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2011年高考试题解析数学10 圆锥曲线


年高考试题解析数学(文科) 2011 年高考试题解析数学(文科)分项版
10 圆锥曲线
一、选择题: 选择题 1. (2011 年高考山东卷文科 9) M( x0 , y0 )为抛物线 C: x = 8 y 上一点,F 为抛物线 C 9)设
2

的焦点,以 F 为圆心、 FM 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是 (A)(0,2) 【答案】C (B)[0,2] (C)(2,+∞) (D)[2,+∞)

9)已知直线 的焦点, 的对称轴垂直, 3. (2011 年高考海南卷文科 9)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直, l 与 C 两点,|AB|=12,P 的准线上一点, 的面积为( 交于 A,B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上一点,则 ?ABP 的面积为( A.18 【答案】C 【解析】因为 AB 过抛物线的焦点且与对称轴垂直,所以线段 AB 是抛物线的通径,长为 B.24 C.36 D.48 )

2 p = 12 , 所 以 p = 6 , 又 点 P 到 AB 的 距 离 为 焦 参 数 p , 所 以 ?ABP 的 面 积 为

1 p × 2 p = p 2 = 36 ,故选 C. 2
4. (2011 年高考安徽卷文科 3) 双曲线 2 x 2 ? y 2 = 8 的实轴长是

(A)2

(B) 2 2

(C) 4

(D) 4 2

【答案】C 【命题意图】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的性质.属容易题.

【解析】 2 x ? y = 8 可变形为

2

2

x2 y 2 ? = 1 ,则 a 2 = 4 , a = 2 , 2a = 4 .故选 C. 4 8

5.(2011 年高考广东卷文科 8)设圆 C 与圆 错误!未找到引用源。 外切,与直线 y = 0 错 8)设圆 外切, . 误!未找到引用源。相切.则 C 的圆心轨迹为( 相切. 的圆心轨迹为( 相切 A. 抛物线 . B. 双曲线 . C. 椭圆 . ) D. 圆 .

6. ( 2011 年 高 考 浙 江 卷 文 科 9) 已 知 椭 圆 C1 :

x2 y 2 + =1 (a>b>0)与双曲线 a 2 b2

C2 : x 2 ?

y2 = 1 有公共的焦点, C2 的一条渐近线与 C1 C2 的长度为直径的圆相交于 A, B 两 4

点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则 (A) a 2 = 【答案】 C 【解析】 :由 c1 恰好将线段 AB 三等分得

13 2

(B) a = 13
2

(C) b 2 =

1 2

(D) b = 2
2

? y = 2x 5 x 1 ? xA = a, = ? xA = 3x 由 ? 2 2 5 xA 3 ?x + y

∴x =

5 2 5 a, y = a 15 15 (

5a 2 2 5 2 ) ( a) 5a 2 5 Q( , a )在椭圆上,∴ 152 + 15 2 = 1 ? a 2 = 11b 2 15 15 a b

又Q a 2 ? b 2 = 5,∴ b 2 =

1 ,故选 C. 2

(2011 6)已知双曲线 7. (2011 年高考天津卷文科 6) 已知双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的左顶点与抛物线 a2 b2

y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点的距离为 4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为
(-2,-1),则双曲线的焦距为 2,-1),则双曲线的焦距为 A. 2 3 【答案】B B B. 2 5 C. 4 3 D. 4 5

p = 4 ,所以 a = 2 ,又因 2 1 b 1 为双曲线的一条渐近线过点(-2,-1),所以双曲线的渐近线方程为 y = ± x ,即 = ,所以 2 a 2
【解析】 由题意知,抛物线的准线方程为 x = ?2 ,所以 p = 4 ,又 a +

b = 1 ,即 c 2 = 5 , 2c = 2 5 ,选 B.
8. (2011 年高考福建卷文科 11) 11)设圆锥曲线 I’的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 I’上存在 点 P 满足 PF1 : F1 F2 : PF2 = 4:3:2,则曲线 I’的离心率等于 A.

1 3 或 2 2 1 C. 或2 2

B.

2 或2 3 2 3 D. 或 3 2

【答案】A 【解析】由 PF1 : F1 F2 : PF2 = 4:3:2,可设 PF1 = 4k , F1 F2 = 3k , PF2 = 2k ,若圆锥曲 线为椭圆,则

2a = 6k , 2c = 3k , e =

1 3 ;若圆锥曲线为双曲线,则 2a = 2k , 2c = 3k , e = ,故选 A. 2 2
2

9. (2011 年高考四川卷文科 11) 11)在抛物线 y=x +ax-5(a≠0)上取横坐标为 x1=-4,x2=2 的两 点, 经过两点引一条割线, 有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆 5 x 2 + 5 y 2 = 36 相切,则抛物线的顶点坐标是( ) (A) (-2,-9) (C) (2,-9) (B)(0,-5) (D)(1,6)

10. (2011 年高考陕西卷文科 2) 2)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x = ?2 ,则抛物线的 方程是 (A) y 2 = ?8 x 【答案】C 【解析】 :设抛物线方程为 y = ax ,则准线方程为 x = ?
2

(B)

y 2 = ?4 x (C) y 2 = 8 x

(D) y 2 = 4 x

a a 于是 ? = ?2 ? a = 8 故选 C 4 4

11. 2011 年高考湖南卷文科 6) ( 6)设双曲线 则 a 的值为( A.4 答案:C B.3 ) C.2 D.1

x2 y2 ? = 1(a > 0) 的渐近线方程为 3 x ± 2 y = 0, a2 9

解析:由双曲线方程可知渐近线方程为 y = ±

3 x ,故可知 a = 2 。 a

12. 2011 年高考湖北卷文科 4) ( 4)将两个顶点在抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 上,另一个顶点是此抛 物线焦点的正三角形个数记为 n,则 A. n = 0 答案:C B. n = 1 C. n = 2 D. n ≥ 3

