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2015年全国新课标1卷理科数学解析


绝密★启封并使用完毕前

试题类型:A

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(解析版)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作 答。第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0, (Ⅰ)求{an}的通项公式: (Ⅱ)设 ,求数列}的前 n 项和 (18)如图, ,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平 面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。 (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值

(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对 年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 x1 和年销售 量 y1(i=1,2, · · · ,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值。

x

y

w

?
x ?1

1

(x1- x )2

?
x ?1

1

(w1- w )2

?
x ?1

1

( x1- x ) (y-

?
x ?1

1

(w1- w )

y)
46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469

(y- y ) 108.8

表中 w1 = x 1,



w =

1 8

? w1
x ?1

1

(1) 根据散点图判断, y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型? (给出判断即可,不必说明理由)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。根据(Ⅱ)的结果回答下列问 题: (i) 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii) 年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大?

附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…….. (un 距的最小二乘估计分别为:

vn),其回归线 v= ? ? ? u 的斜率和截

(20) (本小题满分 12 分)
x2 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y= 与直线 y=ks+a(a>0)交与 M,N 两点, 4

(Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 K 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由。 (21) (本小题满分 12 分) 1 已知函数 f(x)= x 3 ? ax ? , g ( x) ? ? ln x 4 (Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线; (Ⅱ)用 min

?m, n?

表示 m,n 中的最小值,设函数 h( x) ? min ? f ( x), g ( x)

? ( x ? 0)

,讨论 h

(x)零点的个数 请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做, 则按所做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 (22) (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉C 的 Q 切线,BC 交☉O 于 E

(I)

若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是

O 的切线;

(II)

若 OA=

CE,求∠ACB 的大小.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 ? O? 中。 直线 C1 : ? = ? 2, 圆 C2 :? ? ? 1? ? ? ? ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极点, ?
2 2

轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 (I) (II) 求 C1 , C2 的极坐标方程; 若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 面积

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N

,求 C2 MN 的

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数=|x+1|-2|x-a|,a>0. (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围


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