 P(3k,4k) (k≠0) ,则 sinα= D.若扇形的周长为 6,半径为 2,则其中心角的大小为 1 弧度 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.16π B.8π C. 8.已知双曲线 ﹣

π D. π =1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x﹣c)2+y2=4a2 截得 )

弦长为 2b(其中 c 为双曲线的半焦距) ,则该双曲线的离心率为( A. B. C. D.

9.设变量 x,y 满足约束条件 则实数 a 等于( A.2 B.1 ) C.﹣2 D.﹣1

,若目标函数 z=a|x|+2y 的最小值为﹣6,

10.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=f(2﹣x) ,当 x∈[0,2]时,f(x) =﹣4x2+8x.若在区间[a,b]上,存在 m(m≥3)个不同整数 xi(i=1,2,…,m) , 满足 |f(xi)﹣f(xi+1)|≥72,则 b﹣a 的最小值为( )

A.15 B.16 C.17 D.18

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11.已知向量 , ,其中| |=2,| |=1,且( + )⊥ ,则| ﹣2 |= .

12.在(﹣4,4)上随机取一个数 x,则事件“|x﹣2|+|x+3|≥7 成立”发生的概率

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. x﹣1dx= .

13.在二项式(x2﹣ )5 的展开式中,含 x4 的项的系数是 a,则

14.对于函数 y=f(x) ,若其定义域内存在不同实数 x1,x2,使得 xif(xi)=1(i=1, 2)成立,则称函数 f(x)具有性质 P,若函数 f(x)= 的取值范围为 . 具有性质 P,则实数 a

15.已知抛物线 C:y2=4x 焦点为 F,直线 MN 过焦点 F 且与抛物线 C 交于 M,N 两点,P 为抛物线 C 准线 l 上一点且 PF⊥MN,连接 PM 交 y 轴于 Q 点,过 Q 作 QD ⊥MF 于点 D,若|MD|=2|FN|,则|MF|= .

三、解答题(共 6 小题,满分 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16 .在△ABC 中,内角 A , B, C 的对边分别是 a ,b ,c ,已知 A 为锐角,且 bsinAcosC+csinAcosB= (1)求角 A 的大小; (2)设函数 f(x)=tanAsinωxcosωx﹣ cos2ωx(ω>0) ,其图象上相邻两条对称 轴间的距离为 ,将函数 y=f(x)的图象向左平移 , ]上值域. 个单位,得到函数 y=g(x) a.

图象,求函数 g(x)在区间[﹣

17.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90°, AB=2CD,BC= CD,△APB 是等边三角形,且侧面 APB⊥底面 ABCD,E,F 分别是

PC,AB 的中点. (1)求证:PA∥平面 DEF. (2)求平面 DEF 与平面 PCD 所成的二面角(锐角)的余弦值.

18.甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台主办的听曲猜哥歌名活动,在每一 轮活动中,依次播放三首乐曲,然后甲猜第一首,乙猜第二首,丙猜第三首.若
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有一人猜错,则活动立即结束;若三人均猜对,则该小组进入下一轮.该小组最 多参加三轮活动.已知每一轮甲猜对歌名的概率是 ,乙猜对歌名的概率是 ,丙 猜对歌名的概率是 .甲、乙、丙猜对互不影响. (1)求该小组未能进入第二轮的概率; (2)记乙猜对歌曲的次数为随机变量 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 19.已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,数列{bn}是公比大于 0 的等比数 列,且 b1=﹣2a1=2,a3+b2=﹣1,S3+2b3=7. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)令 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

20.已知椭圆 C 与双曲线 y2﹣x2=1 有共同焦点,且离心率为 (1)求椭圆 C 的标准方程;



(1)设 A 为椭圆 C 的下顶点,M、N 为椭圆上异于 A 的不同两点,且直线 AM 与 AN 的斜率之积为﹣3 ①试问 M、N 所在直线是否过定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由; ②若 P 点为椭圆 C 上异于 M,N 的一点,且|MP|=|NP|,求△MNP 的面积的最小 值. 21.设函数 f(x)=lnx﹣e1﹣x,g(x)=a(x2﹣1)﹣ . (1)判断函数 y=f(x)零点的个数,并说明理由; (2)记 h(x)=g(x)﹣f(x)+ ,讨论 h(x)的单调性;

(3)若 f(x)<g(x)在(1,+∞)恒成立,求实数 a 的取值范围.