P 解析:设满足条件的正三角形的三顶点为 A、B、F ( , 0) ,依题意可知,A、B 必关于 x 2

轴对称,故设 A( 得 | AF |=

2 y0 y2 , y0 ) ( y0 > 0) ,则 B ( 0 , ? y0 ) ,则 | AB |= 2 y0 ,故由抛物线定义可 2P 2P

2 y0 P 2 + ,则由 | AB |=| AF | ,解得 y0 ? 4 Py0 + P 2 = 0 ,由判别式计算得△>0, 2P 2

故有两个正三角形,可知选 C. 13.(2011 年高考辽宁卷文科 7) ( 7)已知 F 是抛物线 y = x 的焦点,A.B 是该抛物线上的两
2

点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 (A)

3 4

(B)1

(C)

5 4

(D)

7 4

答案: C 解析:设 A、B 的横坐标分别是 m、n,由抛物线定义,得 AF + BF = 3 =m+
m+n+

1 5 m+n 5 5 =3,故 m+n= , = ,故线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 。 2 2 2 4 4

1 1 +n+ = 4 4

二、填空题: 填空题: 14. (2011 年高考山东卷文科 15)已知双曲线 15)

x2 y2 x 2 y2 ? 2 = 1(a>0,b>0) 和椭圆 + =1 a2 b 16 9
.

有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为

16. (2011 年高考四川卷文科 14)双曲线 14) 那么点 P 到左准线的距离是 答案:16

x2 y2 ? = 1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 4, 64 36
.

解析:由双曲线第一定义,|PF1|-|PF2|=±16,因|PF2|=4,故|PF1|=20, (|PF1|=-12 舍去) ,设 P 到左准线的距离是 d,由第二定义,得

20 10 = ,解得 d = 16 . d 8

x2 y2 17.(2011 年高考全国卷文科 16) 年高考全国 全国卷文科 16)已知 F1、F2 分别为双曲线 C: =1 的左、右焦点, ( 9 27
点 A∈C,点 M 的坐标为(2,0),AM 为∠F1AF2 的平分线.则|AF2| = 已知 F1、F2 分别为双曲线 C: .

x2 y2 =1 的左、右焦点,点 A∈C,点 M 的坐标为(2,0),AM 9 27
.

为∠F1AF2∠的平分线.则|AF2| = 【答案】6

【解析】 Q F1 ( ?6, 0), F2 (6, 0) ,由角平分线的性质得 : 又 AF1 ? AF2 = 2 × 3 = 6

AF1 AF2

=

F1M MF2

=

8 =2 4

∴ AF2 = 6

18. 2011 年高考重庆卷文科 9) ( 9)设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A, B 两点,左焦点在 以 AB 为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为 A. (0, 2) 【答案】B 三、解答题: 解答题: 18. (2011 年高考山东卷文科 22) 22)(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C : B. (1, 2) C. (

2 ,1) 2

D. ( 2 , +∞ )

x2 + y 2 = 1 .如图所 3

示,斜率为 k (k>0) 且不过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点, 线段 AB 的中点为 E ,射线 OE 交椭圆 C 于点 G ,交直线 x = ?3 于点 D ( ?3, m ) .

(Ⅰ)求 m 2 + k 2 的最小值; (Ⅱ)若 OG = OD ? OE , (i)求证:直线 l 过定点;
2

(ii)试问点 B , G 能否关于 x 轴对称?若能,求出此时 ABG 的外接圆方程;若不能, 请说明理由. 【解析】 (Ⅰ)由题意:设直线 l : y = kx + n( n ≠ 0) ,

? y = kx + n ? 由 ? x2 消 y 得: (1 + 3k 2 ) x 2 + 6knx + 3n 2 ? 3 = 0 ,设 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) ,AB 的中 2 ? + y =1 ?3
点 E ( x0 , y0 ) ,则由韦达定理得: x1 + x2 =

?6kn ,即 1 + 3k 2 ?3kn ?3kn n x0 = , y0 = kx0 + n = ×k + n = ,所以中点 E 的坐标为 2 2 1 + 3k 1 + 3k 1 + 3k 2 ?3kn n 1 m E( , ) ,因为 O、E、D 三点在同一直线上,所以 kOE = K OD ,即 ? =? , 2 2 1 + 3k 1 + 3k 3k 3
解得

m=

1 1 ,所以 m 2 + k 2 = 2 + k 2 ≥ 2 ,当且仅当 k = 1 时取等号,即 m 2 + k 2 的最小值为 2. k k

m ? ?y = ? 3 x m ? (Ⅱ) 证明:由题意知:n>0,因为直线 OD 的方程为 y = ? x ,所以由 ? 2 (i) 得交点 3 ? x + y2 = 1 ?3 ?
G 的纵坐标为 yG =

m2 n 2 ,又因为 yE = , yD = m ,且 OG = OD ? OE ,所以 2 2 m +3 1 + 3k

m2 n 1 = m? ,又由(Ⅰ)知: m = ,所以解得 k = n ,所以直线 l 的方程为 2 2 m +3 1 + 3k k l : y = kx + k ,即有 l : y = k ( x + 1) ,令 x = ?1 得,y=0,与实数 k 无关,所以直线 l 过定点
(-1,0). (ii)假设点 B , G 关于 x 轴对称,则有 ABG 的外接圆的圆心在 x 轴上,又在线段 AB 的中 垂线上, 由(i)知点 G( (

