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新课标下如何利用几何画板优化高中数学教学

新课标下如何利用几何画板优化高中数学教学

摘 要:随着计算机多媒体的出现和飞速发展,在网 络技术广泛应用于各个领域的同时,也给学校教育带来了一 场深刻的变革――用计算机辅助教学,改善人们的认知环 境――越来越受到重视。本文通过几何画板在代数、立体几 何、解析几何教学中的应用,具体的感性的信息呈现,能给 学生留下更为深刻的印象,使学生不是把数学作为单纯的知 识去理解它,而是能够更有实感地去把握它。这样,既能激 发学生的情感、培养学生的兴趣,又能大大提高课堂效率。

关键词:数学 教学 画板 应用 对于数学科学来说主要是抽象思维和理论思维,这是事 实;但从人类数学思维系统的发展来说,形象思维是最早出 现的,并在数学研究和教学中都起着重要的作用。很难想象 一个没有得到形象思维培养的人会有很高的抽象思维、理论 思维的能力。同样,一个学生如果根本不具备数学想象力, 要把数学学好那也是不可能的。 正如前苏联著名数学家 A?H?柯尔莫戈洛夫所指出的: “只要有可能,数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几 何上视觉化。 ”因此,随着计算机多媒体的出现和飞速发展, 在网络技术广泛应用于各个领域的同时,也给学校教育带来

了一场深刻的变革――用计算机辅助教学,改善人们的认知 环境――越来越受到重视。从国外引进的教育软件《几何画 板》以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和 图象功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好,并已 成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。 那么, 《几何画板》在新课标下高中数学教学中有哪些 应用呢?就此谈几点体会: 一、几何画板在高中新课程改革代数教学中的应用 “函数”是中学数学中最基本、最重要的概念,它的概 念和思维方法渗透在高中数学的各个部分;同时,函数是以 运动变化的观点对现实世界数量关系的一种刻划,这又决定 了它是对学生进行素质教育的重要材料。 正如华罗庚所说: “数缺形少直观,形缺数难入微。 ”函 数的两种表达方式――解析式和图象――之间常常需要对 照(如研究函数的单调性、讨论方程或不等式的解的情况、 比较指数函数和对数函数图象之间的关系等) 。为了解决数 形结合的问题,在有关函数的传统教学中多以教师手工绘 图,但手工绘图有不精确、速度慢的弊端;应用几何画板快 速直观的显示及变化功能则可以克服上述弊端,大大提高课 堂效率,进而起到事倍功半的效果。 具体说来,可以用《几何画板》根据函数的解析式快速 作出函数的图象,并可以在同一个坐标系中作出多个函数的

图象。 如在同一个直角坐标系中作出函数 y=x2、 y=x3 和 y=x 的图象,比较各图象的形状和位置,归纳幂函数的性质。还 可以作出含有若干参数的函数图象,当参数变化时函数图象 也相应地变化。如在讲函数 y=Asin(ω x+φ )的图象时,传 统教学只能将 A、ω 、φ 代入有限个值,观察各种情况时函 数图象之间的关系;利用《几何画板》则可以以线段 b、T 的长度和 A 点到 x 轴的距离为参数作图(如图 1) ,当拖动 两条线段的某一端点(即改变两条线段的长度)时分别改变 三角函数的首相和周期,拖动点 A 则改变其振幅,这样在教 学时既快速灵活,又不失一般性。 《几何画板》在高中代数的其他方面也有很多用途。例 如,借助于图形对不等式的一些性质、定理和解法进行直观 分析――由“半径不小于半弦”证明不等式“a+b≥2 ab(a、 b∈R+)等。再比如,讲解数列的极限的概念时,作出数列 an=10-n 的图形(即作出一个由离散点组成的函数图象) ,观 察曲线的变化趋势,并利用《几何画板》的制表功能以“项 数、这一项的值、这一项与 0 的绝对值”列表,帮助学生直 观地理解这一较难的概念。 二、几何画板在高中新课程改革立体几何教学中的应用 立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨论 空间图形的性质;它所用的研究方法是以公理为基础,直接 依据图形的点、线、面的关系来研究图形的性质。从平面图

形到空间图形,从平面观念过渡到立体观念,无疑是认识上 的一次飞跃。 初学立体几何时,大多数学生不具备丰富的空间想象能 力及较强的平面与空间图形的转化能力,主要原因在于人们 是依靠对二维平面图形的直观来感知和想象三维空间图形 的,而二维平面图形不可能成为三维空间图形的真实写照, 平面上绘出的立体图形受其视角的影响,难于综观全局,其 空间形式具有很大的抽象性。 如两条互相垂直的直线不一定画成交角为直角的两条 直线,正方体的各面不能都画成正方形等。这样一来,学生 不得不根据歪曲真象的图形去想象真实情况,这便给学生认 识立体几何图形增加了困难。而应用《几何画板》将图形动 起来,就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系表 现得惟妙惟肖, 使学生从各个不同的角度去观察图形。 这样, 不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识,还可以让学生 的想象力和创造力得到充分发挥。 像在讲二面角的定义时(如图 2) ,当拖动点 A 时,点 A 所在的半平面也随之转动,即改变二面角的大小。图形直观 的变动有利于帮助学生建立空间观念和空间想象力。在讲棱 台的概念时,可以演示由棱锥分割成棱台的过程(如图 3) , 更可以让棱锥和棱台都转动起来,使学生在直观掌握棱台的 定义并通过棱台与棱锥的关系由棱锥的性质得出棱台的性