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2017 年山东省潍坊市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设集合 A={x|x=2n,n∈N*},B={x ≤2},则 A∩B=( )

A.{2} B.{2,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4} 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:∵A={x|x=2n,n∈N*}={2,4,6,…},B={x ∴A∩B={2,4}, 故选:B. ≤2}={x|0≤x≤4},

2.若复数 z 满足(1﹣i)z=i,则 z 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】由条件求出 z,再根据复数与复平面内对应点之间的关系,可得结论. 【解答】解:由(1﹣i)z=i,可得 z= 面内对应的点的坐标为(﹣ , ) , 故选:B. = = =﹣ + i,它在复平

3.已知命题 p:对任意 x∈R,总有 2x>x2;q:“ab>1“是“a>1,b>1”的充分不 必要条件,则下列命题为真命题的是( A.p∧q )

B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬p∧¬q

【考点】复合命题的真假. 【分析】命题 p:是假命题,例如取 x=2 时,2x 与 x2 相等.q:由“a>1,b>1”? :

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“ab>1”;反之不成立,例如取 a=10,b= .进而判断出结论. 【解答】解:命题 p:对任意 x∈R,总有 2x>x2;是假命题,例如取 x=2 时,2x 与 x2 相等. q:由“a>1,b>1”? :“ab>1”;反之不成立,例如取 a=10,b= . ∴“ab>1“是“a>1,b>1”的必要不充分条件,是假命题. ∴下列命题为真命题的是¬p∧(¬q) , 故选:D.

4.已知函数 f(x)=logax(0<a<1) ,则函数 y=f(|x|+1)的图象大致为(



A.

B.

C



D.

【考点】对数函数的图象与性质. 【分析】利用特殊点代入计算,排除即可得出结论. 【解答】解:由题意,x=0,y=f(1)=0,排除 C,D. x=1,y=f(2)<0,排除 B, 故选 A.

5. 运行如图的程序框图, 如果输出的数是 13, 那么输入的正整数 n 的值是 (



-6-

A.5

B.6

C.7

D.8

【考点】程序框图. 【分析】模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得 8>n≥7, 即可得解输入的正整数 n 的值. 【解答】解:模拟程序的运行,可得 A=1,B=1,k=3 满足条件 k≤n,执行循环体,C=2,A=1.B=2,k=4 满足条件 k≤n,执行循环体,C=3,A=2.B=3,k=5 满足条件 k≤n,执行循环体,C=5,A=3.B=5,k=6 满足条件 k≤n,执行循环体,C=8,A=5.B=8,k=7 满足条件 k≤n,执行循环体,C=13,A=8.B=13,k=8 由题意,此时应该不满足条件 8≤n,退出循环,输出 C 的值为 13, 可得:8>n≥7,所以输入的正整数 n 的值是 7. 故选:C.

6.下列结论中错误的是( A.若 0<α<



,则 sinα<tanα 为第一象限或第三象限角

B.若 α 是第二象限角,则

C.若角 α 的终边过点 P(3k,4k) (k≠0) ,则 sinα= D.若扇形的周长为 6,半径为 2,则其中心角的大小为 1 弧度 【考点】任意角的三角函数的定义.

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【分析】利用任意角的三角函数的定义,象限角的定义,判断各个选项是否正确, 从而得出结论. 【解答】解:若 0<α< ,则 sinα<tanα= ,故 A 正确; ∈(kπ,kπ+ ) ,为第一

若 α 是第二象限角,即 α(2kπ,2kπ+π) ,k∈Z,则 象限或第三象限,故 B 正确; 4k) 若角 α 的终边过点 P (3k, (k≠0) , 则 sinα= 故 C 不正确;

=

, 不一定等于 ,

若扇形的周长为 6,半径为 2,则弧长=6﹣2×2=2,其中心角的大小为 =1 弧度, 故选:C.

