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复合函数的导数学习教育课件PPT


3.4复合函数的导数 一、复习与引入: 1. 函数的导数的定义与几何意义. 2.常见函数的导数公式. 3.导数的四则运算法则. 4.例如求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式 展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它 的办法求导呢? 又如我们知道函数y=1/x2的导数是 y?=-2/x3,那么函数 y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢? 为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算 法则,这就是复合函数的导数. 二、新课——复合函数的导数 1.复合函数的概念: 对于函数y=f[? (x)],令u= ? (x),若y=f(u)是中间变量 u的函数, u= ? (x)是自变量x的函数,则称y=f[? (x)] 是自变量x的复合函数. 2.复合函数的导数: 设函数 u ? ? ( x ) 在点x处有导数 u?x ? ? ?( x),函数y=f(u)在 点x的对应点u处有导数 y?u ? f ?(u) ,则复合函数 y ? f [? ( x )] 在点x处也有导数,且 y?x ? y?u ? u?x ; 或记 f x?[? ( x )] ? f ?(u)? ?( x ). 如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以有,令y=u2,u =3x-2,则 y?u ? 2u, u?x ? 3, 从而 y?x ? y?u ? u?x ? 18x ? 12 .结果与我 们利用导数的四则运算法则求得的结果完全一致. 在书写时不要把 f x?[? ( x)]写成 f ?[? ( x)],两者是不完全 一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变 量? ( x ) 的求导. 3.复合函数的求导法则: 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间 变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数. 法则可以推广到两个以上的中间变量. 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关 系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变 量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接 求导,就不必再选其他中间变量. 复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要有 机的结合和综合的运用.要通过求一些初等函数的导 数,逐步掌握复合函数的求导法则. 三、例题选讲: 例1:求下列函数的导数: (1) y ? (2 x ? 1) 解:设y=u5,u=2x+1,则: 5 ? y?x ? y? u ? ux ? ? (u )? u ? ( 2 x ? 1) x 5 ? 5u ? 2 4 ? 5(2 x ? 1) ? 2 4 ? 10(2 x ? 1) 4 1 ( 2) y ? (1 ? 3 x )4 解:设y=u-4,u=1-3x,则: ? ? y? x ? yu ? ux ? ? (u?4 )? u ? (1 ? 3x) x ? ?4u ? (?3) 12 ? 5 (1 ? 3 x ) ?5 (3) y ? (1 ? sin2 x)4 解:设y=u4,u=1+v2,v=sinx,则: ? ? ? y? x ? yu ? uv ? v x 2 ? ? (u4 )? ? ( 1 ? v )? u v ? (sinx ) x ? 4u3 ? 2v ? cos x ? 4(1 ? sin2 x)3 ? 2 sinx ? cos x ? 4(1 ? sin2 x)3 sin2 x 说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤. 例2:求下列函数的导数: 1 4 3 (1) y ? ( 2 x ? x ? ) x 3 1 3 1 3

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