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2.3.4平面向量共线坐标表示(1)


2.3.4 平面向量共线的坐标表示
织金育才学校

复习回顾
向量的坐标运算:
已知a ? (x 1 ,y 1 ),b ? (x 2 ,y 2 ) ,则

a ? b ? (x1 ? x 2 ,y 1 ? y 2 ) a ? b ? (x1 ? x 2 ,y 1 ? y 2 )

?a ? (?x1,?y 1 )

说明:

(1)一个向量的坐标等于表示该向量的有
向线段的终点坐标减去始点的坐标,即
(x2 - x1,y2 - y1) . 若A(x1,y1), B( x2, y2), 则 AB ?

(2)在直角坐标系xOy中,已知点A(x1,y1), B( x2, y2),
? x1 ? x 2 y1 ? y 2 ? ? , 则线段AB中点的坐标为 ? ? 2 ? 2 ? ?

? ? 向量 a 与非零向量 b 平行(共线) 的等价条件是有且 ? ? 只有一个实数 ? , 使得a ? ?b
思考:如何用坐标表示向量平行(共线)的等价条件?
会得到什么样的重要结论? 设

? ? 则由a ? ?b 得 x1y 2 ? x 2y 1
这就是说:

? ? ? ? a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , b ? 0

? ? ? ? a // b (b ? 0) 的等价条件是

x1y 2 ? x 2y 1

向量共线的充要条件的两种表示形式:
(1) a // b(a ? 0)

?


有且只有一个实数λ,使得 b=λ a





a=(x1 ,y1), b=(x2 ,y2)



(2) a // b(a ? 0)

?

x1 y2= x2 y1

典型例题
例1 已知 a =(4,2),b=(6,y) 且a ∥b,求y的值. 解:∵ a ∥b ∴4y-2×6=0

? a ? (?1, x),

解得y=3

? b ? (? x,2)

例2 已知点A(1,3), B(3,13),C(6,28) 求证:A、B、C三点共线. 证明:∵AB=(3-1,13-3)=(2,10) BC=(6-3,28-13)=(3,15) ∴ 2×25=5×10 ∴AB∥BC 又∵ 直线AB、直线BC有公共点B ∴ A、B、C三点共线

例3:设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是 ( x1, y1 ),( x2 , y2 ) . (1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;
??? ? 1 ???? ???? ? 解: (1) OP ? (OP 1 ? OP 2) 2 x1 ? x2 y1 ? y2 ?( , ) 2 2
x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 所以,点P的坐标为 ( 2 2
M y P P1 P2

(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标。

O
(1)

x

例4:设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是

( x1, y1 ),( x2 , y2 ) 。
(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;

(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标。
y P P1 P1 y P

P2

P2

O

x
(2)

O

x

y P P1

P2

y

P
P1 x

P2

O

O

x

(2)如图,当点 P是线段P1P2的一个三等分点时, 1 有两种情况,即, P1P ? PP2或P1P ? 2PP2 2

1 如果P1P ? PP2,那么 2 1 OP ? OP1 ? P1P ? OP1 ? P1P2 3 1 2 1 ? OP1 ? (OP2 ? OP1 ) ? OP1 ? OP2 3 3 3 ? 2x 1 ? x 2 2y 1 ? y 2 ? ? ? ? , ? ? 3 3 ? ?

y
P1 P

P2

O

x

y P1

P

P2

2 x1 ? x2 2 y1 ? y2 即点 P的坐标是( , ) 3 3

O

x

x1 ? 2x2 y1 ? 2y2 同理,如果P1P ? 2PP2,那么点P的坐标是( , ) . 3 3

探究:
如图,当 P1P ? ? PP2时,点P的坐标是什么?
,P(x ,y ) 设 P1(x1,y 1 ) ,P2(x 2 ,y 2 )
?    P1P ? (x ? x 1 ,y ? y 1 )
P1
1 1

y

P2

?x ,y ?
2 2

?x ,y ?

P ?x,y

?

PP2 ? (x 2 ? x ,y 2 ? y )
? P1P ? ? PP2
?    ( x ? x1 , y ? y1 ) ? ? ( x2 ? x, y2 ? y)
? x 1 ? ?x 2 x ? ? x ? x1 ? ? ( x2 ? x ) ? x 1 ? ?x 2 y 1 ? ? y 2 ? 1?? ?    ? ? ? P( , ) ? 1?? 1?? ? y ? y1 ? ? ( y2 ? y ) ?y ? y 1 ? ?y 2 ? 1?? ?
O x

近水楼台先得月!

练习:已知点A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1), 试判断AB与CD的位置关系,并给出证明.
解析:作图感知——猜想——验证猜想

小结与作业
向量平行(共线)的两种形式:

? ? ? ? ? ? (1)a / / b (b ? 0) ? a ? ?b ; ? ? ? ? ? ? (2)a / / b ( a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), b ? 0) ? x1 y2 ? x2 y1

x1 ? 2x ? x2 ; y作业:步步高课时作业 1 ? 2 y ? y2


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