?3 m +3
2

,

m m +3
2

) ,所以点 B( (

?3 m +3
2

,

?m m2 + 3

) ,又因为直线 l 过定点

?m
(-1,0),所以直线 l 的斜率为

m2 + 3 = k ,又因为 m = 1 ,所以解得 m 2 = 1 或 6,又因为 ?3 k +1 2 m +3
?3 1 , ) ,AB 的中垂线为 4 4

3 ? m 2 > 0 ,所以 m 2 = 6 舍去,即 n 2 = 1 ,此时 k=1,m=1,E (
2x+2y+1=0, 圆心坐标为 (?

1 ?3 1 5 1 2 5 2 , 0) , ( , ) ,圆半径为 G( , 圆的方程为 ( x + ) + y = . 2 2 2 2 2 4

综上所述, 点 B , G 关于 x 轴对称,此时 ABG 的外接圆的方程为 ( x + ) + y =
2 2

1 2

5 . 4

19. (2011 年高考江西卷文科 19) (本小题满分 12 分) 已知过抛物线 y = 2 px ( p > 0 ) 的焦点,斜率为 2 2 的直
2

线交抛物线于 A ( x1 , y2 ) , B ( x2 , y2 ) ( x1 < x2 )两点,且 AB = 9 . (1)求该抛物线的方程; (2) O 为坐标原点, C 为抛物线上一点,若 OC = OA + λ OB ,求 λ 的值. 【解析】 (1)直线 AB 的方程是

p y = 2 2 ( x ? ), 与y 2 = 2px联立,从而有4 x 2 ? 5 px + p 2 = 0, 2 5p ,由抛物线定义得: AB = x1 + x2 + p = 9 ,所以 p=4, 4

所以: x1 + x2 =

抛物线方程为: y 2 = 8 x
2 2 2 (2)由 p=4, 4 x ? 5 px + p = 0, 化简得 x ? 5 x + 4 = 0 ,从而

x1 = 1, x2 = 4, y1 = ?2 2 , y2 = 4 2 ,从而 A:(1, ? 2 2 ),B(4, 4 2 )
设 OC = ( x3, y3 ) = (1,?2 2 ) + λ ( 4,4 2 ) = (1 + 4λ ,?2 2 + 4 2λ ) ,又 y3 = 8x3 ,即
2 →

[2

2 (2λ ? 1) = 8(4 λ + 1 ) (2λ ? 1) 2 = 4λ + 1 ,解得 λ = 0, 或λ = 2 . ,即
2

]

20. (2011 年高考福建卷文科 18) 18)(本小题满分 12 分) 如图,直线 l :y=x+b 与抛物线 C :x2=4y 相切于点 A。 (1) 求实数 b 的值; (11) 求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.

【解析】 (I)由 ?

?y = x +b ?x = 4 y
2

得 x ? 4 x ? 4b = 0
2

(? )

因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 ? = ( ?4) 2 ? 4 × ( ?4b) = 0 ,解得 b = ?1 . (II)由(I)可知 b = ?1 ,故方程( ? )即为 x ? 4 x + 4 = 0 ,解得 x = 2 ,将其代入 x = 4 y ,得
2 2

y=1,故点 A(2,1). 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所以圆心 A 到抛物线 C 的准线 y=-1 的距离等于圆 A 的半 径 r, 即 r=|1-(-1)|=2,所以圆 A 的方程为 ( x ? 2) 2 + ( y ? 1) 2 = 4 . 【命题立意】本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与 方程思想、数形结合思想. 21. 2011 年高考湖南卷文科 21)已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴 ( 21) 的距离的等等于 1. (I)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (II)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1 , l2 ,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A, B , l2 与 轨迹 C 相交于点 D, E ,求 AD ? EB 的最小值. 解析: (I)设动点 P 的坐标为 ( x, y ) ,由题意为 ( x ? 1) + y ? | x |= 1.
2 2

uuur uuu r

化简得 y 2 = 2 x + 2 | x |, 当 x ≥ 0时, y 2 = 4 x;当x < 0时,y=0.、 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 , y 2 = 4 x ( x ≥ 0)和y=0(x < 0). (II)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0,设为 k ,则 l1 的方程为 y = k ( x ? 1) . 由?

? y = k ( x ? 1) ,得 k 2 x 2 ? (2k 2 + 4) x + k 2 = 0. 2 ? y = 4x

设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), 则 x1 , x2 是上述方程的两个实根,于是

4 , x1 x2 = 1 . k2 1 因为 l1 ⊥ l2 ,所以 l2 的斜率为 ? . k x1 + x2 = 2 +

设 D ( x3 , y3 ), B ( x4 , y4 ), 则同理可得 x3 + x4 = 2 + 4k , x3 x4 = 1
2

uuur uuu r uuur uuu uuu uuu r r r AD ? EB = ( AF + FD) ( EF + FB ) uuur uuu uuur uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r = AF EF + AF FB + FD EF + FD FB uuur uuu r uuu uuu r r =| AF | | FB | + | FD | | EF | 故 = ( x1 + 1)( x2 + 1) + ( x3 + 1)( x4 + 1) 4 ) + 1 + 1 + (2 + 4k 2 ) + 1 2 k 1 1 = 8 + 4(k 2 + 2 ) ≥ 8 + 4 × 2 k 2 2 = 16 k k uuur uuu r 1 2 当且仅当 k = 2 即 k = ±1 时, AD ? EB 取最小值 16. k = 1 + (2 +
22. (2011 年高考陕西卷文科 17) 年高考陕西卷文科 17)(本小题满分 12 分)设椭圆 C:

x2 y2 + = 1( a > b > 0 ) a2 b2

过点(0,4) ,离心率为 所截线段的中点坐标

3 4 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 5 5

解: (Ⅰ)将(0,4)代入 C 的方程得

16 c 3 a2 ? b2 9 = 1 ∴b=4 又 e = = 得 即 = b2 a 5 a2 25

1?

