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2016年5月2016届高三第四次全国大联考(江苏卷)数学卷(正式考试版)


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… …… …○ …… …… 内… …… …○ …… …… 装… …… …○ …… …… 订… …… …○ …… …… 线… …… …○…………

绝密★启用前

离心率为 _______.

2016 年第四次全国大联考【江苏版】
12. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 x2 ? y 2 ? 1 交 x 轴于 A, B 两点,且点 A 在点 B 左边,若直线

数学试卷
考试时间:理 150 分钟,文 120 分钟

x+ 3 y ? m ? 0 上存在点 P ,使得 PA ? 2 PB ,则 m 的取值范围为 _______.

第Ⅰ卷 必做题部分
一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案直接填写在 答题卡相应的位置 上. ........
_______. 1.已知全集 U ? {1, 2,3, 4}, 集合 A ? {1, 2}, B ? {2, 4} ,则集合 ? U ( A U B) 等于
2. 已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? 3 ? i ( i 是虚数单位) ,则 z 的模为 _______. 3. 已知一组数据: 8,10, a,12,11 的方差为 2 ,那么相对应的另一组数据:17, 21, 2a ? 1, 25, 23 的方 差为 _______. 4. 运行如图所示的伪代码,其运行后输出的结果为 ____. 5. 袋中有形状、大小都相同的五只球,其中 2 只红球,3 只 白球,从中一次随机摸出 2 只球,则至少有 1 只白球的概 率为 _______. 6. 已知 sin ? ? 2 cos ? ?
10 ,那么 tan 2? 的值为 _______. 2

??? ? ??? ? AB 上的动点,AB 与 OC 交于点 P,则 OP ? BP 的最小值是 13.扇形 AOB 中,弦 AB ? 1 ,C 为劣弧 ?

_______.
14.已知函数 h( x) ? ?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? f ( x), f ( x) ? g ( x) 1 3 , f ( x) ? x ? ax ? , g ( x) ? ? ln x ,若 h( x) ? 0 在 4 ? g ( x), f ( x) ? g ( x)

(0, ??) 上有三个不同的实数根,则实数 a 的取值范围为 _______.

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或 演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内 。 .....
15. (本小题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A、B、C 分别是边 a、b、c 的对角,且

p ←1 For k From 1 To 10 Step 3 p ← 2k ? p
End For Print p

m ? (cos A, ? sin A), n ? (cos B,sin B), m ? n ? cos 2C,sin A ? sin B ? 3sin Asin B ,
(Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)若 c ? 3 ,求 ?ABC 的面积. 16. (本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 E-ABCD 中,底面

第 4 题图

ABCD 是正方形,AC 与 BD 交于点 O, EC⊥底面 ABCD,F 为 BE 上一点,G 为 EO 中点. (Ⅰ)若 DE//平面 ACF,求证:F 为 BE 的中点; (Ⅱ)若 AB= 2 CE,求证:CG⊥平面 BDE. 17. (本小题满分 14 分)如图,等边三角形 OAB 的边长为

7. 已知正三棱柱的各条棱长均为 1,圆锥侧面展开图为半径 为 2 的半圆,那么这个正三棱柱与圆锥的体积比是 _______.

??? ? 1 ???? ??? ? 3 ??? ? ??? ? ???? 11 BC ? BD, BE ? AC ? , 8. 在 ?ABD 中, AB ? 2, AD ? 2 2, AE ? AD, 则 ? BAD 的值为 3 4 3 _______.
9. 已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 满足 Sn?2 ? 4Sn ? 3 , 且 S3 ? 0 , 则 a2 的值为 _______. 10. 已知正数 a, b, c 满足 4a ? 2b ? 25c ? 0 ,则 lg a ? lg c ? 2lg b 的最大值为 _______. 11.设 F 为双曲线

4 km. 现在线

段 OB 上取一点 D(不含线段 OB 端点) 建发电站向 A, B 两点供电. 如 果线段 DB 上每公里建设费用为 a 万元( a 为正常数) ,线段 AD 上每 公里建设费用为 3a 万元,设 ?ADO ? ? ,建设总费用为 S 万元. (Ⅰ) 写出 S 关于 ? 的函数关系式,并指出 ? 的取值范围; (Ⅱ) AD 等于多少时,可使建设总费用 S 最少?

