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广东省惠州一中等六校2013届高三上学期第一次联考数学文试题


2013 届高三六校第一次联考
文科数学试题
命题学校:珠海一中

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的。 1、设复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i , i 为虚数单位,则 z ? ( A、 2 ? i B、 1 ? 2i ) D、 ?1 ? 2i

C、 ?1 ? 2i

2、集合 A ? {x | x 2 ? 2x ? 0} , B ? {x | y ? lg(1 ? x)} ,则 A ? B 等于





A、 {x | 0 ? x ? 1}

B、 {x |1 ? x ? 2}

C、 {x |1 ? x ? 2}

D、 {x | 0 ? x ? 1}
)

? ? ? ? ? ? ? ? 3、已知向量 a , b 满足 | a |? 1, | b |? 2 , a ? b ? 1 ,则 a 与 b 的夹角为 (
A、

? 3

B、

3? 4

C、

? 4

D、

? 6

4、函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) (其中 a ? b )的图象如下面右图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b 的 图象是 ( )

?y ? x ? 5、已知 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 2 ,则 z ? 2x ? y 的最大值与最小值的比值为( ?x ? 2 ?
A、



1 2

B、2

C、

3 2
)

D、

4 3

6、右边程序执行后输出的结果是 S ? ( A、1275 B、1250 C、1225 D、1326

i=1 S=0 WHILE i<=50 S=S+i i=i+1 WEND PRINT S END 6 7.4 8 9.3 )
1

7、已知 x 、 y 取值如下表:

x
y

0 1.3

1 1.8

4 5.6

5 6.1

? 从所得的散点图分析可知: y 与 x 线性相关,且 y ? 0.95 x ? a ,则 a ? (

A、 1.30 8、已知方程

B、 1.45

C、 1.65

D、 1.80 )

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是( 2 ? k 2k ? 1
B、 (1, ??) C、 (1, 2) D、 ?

A、 ?

?1 ? ,2? ?2 ?

?1 ? ,1? ?2 ?

9、若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体 积为( )

4

3 3
正视图 侧视图 俯视图

A、 12 3

B、6

C、 27 3

D、 36 3

10、 如下图所示, 将若干个点摆成三角形图案, 每条边 (包括两个端点) n (n ? 1, n ? N ? ) 有 个点,相应的图案中总的点数记为 an ,则

9 9 9 9 ? ? ? ??? ?( a2a3 a3a4 a4a5 a2012 a2013



A、

2010 2011

B、

2011 2012

C、

2012 2013

D、

2013 2012

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。
(一)必做题(11-13 题) 11、若 a , b , c 成等比数列,则函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图像与 x 轴交点的个数为 _______. 12、如图,一不规则区域内,有一边长为 1 米的正方形,向区域 内随机地撒 1000 颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的 黄豆数为 375 颗,以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形 的面积为 平方米.(用分数作答)
2 13、已知函数 y ? f (x) ( x ? R) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 x ?[ ?1,1] 时, f ( x) ? x ,则

y ? f (x) 与 g ( x) ? log5 x 的图象的交点个数为

.
2

(二)选做题(14(1)和 14(2)题,考生只能从中选做一题,若两题都做,则只能计算 14(1)题的得分) 14(1)(坐标系与参数方程选做题)已知直线 l 的参数方程为: ? 、

? x ? 2t ( t 为参数) , ? y ? 1 ? 4t

圆 C 的极坐标方程为

,则直线

与圆 C 的位置关系为

14(2)、(几何证明选讲选做题)如图所示,过 ? O 外一点 P 作一条直线与 ? O 交于 A, B 两点,己知弦 AB ? 6 ,点 P 到 ? O 的切线长 PT ? 4, 则 PA ? T

P

O?
B
第 14(2)题图

A

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 ??? ? ??? ??? ??? ? 15、 (12 分)已知向量 m ? ( 2cos2 x , 3 ) , n ? (1, sin 2x ) ,函数 f ( x) ? m ? n
(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 f (C) ? 3 , c ? 1 ,ab ? 2 求 a , b 的值. 16、 (13 分)某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个 班进行铅球测试,成绩在 7.95 米及以上的为合格。把所得数据进行整理后,分成 6 组画出 频率分布直方图的一部分(如图),已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04,0.10,0.14, 0.28,0.30 ,第 6 小组的频数是 7. (1)求这次铅球测试成绩合格的人数; (2)若由直方图来估计这组数据的中位数,指出它在第几组内,并说明理由; (3)若参加此次测试的学生中,有 9 人的成绩为优秀,现在要从成绩优秀的学生中,随机 选出 2 人参加“毕业运动会” ,已知 a 、 b 的成绩均为优秀,求两人至少有 1 人入选的概率.