16 9 = , a 2 25

∴ a = 5 ∴C 的方程为

x2 y 2 + =1 25 16
4 4 的直线方程为 y = ( x ? 3) , 5 5 4 ( x ? 3) 代入C的方程, 5

( Ⅱ)过点 ( 3, 0 ) 且斜率为

设直线与C的交点为A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,将直线方程 y =
2

x 2 ( x ? 3) 3 ? 41 3 + 41 得 + = 1 ,即 x 2 ? 3 x ? 8 = 0 ,解得 x1 = , x2 = , 25 25 2 2



AB 的 中 点 坐 标 x =

x1 + x2 3 y + y2 2 6 = , y= 1 = ( x1 + x2 ? 6 ) = ? , 即 中 点 为 2 2 2 5 5

?3 6? ? ,? ? 。 ?2 5?
注:用韦达定理正确求得结果,同样给分。 23. (2011 年高考四川卷文科 21) 21)(本小题共 12 分)

x2 y2 3 过点 C (0,1) 的椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 ,椭圆与 x 轴交于两点 a b 2

A ( a, 0 ) 、 B(? a, 0) ,过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D ,并与 x 轴交于点 P ,直线 AC
与直线 BD 交于点 Q . (I)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长; (Ⅱ)当点 P 异于点 B 时,求证: OP ? OQ 为定值.

uuu uuur r

解 析 : I ) 因 为 椭 圆 过 C(1,0) , 所 以 b=1. 因 为 椭 圆 的 离 心 率 是 (

3 ,所以 2

c 3 x2 , 又a 2 = b 2 + c 2 ,故 a = 2, c = 3 ,椭圆方程为 + y 2 = 1 . = a 2 4 ? x2 ? 8 3 2 , ? + y = 1, ? x = x ?4 ? 7 或 + y = 1 ,由 ? 得? 当直线 l 过椭圆右焦点时,直线 l 的方程为 3 ? x + y = 1, ? y = ? 1 , ? 3 ? 7 ? ?

? 8 3 ? ? 1 ?2 16 ?8 3 ? ? x = 0, 则 C ( 0,1) , D ? ? ? ? 7 , ?1? ,故 | CD |= ? 7 ? + ? ? 7 ? 1? = 7 . ? ? ? ? y = 1. ? ? ? ? ? x (Ⅱ)直线 CA 的方程为 + y = 1 ①.设点 P ( x0 , 0 ) ( x0 ≠ ?2) ,则直线 AP 的方程为 2
x + y =1 x0
②.

2

把②代入椭圆方程,得 xD =

? 8 x0 x0 2 ? 4 ? 8 x0 ,从而可求 D ? , . 2 2 ? 4 + x0 2 ? 4 + x0 4 + x0 ?

因为 B(-2,0),所以直线 BD 的方程为 y =

x0 ? 2 ( x + 2) 2 ( x0 + 2 )

③,

由①③可得 xQ =

? 4 2? 4 ,从而求得 Q ? ,1 ? ? . x0 x0 ? ? x0

uuu uuur r ? 4 2? OP ? OQ = x0 ? + 0 ? ?1 ? ? = 4 , x0 ? x0 ?
所以 OP ? OQ 为定值. 24.(2011 年高考全国卷文科 22) (本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) ( 年高考全国 全国卷文科 .........

uuu uuur r

y2 已知 O 为坐标原点, 为椭圆 C : x + F = 1 在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且斜率为 ? 2 的 2
2

直线 l 与 C 交与 A、B 两点,点 P 满足 OA + OB + OP = 0. (Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上. 【解析】(Ⅰ)证明:由 x +
2

uuu uuu uuu r r r

y2 = 1得F (0,1) , l : y = ? 2 x + 1 , 2

? y = 1 ? 2x ? 得4 x 2 ? 2 2 x ? 1 = 0 由? y2 2 =1 ?x + ? 2
设 A( x1 , y1 ), B ( x1 , y1 ), 则x1 =

2 2 ? 8 ? 4 × 4 × (?1) 2? 6 = 2× 4 4

x2 =

2 2 + 8 ? 4 × 4 × (?1) 2+ 6 2? 6 3 +1 = , y1 = ? 2 × +1 = , 2× 4 4 4 2

? 2 r r r 2+ 6 1 ? 3 uuu uuu uuu ? x p = ?( x1 + x2 ) = ? y2 = ? 2 × +1 = Q OA + OB + OP = 0. ∴ ? 2 4 2 ? y = ? ( y + y ) = ?1 1 2 ? p
xp2 + y p2

2

= (?

2 2 12 ) + = 1 故点 P 在 C 上 2 2 2 2 , ?1) ,Q P 关于点 O 的对称点为 Q,∴ Q ( ,1) , 2 2

(Ⅱ)法一:点 P ( ?

