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2010-2011学年高中数学 第1章 常用逻辑用语 §1.4 全称量词与存在量词同步精品学案 新人教A版选修2-1


§1.4

全称量词与存在量词

知识点一

全称命题与特称命题的判断

判断下列语句是全称命题,还是特称命题: (1)凸多边形的外角和等于 360°; (2)有的向量方向不定; 2 2 (3)对任意角 α ,都有 sin α +cos α =1; (4)有些素数的和仍是素数; (5)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直. 分析 先看是否有全称量词和存在量词,当没有时,要结合命题的具体意义进行判断. 解 (1)可以改写为所有的凸多边形的外角和等于 360°,故为全称命题. (2)含有存在量词“有的”,故是特称命题. (3)含有全称量词“任意”,故是全称命题. (4)含有存在量词“有些”,故为特称命题. (5)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称命题. 知识点二 判断全称或特称命题的真假

试判断以下命题的真假: 2 (1)?x∈R,x +2>0; 4 (2)?x∈N,x ≥1; 3 (3)?x∈Z,x <1; 2 (4)?x∈Q,x =3. 分析 要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成 立;但要判定全称命题是假命题,却只要能举出集合 M 中的一个 x=x0,使得 p(x0)不成立即 可(这就是通常所说的“举出一个反例”). 要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合 M 中,至少能找到一个 x=x0,使 p(x0) 成立即可;否则,这一特称命题就是假命题. 2 2 解 (1)由于?x∈R,都有 x ≥0,因而有 x +2≥2>0, 2 2 即 x +2>0.所以命题“?x∈R,x +2>0”是真命题. 4 (2)由于 0∈N,当 x=0 时,x ≥1 不成立. 4 所以命题“?x∈N,x ≥1”是假命题. 3 (3)由于-1∈Z,当 x=-1 时,能使 x <1. 3 所以命题“?x∈Z,x <1”是真命题. 2 (4)由于使 x =3 成立的数只有± 3,而它们都不是有理数.因此,没有任何一个有理 数的平方能等于 3. 2 所以命题“?x∈Q,x =3”是假命题. 知识点三 全称或特称命题的否定 写出下列命题的否定,并判断其真假:

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1 2 (1)p:?x∈R,x -x+ ≥0; 4 (2)q:所有的正方形都是矩形; 2 (3)r:?x∈R,x +2x+2≤0; 3 (4)s:至少有一个实数 x,使 x +1=0. 1 2 解 (1)綈 p:?x∈R,x -x+ <0.(假) 4 1 ? 1?2 2 这是由于?x∈R,x -x+ =?x- ? ≥0 恒成立. 4 ? 2? (2)綈 q:至少存在一个正方形不是矩形.(假) 2 (3)綈 r:?x∈R,x +2x+2>0.(真) 2 2 这是由于?x∈R,x +2x+2=(x+1) +1≥1>0 成立. 3 (4)綈 s:?x∈R,x +1≠0.(假) 3 这是由于 x=-1 时,x +1=0. 考题赏析

1.(海南,宁夏高考)已知命题 p:?x∈R,sinx≤1,则( ) A.綈 p:?x∈R,sinx≥1 B.綈 p:?x∈R,sinx≥1 C.綈 p:?x∈R,sinx>1 D.綈 p:?x∈R,sinx>1 解析 命题 p 是全称命题,全称命题的否定是特称命题. 答案 C 3 2 2.(山东高考)命题“对任意的 x∈R,x -x +1≤0”的否定是( 3 2 A.不存在 x∈R,x -x +1≤0 3 2 B.存在 x∈R,x -x +1≤0 3 2 C.存在 x∈R,x -x +1>0 3 2 D.对任意的 x∈R,x -x +1>0 解析 全称命题的否定是特称命题. 答案 C

)