7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.16π B.8π C.

π D. π

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】解:由题意,几何体为圆锥的一半,底面半径为 2,高为 4,利用圆锥的 体积公式,求出几何体的体积. 【解答】解:由题意,几何体为圆锥的一半,底面半径为 2,高为 4,几何体的体 积为 故选 D. = ,

8.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x﹣c)2+y2=4a2 截得 )

弦长为 2b(其中 c 为双曲线的半焦距) ,则该双曲线的离心率为(

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A.

B.

C.

D.

【考点】圆与圆锥曲线的综合;双曲线的简单性质. 【分析】求出双曲线的一条渐近线方程,利用渐近线被圆(x﹣c)2+y2=4a2 截得弦 长为 2b,结合勾股定理,推出 a,b,c 关系,即可求出双曲线的离心率. 【解答】解:双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 bx+ay=0,圆

(x﹣c)2+y2=4a2 的圆心到双曲线的渐近线的距离为: ∵渐近线被圆(x﹣c)2+y2=4a2 截得的弦长为:2b, ∴b2+b2=4a2, ∴b2=2a2,即 c2=3a2, ∴e= .



故选:B.

9.设变量 x,y 满足约束条件 则实数 a 等于( A.2 B.1 ) C.﹣2 D.﹣1

,若目标函数 z=a|x|+2y 的最小值为﹣6,

【考点】简单线性规划. 【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最小值,判断目标函数的最优 解,求解 a 即可. 【解答】解:变量 x,y 满足约束条件 目标函数 z=a|x|+2y 的最小值为﹣6, 可知目标函数的最优解为:B, 由 ,解得 B(﹣6,0) , 的可行域如图,

﹣6=a|﹣6|,解得 a=﹣1;

-9-

故选:D.

10.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=f(2﹣x) ,当 x∈[0,2]时,f(x) =﹣4x2+8x.若在区间[a,b]上,存在 m(m≥3)个不同整数 xi(i=1,2,…,m) , 满足 |f(xi)﹣f(xi+1)|≥72,则 b﹣a 的最小值为( )

A.15 B.16 C.17 D.18 【考点】函数的周期性. 【分析】根据已知可得函数周期为 8,且函数的图形关于 x=2 对称,从而画出函数 图象,结合图象,要使 b﹣a 取最小值,则不同整数 xi 为极值点即可. 【解答】解:定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=f(2﹣x) ,得 f(x+2+2) =f(2﹣x﹣2)=f(﹣x)=﹣f(x) ,即 f(x+4)=﹣f(x) , 则 f(x+4)=﹣f(x+4)=﹣[﹣f(x)]=f(x) .∴f(x)的周期为 8.函数 f(x)的 图形如下:

比如,当不同整数 xi 分别为﹣1,1,2,5,7…时,b﹣a 取最小值,∵f(﹣1)=
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﹣4,f(1)=4,f(2)=0, ,则 b﹣a 的最小值为 18, 故选:D

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11.已知向量 , ,其中| |=2,| |=1,且( + )⊥ ,则| ﹣2 |= 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据( + )⊥ 得出( + )? =0,求出 ? 的值,再计算 而求出| ﹣2 |. 【解答】解:向量 , 中,| |=2,| |=1,且( + )⊥ , ∴( + )? = ∴ ? =﹣ ∴ + ? =0, 从 2 .

=﹣4, = ﹣4 ? +4 . . =4﹣4×(﹣4)+4×1=24,

∴| ﹣2 |=2 故答案为:2

12.在(﹣4,4)上随机取一个数 x,则事件“|x﹣2|+|x+3|≥7 成立”发生的概率 为 .

【考点】几何概型. 【分析】本题利用几何概型求概率.先解绝对值不等式,再利用解得的区间长度 与区间(﹣4,4)的长度求比值即得. 【解答】解:利用几何概型,其测度为线段的长度. 由不等式|x﹣2|+|x+3|≥7 可得 x≤﹣3,﹣x+2﹣x﹣3≥7,∴x≤﹣4; ﹣3<x<2,﹣x+2+x+3≥7,无解; x≥2,x﹣2+x+3≥7,∴x≥3 故原不等式的解集为{x|x≤﹣4 或 x≥3},

- 11 -

∴在(﹣4,4)上随机取一个数 x,则事件“|x﹣2|+|x+3|≥7 成立”发生的概率为 P= = .