K AQ K AP

3 +1 2 ( ) ?1 1 ? y1 ?1 ? y1 y12 ? 1 2 = ? = = = ?1 ,即 ∠PAQ = 90o ,同理 1 2 2 2 2? 6 2 1 ? x1 ? ? x 1 x1 ? ( ) ? 2 2 2 4 2

K PB K BQ = ?1 即 ∠PBQ = 90o ,∴ ∠PAQ + ∠PBQ = 180o A、P、B、Q 四点在同一圆上.
法二:由已知有 Q?

? 2 ? 2 ? ? 2 ,1? 则 PQ 的中垂线为: y = ? 2 x 设 A 、 B 的中点为 D ( x3 , y3 ) ? ?

? x1 + x2 2 = ? x3 = ? 2 4 ? y1 + y2 ? 2 x1 + 1 + ? 2 x1 + 1 1 ?y = = = ∴? 3 2 2 2 ?

(

) (

)

∴ D? ?

? 2 1? , ? 则 AB 的中垂线为: y = 2 x + 1 4 2? 2 4 ? ?
'

则 PQ 的中垂线与 AB 的中垂线的交点为 O ? ? ?

? ?

2 1? , ? ∴ | PO ' |=| QO ' |= 3 11 8 8? 8 ?

? 2? 1 ? ? | 2 ×?? 2 1? ? 8 ? + 8 ?1| 3 3 , ? 到直线 AB 的距离为 O ?? ? ? ? 8 8? d= = ? ? 8 3
'

| AB |=

(x1 ? x2 )2 + ( y1 ? y2 )2
2

= 3 ( x1 + x2 ) ? 4 x1 x2 =
2

[

]

3 2 2

∴ | AO ' |=| BO ' |=

3 11 ? | AB | ? 2 即 | AO ' |=| BO ' |=| PO ' |=| QO ' | ? ? +d = 8 ? 2 ?

∴ A 、 P 、 B 、 Q 四点在同一圆上。 25. (2011 年高考湖北卷文科 21) (本小题满分 13 分) 平面内与两定点 A1 ( ?a , 0), A2 (a , 0)(a > 0) 连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹, 加 上 A1、A2 两点所在所面的曲线 C 可以是圆、椭圆或双曲线. (Ⅰ)求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 的位置关系; (Ⅱ)当 m=-1 时,对应的曲线为 C1:对给定的 m ∈ (?1, 0) U (0, +∞) ,对应的曲线为 C2, 设 F1、F2 是 C2 的两个焦点,试问:在 C1 上,是否存在点 N,使得△F1NF2 的面 积 S = m a 2 ,若存在,求 tan F1 NF2 的值;若不存在,请说明理由. 本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识,同时考查推理运算的能力,以及 分类与整合和数形结合的思想. (1)设动点为 M,其坐标(x, y). 解析:

当 x ≠ ± a 时,由条件可得 km1 ? km2 =

y y y2 ? = 2 = m, x ? a x + a x ? a2

即 mx 2 ? y 2 = ma 2 ( x ≠ ± a). 又 A1 (? a, 0), A2 ( a,0) 的坐标满足 mx 2 ? y 2 = ma 2 . 故依题意,曲线 C 的方程为 mx 2 ? y 2 = ma 2 . 当 m < ?1 时,曲线 C 的方程为
x2 y2 + = 1 ,C 是焦点在 y 轴上的椭圆; a 2 ?ma 2

当 m = ?1 时,曲线 C 的方程为 x 2 + y 2 = a 2 ,C 是圆心在原点的圆; 当 ?1 < m < 0 时,曲线 C 的方程为 当 m > 0 时,曲线 C 的方程为 x2 y2 + = 1 ,C 是焦点在 x 轴上的椭圆; a 2 ?ma 2

x2 y2 ? = 1 ,C 是焦点在 x 轴上的双曲线. a1 ? ma 2

(2)由(1)知,当 m = ?1 时,C1 的方程为 x 2 + y 2 = a 2 ; 当 m ∈ ( ?1, 0) U (0, +∞ ) 时,C2 的两个焦点分别为 F1 (? a 1 + m , 0), F2 (a 1 + m , 0) . 对于给定的 m ∈ ( ?1, 0) U (0, +∞ ) ,C1 上存在点 N ( x0 , y0 )( y0 ≠ 0) 使得 S =| m | a 2 的 充要条件是
2 2 ? x0 + y0 = a 2 , y0 ≠ 0 ① ? ?1 2 ? ? 2a 1 + m | y0 |=| m | a . ② ?2

由①得 0 <| y0 |≤ a ,由②得 | y0 |= ① ②

|m|a 1+ m

.

当0 <

|m|a 1+ m

≤ a, 即

1? 5 1+ 5 ≤ m < 0 ,或 0 < m ≤ 时. 2 2

存在点 N, 使 S =| m | a 2 ; 当
|m|a 1+ m > a, 即 ?1 < m < 1? 5 1+ 5 ,或 m > 时, 2 2

不存在满足条件的点 N.
1+ 5 1+ 5 当 m ∈[ , 0) U (0, ] 时, 2 2 uuuu r uuuu r 由 NF1 = (? a 1 + m ? x0 , ? y0 ), NF2 = (a 1 + m ? x0 , ? y0 ) ,
uuuu uuuu r r 2 2 可得 NF1 ? NF2 = x0 ? (1 + m)a 2 + y0 = ? ma 2 .