质的同时,让学生欣赏到数学的美,激发学生学习数学的兴 趣。在讲锥体的体积时,可以演示将三棱柱分割成三个体积 相等的三棱锥的过程(如图 4) ,既避免了学生空洞的想象而 难以理解,又锻炼了学生用分割几何体的方法解决问题的能 力。在用祖恒原理推导球的体积时,运用动画和轨迹功能作 图 5,当拖动点 O 时,平行于桌面的平面截球和柱锥所得截 面也相应地变动。直观美丽的画面在学生学得知识的同时, 给人以美的感受,创建了一个轻松、乐学的氛围。 三、几何画板在高中新课程改革解析几何教学中的应用 平面解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数 学学科, 它研究的主要问题, 即它的基本思想和基本方法是: 根据已知条件, 选择适当的坐标系, 借助形和数的对应关系, 求出表示平面曲线的方程,把形的问题转化为数来研究;再 通过方程,研究平面曲线的性质,把数的研究转化为形来讨 论。而曲线中各几何量受各种因素的影响而变化,导致点、 线按不同的方式作运动,曲线和方程的对应关系比较抽象, 学生不易理解。显而易见,展示几何图形变形与运动的整体 过程在解析几何教学中是非常重要的。这样, 《几何画板》 又以其极强的运算功能和图形图象功能在解析几何的教与 学中大显身手。如它能作出各种形式的方程(普通方程、参 数方程、 极坐标方程) 的曲线; 能对动态的对象进行 “追踪” , 并显示该对象的“轨迹” ;能通过拖动某一对象(如点、线)

观察整个图形的变化来研究两个或两个以上曲线的位置关 系。 具体地说,比如在讲平行直线系 y=x+b 或中心直线系 y=kx+2 时, 如图 6 所示, 分别拖动图 (1 ) 中的点 A 和图 (2 ) 中的点 B 时, 可以相应地看到一组斜率为 1 的平行直线和过 定点(0,2)的一组直线(不包括 y 轴) 。 再比如在讲椭圆的定义时,可以由“到两定点 F1、F2 的距离之和为定值的点的轨迹” 入手――如图 7, 令线段 AB 的长为“定值” ,在线段 AB 上取一点 E,分别以 F1 为圆心、 AE 的长为半径和以 F2 为圆心、AE 的长为半径作圆,则两 圆的交点轨迹即满足要求。先让学生猜测这样的点的轨迹是 什么图形,学生各抒己见之后,老师演示图 7(1) ,学生豁 然开朗: “原来是椭圆。 ”这时老师用鼠标拖动点 B(即改变 线段 AB 的长) ,使得|AB|=|F1F2|,如图 7(2) ,满足条件的 点的轨迹变成了一条线段 F1F2, 学生开始谨慎起来并认真思 索,不难得出图 7(3) (|AB|<|F1F2|时)的情形。经过这个 过程,学生不仅能很深刻地掌握椭圆的概念,也锻炼了其思 维的严密性。 综上所述,使用《几何画板》进行数学教学,通过具体 的感性的信息呈现,能给学生留下更为深刻的印象,使学生 不是把数学作为单纯的知识去理解它,而是能够更有实感地 去把握它。这样,既能激发学生的情感、培养学生的兴趣,

又能大大提高课堂效率。但是,通常计算机辅助教学全面进 入课堂有两大难点: 一是教师掌握计算机知识的水平。 二是好的实用的 CAI 软件。 在课堂上教师是主角,要把 CAI 引入课堂教学,仅仅依 靠几名计算机专业教师是远远不够的,他们不能代替(也不 可能代替)学科教师走向讲台,因此各校需要培养一支掌握 了一定计算机知识的学科教师队伍。 还要有实用的教学软件,其软件的来源有以下几种方 法: 1.购买已发行的教学软件。 2.与软件公司联合编写。 3.由本校计算机教师编写教学软件。 不论采用哪种方法所得到的教学软件,不是费用太贵, 就是制作周期太长或不适合于本校的实际情况。 总之,现代化的 CAI 教学的前景是宽广的,它有着很强 的生命力,最终将全面地闯入我国中小学教学领域,使教学 改革发生根本的变化。