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第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1课时


第四章

平面向量、数系的扩充与复数的引入

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平面向量、数系的扩充与复数的引入

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知识点 考纲下载 平面向量 1.了解向量的实际背景. 的实际背 2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. 景及基本 3.理解向量的几何表示. 概念 1.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 向量的线 2.掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,理解 性运算 两个向量共线的含义. 3.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 平面向量 1.了解平面向量的基本定理及其意义. 的基本定 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 理及坐标 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 表示 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
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知识点

平面向量 的数量积

向量的应 用 复数的概 念 复数的四 则运算

考纲下载 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量 积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积 判断两个平面向量的垂直关系. 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实 际问题. 1.理解复数的基本概念. 2.理解复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法及其几何意义. 1.会进行复数代数形式的四则运算. 2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
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第1课时 平面向量的概念及线性 运算

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1.向量的有关概念 (1)向量是如何定义的?

提示:既有大小又有方向的量.
任意 的. (2)零向量:长度为0的向量,其方向是________ 1个单位长度 的向量. (3)单位向量:长度等于____________ 相同或相反 的非零向量. (4)平行向量:方向____________ 相同 的向量. 相等 且方向________ (5)相等向量:长度________ 相等 且方向________ 相反 的向量. (6)相反向量:长度________
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温馨提示:零向量和单位向量,它们的模是确定的,但是

方向不确定,因此在解题时要注意它们的特殊性.

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2.向量的加法与减法 (1)加法

①向量的加法服从哪两种运算法则?
提示:服从三角形法则和平行四边形法则. ②向量的加法满足哪两种运算律? 提示:a+b=b+a(交换律);(a+b)+c=a+(b+c)(结合律) (2)减法:减法与加法互为逆运算,服从三角形法则. 温馨提示: (1)利用三角形法则进行加法运算时 ,两向量要首 尾相连,和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点. (2) 利用三角形法则进行减法运算时 , 两个向量要有相同的 起点,然后连接两向量的终点,并指向被减向量即为差向量.
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3.实数与向量的积
(1)|λa|=|λ||a|. λ>0 λ<0 时,λ a与 (2)当________ 时,λ a与a的方向相同;当_______ a的方向相反;当λ=0时,λa=0. (3)运算律:设λ,μ∈R,则: (λμ)a ; ①λ(μa)=__________ λa+μ a ②(λ+μ)a=_____________ ; λa+λb ③λ(a+b)=_____________ .

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4.两个向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ ,

b=λa . 使得________
温馨提示:向量的平行与直线的平行不同,向量的平行包括 两向量所在直线平行和重合两种情形.

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1.设a0,b0分别是与a,b同向的单位向量,则下列结论
中正确的是( A.a0=b0 C.|a0|+|b0|=2 ) B.a0· b0=1 D.|a0+b0|=2

解析:选C.因为是单位向量,所以|a0|=1,|b0|=1.

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2.已知 O,A,B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C, → → → 满足 2AC +CB = 0,则OC等于 ( A. 2OA-OB 2→ 1→ C. OA- OB 3 3 )





B.-OA+ 2OB 1→ 2→ D.- OA+ OB 3 3





答案:A

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3. 如图所示,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是 ( ) A. AB =DC B. AD+AB =AC C. AB -AD=BD D. AD+CB = 0 解析:选 C.A 显然正确,由平行四边形法则知 B 正确. → → → C 中AB -AD=DB,所以错误.
D 中AD+CB =AD+DA= 0.
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→ →













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→ → → 2 4.若菱形 ABCD 的边长为 2, 则 |AB-CB+CD|= ________ .
解析: |AB-CB+CD|= |AB+BC+CD|= |AD|= 2.
5. 已知 a 与 b 是两个不共线向量, 且向量 a+ λb 与- (b- 3a) 1 - 3 . 共线,则 λ= ________