uuuu r 令 | NF1 |= r1 ,

uuuu r | NF2 |= r2 ,

∠F1 NF2 =θ

uuuu uuuu r r ma 2 则由 NF1 ? NF2 = r1r2 cos θ = ?ma 2 , 可得 r1r2 = , cos θ

1 ma 2 sin θ 1 从而 S = r1r2 sin θ = ? = ? ma 2 tan θ , 于是由 S =| m | a 2 . 2 2 cos θ 2 1 2|m| 可得 ? ma 2 tan θ =| m | a 2 ,即 tan θ = ? . 2 m

综上可得:
1? 5 当 m ∈[ , 0) 时,在 C1 上,存在点 N,使得 S =| m | a 2 ,且 tan F1 NF2 = 2; 2

当 m ∈ (0,

1+ 5 ] 时,在 C1 上,存在点 N,使得 S =| m | a 2 ,且 tan F1 NF2 = ?2; ; 2 1? 5 1+ 5 )U( , +∞) 时,在 C1 上,不存在满足条件的点 N. 2 2

当 m ∈ (?1,

26. 2011 年高考浙江卷文科 22) ( 22)(本题满分 15 分)如图,设 P 是 抛物线 C1 : x 2 = y 上动点。圆 C2 : x 2 + ( y + 3) 2 = 1 的圆心为点 M, 过点 P 做圆 C2 的两条切线,交直线 l : y = ?3 于 A, B 两点。 (Ⅰ) 求 C2 的圆心 M 到抛物线 C1 准线的距离。 (Ⅱ) 是否存在点 P , 使线段 AB 被抛物线 C1 在点 P 处得切线平分, 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。 【解析】(Ⅰ)由 x 2 = y 得准线方程为 y = ? : 抛物线 c1 的准线的距离为 ?

1 ,由 x 2 + ( y + 3) 2 = 1 得 M (0, 3) ,圆心 M 到 4

1 11 ? (?3) = 4 4
2

(Ⅱ) 设点 P 的坐标为 ( x0 , x0 ) 抛物线 C1 在点 P 处的切线交直线 l 于点 D , 再设 A, B, D 横 坐标分别为 x A , xB , xD , 过点 P ( x0 , x0 ) 的抛物线 C1 的切线方程为 y ? x0 = 2 x0 ( x ? x0 ) (1)
2 2

当 x0 = 1 时,过点 P (1,1) 与圆 C2 的切线 PA 为 y ? 1 =
xA =

15 ( x ? 1) 可得 8

17 , xB = 1, xD = ?1 ,xA + xB ≠ 2 xD ; x0 = ?1 时, 当 过点 P (?1,1) 与圆 C2 的切线 PA 15 15 17 为 y ? 1 = ? ( x + 1) 可得 x A = ?1, xB = , xD = ?1 , xA + xB ≠ 2 xD ,所以 x0 2 ? 1 ≠ 0 。 8 15
设切线 PA , PB 的斜率为 k1 , k 2 则 PA : y ? x0 = k1 ( x ? x0 ) (2) PB :
2

y ? x0 2 = k2 ( x ? x0 )

18)( 27. (2011 年高考天津卷文科 18)(本小题满分 13 分) 设椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P (a, b) 满足 | PF2 |=| F1 F2 | . 的左、 a2 b2

(Ⅰ)求椭圆的离心率 e ;
2 2 两点. (Ⅱ)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点.若直线 PF2 与圆 ( x + 1) + ( y ? 3) = 16 相交于

M,N 两点,且|MN|= 两点,

5 |AB|,求椭圆的方程. |AB|,求椭圆的方程. 求椭圆的方程 8
2 2

【解析】Ⅰ) F1 ( ?c, 0) , 2 (c, 0) c > 0 )因为 | PF2 |=| F1 F2 | , ( 设 F ( , 所以 ( a ? c ) + b = 2c , 整理得

c c 1 2( ) 2 + ? 1 = 0 ,即 2e 2 + e ? 1 = 0 ,解得 e = . a a 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a = 2c, b =

3c ,可得椭圆方程为 3 x 2 + 4 y 2 = 12c 2 ,直线 PF2 的方程为

y = 3( x ? c) ,
A,B 两点坐标满足方程组 ? 所以 A,B 两点坐标为 (

?3 x 2 + 4 y 2 = 12c 2 ? ? y = 3( x ? c) ?

,消 y 整理得 5 x ? 8cx = 0 ,解得 x = 0 或
2

8c , 5

8c 3 3 16c , c) , (0, ? 3c) ,所以由两点间距离公式得|AB|= , 5 5 5

于是|MN|=
2

5 3 |2+c| |AB|= 2c ,圆心 ( ?1, 3) 到直线 PF2 的距离 d = , 8 2 | MN | 2 3 ) = 4 2 , 所 以 (2 + c) 2 + c 2 = 16 , 解 得 c = 2 , 所 以 椭 圆 方 程 为 2 4

因 为 d +(

x2 y 2 + = 1. 16 12
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、 直线的方程、 两点间的距离公式、 【命题意图】 命题意图】 点到直线的距离公式、 直线与圆的位置关系等基础知识, 考查用代数方法研究圆锥曲线的性 质及数形结合的数学思想,考查解决问题能力与运算能力. 28. (2011 年高考江苏卷 18) 18)如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, N 分别是椭圆 M、

x2 y2 + =1 4 2

的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k (1)当直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; P (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB B 【解析】 (1)因为 M ( ?2, 0) 、 N (0, 2) , M A N C x y

2 所以 MN 的中点坐标为(-1, ),又因为直线 PA 平分线段 MN, 2
所以 k 的值为 ?

