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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)选修1-1练习:2.1 第2课时 椭圆的几何性质]


第二章

2.1

第 2 课时

一、选择题 1.椭圆 6x2+y2=6 的长轴的端点坐标是( A.(-1,0),(1,0) C.(- 6,0),( 6,0) [答案] D [解析] ∵椭圆的焦点在 y 轴上,且 a2=6, ∴长轴的两个端点坐标为(0,- 6),(0, 6). x2 y2 x2 y2 2.椭圆 2+ 2=1 和 2+ 2=k(k>0)具有( a b a b A.相同的长轴 C.相同的顶点 [答案] D x2 y2 x2 y2 x2 y2 [解析] 椭圆 2+ 2=1 和 2+ 2=k(k>0)中,不妨设 a>b,椭圆 2+ 2=1 的离心率 e1= a b a b a b a2-b2 k a2-b2 a2-b2 x2 y2 ,椭圆 2 + 2 =1(k>0)的离心率 e2= = . a ak bk a ka 3.椭圆(m+1)x2+my2=1 的长轴长是( 2 m-1 A. m-1 2 m C. m [答案] C [解析] 椭圆方程可简化为 x2 y2 1 1 + =1,由题意知 m>0,∴ < , 1 1 m 1+m 1+m m ) -2 -m B. m 2 1-m D.- m-2 ) B.相同的焦点 D.相同的离心率 )

B.(-6,0),(6,0) D.(0,- 6),(0, 6)

∴a=

1 m = , m m

2 m ∴椭圆的长轴长 2a= . m 4.已知椭圆的方程为 2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为( 1 A. 3 C. 2 2 B. 3 3 )

1 D. 2

[答案] B x2 y2 [解析] ∵2x2+3y2=m(m>0)? + =1, m m 2 3 m m m ∴c2= - = . 2 3 6 1 ∴e2= .故选 B. 3 5.焦点在 x 轴上,长、短半轴之和为 10,焦距为 4 5,则椭圆的方程为( x y A. + =1 36 16 x2 y2 C. + =1 6 4 [答案] A [解析] 由题意得 c=2 5,a+b=10,∴b2=(10-a)2=a2-c2=a2-20, x2 y2 解得 a2=36,b2=16,故椭圆方程为 + =1. 36 16 6.以椭圆两焦点 F1、F2 所连线段为直径的圆,恰好过短轴两端点,则此椭圆的离心率 e 等于( 1 A. 2 C. 3 2 ) B. 2 2
2 2

)

x y B. + =1 16 36 y2 x2 D. + =1 6 4

2

2

2 5 D. 5

[答案] B [解析] 由题意得 b=c,∴a2=b2+c2=2c2, c 2 ∴e= = . a 2 二、填空题 x2 y2 7.经过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦点且垂直于椭圆长轴所截得的弦长为________. a b [答案] 2b2 a

[解析] ∵垂直于椭圆长轴的弦所在直线为 x=± c, x=± c ? ? 由?x2 y2 ? ?a2+b2=1 b4 b2 2b2 ,得 y2= 2,∴|y|= ,故弦长为 . a a a

x2 y2 1 8.椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m=________. 4 m 2 [答案] 16 或3 3

[解析] 当 0<m<4 时,e= 当 m>4 时,e= 三、解答题

4-m 1 = ,∴m=3. 2 2

m-4 1 16 = ,∴m= . 2 3 m

y2 x2 3 9.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两焦点为 F1(0,-c)、F2(0,c)(c>0),离心率 e= ,焦点 a b 2 到椭圆上点的最短距离为 2- 3,求椭圆的方程. c 3 ? ? = a 2 [解析] 由已知得? , ? ?a-c=2- 3 ∴a- 3 a=2- 3,∴a=2,c= 3, 3

∴b2=a2-c2=1. y2 ∴椭圆的方程为 +x2=1. 4

一、选择题 1.中心在原点、焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此 椭圆的方程是( x y A. + =1 81 72 x2 y2 C. + =1 81 45 [答案] A 1 1 [解析] ∵2a=18,∴a=9,由题意得 2c= ×2a= ×18=6, 3 3 x2 y2 ∴c=3,∴a2=81,b2=a2-c2=81-9=72,故椭圆方程为 + =1. 81 72 2.若椭圆的短轴为 AB,它的一个焦点为 F1,则满足△ABF1 为等边三角形的椭圆的离 心率是( 1 A. 4 C. 2 2 ) 1 B. 2 D. 3 2
2 2

