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湖北省宜昌一中2013-2014学年高二上学期期末考试 数学理试题 Word版含答案


宜昌一中 沙市中学 2013 年秋季学期高二年级期末考试数学(理)试卷 公安一中
命题学校:宜昌一中 审题学校:沙市中学、公安一中

考试时间:2014 年 1 月 19 日下午 14:30-16:30 试卷满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.

1.把 1010(2) 化为十进制数为





A.20 B.12 C.10 D.11 2.某大学数学专业一共有 160 位学生,现将学生随机编号后用系统抽样的方法抽取一个容量 为 5 的样本,已知 40 号、 72 号、 136 号同学在样本中,那么样本中还有 2 位同学的编号 应该为 ( ) A. 10, 104 3.若直线 (2m ( ) A. ?
2

B. 8, 104

C. 10, 106

D. 8, 106

? m ? 3) x ? (m2 ? m) y ? 4m ?1与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行,则实数 m 的值为
B.1 C.1 或 ?

9 8

4.圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 在点 P 1, 3 处的切线方程为 A. x ? 3 y ? 2 ? 0 C. x ? 3 y ? 4 ? 0 B. x ? 3 y ? 4 ? 0 D. x ? 3 y ? 2 ? 0

?

?

9 8

D. ?1 ( )

5.2014 年巴西世界杯某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分 别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中甲、乙只能从事前三项工作,其 余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 ( ) A.18 种 B.36 种 C.48 种 D.72 种 6.某调查机构调查了当地 100 个新生婴儿的体重,并根 据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示),则 新生婴儿的体重(单位:kg)在[3.2,4.0)的人数是 ( ) A.30 B.40 C.50 D.55

7 . 随 机 变 量 ? 服 从 正 态 分 布 N (?, ? 2 ) , 且 函 数

1 f ?x? ? x 2 ? 4x ? ? 没有零点的概率为 ,则 ? ? 2
A. 4 B. 2 C. 0

(第 6 题图) D. 8

8.某车间生产一种玩具,为了要确定加工玩具所需要的时间,进行了 10 次实验,数据如下: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 玩具个数( x ) 加工时间( y ) 4 7 12 15 21 25 27 31 37 41

第 -1- 页

如回归方程 y ? b x ? a 的斜率是b,则它的截距是
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

?

?

?

^

(
^

)

A.a=11b-22; B. a=11-22b; C. a=22-11b; D.a=22b-11. 9.在某市创建全国文明城市工作验收时,国家文明委有关部门对某校高二年级 6 名学生进行 了问卷调查,6 人得分情况如下:5,6,7,8,9,10.把这 6 名学生的得分看成一个总体.如 果用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名,他们的得分组成一个样本,则该样本 平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为 ( ) 3 4 7 8 A. B. C. D. 5 15 15 15 10.已知点 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1( xy ? 0) 上的动点, F1 、 F2 为椭圆的左、右焦点, O 为坐 16 8

OM 的取值范围是 标原点,若 M 是 ?F 1PF 2 的角平分线上的一点,且 F 1M ? MP ? 0 ,则
A. (0,3) B. (2 3 , ) C. (0,4) D. (0, 2 2 )

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.若 (ax ? 1) 3 的展开式中各项的系数和为 27,则实数 a 的值是 12.已知直线 l1 : y ? 2 x ? 3, l 2 与 l1 关于 x 轴对称,直线 l 2 的斜率是 ▲ ▲

13.NBA 某篮球运动员在一个赛季的 40 场比赛中的得分的茎叶图如右图所示:则中位数与 众数分别为 ▲ 和 ▲ . E D A B F C

(第 13 题图)

(第 14 题图)

14.给图中 A、B、C、D、E、F 六个区域进行染色,每个区域只染一种颜色,且相邻的区域不 同色.若有 4 种颜色可供选择,则共有 ▲ 种不同的染色方案. 15.下图中椭圆内的圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 1 ,现借助计算机利用如下程序框图来估计该椭圆 的面积,已知随机输入该椭圆区域内的 1000 个点 ? x, y ? 时,输出的 i ? 800 ,则由此可估计 该椭圆的面积为 ▲

y

O

x

(第 15 题图)

第 -2- 页

三、解答题:本大题共6个小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 1 n ) ( n ?N*)展开式中,前三项的二项式系数 已知二项式 ( x 2 ? 和是 56 ,求: ..... 2 x (Ⅰ ) n 的值; (Ⅱ )展开式中的常数项.