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点,过点 F 作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为 2 a b ??? ? ??? ? A,垂线交另一条渐近线于 B 点,若向量 BF 与 FA 同向,且 3 AB ? OA ? OB ,则双曲线的

2

2

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江苏数学 第 2 页 共 4 页

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18. (本小题满分 16 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ,直线 x ? 2 为 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 2 a b 2

B. 【选修 4—2:矩阵与变换】 (本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设点 P(x,5)
?1 2 ? ? x? 在矩阵 M ? ? 对应的变换下得到点 Q(y ? 2,y),求 M ?1 ? ? . ? ?3 4 ? ? y?

椭圆的一条准线. 椭圆上两点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

???? ? ??? ? ??? ? (Ⅱ)若点 M 满足 OM ? OA ? 2OB ,且 x1x2

? 2 y1 y2 ? ?2 ,求证:点 M 在椭圆 C 上;

C.【选修 4—4:坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分)以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点 P 的直角坐标为 (1, 2) ,直线 l 过点 P ,且倾斜 角为
π 6

19. (本小题满分 16 分)已知数列 ?an ? 中任意连续三项的和为零,且 a2 ? 2a1 ? ?1. (Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 bn?1 ? bn an?1 (n ? N ), b1 ? a1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 的取值范
*

(Ⅰ)求直线 l 的参数方程和圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与圆 C 相交于 A, B 两点,求 PA ? PB . D. 【选修 4—5:不等式选讲】 (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? 域为 R . (Ⅰ)求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若 m 的最大值为 n ,当正数 a , b 满足
x ? 2 ? x ? 4 ? m 的定义

围.www.2

4 1 ? ? n 时,求 4 a ? 7b 的最小值. a ? 5b 3a ? 2b

20. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? . (Ⅰ) 若函数 f ( x) 在 x ? 1 处的切线过点 (0, a ) ,求 a 的值; (Ⅱ)若 0 ? a ? 1 ,求证: f ( 【必做题】 (第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 22.(本小题满分 10 分) 过直线 y ? ?2 上的动点 P 作抛物线 y ?

a x

a2 )?0; 2

(Ⅲ)若 f ( x) 恰有三个不同的零点,求 a 的取值范围.

数学Ⅱ

附加题部分【理科】
(Ⅱ)求证:直线 AB 过定点. 23. (本小题满分 10 分)

1 2 x 的两条切线 PA, PB ,其中 A,B 为切点. 4

21.【选做题】 (本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的答题区域内作答 .若 ....... ............ 多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) A. 【选修 4—1 几何证明选讲】 (本小题满分 10 分)如图,在锐角三 角形 ABC 中, AB ? AC ,以 AB 为直径的圆 O 与边 BC , AC 的交 点分别为 D, E ,且 DF ? AC 于点 F . (Ⅰ)求证: DF 是 ⊙O 的切线;

(Ⅰ)若切线 PA, PB 的斜率分别为 k1 , k2 ,求证: k1k 2 为定值;

设 f(n)=(a+b)n(n∈N*,n≥2) ,若 f(n)的展开式中,存在某连续 3 项,其二项式系数依 次成等差数列,则称 f(n)具有性质 P. (Ⅰ)求证:f(7)具有性质 P; (Ⅱ)若存在 n≤2016,使 f(n)具有性质 P,求 n 的最大值.

7 (Ⅱ)若 CD ? 3 , EA= ,求 AB 的长. 5
学易大联考 江苏数学 第 3 页 共 4 页 学易大联考 江苏数学 第 4 页 共 4 页

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

???? ? ??? ? ??? ? (Ⅲ)若点 M (?1,0) 满足 ? OM ? OA ? 2OB, 求实数 ? 的取值范围.

,圆 C : ? ? 6 sin ? .

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