kl800.com省心范文网

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 3-2 等差数列课件 (文) 全国.重庆专版


第二节

等差数列

? 1.等差数列的相关问题 ? (1)等差数列的定义 ? 一般地,如果一个数列从第 项起,每一 2 项与它的前一项的差都等于 , 同一个常数 那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫 公差 做等差数列的 .

? (2)等差中项 ? 在一个等差数列中,从第2项起每一项(有 穷数列最后一项除外)都是它前一项与后 一项的等差中项,即2an= an-1+an+1 ? (n∈N?且n≥2).

? 三数成等差数列时,一般设为a-d,a,a +d;四数成等差数列呢? ? 【提示】 设为a-d,a,a+d,a+2d或 a-3d,a-d,a+d,a+3d.

? ? ? ?

(3)等差数列的单调性 当d>0时,{an}是递增 数列. 常数列 . 当d=0时,{an}是 递减 数列. 当d<0时,{an}是

? 2.等差数列的通项公式及其前n项和Sn
倒序相加法

? (1)等差数列的前n项和Sn是用
a1+(n-1)d 求得的.注意这种思想方法在数列求和中

的应用.
? (2)等差数列的通项公式an= 及前n项和公式Sn= =

?Sn? Sn d d ? ? (1)因为 n =2n+a1-2,故数列? n ?是等差数列. ? ? ? ?

(2)从函数观点看 Sn,当 d≠0 时,Sn 是关于 n 的且常数 项为 0 的二次函数,则(n,Sn)是二次函数图象上的一群孤 立的点,由此可得:当 d>0 时,Sn 有最小值;当 d<0 时, Sn 有最大值. (3)在求等差数列的前 n 项和时,若已知首项 a1 及末项 n(a1+an) an,可选用公式 Sn= ;若已知首项 a1 及公差 d,可 2 n(n-1)d 选用公式 Sn=na1+ . 2

? 等差数列的常用性质 ? 已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项 和. ? (1)通项公式的推广: ? an=am+(n-m)d (n、m∈N?). ? (2)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq, ? 特别:若m+n=2p,则am+an=2ap.

? (3)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等差 数列,公差为kd. ? (4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等 差数列. ? (5)S2n-1=(2n-1)an. ? (6)数列{c·an},{c+an},{pan+qbn}也是 等差数列,其中c、p、q均为常数,{bn} 是等差数列.

? 1.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6, a3=4,则公差d等于 ? ( ) ? A.1 ? C.2 D.3

? 【解析】 设{an}首项为a1,公差为d, ? 则S3=3a1+ d=3a1+3d=6,a3=a1+

2d=4,∴a1=0,d=2.

? 【答案】 C

2.{an}为等差数列,且 a7-2a4=-1,a3=0,则 公差 d= ( A.-2 1 C.2 1 B.- 2 D.2 )

? 【解析】 根据题意得a7-2a4=a1+6d- 2(a1+3d)=-1, ? ∴a1=1.又∵a3=a1+2d=0,∴d=- . ? 【答案】 B

1 1 3.已知数列{an}中,a1=1, =a +3,则 a10 等 an+1 n 于 ( 1 A.5 1 C.6 1 B.4 D. 以上都不对 )

1

1 1 ?1? ? ? 【解析】 由 a1=1, = + 得?a ?为等差数列. ? ? an+1 an 3 ? n? 1 1 1 1 1 2 ∴a =a +(n-1)·=3n+3, 3 n 1 1 10 2 1 ∴a = 3 +3=4,∴a10=4. 10

【答案】 B

? 4.设等差数列{am}的前n项和为Sm,若a5 =5a3,则 ? =______.

? 【解析】 设等差数列的公差为d,首项
为a1,

? 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6 =S3=12,则{an}的通项an=________.

【答案】 2n

? 在等差数列{an}中, ? (1)已知a15=33,a45=153,求a61; ? (2)已知a6=10,S5=5,求a8和S8; ? 【思考点拨】 在等差数列中,五个重要 的量,只要已知三个量,就可求出其他两 个量,其中a1和d是两个最基本量,利用 通项公式与前n项和公式,先求出a1和d.

【解析】

(1)解法 1:设首项为 a1,公差为 d,依条
?a =-23, ? 1 ,解方程组得? ?d=4. ?

?33=a +14d ? 1 ? 件得 ?153=a1+44d ?

∴a61=-23+(61-1)×4=217. an-am a45-a15 153-33 解法 2:由 d= ,得 d= = 30 =4, n-m 45-15 由 an=am+(n-m)d, 得 a61=a45+16d=153+16×4=217.

?a +5d=10 ? 1 (2)∵a6=10,S5=5,∴? ?5a1+10d=5 ?

.

解方程组得 a1=-5,d=3, (a1+a8) ∴a8=a6+2d=10+2×3=16,S8=8× = 2 44.

两 个 数 列 {an} 和 {bn} 满 足 a1+2a2+…+nan . 1+2+…+n

bn =

求证:(1)若{bn}为等差数列,则数列{an}也是等差 数列; (2)(1)的逆命题也成立.