17. (本小题满分 12 分) 号码为 1、2、3、4、5、6 的六个大小相同的球,放入编号为 1、2、3、4、5、6 的六个 盒子中,每个盒子只能放一个球. (Ⅰ )若 1 号球只能放在 1 号盒子中,2 号球只能放在 2 号的盒子中,则不同的放法有多少 种? (Ⅱ )若 3 号球只能放在 1 号或 2 号盒子中,4 号球不能放在 4 号盒子中,则不同的放法有 多少种? (Ⅲ )若 5、6 号球只能放入号码是相邻数字的两个盒子中,则不同的放法有多少种?

18.(本小题满分 12 分) 医生的专业能力参数 K 可有效衡量医生的综合能力,K 越大, 综合能力越强, 并规定: 能 力参数 K 不少于 30 称为合格,不少于 50 称为优秀.某市卫生管理部门随机抽取 300 名医生进 行专业能力参数考核,得到如图所示的能力 K 的频率分布直方图:

(Ⅰ)求出这个样本的合格率、优秀率; (Ⅱ)现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为 20 的样本,再从这 20 名医生中随机选
第 -3- 页

出 2 名. ① 求这 2 名医生的能力参数 K 为同一组的概率; ② 设这 2 名医生中能力参数 K 为优秀的人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和期望.

19. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (?2,1), b ? ( x, y). (Ⅰ)若 x , y 分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次正面朝上出 现的点数,求满足 a ? b ? ?1 的概率. (Ⅱ)若 x , y 在连续区间[1,6]上取值,求满足 a ? b ? 0 的概率.

20. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1,圆 C2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 . (Ⅰ )若过点 C1 (?1, 0) 的直线 l 被圆 C2 截得的弦长为

6 ,求直线 l 的方程; 5

y
C2

(Ⅱ )圆 D 是以 1 为半径,圆心在圆 C3 : ( x+1)2 ? y 2 ? 9 上 移动的动圆 ,若圆 D 上任意一点 P 分别作圆 C1 的两条切 线 PE , PF ,切点为 E , F ,求 C1 E C1 F 的取值范围 ; (Ⅲ )若动圆 C 同时平分圆 C1 的周长、圆 C2 的周长,
C1
O

C

x



如图所示,则动圆 C 是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.

21.(本小题满分 14 分)

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )和圆 C2 : x2 ? y 2 ? b2 ,已知圆 C2 将椭圆 C1 的 a 2 b2 2 长轴三等分,椭圆 C1 右焦点到右准线的距离为 ,椭圆 C1 的下顶点为 E ,过坐标原点 O 且 4 与坐标轴不重合的任意直线 l 与圆 C2 相交于点 A 、 B .
如图,椭圆 C1 : (Ⅰ )求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)若直线 EA 、 EB 分别与椭圆 C1 相交于另一个交点为点 P 、 M . ①求证:直线 MP 经过一定点; ②试问:是否存在以 (m,0) 为圆心,

3 2 为半径的圆 G ,使得直线 PM 和直线 AB 都与 5

圆 G 相交?若存在,请求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由。

y

第 -4- 页

宜昌一中 沙市中学 2013 年秋季学期高二年级期末考试数学(理)试卷 公安一中 参考答案
一、选择题:CBADD BACCD 二、填空题: 11.4 12. k ? ?2 三、解答题:
1 2 16.(Ⅰ) C0 n ? Cn ? Cn ? 56

13. 23,23

14. 96

15. 5? …………… 2 分

? 1? n ?

n(n ? 1) ? 56 ? n 2 ? n ? 110 ? 0 2
…………… 6 分
5r 20? r 1 r )r ? C10 ( ) x 2, 2 2 x

? n ? 10, n ? ?11 (舍去).
(Ⅱ) ( x ?
2

1 2 x

r )10 展开式的第 r ? 1 项是 C10 ( x 2 )10?r (

1

2 0?

5r ? 0? r 2

?, 8
8

…………… 10 分

故展开式中的常数项是 C10 ( ) ?
8

1 2

45 . 256

…………… 12 分

4 17. (Ⅰ )1 号球放在 1 号盒子中,2 号球放在 2 号的盒子中有 A4 . …………4 分 =24 (种)

(Ⅱ )3 号球只能放在 1 号或 2 号盒子中,则 3 号球有两种选择,4 号球不能放在 4 号盒子中, 则有 4 种选择,则 3 号球只能放在 1 号或 2 号盒子中,4 号球不能放在 4 号盒子中有
1 1 4 . C2 C4 A4 ? 192 (种)

…………… 8 分

(Ⅲ )号码是相邻数字的两个盒子有 1 与 2、2 与 3、3 与 4、4 与 5、5 与 6 共 5 种情况,
1 2 4 则符合题意的放法有 C5 . A2 A4 ? 240 (种)

…………… 12 分

18. 解: (Ⅰ )解: 各组的频率依次为 0.2, 0.3, 0.2, 0.15, 0.1, 0.05, ∴这个样本的合格率为 1-0.2=0.8, 优秀率为 0.15+0.1+0.05=0.3 …………… 4 分 (Ⅱ )①用分层抽样抽出的样本容量为 20 的样本中,各组人数依次为 4,6,4,3,2,1. 从 20 名医生中随机选出 2 名的方法数为 C20 ? 190,
2

第 -5- 页

选出的 2 名医生的能力参数 K 为同一组的方法数为:
2 2 2 2 2 C4 ? C6 ? C4 ? C3 ? C2 ? 31.