故答案为 .

5 13. 在二项式 (x2﹣ ) 的展开式中, 含 x4 的项的系数是 a, 则

x﹣1dx=

ln10



【考点】定积分;二项式系数的性质. 【分析】利用二项式定理求出 a=10,从而 【解答】解:对于 Tr+1= 由 10﹣3r=4,得 r=2, 则 x4 的项的系数 a=C52(﹣1)2=10, ∴ x﹣1dx= x﹣1dx=lnx =ln10﹣ln1=ln10. x﹣1dx= x﹣1dx,由此能求出结果. x10﹣3r,

(x2)5﹣r(﹣ )r=(﹣1)r

故答案为:ln10.

14.对于函数 y=f(x) ,若其定义域内存在不同实数 x1,x2,使得 xif(xi)=1(i=1, 2)成立,则称函数 f(x)具有性质 P,若函数 f(x)= 的取值范围为 【考点】函数的值. 【分析】由题意将条件转化为:方程 xex=a 在 R 上有两个不同的实数根,设 g(x) =xex 并求出 g′(x) ,由导数与函数单调性的关系,判断出 g(x)在定义域上的单调 性,求出 g(x)的最小值,结合 g(x)的单调性、最值、函数值的范围画出大致 的图象,由图象求出实数 a 的取值范围. 【解答】解:由题意知:若 f(x)具有性质 P, 则在定义域内 xf(x)=1 有两个不同的实数根, ∵ ,∴ , . 具有性质 P,则实数 a

即方程 xex=a 在 R 上有两个不同的实数根, 设 g(x)=xex,则 g′(x)=ex+xex=(1+x)ex,

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由 g′(x)=0 得,x=﹣1, ∴g(x)在(﹣∞,﹣1)上递减,在(﹣1,+∞)上递增, ∴当 x=﹣1 时,g(x)取到最小值是 g(﹣1)= ∵x<0,g(x)<0、x>0,g(x)>0, ∴当方程 xex=a 在 R 上有两个不同的实数根时, 即函数 g(x)与 y=a 的图象有两个交点, 由图得 , , ,

∴实数 a 的取值范围为 故答案为: .

15.已知抛物线 C:y2=4x 焦点为 F,直线 MN 过焦点 F 且与抛物线 C 交于 M,N 两点,P 为抛物线 C 准线 l 上一点且 PF⊥MN,连接 PM 交 y 轴于 Q 点,过 Q 作 QD ⊥MF 于点 D,若|MD|=2|FN|,则|MF|= 【考点】抛物线的简单性质. x+k2=0, 【分析】 直线 MN 的方程为 y=k (x﹣1) , 代入抛物线方程可得 k2x2﹣ (2k2+4) 求出 k 的值可得 M 的坐标,即可得出结论. 【解答】解:设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,直线 MN 的方程为 y=k(x﹣1) ,代入 抛物线方程可得 k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0 ∴x1+x2=2+ , +2 .

2|FN|=|MD|,可得 2(x2+1)=|MD|,

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,∴ , ,

=

,∴x2=

﹣1 ,

联立可得 x1=2+ ∵x1=

∴2+ ∴3k2=4 ∴x1=

= +4, +1, +2, +2.



∴|MF|= 故答案为

三、解答题(共 6 小题,满分 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16 .在△ABC 中,内角 A , B, C 的对边分别是 a ,b ,c ,已知 A 为锐角,且 bsinAcosC+csinAcosB= (1)求角 A 的大小; (2)设函数 f(x)=tanAsinωxcosωx﹣ cos2ωx(ω>0) ,其图象上相邻两条对称 轴间的距离为 ,将函数 y=f(x)的图象向左平移 , ]上值域. 个单位,得到函数 y=g(x) a.