3 ,且 a ? b ,

3

? 17、 (13分) 如图, 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ABC ? 90 ,AB ? 4 ,BC ? 4 ,BB1 ? 3 ,

M、N分别是 B1C1 和 AC 的中点. (1)求异面直线 AB1 与 C1 N 所成的角的余弦值; (2)求三棱锥 M ? C1CN 的体积.

18、 (14 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点 A 为抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,上 2 a b

顶点为 B ,离心率为

3 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 (0, 2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P , Q 两点,若线段 PQ 的中点横坐 标是 ?

4 2 ,求直线 l 的方程。 5

19、 (14 分)已知 f ( x) ? 3x2 ? x ? m , ( x ? R) ,

g ( x) ? ln x

(1)若函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图像在 x ? x0 处的切线平行,求 x0 的值; (2)求当曲线 y ? f ( x)与 y ? g( x) 有公共切线时,实数 m 的取值范围;并求此时函数

?1 ? F ( x) ? f ( x) ? g ( x)在区间 ? , 1 ? 上的最值(用 m 表示) 。 ?3 ?
20、 (14分)已知数列 ? an ? 是各项均不为0的等差数列,公差为d, Sn 为其前n项和,且满
2 足 an ? S2n?1 , n ? N* .数列 ? bn ? 满足 bn ?

1 , n ? N* , Tn 为数列 ? bn ? 的前n项和. an ? an ?1

(1)求数列 ? an ? 的通项公式 an 和数列 ? bn ? 的前n项和 Tn ; (2)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) 恒成立,求实数 ? 的取值范围;
n

(3)是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m, n 的值;若不存在,请说明理由.
4

2013 届高三六校第一次联考
文科数学
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分. 题号 答案 二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 5 小题,每小题 5 分,满 分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 线 11. 12. 13. 。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(14 题和 15 题是选做题,只能选一题作答,多选按 14 题计分) 14(1) 、__________________;14(2) 、__________________. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分12分)

学号 姓名 班级 密 封

5

16. (本小题满分13分)

17. (本小题满分13分)

6

18. (本小题满分14分)

19. (本小题满分14分)

7

20. (本小题满分14分)

8





线

2013 届高三六校第一次联考
文科数学参考答案
命题学校:珠海一中 本试题共 4 页,20 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的。 1、设复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i , i 为虚数单位,则 z ? ( D A、 2 ? i B、 1 ? 2i ) D、 ?1 ? 2i

C、 ?1 ? 2i

2、集合 A ? {x | x 2 ? 2x ? 0} , B ? {x | y ? lg(1 ? x)} ,则 A ? B 等于

( D



A、 {x | 0 ? x ? 1}

B、 {x |1 ? x ? 2}

C、 {x |1 ? x ? 2}

D、 {x | 0 ? x ? 1}
)

? ? ? ? ? ? ? ? 3、已知向量 a , b 满足 | a |? 1, | b |? 2 , a ? b ? 1 ,则 a 与 b 的夹角为 ( C
A、

? 3

B、

3? 4

C、

? 4

D、

? 6

4、函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) (其中 a ? b )的图象如下面右图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b 的 图象是 ( A )

?y ? x ? 5、已知 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 2 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值与最小值的比值为( B ) ?x ? 2 ?
A、

1 2

B、2

C、

3 2

D、

4 3
)

6、右边程序执行后输出的结果是 S ? ( A A、1275 B、1250 C、1225 D、1326

i=1 S=0 WHILE i<=50 S=S+i i=i+1 WEND PRINT S END

9

7、已知 x 、 y 取值如下表:

x
y

0 1.3

1 1.8

4 5.6

5 6.1

6 7.4

8 9.3

? 从所得的散点图分析可知: y 与 x 线性相关,且 y ? 0.95 x ? a ,则 a ? ( B )
A、 1.30 B、 1.45 C、 1.65 D、 1.80 )

8、已知方程
?1 ?

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是( C 2 ? k 2k ? 1
? ?

A、 ? 2 , 2 ?

B、 (1, ??)

C、 (1, 2)

D、 ? 2 ,1?

?1 ?

? ?

9、若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体 积为( D )

4

3 3
正视图 侧视图 俯视图

A、 12 3

B、6

C、 27 3

D、 36 3
?