故这 2 名医生的能力参数 K 为同一组的概率 P ?

31 190

…………… 8 分

②20 名医生中能力参数 K 为优秀的有 6 人,不是优秀的有 14 人. 依题意, X 的所有可能取值为 0,1,2,则:

P? X ? 0? ?

1 1 2 2 C14 C6 C6 C14 91 42 3 , . ? ? ? , P X ? 1 ? ? P ( X ? 2 ) ? ? 2 2 2 95 C20 1 9 0 C20 C20 38

∴ X 的分布列为 0 X

1

2

P

91 190

42 95

3 38
…………… 12 分

∴ X 的期望值 EX ? 0 ?

91 42 3 3 ? 1? ? 2? ? . 190 95 38 5

19.(Ⅰ)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件总数为 6×6=36 个;由 a·b=-1 有-2x+y=-1,所以满足 a·b=-1 的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5), 3 1 共 3 个;故满足 a·b=-1 的概率为 = . ……………6 分 36 12 ( Ⅱ ) 若 x , y 在 连 续 区 间 [1,6] 上 取 值 , 则 全 部 基 本 事 件 的 结 果 为 Ω = {(x , y)|1≤x≤6,1≤y≤6};满足 a·b<0 的基本事件的结果为 A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6 且 -2x+y<0};画出图形如下图,

1 矩形的面积为 S 矩形=25,阴影部分的面积为 S 阴影=25- ×2×4=21, 2 21 故满足 a·b<0 的概率为 . ……………12 分 25 20. (Ⅰ )设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . 因为直线 l 被圆 C2 截得的弦

4k ? 4 4 4) 到 l : kx ? y ? k ? 0 的距离为 ? . 长为 6 ,而圆 C2 的半径为 1,所以圆心 C2 (3, 5 k2 ?1 5

化简,得 12k 2 ? 25k ? 12 ? 0 ,解得 k ? 4 或 k ? 3 . 4 3 所以直线 l 的方程为 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 ……………4 分

(Ⅱ) 动圆 D 是圆心在定圆 ( x+1)2 ? y 2 ? 9 上移动,半径为 1 的圆
第 -6- 页

设 ?EC1 F ? 2? ,则在 Rt ?PC1 E 中, cos ? ?
2 PC1
2

C1 E PC1

?

1 , PC1

有 cos 2? ? 2cos 2 ? ? 1=

? 1 ,则

C1 E ?

C 1 ?F

1

C Ec C? sF ? 2 1 o

? c o s 22 ?=
PC1

2

1

由圆的几何性质得, DC1 ? r ? PC1 ? DC1 ? r ,即 2 ? PC1 ? 4 , 4 ? PC1 ? 16

2

1 7 则 C1 E ? C1 F 的最大值为 - ,最小值为 - . 2 8
y ) ,由题意,得 CC1 ? CC2 , (Ⅲ )设圆心 C ( x,

? 7 1? 故 C1 E ? C1 F ? ? ? , ? ? . ? 8 2?

……………8 分

y
即 ( x ? 1) ? y ? ( x ? 3) ? ( y ? 4) .
2 2 2 2
y

C2

化简得 x ? y ? 3 ? 0 ,即动圆圆心 C 在定直线 x ? y ? 3 ? 0 上运动.
3 ? m) ,则动圆 C 的半径为 1 ? CC12 ? 1 ? (m ? 1)2 ? (3 ? m)2 . 设 C (m,

于是动圆 C 的方程为 ( x ? m)2 ? ( y ? 3 ? m)2 ? 1 ? (m ? 1)2 ? (3 ? m)2 . 整理,得 x2 ? y 2 ? 6 y ? 2 ? 2m( x ? y ? 1) ? 0 .
? x ? 1 ? 3 2, ? x ? 1 ? 3 2, ? x ? y ? 1 ? 0, ? ? 2 2 由? 2 得? 或? 2 3 ? x ? y ? 6 y ? 2 ? 0, ? y ? 2 ? 2; ? y ? 2 ? 3 2. ? 2 ? 2

C1
O

C

x



所以定点的坐标为 1 ? 3 2, 2 ? 3 2 , 1 ? 3 2, 2? 3 2 . 2 2 2 2 21. (Ⅰ )依题意, 2b ?