【证明】

(1)由已知得:a1+2a2+…+nan

1 =2n(n+1)bn,① 1 a1+2a2+…+(n+1)an+1=2(n+1)(n+2)bn+1.② ②-①得 1 1 1 ∴an+1= (n+2)bn+1- nbn= n(bn+1-bn)+bn+1. 2 2 2 3 ∴an+1-an=2(bn+1-bn)为常数, ∴{an}为等差数列.

(2)逆命题:两个数列{an}和{bn}满足 a1+2a2+…+nan bn= . 1+2+…+n 若{an}为等差数列,则{bn}也为等差数列. 1 1 证明:由已知得到 an= (n+1)bn- (n-1)bn-1, 2 2 1 1 an+1=2(n+2)bn+1-2nbn. 3 ∴an+1-an=2(bn+1-bn)为常数, 2 ∴bn+1-bn= (an+1-an)为常数. 3 ∴数列{bn}也为等差数列.

?

(1)证明等差数列的方法有定义法、 通项公式法、等差中项法、前n项和法(前 n项和公式的形式是不含常数项的二次函 数),但最规范的方法为定义法.我们在 证明等差数列时,一般就用定义法. ? (2)用定义证明等差数列时,常采用的两个 式子an+1-an=d和an-an-1=d的意义不 同,后者必须加上“n≥2”,否则n=1时, a0无定义.

?

1.已知数列{an}的通项公式an= pn2+qn(p、q∈R,且p、q为常数). ? (1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等 差数列? ? (2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1- an}是等差数列.

? 【解析】 (1)an+1-an=[p(n+1)2+q(n+ 1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使{an}是 等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关 的常数,所以只有2p=0,即p=0. ? 故当p=0时,数列{an}是等差数列. ? (2)证明:∵an+1-an=2pn+p+q, ? ∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q, ? 而(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常 数. ? ∴{an+1-an}是等差数列.

? ? 在等差数列{an}中, ? (1)若a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15, 求当n取何值时,Sn最大,并求出它的最 大值; ? (2)若a1<0,S9=S12,则该数列前多少项 的和最小?

? ? ? ? ? ? ?

【解析】 (1)由a1=20,S10=S15, 解得公差d=- . ∵S10=S15, ∴S15-S10=a11+a12+a13+a14+a15=0. ∵a11+a15=a12+a14=2a13,∴a13=0. ∵公差d<0,a1>0, ∴a1,a2,…,a11,a12均为正数,而a14及 以后各项均为负数. ? ∴当n=12或n=13时, ? Sn有最大值为S12=S13=130.

(2)设数列{an}的公差为 d,则由题意得 1 1 9a1+ ×9×(9-1)d=12a1+ ×12×(12-1)d, 2 2 即 3a1=-30d,∴a1=-10d. ∵a1<0,∴d>0. 1 1 2 21 ∴Sn=na1+2n(n-1)d=2dn - 2 dn 21?2 441d d? =2?n- 2 ? - 8 . ? ? ∴Sn 有最小值,又 n∈N?, ∴n=10,或 n=11 时,Sn 取最小值.

?

等差数列前n项和最值问题除了用 二次函数求解外,还可用下面的方法讨论:

?a ≤0, ? n d>0,a1<0,Sn 有最小值,需? ?an+1≥0; ? ?a ≥0, ? n a1>0,d<0,Sn 有最大值,需? ?an+1≤0, ?

若 整数.

n 取正

?

2.设等差数列{an}的首项a1及公 差d都为整数,前n项和为Sn. ? (1)若a11=0,S14=98,求数列{an}的通项 公式; ? (2)若a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能 的数列{an}的通项公式.

? ? ? ?

【解析】 (1)由S14=98得2a1+13d=14, 又a11=a1+10d=0, 故解得d=-2,a1=20. 因此,{an}的通项公式是an=22-2n,

?S14≤77, ? (2)由?a11>0, ?a ≥6 ? 1

?2a1+13d≤11, ? ,得?a1+10d>0, ?a ≥6. ? 1 ①

?2a1+13d≤11, ? 即?-2a1-20d<0, ② ?-2a ≤-12. ③ ? 1

11 由①+②得-7d<11,即 d>- 7 . 1 由①+③得 13d≤-1,即 d≤-13. 11 1 于是- 7 <d≤-13.

? ? ? ? ?

又d∈Z,故d=-1. ④ 将④代入①②得10<a1≤12. 又a1∈Z,故a1=11或a1=12. 所以,所有可能的数列{an}的通项公式是 an=12-n和an=13-n.

? 本节主要以考查通项公式、前n项和公式 为主,同时考查等差数列的性质,在计算 中,常有一些方程思想,题型各种形式都 有出现,其难度为中、低档题. ? 1.(2009年安徽卷)已知{an}为等差数列, a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.以Sn表 示{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的 n是 ? ( ) ? A.21 B.20 ? C.19 D.18

? 【解析】 ∵(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5) =3d, ? ∴99-105=3d.∴d=-2. ? 又∵a1+a3+a5=3a1+6d=105,∴a1=39.