图象,求函数 g(x)在区间[﹣

【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【分析】 (1)由正弦定理可得:sinBsinAcosC+sinCsinAcosB= sinA,由于 sinA≠0,

利用两角和的正弦函数公式可求 sinA 的值,结合 A 的范围即可得解 A 的值. (2)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f(x)=sin(2ωx﹣ g x) =sin 由已知可求 T, 利用周期公式可求 ω, 利用三角函数平移变换可求 ( (2x+ 由 x 的范围,利用正弦函数的性质可求 g(x)的值域. 【解答】 (本题满分为 12 分) ) , ) ,

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解: (1)∵bsinAcosC+csinAcosB=

a, sinA,

∴由正弦定理可得:sinBsinAcosC+sinCsinAcosB= ∵A 为锐角,sinA≠0, ∴sinBcosC+sinCcosB= ∴A= . ,可得:tanA= ,

,可得:sin(B+C)=sinA=



(2)∵A= ∴f(x)=

sinωxcosωx﹣ cos2ωx=

sin2ωx﹣ cos2ωx=sin(2ωx﹣ ,可得:T=2× =

) ,

∵其图象上相邻两条对称轴间的距离为 ∴f(x)=sin(2x﹣ ) ,

,解得:ω=1,

∴将函数 y=f(x)的图象向左平移 (x)=sin[2(x+ ∵x∈[﹣ , )﹣ ]=sin(2x+ ∈[

个单位,得到图象对应的函数解析式为 y=g ) , , ],

],可得:2x+

∴g(x)=sin(2x+

)∈[ ,1].

17.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90°, AB=2CD,BC= CD,△APB 是等边三角形,且侧面 APB⊥底面 ABCD,E,F 分别是

PC,AB 的中点. (1)求证:PA∥平面 DEF. (2)求平面 DEF 与平面 PCD 所成的二面角(锐角)的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 【分析】 (1)连结 AC,交 DF 于 O,连结 OF,推导出四边形 CDFB 是平行四边形,
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从而 DF∥BC,进而 O 是 AC 中点,由此得到 OE∥PA,从而能证明 PA∥平面 DEF. (2)以 F 为原点,FA 为 x 轴,DF 为 y 轴,FP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利 用向量法能求出平面 DEF 与平面 PCD 所成的二面角(锐角)的余弦值. 【解答】证明: (1)连结 AC,交 DF 于 O,连结 OF, ∵AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2CD, E,F 分别是 PC,AB 的中点. ∴CD BF,∴四边形 CDFB 是平行四边形,∴DF∥BC,

∴O 是 AC 中点,∴OE∥PA, ∵PA?平面 DEF,OE? 平面 DEF, ∴PA∥平面 DEF. 解: (2)∵在四棱锥 P﹣ABCD 中底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90°, △APB 是等边三角形,且侧面 APB⊥底面 ABCD,F 是 AB 的中点, ∴DF⊥AF,PF⊥平面 ABCD, 以 F 为原点,FA 为 x 轴,DF 为 y 轴,FP 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 设 BC= CD= , =(0,﹣ ﹣ ,﹣ ,则 D(0,﹣ ) ,F(0,0,0) , ,0) , ) , =(﹣ , ) , =(﹣1,﹣ ,﹣ ) , =(0, ,0) ,C(﹣1,﹣ ,0) ,P(0,0, ) ,E(﹣

设平面 DEF 的法向量 =(x,y,z) , 则 ,取 z=1,得 =( ,0,1) ,

设平面 PCD 的法向量 =(a,b,c) , 则 ,取 b= ,得 =(0, ,﹣1) ,

cos<

>=

=

=﹣

, .

∴平面 DEF 与平面 PCD 所成的二面角(锐角)的余弦值为

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18.甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台主办的听曲猜哥歌名活动,在每一 轮活动中,依次播放三首乐曲,然后甲猜第一首,乙猜第二首,丙猜第三首.若 有一人猜错,则活动立即结束;若三人均猜对,则该小组进入下一轮.该小组最 多参加三轮活动.已知每一轮甲猜对歌名的概率是 ,乙猜对歌名的概率是 ,丙 猜对歌名的概率是 .甲、乙、丙猜对互不影响. (1)求该小组未能进入第二轮的概率; (2)记乙猜对歌曲的次数为随机变量 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (1)设“该小组未能进入第二轮”为事件 A,其对立事件为 ,则 P(A)=1 ﹣P ,即可得出.