1.给出下列几个命题: 2 ①至少有一个 x0,使 x0+2x0+1=0 成立; 2 ②对任意的 x,都有 x +2x+1=0 成立; 2 ③对任意的 x,都有 x +2x+1=0 不成立; 2 ④存在 x0,使 x0+2x0+1=0 成立. 其中是全称命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.0 答案 B 解析 命题②③都含有全称量词“任意的”,故②③是全称命题. 2 2 2.将“x +y ≥2xy”改写成全称命题,下列说法正确的是( )
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A.?x,y∈R,都有 x +y ≥2xy 2 2 B.?x0,y0∈R,使 x0+y0≥2x0y0 2 2 C.?x>0,y>0,都有 x +y ≥2xy 2 2 D.?x0<0,y0<0,使 x0+y0≤2x0y0 答案 A 3.全称命题“所有被 5 整除的整数都是奇数”的否定是( ) A.所有被 5 整除的整数都不是奇数 B.所有奇数都不能被 5 整除 C.存在一个被 5 整除的整数不是奇数 D.存在一个奇数,不能被 5 整除 答案 C 解析 全称命题的否定是特称命题. 4.已知命题 p:对任意 x∈R,有 cosx≤1,则( ) A.綈 p:存在 x∈R,使 cosx≥1 B.綈 p:对任意 x∈R,有 cosx≥1 C.綈 p:存在 x∈R,使 cosx>1 D.綈 p:对任意 x∈R,有 cosx>1 答案 C 2 2 5.已知命题 p:“?x∈[1,2],x -a≥0”,命题 q:“?x∈R,x +2ax+2-a=0”, 则命题“p 且 q”是真命题的充要条件( ) A.a≤-2 或 a=1 B.a≤-2 或 1≤a≤2 C.a≥1 D.-2≤a≤1 答案 A 2 2 解析 p 真即 a≤x 在 1≤x≤2 范围内恒成立,因 x ∈[1,4],所以 a≤1; 2 q 真等价于 Δ =4a -4(2-a)≥0 恒成立. 2 即 a +a-2≥0.所以 a≥1 或 a≤-2. 要使 p 且 q 为真则 a 的取值范围为: a=1 或 a≤-2,故选 A. * 2 6.命题“?n∈N ,?m∈N,使 m <n”的否定是________. * 2 答案 ?n∈N ,?m∈N,使 m ≥n 2 2 2 7.将 a +b +2ab=(a+b) 改写成全称命题是________. 2 2 2 答案 ?a,b∈R,使 a +b +2ab=(a+b) 8.用符号“?”与“?”表示下面的命题: (1)实数的绝对值大于等于 0; (2)存在实数对,使两数的平方和小于 1; 2 2 2 (3)任意的实数 a,b,c,满足 a +b +c ≥ab+ac+bc. 解 (1)?x∈R,|x|≥0. 2 2 (2)?x0,y0∈R,使 x0+y0<1. 2 2 2 (3)?a,b,c∈R,a +b +c ≥ab+ac+bc. 9.写出下列命题的否定: (1)若一个四边形是菱形,则它的四条边相等; (2)被 6 整除的数能被 4 整除; 2 (3)?x∈R,x -3≠0; (4)?x∈R,?y∈R,x+y=0. 解 (1)存在一个菱形,它的四条边不全相等. (2)存在被 6 整除的数,它不能被 4 整除. 2 (3)?x0∈R,x0-3=0. (4)?x∈R,?y∈R,x+y≠0. 讲练学案部分

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1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词

. 知识点一 判断全称命题的真假

判断下列全称命题的真假: 2 (1)?x∈{x|x 是有理数},x 是有理数; (2)对所有的正实数 p, p为正数,且 p<p; 2 2 (3)对实数 x,若 x -6x-7=0,则 x -6x-7≥0. 解 (1)真命题. 1 1 (2)假命题.如:p= 时, p= ,此时 p>p. 4 2 (3)真命题. 【反思感悟】 要判定一个全称命题是真命题, 必须对集合 M 中的每个元素 x, 证明 p(x) 成立;但要判定全称命题是假命题,却只要能举出集合 M 中的一个 x0,使 p(x0)不成立即可. 判断下列全称命题的真假: (1)所有的素数是奇数; 2 (2)?x∈R,x +1≥1; 2 (3)对每一个无理数 x,x 也是无理数. 解 (1)2 是素数,但 2 不是奇数. 所以,全称命题“所有的素数是奇数”是假命题. 2 2 (2)?x∈R,总有 x ≥0,因而 x +1≥1. 2 所以,全称命题“?x∈R,x +1≥1”是真命题. 2 2 (3) 2是无理数,但( 2) =2 是有理数.所以,全称命题“对每一个无理数 x,x 也是 无理数”是假命题. 知识点二 特称命题的真假判断