? =-(n-20)2+400. ? ∴当n=20时,Sn有最大值. ? 【答案】 B

? 2.(2009年全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前 n项和为Sn,若S9=72,则a2+a4+a9= ______. ? 【解析】 设等差数列的首项为a1,公差 为d, ? 则a2+a4+a9=a1+d+a1+3d+a1+8d=


2011《金版新学案》高三数学一轮复习 3-2 等差数列课件....ppt

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 3-2 等差数列课件 (文) 全国.重庆专版。2011《金版新学案》高三数学一轮复习 3-2 等差数列课件 ...

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 3-4 数列求和课件....ppt

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 3-4 数列求和课件 (文) 全国.重庆专版 - 第四节 数列求和 ? 数列求和的常用方法 ? (1)公式法 ? ②掌握一些常见数列...

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 3-5 数列的综合应....ppt

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 3-5 数列的综合应用课件 (文) 全国.重庆专版 - 第五节 数列的综合应用 ? 数列应用问题的常见模型 ? (1)等差模型:一般...

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 3-3 等比数列课件....ppt

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 3-3 等比数列课件 (文) 全国.重庆专版2011《金版新学案》高三数学一轮复习 3-3 等比数列课件 ...

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 3-3 等比数列课件....ppt

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 3-3 等比数列课件 (文) 全国.重庆专版 - 第三节 等比数列 ? 1.等比数列的定义 ? 一般地,如果一个数列从 起,每第2...

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 4-2 同角三角函数....ppt

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 4-2 同角三角函数的基本关课件 (文) 全国.重庆专版_数学_高中教育_教育专区。第二节 同角三角函数的基本关系式及诱导...

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 7-2 两条直线的位....ppt

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 7-2 两条直线的位置关系课件 (文) 全国.重庆专版_数学_高中教育_教育专区。第二节 两条直线的位置关系 ? 1.两条直线...

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 5-2 平面向量的坐....ppt

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 5-2 平面向量的坐标运算课件(文) 全国.重庆专版 - 第二节 平面向量的坐标运算 ? 1.平面向量基本定理及坐标表示 ? (1)...

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 6-3 不等式的解法....ppt

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 6-3 不等式的解法课件(文) 全国.重庆专版_数学_高中教育_教育专区。第三节 不等式的解法 ? 1.高次不等式的解法 ? 将...

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 6-2 不等式的证明....ppt

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 6-2 不等式的证明课件(文) 全国.重庆专版_数学_高中教育_教育专区。第二节 不等式的证明 ? 1.比较法 ? 比较法是证明...

2013《金版新学案》高三数学一轮复习 6-5 均值不等式及....doc

2013《金版新学案》高三数学一轮复习 6-5 均值不等式及不等式的应用练习(文) 全国.重庆专版_数学_高中教育_教育专区。第6章 第5节 (本栏目内容,学生用书中...

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 7-3 简单的线性规....ppt

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 7-3 简单的线性规划课件 (文) 全国.重庆专版 - 第三节 简单的线性规划 ? 1.二元一次不等式表示平面区域 ? (1)二元...

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 4-1 三角函数的概....ppt

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 4-1 三角函数的概念课件 (文) 全国.重庆专版_数学_高中教育_教育专区。 第一节 三角函数的概念 ? ? ? ? ? ? 1....

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 7-5 圆的方程课件....ppt

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 7-5 圆的方程课件 (文) 全国.重庆专版 - 第五节 圆的方程 ? 1.圆的标准方程 (a,b) ? (x-a)2+(y-b)2=r2,...

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 7-6 直线、圆的位....ppt

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 7-6 直线、圆的位置关系课件 (文) 全国.重庆专版_数学_高中教育_教育专区。第六节 直线、圆的位置关系 ? 1.直线与圆...

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 4-6 三角函数的性....ppt

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 4-6 三角函数的性质课件 (文) 全国.重庆专版_数学_高中教育_教育专区。第六节 三角函数的性质 ? 正弦函数、余弦函数、...

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 5-5 解斜三角形及....ppt

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 5-5 解斜三角形及应用举例课件(文) 全国.重庆专版 - 第五节 解斜三角形及应用举例 ? 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦...

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 6-4 含绝对值的不....ppt

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 6-4 含绝对值的不等式课件(文) 全国.重庆专版_数学_高中教育_教育专区。第四节 含绝对值的不等式 ? 1.绝对值的有关...

2013《金版新学案》高三数学一轮复习 3-4 数列求和练习....doc

2013《金版新学案》高三数学一轮复习 3-4 数列求和练习 (文) 全国.重庆专版_数学_高中教育_教育专区。第3章 第4节 (本栏目内容,学生用书中以活页形式单独...

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 6-1 不等式的概念....ppt

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 6-1 不等式的概念及性质课件(文) 全国.重庆专版 - ? 第一节 不等式的概念及性质 ? 1.两个实数的大小 ? 两个实数的...