?

? ?

?

………13 分

1 ? 2a ,则 a ? 3b , 3
第 -7- 页

∴c ?

a2 ? b2 ? 2 2b ,又

a2 b2 2 ,∴ b ? 1 ,则 a ? 3 , ?c ? ? c c 4

x2 ? y 2 ? 1 .…………………………………………………………4 分 9 (Ⅱ)①由题意知直线 PE , ME 的斜率存在且不为 0,设直线 PE 的斜率为 k ,则 PE : y ? kx ? 1 ,
∴椭圆方程为

18k ? x? 2 , ? y ? kx ? 1, ? ? x ? 0, ? 9k ? 1 ? 2 由?x 得 或 ? ? 2 2 ? ? y ? 1, ? y ? 9k ? 1 , ? y ? ?1, ?9 ? 9k 2 ? 1 ? 18k 9k 2 ? 1 , ) ,………………………………………………………………6 分 ∴ P( 2 9k ? 1 9k 2 ? 1 1 ?18k 9 ? k 2 , ), 用 ? 去代 k ,得 M ( 2 k k ? 9 k2 ? 9 9k 2 ? 1 9 ? k 2 ? 2 2 k 2 ?1 方法 1: k PM ? 9k ? 1 k ? 9 ? , 18k 18k 10 k ? 9k 2 ? 1 k 2 ? 9 9 ? k 2 k 2 ?1 18k k 2 ?1 4 ? (x ? 2 ) ,即 y ? x? , ∴ PM : y ? 2 k ? 9 10k k ?9 10k 5 4 ∴直线 PM 经过定点 T (0, ) . 5 方法 2:作直线 l 关于 y 轴的对称直线 l ' ,此时得到的点 P ' 、 M ' 关于 y 轴对称,则 PM 与 P ' M ' 相交于 y 轴,可知定点在 y 轴上, 9 4 4 9 4 当 k ? 1 时, P ( , ) , M ( ? , ) ,此时直线 PM 经过 y 轴上的点 T (0, ) , 5 5 5 5 5 2 2 9k ? 1 4 9?k 4 ? ? 2 2 2 k ?1 k 2 ?1 5 k ? 9 ∵ kPT ? 9k ? 1 5 ? , kMT ? ? , 18k 18k 10k 10k ? 9k 2 ? 1 k2 ? 9 ∴ kPT ? kMT ,∴ P 、 M 、 T 三点共线,即直线 PM 经过点 T , 4 综上所述,直线 PM 经过定点 T (0, ) .……………………………………………9 分 5 2k ? x? , ? ? y ? kx ? 1, ? x ? 0, 2k k 2 ? 1 ? 1? k2 A ( , ), ②由 ? 2 得 或 ∴ ? ? 2 2 1? k2 k2 ?1 ? x ? y ? 1, ? y ? k ? 1 , ? y ? ?1, ? k2 ?1 ? k2 ?1 x, 则直线 AB : y ? 2k 4 k2 ?1 设t ? ,则 t ? R ,直线 PM : y ? tx ? ,直线 AB : y ? 5tx ,………………11 分 5 10k

第 -8- 页

假设存在圆心为 (m,0) ,半径为

3 2 的圆 G ,使得直线 PM 和直线 AB 都与圆 G 相交, 5

3 ? | 5tm | ? 2, (i) ? 2 5 1 ? 25 t ? 18 18 18 ? 2 2 2 )? 则? 由( i )得 25t ( m ? 对 t ? R 恒成立,则 m ? , 4 25 25 25 ? | mt ? 5 | 3 ? 2, (ii) ? 5 ? 1? t2 ? 18 2 8 2 2 )t ? mt ? ? 0 对 t ? R 恒成立, 由( ii )得, (m ? 25 5 25 18 18 2 8 18 2 2 2 2 ? ? ( m) 2 ? 4(m 2 ? )(? ) ? 0 , 当m ? 时, 不合题意; 当m ? 时, 得m ? , 25 25 25 5 25 25 2 2 即? , ?m? 5 5 3 2 ∴存在圆心为 (m,0) ,半径为 的圆 G ,使得直线 PM 和直线 AB 都与圆 G 相交,所 5 2 2 有 m 的取值集合为 (? , ) .……………………………………14 分 5 5 4 18 4 2 18 2 2 2 解法二:圆 G : ( x ? m) ? y ? ,由上知 PM 过定点 (0, ) ,故 m ? ( ) ? ;又直 5 25 5 25 18 2 2 2 2 线 AB 过原点,故 G : m ? 0 ? ,从而得 m ? (? , ) .…………………14 分 25 5 5

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