判断下列特称命题的真假: 2 (1)有一个实数 x0,使 x0+2x0+3=0; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些整数只有两个正因数. 2 2 2 解 (1)由于?x∈R,x +2x+3=(x+1) +2≥2,因此使 x +2x+3=0 的实数 x 不存 2 在.所以,特称命题“有一个实数 x0,使 x0+2x0+3=0”是假命题. (2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的,因此不存在两个相交的平面垂直 于同一条直线.所以,特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题. (3)由于存在整数 3 只有两个正因数 1 和 3, 所以特称命题“有些整数只有两个正因数” 是真命题. 【反思感悟】 要判定特称命题“?x0∈M,p(x0)”是真命题,只需在集合 M 中找到一 个元素 x0,使 p(x0)成立即可;如果在集合 M 中,使 p(x)成立的元素 x 不存在,那么这个特 称命题是假命题. 指出下列命题中,哪些是全称命题,哪些是特称命题,并判断真假: x (1)若 a>0,且 a≠1,则对任意实数 x,a >0; (2)对任意实数 x1,x2,若 x1<x2,则 tanx1<tanx2;
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(3)?T0∈R,使|sin(x+T0)|=|sinx|; 2 (4)?x0∈R,使 x0+1<0. 解 (1)(2)是全称命题,(3)(4)是特称命题. x (1)∵a >0(a>0,a≠1)恒成立,∴命题(1)是真命题. (2)存在 x1=0,x2=π ,x1<x2,但 tan0=tanπ , ∴命题(2)是假命题. (3)y=|sinx|是周期函数,π 就是它的一个周期, ∴命题(3)是真命题. 2 (4)对任意 x∈R,x +1>0. ∴命题(4)是假命题. 知识点三 全(特)称命题的判断

判断下列语句是全称命题还是特称命题. (1)有一个实数 a,a 不能取对数; (2)对所有不等式的解集 A,都有 A?R; (3)有的向量方向不定; (4)三角形的内角和为 180°. 解 (1)特称命题; (2)全称命题; (3)特称命题; (4)全称命题. 因为(1)含有存在量词“有一个”;(2)含有全称量词“所有”;(3)含有存在量词“有 的”;(4)从题意知是指所有. 【反思感悟】 在判断命题是全称命题或者特称命题时,当命题中不含量词时,要根据 题意是所有的意思还是存在的意思来判断. 判断下列语句是全称命题还是特称命题. (1)实数的平方大于或等于 0; 2 (2)方程 ax +2x+1=0(a<0)至少有一个负根; (3)二次函数的图象是抛物线. 解 (1)是全称命题;(2)是特称命题;(3)是全称命题. 课堂小结: 1.全称命题与特称命题的表述 同一个全称命题或特称命题,由于自然语言的不同,可以有不同的表述方法.现列表总 结如下.在实际应用中可以灵活地选择. 全称命题 特称命题 命题 “?x∈A,p(x)” “?x0∈A,p(x0)” 表 述 方 法 ①所有的 x∈A,p(x)成立 ①存在 x0∈A,使 p(x0)成立 ②至少有一个 x0∈A, p(x0) 使 ②对一切 x∈A,p(x)成立 成立 ③对每一个 x∈A,p(x)成立 ③对有些 x0∈A, p(x0)成立 使 ④任选一个 x∈A,使 p(x)成 ④对某个 x0∈A, p(x0)成立 使 立 ⑤凡 x∈A,都有 p(x)成立 ⑤有一个 x0∈A, p(x0)成立 使 2.判定命题是全称命题还是特称命题, 主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量 词;另外,有些全称命题并不含有全称量词,这时我们就要根据命题涉及的意义去判断.
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3.全(特)称命题真假的判断 (1)全称命题是真命题,必须确定对集合 M 中的每一个元素都成立,若是假命题,举一 个反例即可. (2)特称命题是真命题,只要在限定集合 M 中,至少找到一个元素使得命题成立,若是 假命题,则对集合 M 中的每一个元素都不成立.