2 . 2

? y = 2x 2 4 2 4 ? (2)因为 k=2,所以直线 AP 的方程为 y = 2 x ,由 ? x 2 y 2 得交点 P( , )、 ? , ? ), A( 3 3 3 3 =1 ? + 2 ?4
因为 PC⊥x 轴,所以 C( 以

2 2 , 0 ),所以直线 AC 的斜率为 1,直线 AB 的方程为 y = x ? ,所 3 3

2 4 2 | ? ? | 2 2 点 P 到直线 AB 的距离 d= 3 3 3 = . 3 2
(3)法一:由题意设 P ( x0 , y0 ), A( ? x0 , ? y0 ), B ( x1 , y1 ), 则C ( x0 , 0) ,

Q A、C、B 三点共线,∴

y y +y y1 = 0 = 1 0 , 又因为点 P、B 在椭圆上, x1 ? x0 2 x0 x1 + x0



x0 2 y0 2 x +x x2 y2 + = 1, 1 + 1 = 1 ,两式相减得: k PB = ? 0 1 4 2 4 2 2( y0 + y1 ) y0 x +x ( y + y )( x + x ) [ ? 0 1 ] = ? 1 0 0 1 = ?1 x0 2( y0 + y1 ) ( x1 + x0 )( y0 + y1 )

∴ k PA k PB =
∴ PA ⊥ PB

法二:设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), A,B中点N(x 0 ,y 0 ),则P(-x1 , ? y1 ),C(-x1 , 0) ,

Q A、C、B 三点共线,∴

y2 y ?y y = 2 1 = 1 = k AB , 又因为点 A、B 在椭圆上, x2 + x1 x2 ? x1 2 x1



y x2 2 y2 2 x2 y2 1 + = 1, 1 + 1 = 1 ,两式相减得: 0 = ? , 4 2 4 2 x0 2k AB y0 y1 1 =? × 2k AB = ?1 ,Q ON PB,∴ PA ⊥ PB . x0 x1 2k AB

∴ kON k PA =

29. (2011 年高考辽宁卷文科 21) (本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆 C1 的中心在圆点 O,长轴左、右端点 M、N 在 x 轴上,椭圆 C1 的短轴为 MN,且 C1,C2 的离心率都为 e,直线 l⊥MN,l 与 C1 交于两点,与 C1 交于两点,这四点 按纵坐标从大到小依次为 A、B、C、D.

(I)设 e=

1 ,求|BC|与|AD|的比值; 2

(II)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO//AN,并说明理由. 解析: (I)因为 C1,C2 的离心率相同,故依题意可设

C1 :

x2 y 2 b2 y 2 x2 + 2 = 1, C2 : 4 + 2 = 1, ( a > b > 0 ) 。 a2 b a a
? a 2 2? ? b 2 2? a ? t ? , B ? t, a ?t ?。 ? b ? ? a ?

设直线 l : x = t (| t |< a ) 分别和 C1,C2 联立,求得 A ? t ,

当e =

1 3 时, b = a ,分别用 yA,yB 表示 A、B 的纵坐标,可知 2 2

2 | yB | b 2 3 |BC|:AD|= = = . 2 | yA | a 2 4
(II)t=0 时的 l 不符合题意,t≠0 时,BO//AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO 与 AN 的斜率 kAN 相 等,即

b 2 2 a 2 2 a ?t a ?t a b = , t t?a
解得 t = ?

ab 2 1 ? e2 = ? 2 ?a 。 a2 ? b2 e
1 ? e2 2 < 1 ,解得 < e < 1。 2 e 2

因为 | t |< a ,又 0 < e < 1 ,所以

所以当 0 < e ≤

2 2 时, 不存在直线 l, 使得 BO//AN; 当 < e < 1 时, 存在直线 l 使得 BO//AN。 2 2

30.(2011 年高考安徽卷文科 17) (2011 17)(本小题满分 13 分) 设直线 l1 : y = k1x+1,l2 : y=k 2 x ? 1,其中实数k1 ? k 2满足k1k 2 +2 = 0, (I)证明 l1 与 l2 相交; (II)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x +y =1 上. 【命题意图】 :本题考察直线与直线的位置关系,线线相交的判断与证明,点在线上的判 断与证明,椭圆方程等基本知识,考察反证法的证明思路、推理论证能力和运算求解能力。 【解析】 (1) : (反证法)假设 l1 与 l2 不相交,则 l1 与 l2 必平行, ∴ k1 =k 2 代入
2 2

k 1k 2 + 2 = 0 得
2 k1 + 2 = 0 ,与 k1 是实数相矛盾。从而 k1 ≠ k 2 ,即 l1 与 l2 相交。

(2) (方法一)由 ?

? y = k1 x + 1 得交点 p 的坐标(x,y)为 y = k2 x ?1 ?

2 ? ?x = k ? k ? 2 1 , ? k2 + k1 ?y = ? k2 ? k1 ?


2x 2 +y 2 =2(

2 2 k2 + k1 2 8 + (k2 + k1 ) 2 8 + k12 + k22 + 2k1k2 k12 + k22 + 4 ) +( ) = = = 2 =1 k2 ? k1 k2 ? k1 (k2 ? k1 ) 2 k12 + k22 ? 2k1k2 k1 + k22 + 4

所以 l1 与 l2 的交点 p 的(x,y)在椭圆 2x 2 +y 2 =1 上 (方法二) l1 与 l2 的交点 p 的(x,y)满足: ?