) x2 y2 B. + =1 81 9 x2 y2 D. + =1 81 36

[答案] D [解析] 由题意得 a=2b,a2=4b2=4(a2-c2),

c 3 ∴ = . a 2 3.若椭圆两焦点为 F1(-4,0)、F2(4,0),P 在椭圆上,且△PF1F2 的最大面积是 12,则 椭圆方程是(
2 2

) x2 y2 B. + =1 28 12 x2 y2 D. + =1 20 4

x y A. + =1 36 20 x2 y2 C. + =1 25 9 [答案] C

1 [解析] 由题意得 c=4,∵P 在椭圆上,且△PF1F2 的最大面积为 12,∴ ×2c×b=12, 2 即 bc=12, x2 y2 ∴b=3,a=5,故椭圆方程为 + =1. 25 9 x2 y2 4.(2014· 全国大纲文)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 a b 3 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为( 3 x2 y2 A. + =1 3 2 x2 y2 C. + =1 12 8 [答案] A c 3 [解析] e= = ,又△AF1B 的周长比为 4 3, a 3 ∴4a=4 3,∴a= 3,∴c=1.∴b2=a2-c2=2. x2 y2 故 C 的方程为 + =1. 3 2 二、填空题 x2 y2 5.直线 x+2y-2=0 经过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离 a b 心率等于____________. [答案] 2 5 5 x2 B. +y2=1 3 x2 y2 D. + =1 12 4 )

[解析] 由题意知椭圆焦点在 x 轴上, ∴在直线 x+2y-2=0 中, 令 y=0 得 c=2;令 x=0 得 b=1. ∴a= b2+c2= 5.

c 2 5 ∴e= = . a 5 1 6.直线 y=x+m 被椭圆 2x2+y2=2 截得的线段的中点横坐标为 ,则中点的纵坐标为 6 ____________. 1 [答案] - 3
?y=x+m ? [解析] 解法一:由? 2 2 , ? ?2x +y =2

消去 y 并整理得 3x2+2mx+m2-2=0. 设线段的端点为 A(x1,y1)、B(x2,y2), 1 则 x1+x2= , 3 2m 1 1 ∴- = ,m=- . 3 3 2 1 1 1 1 由中点在直线 y=x- 上得纵坐标 y= - =- . 2 6 2 3 解法二:设线段的端点为 A(x1,y1)、B(x2,y2),
2 则 2x2 1+y1=2, 2 2x2 2+y2=2.相减得

2(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)· (y1+y2)=0. 把 y1-y2 y1+y2 1 1 =1,x1+x2= 代入上式得 =- , 3 2 3 x1-x2

即为中点的纵坐标. 三、解答题 7.求适合下列条件的椭圆的标准方程: 4 (1)长轴长是 10,离心率是 ; 5 (2)在 x 轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为 6. [解析] (1)设椭圆的方程为 x2 y2 y2 x2 2+ 2=1(a>b>0)或 2+ 2=1(a>b>0). a b a b c 4 由已知得 2a=10,a=5.e= = ,∴c=4. a 5 ∴b2=a2-c2=25-16=9. x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 25 9 9 25

(2)依题意可设椭圆方程为 x2 y2 + =1(a>b>0). a2 b2 如图所示, △ A1FA2 为一等腰直角三角形, OF 为斜边 A1A2 的中线(高), 且|OF|=c, |A1A2| =2b, ∴c=b=3,∴a2=b2+c2=18, x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 18 9 8.如图所示,F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横 2 坐标,其纵坐标等于短半轴长的 ,求椭圆的离心率. 3

[解析] 解法一:设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a、b、c.则焦点为 F1(- 2 c,0)、F2(c,0),M 点的坐标为(c, b),则△MF1F2 为直角三角形. 3 在 Rt△MF1F2 中,|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2, 4 即 4c2+ b2=|MF1|2. 9

而|MF1|+|MF2|=

4 2 4c2+ b2+ b=2a. 9 3

整理得 3c2=3a2-2ab. b2 4 又 c2=a2-b2,所以 3b=2a.所以 2= . a 9
2 2 c2 a -b b2 5 ∵e2= 2= 2 =1- 2= , a a a 9

∴e=

5 . 3

x2 y2 解法二:设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 2 c2 4b2 则 M(c, b)代入椭圆方程,得 2+ 2=1, 3 a 9b

c2 5 所以 2= , a 9 c 5 5 所以 = ,即 e= . a 3 3 x2 y2 30 9.已知斜率为 2 的直线 l 被椭圆 + =1 截得的弦长为 ,求直线 l 的方程. 3 2 7 [解析] 设直线 l 的方程为 y=2x+m,与椭圆交于 A、B 两点的坐标分别为 A(x1,y1), x y ? ? 3 + 2 =1 B(x2,y2),由? , ? ?y=2x+m 消去 y 并整理得 14x2+12mx+3(m2-2)=0, 6 3 所以 x1+x2=- m,x1x2= (m2-2), 7 14 由弦长公式得|AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2= 5· 解得 m=± 13,所以直线 l 的方程为 y=2x± 13. 36 2 6 2 30 m - ?m -2?= , 49 7 7
2 2


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