一、选择题 2 1.下列命题不是“?x0∈R,x0>3”的表述方法的是( ) 2 A.有一个 x0∈R,使 x0>3 2 B.有些 x0∈R,使 x0>3 2 C.任选一个 x∈R,使 x >3 2 D.至少有一个 x0∈R,使 x0>3 答案 C 2 解析 “任选一个 x∈R,使 x >3”是全称命题,不能用符号“?”表示,故选 C. 2.下列命题是真命题的是( ) 2 A.? x∈R,x +2x+1=0 B.? x0∈R,- x0+1≥0 * C.? x∈N ,log2x>0 2 D.? x0∈R,cosx0<2x0-x0-3 答案 B 解析 当 x0=-1 时,- x0+1=0,所以命题“? x0∈R,- x0+1≥0”正确,故选 B. 3.下列命题是全称真命题的是( ) 2 A.? x∈R,x >0 2 B.? x∈Q,x ∈Q 2 C.? x0∈Z,x0>1 2 2 D.? x,y∈R,x +y >0 答案 B 2 2 2 解析 A,B,D 是全称命题,当 x=0 时,x =0;当 x=0,y=0 时,x +y =0,因此 A, D 为假命题.故选 B. 4.下列语句不是全称命题的是( ) A.任何一个实数乘以零都等于零 B.自然数都是正整数 C.高二(一)班绝大多数同学是团员 D.每一个向量都有大小 答案 C 解析 “高二(一)班绝大多数同学是团员”, 即“高二(一)班有的同学不是团员”, 这 是特称命题.故选 C. 2 5.给出下列命题:①存在实数 x0,使 x0>1;②全等三角形必相似;③有些相似三角形 2 全等;④至少有一个实数 a,使 ax -ax+1=0 的根为负数.其中特称命题有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案 C 解析 ①③④是特称命题,②是全称命题. 6.下列命题正确的是( ) A.对所有的正实数 t, t为正且 t<t
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B.存在实数 x0,使 x0-3x0-4=0 2 C.不存在实数 x,使 x<4 且 x +5x-24=0 2 D.存在实数 x0,使得|x0+1|≤1 且 x0>4 答案 B 1 1 2 解析 t= 时 t= ,此时 t>t,所以 A 错;由 x -3x-4=0,得 x=-1 或 x=4,因 4 2 2 2 此当 x0=-1 或 x0=4 时,x0-3x0-4=0,故 B 正确;由 x +5x-24=0,得 x=-8 或 x=3, 2 所以 C 错;由|x+1|≤1,得-2≤x≤0,由 x >4,得 x<-2 或 x>2,所以 D 错. 二、填空题 7.填上适当的量词符号“? ”“? ”,使下列命题为真命题. 2 (1)________x∈R,使 x +2x+1≥0; (2)________α ,β ∈R,使 cos(α -β )=cosα -cosβ ; ? ?ax+by=1 (3)________a,b∈R,使方程组? 2 ,有唯一解. ? ?a x=2 答案 (1)? (2)? (3)? 8.将下列命题用含有“? ”或“? ”的符号语言来表示. (1)任意一个整数都是有理数,________. (2)实数的绝对值不小于 0,________. 3 (3)存在一实数 x0,使 x0+1=0,________. 3 答案 (1)? x∈Z,x∈Q (2)? x∈R,|x|≥0 (3)? x0∈R,x0+1=0 三、解答题 9.判断下列命题是否是全称命题或特称命题?若是,并判断其真假. (1)? x0,x0-2≤0; (2)矩形的对角线互相垂直平分; (3)三角形两边之和大于第三边; (4)有些素数是奇数. 解 (1)特称命题,真命题; (2)全称命题,假命题; (3)全称命题,真命题; (4)特称命题,真命题. 10.试用不同的表述写出全称命题“矩形都是正方形”. 解 所有的矩形都是正方形.一切矩形都是正方形.每一个矩形都是正方形.任一个矩 形都是正方形.凡是矩形都是正方形. 1.4.3 含有一个量词的命题的否定

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知识点一

全称命题的否定

写出下列全称命题的否定: (1)p:? x>1,log2x>0; (2)p:? T=2kπ ,k∈Z,sin(x+T)=sinx; (3)p:直线 l⊥平面 α ,则对任意 l′? α ,l⊥l′. 解 (1)綈 p:? x0>1,log2x0≤0. (2)綈 p:? T0=2kπ ,k∈Z,sin(x+T0)≠sinx.
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(3)綈 p:直线 l⊥平面 α ,则? l′? α ,l 与 l′不垂直. 【反思感悟】 全称命题“? x∈M,p(x)”的否定是“? x0∈M,綈 p(x0)”,全称命题 的否定是特称命题. 写出下列命题的否定,并判断其真假: 2 (1)p:不论 m 取何实数,方程 x +mx-1=0 必有实数根; (2)p:菱形的对角线互相垂直; (3)p:三角形的内角和为 180°. 2 解 (1)这一命题可表述为 p:对任意的实数 m,方程 x +mx-1=0 必有实数根,其否 2 2 定为綈 p:存在一个实数 m,使方程 x +mx-1=0 没有实数根.因为该方程的判别式 Δ =m +4>0 恒成立,故綈 p 为假命题. (2)綈 p:有的菱形对角线不垂直. 显然綈 p 为假命题. (3)綈 p:三角形的内角和不全为 180°.(或存在一个三角形,其内角和不等于 180°) 显然綈 p 为假命题.