? y = k1 x + 1 ,Q x ≠ 0 ,从而 ? y = k2 x ?1

? ? k1 = ? ? ?k = ? 2 ?

y ?1 y ?1 y + 1 x ,代入 k1k 2 + 2 = 0 得 ? + 2 = 0 ,整理得 y +1 x x x

2x 2 +y 2 =1
所以 l1 与 l2 的交点 p 的(x,y)在椭圆 2x 2 +y 2 =1 上 【解题指导】 :两直线 l1 : y = k1x+b1,l2 : y=k 2 x + b2 的位置关系判定方法:

(1) l1 / / l2 ? k1 =k 2 , 且b1 ≠ b2 (2) l1与 l 2 相 交 ? k1 ≠ k 2 (3) l1与l2重合 ? k1 = k 2 , 且b1 = b2 证明两数不等可采用反证法的思路。 点在线上的判断与证明只要将点的坐标代入曲线方程判断其是否成立即可, 或求出交点的轨 迹方程并判断与所给的曲线方程是否一致即可。本题属于中档题。 31.(2011 年高考广东卷文科 21)(本小题满分 14 分) 21)(本小题满分 . 在平面直角坐标系 xOy 上一点, 中,直线 l : x = ?2 交 x 轴于点 A,设 P 是 l 上一点,M 是线段 OP ,

的垂直平分线上一点, 的垂直平分线上一点,且满足 ∠MPO = ∠AOP . 上运动时, 的轨迹 的方程; (1) 当点 P 在 l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; ) 上动点, 的最小值, (2)已知 T (1, ?1) .设 H 是 E 上动点,求 | HO | + | HT | 的最小值,并给出此时点 H 的坐 ) 标; 有且只有两个不同的交点, (3) ) 过点 T (1, ?1) 且不平行于 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点, 求直线 l1 的 的取值范围. 斜率 k 的取值范围. 【解析】 解析】

()设点M ( x, y ),Q M 是线段OP的垂直平分线上的点 ∴|MP |=| MO | 1 Q ∠MPO = ∠AOP ∴ AO || MP Q ∠OAP = 900 ∴∠MPA = 900 ∴点M 到点O的距离和点O到直线x = ?2的距离相等 ∴点M 的轨迹是抛物线,点O是焦点,直线x=-2是准线 ∴ x2 + y 2 =| x ? (?2) | ∴ y 2 = 4( x + 1) ∴点M 的轨迹E的方程为y 2 = 4( x + 1). (2)由(1)得点O是抛物线的焦点,过点H作直线l的垂线,垂足为F, |HO|+|HT|=|HF|+|HT| ∴当F , H , T 三点在一条直线上时, |HF|+|HT|取最小值,此时HO|+|HT|最小=1-(-2)=3 此时H(x,-1) 3 3 ∴H (- ,-1). 4 4 (3)设直线的方程为y+1=k(x-1) ∴1=4(x+1) ∴ x=?y+1=k(x-1) ∴? 2 消去y得k 2 x 2 ? 2( k 2 + k + 2) x + k 2 + 2k ? 3 = 0 ?y = 4( x + 1) 当k = 0时,显然没有两个交点 当k ≠ 0时,? =4(k 2 + k + 2) 2 -4k 2 ( k 2 + 2k ? 3) > 0 ∴ 2k 2 + k + 1 > 0 ∴ k ∈ R 综合得斜率k的取值范围为k ∈ R且k ≠ 0.

32. 2011 年高考重庆卷文科 21) ( 21)(本小题满分 12 分。 (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分) 如题(21)图,椭圆的中心为原点 0,离心率 e= (Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)设动点 P 满足: OP = OM + 2ON ,其中 M、N 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?

2 ,一条准线的方程是 x = 2 2 2

uuu v

uuuu v

uuuv

1 ,问:是否存在定点 F,使得 PF 与点 P 到直线 l: x = 2 10 的 2

距离之比为定值;若存在,求 F 的坐标,若不存在,说明理由。

题(21)图 解: (I)由 e = 解得 a = 2, c =

c 2 a2 = , = 2 2, a 2 c
2, b 2 = a 2 ? c 2 = 2 ,故椭圆的标准方程为

x2 y 2 + = 1. 4 2
(II)设 P ( x, y ), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则由

uuu uuuu r r uuur OP = OM + 2ON 得
( x, y ) = ( x1 , y1 ) + 2( x2 , y2 ) = ( x1 + 2 x2 , y1 + 2 y2 ),

即x = x1 + 2 x2 , y = y1 + 2 y2 .
因为点 M,N 在椭圆 x 2 + 2 y 2 = 4 上,所以
2 2 x12 + 2 y12 = 4, x2 + 2 y2 = 4 ,

故 x + 2 y = ( x1 + 4 x2 + 4 x1 x2 ) + 2( y1 + 4 y2 + 4 y1 y2 )
2 2 2 2 2 2

2 2 = ( x12 + 2 y12 ) + 4( x2 + 2 y2 ) + 4( x1 x2 + 2 y1 y2 )

= 20 + 4( x1 x2 + 2 y1 y2 ).
设 kOM , kON 分别为直线 OM,ON 的斜率,由题设条件知

kOM ? kON =

y1 y2 1 = ? , 因此 x1 x2 + 2 y1 y2 = 0, x1 x2 2

所以 x 2 + 2 y 2 = 20. 所以 P 点是椭圆

x2 (2 5)2

+

y2 ( 10) 2

= 1 上的点,该椭圆的右焦点为 F ( 10, 0) ,离心率

e=

2 , 直线l : x = 2 10 是该椭圆的右准线,故根据椭圆的第二定义,存在定点 2

F ( 10, 0) ,使得|PF|与 P 点到直线 l 的距离之比为定值。


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