10、 如下图所示, 将若干个点摆成三角形图案, 每条边 (包括两个端点) n (n ? 1, n ? N ) 有 个点, 相应的图案中总的点数记为 an , 则

9 9 9 9 ? ? ? ?? ? aa3 aa4 aa5 a21 21a 2 3 4 0 0 2 3

?

= B ) (

2010 2011 2012 2013 B、 C、 D、 2011 2012 2013 2012 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。
A、 (一)必做题(11-13 题) 11、若 a , b , c 成等比数列,则函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图像与 x 轴交点的个数为
2

_______. 0 12、如图,一不规则区域内,有一边长为 1 米的正方形,向区域 内随机地撒 1000 颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的 黄豆数为 375 颗,以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形
10

的面积为

8 3

平方米.(用分数作答)

13、已知函数 y ? f (x) ( x ? R) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 x ?[ ?1,1] 时, f ( x) ? x 2 ,则

y ? f (x) 与 g ( x) ? log5 x 的图象的交点个数为

.4

(三)选做题(14(1)和 14(2)题,考生只能从中选做一题,若两题都做,则只能计算 14(1)题的得分) 14(1)(坐标系与参数方程选做题)已知直线 l 的参数方程为: ? 、

? x ? 2t ( t 为参数) , ? y ? 1 ? 4t

圆 C 的极坐标方程为

,则直线 l 与圆 C 的位置关系为 相交 T

14(2)、(几何证明选讲选做题)如图所示,过 ? O 外一点 P 作 一条直线与 ? O 交于 A, B 两点,己知弦 AB ? 6 ,点 P 到 ? O 的 切线长 PT ? 4, 则 PA ? 2

P

O?
B
第 14(2)题图

A

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 ??? ? ??? ??? ??? ? 15、 (12 分)已知向量 m ? ( 2cos2 x , 3 ) , n ? (1, sin 2x ) ,函数 f ( x) ? m ? n
(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 f (C) ? 3 , c ? 1 ,ab ? 2 3 ,且 a ? b , 求 a, b 的值. 解: (1) f ( x) ? m ? n ? (2cos2 x , 3) ? (1, sin 2x ) ? 2cos2 x ? 3sin 2 x

??? ??? ?

??2 分

? cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 2? ∴函数 f ( x ) 的最小周期 T ? ??
2
(2) f (C ) ? 2 sin( 2C ?

?

???4 分 ???5 分

?
6

) ?1 ? 3

? sin( 2C ? ? ) ? 1
6

? C 是三角形内角,∴ 2C ?
∴ cosC ?

? ? ? ? 即: C ? 6 2 6
2 2 即: a ? b ? 7 .

???7 分 ???9 分

b2 ? a2 ? c2 3 ? 2ab 2

2 将 ab ? 2 3 代入可得: a ?

12 ? 7 ,解之得: a 2 ? 3或4 2 a

11

∴a ?

3或2 ,? b ? 2或 3

???11 分 ???12 分

? a ? b ,∴ a ? 2 , b ? 3 .

16、 (13 分)某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个 班进行铅球测试,成绩在 7.95 米及以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成 6 组画出 频率分布直方图的一部分(如图),已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04,0.10,0.14, 0.28,0.30 ,第 6 小组的频数是 7. (1)求这次铅球测试成绩合格的人数; (2)若由直方图来估计这组数据的中位数,指出它在第几组内,并说明理由; (3)若参加此次测试的学生中,有 9 人的成绩为优秀,现在要从成绩优秀的学生中,随机 选出 2 人参加“毕业运动会” ,已知 a 、 b 的成绩均为优秀,求两人至少有 1 人入选的概率.

解: (1)第 6 小组的频率为 1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14,??1 分 ∴此次测试总人数为

7 ? 50 (人). 0.14

??2 分

∴第 4、5、6 组成绩均合格,人数为(0.28+0.30+0.14)×50=36(人).???4 分 (2)直方图中中位数两侧的面积相等,即频率相等, ??6 分 而前三组的频率和为 0.28,前四组的频率和为 0.56, ∴中位数位于第 4 组内. ??8 分 (3)设成绩优秀的 9 人分别为 a, b, c, d , e, f , g , h, k , 则从中任意选出 2 人所有可能的情况为:

ab, ac, ad , ae, af , ag , ah, ak ; bc, bd , be, bf , bg , bh, bk ; cd , ce, cf , cg , ch, ck ; de, df , dg , dh, dk ; ef , eg , eh, ek ; fg , fh, fk ; gh, gk ; hk ,共 36 种 ??10 分 其中 a 、 b 至少有 1 人入选的情况有 15 种, ??12 分 15 5 ? . ????13 分 ∴ a 、 b 两人至少有 1 人入选的概率为 P ? 36 12
? 17、 (13分) 如图, 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ABC ? 90 ,AB ? 4 ,BC ? 4 ,BB1 ? 3 ,

M、N分别是 B1C1 和 AC 的中点. (1)求异面直线 AB1 与 C1 N 所成的角的余弦; (2)求三棱锥 M ? C1CN 的体积.