知识点二

特称命题的否定

写出下列特称命题的否定: 2 (1)p:? x0>1,使 x0-2x0-3=0; (2)p:若 an=-2n+10,则? n∈N,使 Sn<0; (3)p:a,b 是异面直线,? A∈a,B∈b,使 AB⊥a,AB⊥b. 2 解 (1)綈 p:? x>1,x -2x-3≠0; (2)綈 p:若 an=-2n+10,则对? n∈N,有 Sn≥0; (3)綈 p:a,b 是异面直线,则? A∈a,B∈b,有 AB 不与 a 垂直,或不与 b 垂直. 【反思感悟】 特称命题“? x0∈M,p(x0)”的否定是“? x∈M,綈 p(x)”,特称命题 的否定是全称命题.遇到“且”命题否定时变为“或”命题,遇到“或”命题否定时变为 “且”命题. 写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)p:有些三角形的三条边相等; (2)p:存在一个四边形不是平行四边形; (3)p:? x0∈R,3x0<0. 解 (1)綈 p:所有三角形的三条边不全相等. 显然綈 p 为假命题. (2)綈 p:所有的四边形都是平行四边形. 綈 p 是假命题. x (3)綈 p:? x∈R.3 ≥0 綈 p 为真命题.

知识点三

全称命题、特称命题的应用
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已知函数 f(x)=x -2x+5. (1)是否存在实数 m,使不等式 m+f(x)>0 对于任意 x∈R 恒成立,并说明理由. (2)若存在一个实数 x0,使不等式 m-f(x0)>0 成立,求实数 m 的取值范围. 分析 可考虑用分离参数法,转化为 m>-f(x)对任意 x∈R 恒成立和存在一个实数 x0, 使 m>f(x0)成立. 解 (1)不等式 m+f(x)>0 可化为 m>-f(x), 2 2 即 m>-x +2x-5=-(x-1) -4. 2 要使 m>-(x-1) -4 对于任意 x∈R 恒成立,
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只需 m>-4 即可. 故存在实数 m,使不等式 m+f(x)>0 对于任意 x∈R 恒成立,此时,只需 m>-4. (2)不等式 m-f(x0)>0 可化为 m>f(x0),若存在一个实数 x0,使不等式 m>f(x0)成立,只 需 m>f(x)min. 2 又 f(x)=(x-1) +4,∴f(x)min=4, ∴m>4. 所以,所求实数 m 的取值范围是(4,+∞). 【反思感悟】 对任意的实数 x,a>f(x)恒成立,只需 a>f(x)max.若存在一个实数 x0, 使 a>f(x0)成立,只需 a>f(x)min. 若方程 cos2x+2sinx+a=0 有实数解,求实数 a 的取值范围. 解 ∵cos2x+2sinx+a=0, 2 2 ∴a=2sin x-1-2sinx=2(sin x-sinx)-1, 1 2 3 ∴a=2(sinx- ) - . 2 2 3 1 2 3 又-1≤sinx≤1,∴- ≤2(sinx- ) - ≤3. 2 2 2 3 1 2 3 故当- ≤a≤3 时,方程 a=2(sinx- ) - 有实数解,所以,所求实数 a 的取值范围 2 2 2 3 是[- ,3]. 2 课堂小结:? 1. 全称命题和特称命题的否定, 其模式是固定的, 即相应的全称量词变为存在量词, 存在量词变为全称量词.具有性质 p 变为具有性质瘙 綈 p.? 2. 实际应用中,若从正面证明全称命题“? x∈M,p(x) ”不容易,可证其反面“x∈M “x0∈M, 綈 p(x0)”是假命题,反之亦然.