(2)利用相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式即可得出. 【解答】解: (1)设“该小组未能进入第二轮”为事件 A,其对立事件为 ,则 P(A) =1﹣P =1﹣ = .

(2)由题意可得:ξ 的可能取值为 0,1,2,3. P ( ξ=0 ) = + P(ξ=3)= × × × = , P ( ξ=1 ) = × × + × ×

= , × × × = ,

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P(ξ=2)=1﹣P(ξ=0)﹣P(ξ=1)﹣P(ξ=3)= ∴ξ 的分布列为: ξ P ∴Eξ=0+1× +3× = . 0 1



2

3

19.已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,数列{bn}是公比大于 0 的等比数 列,且 b1=﹣2a1=2,a3+b2=﹣1,S3+2b3=7. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)令 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q>0,利用等差 数列与等比数列的通项公式即可得出.

(2)cn=

.对 n 分类讨论,分组求和,利用“错位相减法”与等比

数列的求和公式即可得出. 【解答】解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q>0, 且 b1=﹣2a1=2,a3+b2=﹣1,S3+2b3=7. ∴a1=﹣1,b1=2,﹣1+2d+2q=﹣1,3×(﹣1)+3d+2×2×q2=7, 解得 d=﹣2,q=2. ∴an=﹣1﹣2(n﹣1)=1﹣2n,bn=2n. (2)cn= .

①n=2k(k∈N*)时,数列{cn}的前 n 项和 Tn=T2k=(c1+c3+…+c2k﹣1)+(c2+c4+…+c2k) =2k+( +…+ ) ,

- 18 -

令 Ak= ∴ =

+…+ +…+

, + ,

∴ Ak= +



= +4 ×





可得 Ak=

﹣ ﹣

. . ﹣

∴Tn=T2k=2k+

② n=2k ﹣ 1 ( k ∈ N* )时,数列 {cn} 的前 n 项和 Tn=T2k ﹣ 2+a2k ﹣ 1=2 ( k ﹣ 1 ) + +2 =2k+ ﹣ .

∴Tn=

,k∈N*.

20.已知椭圆 C 与双曲线 y2﹣x2=1 有共同焦点,且离心率为 (1)求椭圆 C 的标准方程;



(1)设 A 为椭圆 C 的下顶点,M、N 为椭圆上异于 A 的不同两点,且直线 AM 与 AN 的斜率之积为﹣3 ①试问 M、N 所在直线是否过定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由; ②若 P 点为椭圆 C 上异于 M,N 的一点,且|MP|=|NP|,求△MNP 的面积的最小 值. 【考点】圆锥曲线的综合. 【分析】 (1)由题意,椭圆的焦点坐标为(0,± 的标准方程. ,得(k2+3)x2+2kmx+m2 ) , = ,由此能求出椭圆 C

(2)①设直线 MN 的方程为 x=ky+m,联立

- 19 -

﹣3=0.由此利用韦达定理、直线斜率,结合已知条件,能求出直线 MN 恒过(0, 0) . ②推导出 OP⊥MN, 设 OP 所在直线方程为 y=﹣ , 则 , ,

由此利用三角形面积公式、基本不等式性质,能求出 k=±1 时,△MNP 的面积最 小,并能求出最小值. 【解答】解: (1)由题意,椭圆的焦点坐标为(0,± 设椭圆方程为 ∴c= ,a= =1(a>b>0) , ,b=1, =1; ) , = ,

∴椭圆 C 的标准方程为

(2)①若 MN 的斜率不存在,设 M(x1,y1) ,N(x1,﹣y1) . 则 kAM?kAN= 而 = =﹣3,

,故不成立,∴直线 MN 的斜率存在,

设直线 MN 的方程为 x=ky+m, 联立 ,得(k2+3)x2+2kmx+m2﹣3=0.