解: (1)过A作AQ∥ C1 N 交 AC1 于Q,连结 B1Q , 1

12

? ∠B1AQ为异面直线AB1与C1N所成的角(或其补角) .??2分
根据四边形 AA1C1C 为矩形,N是中点,可知Q为 AC1 中点 1 计算 AB1 ? 5, B1Q ? 2 2 , AQ ? 17 由已知条件和余弦定理 可得 cos ?B1 AQ ? ??3分
Q A1

B1

M C1 H

17 5

??5分

B C

? 异面直线AB1与C1N所成的角的余弦为 17 5

N

?6分

A

(2)方法一:过 M 作 MH ? A1C1 于H,面 A1 B1C1 ? 面 AA1C1C 于 A1C1

? MH ? 面 AA1C1C
由条件易得: MH ?

??9分

2

??11分 ??13分
B1 M C1

1 1 1 1 VM ? NCC1 ? ? NC ? C1C ? MH ? ? ? 2 2 ? 3 ? 2 ? 2 3 2 3 2
方法二:取BC的中点P,连结MP、NP,则MP∥ BB1

? MP ? 平面ABC,
又 NP ? 平面ABC ,? MP ? NP 又∵ NP // AB , ∴ NP ? BC ??11分

??9分

A1

B

P C N

∴ NP ? 平面 BCC1 B1

1 PN ? AB ? 2 , 2

A

1 1 1 1 VM ? NCC1 ? V N ?C1CM ? ? MC1 ? C1C ? NP ? ? ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 3 2 3 2
18、 (14 分)已知椭圆 C :

??13分

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点 A 为抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,上 a 2 b2

顶点为 B ,离心率为

3 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 (0, 2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P , Q 两点,若线段 PQ 的中点横坐 标是 ?

4 2 ,求直线 l 的方程 5
13

解: (1)抛物线 y 2 ? 8x 的焦点为 A(2, 0) ,依题意可知 a ? 2 因为离心率 e ?

????2 分

c 3 ,所以 c ? 3 ? a 2

????3 分 故 ????5 分

x2 ? y2 ? 1 所以椭圆 的方程为: 4
????6 分 (2)设直线 l : y ? kx ? 2 y 由?

? y ? kx ? 2 ?
2 2 ?x ? 4 y ? 4 ?

, P
2

消去 y 可得 (4k ? 1) x ? 8 2kx ? 4 ? 0
2

??8 分 M x

因为直线 l 与椭圆 C 相交于 P, Q 两点, Q 所以 ? ? 128k 2 ? 16(4k 2 ? 1) ? 0 解得 | k |?

1 2

????9 分



x1 ? x 2 ?

?8 2k 4 ,x x ? 2 1 2 2 4k ? 1 4k ? 1

??10 分

设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , PQ 中点 M ( x0 , y0 ) 因为线段 PQ 的中点横坐标是 ?

4 2 5
??12 分

所以 x0 ?

x1 ? x2 ?4 2k 4 2 ? 2 ?? 2 4k ? 1 5
1 4

解得 k ? 1 或 k ? 因为 | k |?

??13 分

1 ,所以 k ? 1 2
????14 分

因此所求直线 l : y ? x ? 2

14

19、 (14 分)已知 f ( x) ? 3x2 ? x ? m , ( x ? R) ,

g ( x) ? ln x

(1)若函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图像在 x ? x0 处的切线平行,求 x0 的值; (2)求当曲线 y ? f ( x)与 y ? g( x) 有公共切线时,实数 m 的取值范围;并求此时函数

?1 ? F ( x) ? f ( x) ? g ( x)在区间 ? , 1 ? 上的最值(用 m 表示) 。 ?3 ?
解: (1)∵ f / ( x) ? 6 x ? 1, g ( x ) ?
/

