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2017届高三数学二轮复习第1部分技法强化训练(1)函数与方程思想理

技法强化训练(一) 函数与方程思想 题组 1 运用函数与方程思想解决数列、不等式等问题 1.(2016·安阳模拟)已知{an}是等差数列,a1=1,公差 d≠0,Sn 是其前 n 项和,若 a1, a2,a5 成等比数列,则 S8 的值为( A.16 C.64 2 2 ) B.32 D.62 2 C 由题意可知 a =a1a5,即(1+d) =1×(1+4d), 解得 d=2,所以 an=1+(n-1)×2=2n-1. ∴S8= x a1+a8 2 y -y =4×(1+15)=64.] -x 2.若 2 +5 ≤2 +5 ,则有( A.x+y≥0 C.x-y≤0 x -x -y ) B.x+y≤0 D.x-y≥0 y x -x B 原不等式可化为 2 -5 ≤2 -5 , 构造函数 y=2 -5 , 其为 R 上的增函数, 所以有 x≤ -y,即 x+y≤0.] 3.若关于 x 的方程 x +2kx-1=0 的两根 x1,x2 满足-1≤x1<0<x2<2,则 k 的取值范围 是( ) 2 ? 3 ? A.?- ,0? ? 4 ? ? 3? C.?0, ? ? 4? 2 ? 3 ? B.?- ,0? ? 4 ? ? 3? D.?0, ? ? 4? 2 B 构造函数 f(x)=x +2kx-1, 因为关于 x 的方程 x +2kx-1=0 的两根 x1, x2 满足-1≤x1 <0<x2<2, f - , ? ? <0, 所以?f ? >0, ?f -2k≥0, ? ? 即?-1<0, ? ?4k+3>0, 3 ? 3 ? 所以- <k≤0,所以 k 的取值范围是?- ,0?.] 4 ? 4 ? 4.(2016·邯郸模拟)已知数列{an}满足 a1=60,an+1-an=2n(n∈N ),则 的最小值为 ________. 29 2 由 an+1-an=2n,得 * an n an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =2(n-1)+2(n-2)+…+2+60 =n -n+60. 2 an n2-n+60 60 ∴ = =n+ -1. n n n 1 60 令 f(x)=x+ -1,易知 f(x)在(0,2 15)上单调递减,在(2 15,+∞)上单调递增. x a7 60 102 * 又 n∈N ,当 n=7 时, =7+ -1= , 7 7 7 a8 60 29 当 n=8 时, =8+ -1= . 8 8 2 又 29 102 an 29 < ,故 的最小值为 .] 2 7 n 2 1 2 5.(2016·郑州模拟)已知函数 f(x)=xln x+a,g(x)= x +ax,其中 a≥0. 2 (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与曲线 y=g(x)也相切,求 a 的值; 1 (2)证明:x>1 时,f(x)+ <g(x)恒成立. 2 【导学号:85952003】 解] (1)由 f(x)=xln x+a,得 f(1)=a, f′(x)=ln x+1,所以 f′(1)=1.1 分 所以曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线为 y=x+a-1.因为直线 y=x+a-1 与曲线 y= g(x)也相切, 1 2 所以两方程联立消元得 x +ax=a+x-1, 2 1 2 即 x +(a-1)x+1-a=0,3 分 2 1 2 2 所以 Δ =(a-1) -4× ×(1-a)=0,得 a =1. 2 因为 a≥0,所以 a=1.4 分 1 1 2 1 (2)证明:x>1 时,f(x)+ <g(x)恒成立,等价于 x +ax-xln x-a- >0 恒成立. 2 2 2 1 2 1 令 h(x)= x +ax-xln x-a- , 2 2 则 h(1)=0 且 h′(x)=x+a-ln x-1.6 分 1 x-1 令 φ (x)=x-ln x-1,则 φ (1)=0 且 φ ′(x)=1- = ,8 分 x x 所以 x>1 时,φ ′(x)>0,φ (x)单调递增, 所以 φ (x)>φ (1)=0. 又因为 a≥0,所以 h′(x)>0,h(x)单调递增,所以 h(x)>h(1)=0, 1 2 1 所以 x>1 时, x +ax-xln x-a- >0 恒成立,11 分 2 2 1 即 x>1 时,f(x)+ <g(x)恒成立.12 分 2 题组 2 利用函数与方程思想解决几何问题 2 6.(2016·山西四校联考)设抛物线 C:y =3px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5, 若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( A.y =4x 或 y =8x C.y =4x 或 y =16x 2 2 2 2 2 2 ) 2 B.y =2x 或 y =8x D.y =2x 或 y =16x 2 2 2 3p 3p 2 9p C 由抛物线的定义可知 MF=xM+ =5,∴xM=5- ,yM=15p- ,故以 MF 为直径的圆 4 4 4 的方程为(x-xM)(x-xF)+(y-yM)(y-yF)=0, 3p?? 3p? ? 即?0-5+ ??0- ?+(2-yM)(2-0)=0. 4 ?? 4? ? 15p 9p yM 4 16 ∴yM=2+ - =2+ ? yM=4,p= 或 . 8 32 8 3 3 ∴C 的方程为 y =4x 或 y =16x.] 2 2 2 2 图1 7.如图 1 所示,在单位正方体 ABCD?A1B1C1D1 的面对角线 A1B 上存在一点 P,使得 AP+D1P 最短,则 AP+D1P 的最小值是( A.2+ 2 C. 2+ 2 C 设 A1P=x(0≤x≤ 2). 在△AA1P 中, ) B.2+2 2 D. 2+2 2 AP= 12+x2-2×1×x×cos 45°= x2- 2x+1, 在 Rt△D1A1P 中,

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