一、选择题 1.“a 和 b 都不是偶数”的否定形式是( ) A.a 和 b 至少有一个是偶数 B.a 和 b 至多有一个是偶数 C.a 是偶数,b 不是偶数 D.a 和 b 都是偶数 答案 A 解析 在 a、b 是否为偶数的四种情况中去掉 a 和 b 都不是偶数还有三种情况,即 a 偶 b 奇,a 奇 b 偶,a 偶 b 偶,故选 A. 2.命题“某些平行四边形是矩形”的否定命题是( ) A.某些平行四边形不是矩形 B.任何平行四边形是矩形 C.每一个平行四边形都不是矩形 D.以上都不对 答案 C 解析 特称命题的否定是把存在量词变为全称量词,然后否定结论.所以选 C. 3.命题“原函数与反函数的图象关于 y=x 对称”的否定是( ) A.原函数与反函数的图象关于 y=-x 对称
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B.原函数不与反函数的图象关于 y=x 对称 C.存在一个原函数与反函数的图象不关于 y=x 对称 D.存在原函数与反函数的图象关于 y=x 对称 答案 C 解析 要把隐含的全称量词找出变为存在量词,然后否定结论. 4.命题“有的函数没有解析式”的否定是( ) A.有的函数有解析式 B.任何函数都没有解析式 C.任何函数都有解析式 D.多数函数有解析式 答案 C 2 2 2 5.将 a +b +2ab=(a+b) 改写成全称命题是( ) 2 2 2 A.? a,b∈R,使 a +b +2ab=(a+b) 2 2 2 B.? a<0,b>0,使 a +b +2ab=(a+b) 2 2 2 C.? a>0,b>0,使 a +b +2ab=(a+b) 2 2 2 D.? a,b∈R,使 a +b +2ab=(a+b) 答案 D 2 2 2 解析 因 a +b +2ab=(a+b) 本身隐含着对任意的实数 a,b 等式都成立,等式本身 就是一个全称命题,只是没用量词表达. 6.以下三个命题: ①? α ∈R,在[α ,α +π ]上函数 y=sinx 都能取到最大值 1; ②若? a∈R,且 a≠0,f(x+a)=-f(x)对? x∈R 成立,则 f(x)为周期函数; 7 3 ③? x∈(- π ,- π ),使 sinx<cosx.其中正确命题的个数为( ) 4 4 A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 3 3 7 2 解析 ①错,因为当 α = π 时,y=sinx 在[ π , π ]上的最大值为 .③错,在同 4 4 4 2 7 3 一坐标系中, 画出 y=sinx 和 y=cosx 的图象, 可得出: x∈(- π , π ), x>cosx.② ? - sin 4 4 正确,用 x+a 替换 x,则 f(x+2a)=-f(x+a)=f(x),故函数 f(x)的一个周期为 2a. 二、填空题 2 7.给出下列四个命题:①有理数是实数;②有些平行四边形不是菱形;③? x∈R,x -2x>0; ④有一个素数含有三个正因数. 以上命题的否定为真命题的序号依次是________(填 序号). 答案 ③④ 解析 ①是真命题,故其否定为假命题,②是真命题,故其否定为假命题,③④都是假 命题,故其否定是真命题. 8.写出命题“若 a 和 b 都大于 0,则 a+b>0”的否定为 ________________________________________________________________________. 答案 存在 a 和 b 都大于 0,使 a+b≤0 成立 三、解答题 9.写出下列命题的否定,并判断其真假: 2 (1)q:存在一个实数 x0,使得 x0+x0+1≤0; (2)r:等圆的面积相等,周长相等; 2 2 (3)s:对任意角 α ,都有 sin α +cos α =1. 2 解 (1)这一命题的否定形式是綈 q:对所有实数 x,都有 x +x+1>0.利用配方法可以 证得綈 q 是一个真命题. (2)这一命题的否定形式是綈 r:存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等.由平面 几何知识知綈 r 是一个假命题.
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(3)这一命题的否定形式是綈 s:存在 α ∈R,使 sin α +cos α ≠1.由于命题 s 是真命 题,所以綈 s 是假命题. 2 10. r(x):sinx+cosx>m,s(x):x +mx+1>0,如果对? x∈R,r(x)为假命题且 s(x) 若 为真命题,求实数 m 的取值范围. ? π? 解 由于 sinx+cosx= 2sin?x+ ?∈[- 2, 2], 4? ? 所以如果对任意的 x∈R,r(x)为假命题,即对任意的 x∈R, 不等式 sinx+cosx>m 恒不成立,所以 m≥ 2. 又对任意的 x∈R,s(x)为真命题,即对任意的 x∈R, 2 2 不等式 x +mx+1>0,所以 Δ =m -4<0,即-2<m<2. 故如果对任意的 x∈R,r(x)为假命题且 s(x)为真命题, 应有 2≤m<2.

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