1 x

??2 分 ??3 分 ??4 分 ??5 分

1 2 ,即 6x0 ? x0 ?1 ? 0 x0 1 1 解得, x0 ? 或 x0 ? ? 2 3 1 ∵ x0 ? 0 ,∴ x0 ? 2 (2)若曲线 y ? f ( x)与y ? g (x) 相切
由题意知 6 x0 ? 1 ? 且在交点处有公共切线

1 , ??6 分 2 1 1 3 1 1 ∴ f ( ) ? g ( ) ,∴ ? ? m ? ln 2 2 4 2 2 1 m ? ? ? ln 2 , ??8 分 4 1 由数形结合可知, m ? ? ? ln 2 时, f ? x ? 与 4 g ( x) 有公共切线 ??9 分
由(1)得切点横坐标为

0 m x

1 6 x 2 ? x ? 1 (3x ? 1)(2 x ? 1) ? ? x x x ?1 ? 则 F '( x) 与 F ( x) 在区间 ? , 1 ? 的变化如下表: ?3 ?
又 F '( x) ? 6 x ? 1 ?

??10 分

x
F '( x) F ( x)
1 3

1 1 [ , ) 3 2
- ↘

1 2
0 极小值

1 ( ,1] 2
+ ↗ ??12 分

又? F ( ) ? m+ ln 3

?1? F (1) ? 2 ? m ? F ? ? ?3?

15

∴当 x ? ?

F ( x)max

1 1 1 ?1 ? ( , 1 ? 时, F ( x) min ? F ( ) ? m ? ? ln 2 , m ? ? ? ln 2 ) 2 4 4 ?3 ? 1 l2 ( ??14 分 ? F (1) ? m ? 2 , m ?? ? n ) 4

20、 (14分)已知数列 ? an ? 是各项均不为0的等差数列,公差为d, Sn 为其前n项和,且满
2 足 an ? S2n?1 , n ? N* .数列 ? bn ? 满足 bn ?

1 , n ? N* , Tn 为数列 ? bn ? 的前n项和. an ? an ?1

(1)求数列 ? an ? 的通项公式 an 和数列 ? bn ? 的前n项和 Tn ; (2)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) 恒成立,求实数 ? 的取值范围;
n

(3)是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m, n 的值;若不存在,请说明理由.
2 解: (1)在 an ? S 2 n ?1 中,令 n ? 1 , n ? 2 ,

?a1 2 ? S1 , ? 得? 2 ?a 2 ? S 3 , ?

?a1 2 ? a1 , ? 即? ?(a1 ? d ) 2 ? 3a1 ? 3d , ?

??1分

解得 a1 ? 1 , d ? 2 ,? an ? 2n ? 1

??2分

2 又? an ? 2n ? 1 时, Sn ? n 2 满足 an ? S2 n ?1 ,? an ? 2n ? 1

? bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

??3分

?Tn ?

1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ? ? ? )? . 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
n

??4分

(2)①当 n 为偶数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) 恒成立,即需不等式

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 17 恒成立. n n 8 ? 2n ? ? 8 ,等号在 n ? 2 时取得. n ? 此时 ? 需满足 ? ? 25

??

??5分

??6分
n

②当 n 为奇数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) 恒成立,即需不等式

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 15 恒成立. ??7分 n n 8 8 ? 2n ? 是随 n 的增大而增大, ? n ? 1 时 2n ? 取得最小值 ?6 . n n

??

16

? 此时 ? 需满足 ? ? ?21 .
(3) T1 ?

??8分 ??9分

综合①、②可得 ? 的取值范围是 ? ? ?21 .

1 m n , Tm ? , Tn ? , 3 2m ? 1 2n ? 1
m 2 1 n ) ? ( ) ,??10分 2m ? 1 3 2n ? 1

若 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则 ( 即 由
m2 n ? . 2 4m ? 4m ? 1 6n ? 3

3 ?2m 2 ? 4m ? 1 m2 n ? 0 , ??12分 ,可得 ? ? n m2 4m ? 4m ? 1 6n ? 3
2

即 ?2m 2 ? 4m ? 1 ? 0 ,

? 1? 6 ? m ? 1? 6 . 2 2

??13分

又 m ? N ,且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 .

T 因此,当且仅当 m ? 2 , n ? 12 时,数列 ? n ?中的 T1 , Tm , Tn 成等比数列.


?14

n 1 1 ? ? m2 1 [另解] 因为 6n ? 3 3 6 ,故 2 ? ,即 2m 2 ? 4m ? 1 ? 0 , 6? 4m ? 4m ? 1 6 n

? 1? 6 ? m ? 1? 6 , (以下同上 ) . 2 2

17


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