∴x1+x2=﹣

,x1x2=







∵直线 AM 与直线 AN 斜率之积为﹣3. ∴kAM?kAN= ? =

=

- 20 -

=

=

=﹣3,

整理得 m=0. ∴直线 MN 恒过(0,0) . ②由①知 , ,

∵|MP|=|NP|,∴OP⊥MN, 当 k≠0 时,设 OP 所在直线方程为 y=﹣ 当 k=0 时,也符合上式, ∴
MNP=|OM|?|OP|=

,则





S ? = ?



=3

, 令 k2+1=t(t≥1) ,k2=t﹣1, =3 ∵t≥1,∴0 当 . 取最大值 4, ,

,即 t=2 时,﹣

∴当 k2=1,即 k=±1 时,△MNP 的面积最小,最小值为 .

21.设函数 f(x)=lnx﹣e1﹣x,g(x)=a(x2﹣1)﹣ . (1)判断函数 y=f(x)零点的个数,并说明理由; (2)记 h(x)=g(x)﹣f(x)+ ,讨论 h(x)的单调性;

- 21 -

(3)若 f(x)<g(x)在(1,+∞)恒成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题;根的存在性及根的个数 判断. 【分析】 (1)求出函数的导数,计算 f(1) ,f(e)的值,求出零点个数即可; (2)求出 h(x)的导数,通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间即可; (3)问题等价于 a(x2﹣1)﹣lnx> ﹣ = 在(1,+∞)恒成立,设 k(x)= ﹣

,根据函数的单调性求出 a 的范围即可.

【解答】解: (1)由题意得:x>0, ∴f′(x)= + >0,

故 f(x)在(0,+∞)递增; 又 f(1)=﹣1,f(e)=1﹣e1﹣e=1﹣ >0,

故函数 y=f(x)在(1,e)内存在零点, ∴y=f(x)的零点个数是 1; (2)h(x)=a(x2﹣1)﹣ ﹣lnx+e1﹣x+ ﹣ h′(x)=2ax﹣ = (x>0) , =ax2﹣a﹣lnx,

当 a≤0 时,h′(x)<0,h(x)在(0,+∞)递减, 当 a>0 时,由 h′(x)=0,解得:x=± ∴x∈(0, x∈( (舍取负值) ,

)时,h′(x)<0,h(x)递减,

,+∞)时,h′(x)>0,h(x)递增,

综上,a≤0 时,h(x)在(0,+∞)递减, a>0 时,h(x)在(0, (3)由题意得:lnx﹣ )递减,在( <a(x2﹣1)﹣ , 在(1,+∞)恒成立, ,+∞)递增;

问题等价于 a(x2﹣1)﹣lnx> ﹣ 设 k(x)= ﹣ = ,

- 22 -

若记 k1(x)=ex﹣ex,则 x>1 时, (x)>0,

(x)=ex﹣e,

k1(x)在(1,+∞)递增, k1(x)>k1(1)=0,即 k(x)>0, 若 a≤0,由于 x>1, 故 a(x2﹣1)﹣lnx<0,故 f(x)>g(x) , 即当 f(x)<g(x)在(1,+∞)恒成立时,必有 a>0, 当 a>0 时,设 h(x)=a(x2﹣1)﹣lnx, ①若 >1,即 0<a< 时, ) ,h(x)递减,x∈( )>0, ,+∞) ,h(x)递增,

由(2)得 x∈(1, 故 h( 即存在 x=

)<h(1)=0,而 k(

>1,使得 f(x)<g(x) ,

故 0<a< 时,f(x)<g(x)不恒成立; ②若 ≤1,即 a≥ 时, ,

设 s(x)=a(x2﹣1)﹣lnx﹣ + s′(x)=2ax﹣ + ﹣ ,

由于 2ax≥x,且 k1(x)=ex﹣ex>0, 即 < ,故﹣ >﹣ , ﹣ > = >0,

因此 s′(x)>x﹣ +

故 s(x)在(1,+∞)递增, 故 s(x)>s(1)=0, 即 a≥ 时,f(x)<g(x)在(1,+∞)恒成立, 综上,a∈[ ,+∞)时,f(x)<g(x)在(1,+∞)恒成立.

- 23 -

2017 年 3 月 30 日

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