解析:由题意知 a+ λb= k[- (b- 3a)],
? ?λ =- k, 所以? 解得 ? ?1= 3k,

? ? 1 ?λ =-3.
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1 k= , 3

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平面向量的基本概念
①有向线段就是向量,向量就是有向线段; ②向量 a 与向量 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; → → ③向量AB 与向量CD共线,则 A、 B、 C、 D 四点共线; ④如果 a∥ b, b∥ c,那么 a∥ c. 以上命题中正确的个数为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
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)

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[解析] ①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是
有向线段,有向线段也不是向量; ②不正确,若a与b中有一个为零向量,零向量的方向是不确 定的,故两向量方向不一定相同或相反; ③不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行;

④不正确,如果b=0时,则a与c不一定平行.
[答案] D

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解决平面向量概念辨析题的方法: 解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心—方向和

长度,如共线向量的核心是方向相同或相反,长度没有限制;
相等向量的核心是方向相同且长度相等;单位向量的核心是 方向没有限制,但长度都是一个单位长度;零向量的核心是

方向没有限制,长度是0;规定零向量与任意向量共线.只有
紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.

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1.设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0; ②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a= a0.上述命题中,假命题的个数是( A.0 C.2 B.1 D.3 )

解析:选D.向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,
但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的 方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,

故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.
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平面向量的线性运算
(2013· 高考江苏卷 )设 D, E 分别是△ ABC 的边 AB, 1 2 → → → BC 上的点, AD= AB, BE= BC. 若 DE= λ1AB + λ2AC (λ1, 2 31

2 λ 2 为实数 ),则 λ1 + λ2 的值为 ________ .
[解析] 1 → → → 2→ 1→ 2 → → 由题意DE=BE -BD= BC - BA = (AC -AB )+ 3 2 3 2

1→ 2→ 1 2 1 → AB =- AB + AC ,于是 λ1=- ,λ 2= ,故 λ1+ λ2= . 6 3 6 3 2
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三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法, 共起点的向量和用平行四边形法则,差用三角形法则;在△ → 1 → → ABC 中,当 M 为 BC 中点时,AM = (AB +AC )应作为公式 2 记住.

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→ → → → 2.在△ ABC 中,AB = c,AC = b,若点 D 满足BD= 2DC, → 则AD= ( 2 1 A. b+ c 3 3 2 1 C. b- c 3 3 ) 5 2 B. c- b 3 3 1 2 D. b+ c 3 3

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→ → 解析:选 A.∵BD= 2DC, → → → → ∴AD-AB = 2(AC -AD), → → → ∴ 3AD= 2AC +AB , 1 → 2 → 1→ 2 ∴AD= AC + AB = b+ c. 3 3 3 3

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平面向量共线定理的应用
已知非零向量 e1, e2 不共线. → → → (1)如果AB = e1+ e2,BC = 2e1+ 8e2,CD= 3(e1- e2 ),求证: A、 B、D 三点共线; (2)欲使 ke1+ e2 和 e1+ ke2 共线,试确定实数 k 的值.

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→ [解] (1)证明:∵AB = e1+ e2, → → → BD=BC +CD= 2e1+ 8e2+ 3e1- 3e2 → = 5(e1+ e2)= 5AB , → → ∴AB 与BD共线,且有公共点 B, ∴ A、 B、 D 三点共线. (2)∵ ke1+ e2 与 e1+ ke2 共线, ∴存在 λ,使 ke1 + e2= λ(e1+ ke2 ), 则 (k- λ)e1=(λk- 1)e2 .由于 e1 与 e2 不共线, ? ?k- λ= 0, 只能有? ∴ k= ± 1. ?λ k- 1= 0, ?
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(1)向量共线是指存在实数λ 使两向量能互相表示. (2)向量共线的充要条件中,通常只有非零向量才能表示与之 共线的其他向量,要注意待定系数法和方程思想的运用. (3)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量 共线与三点共线的区别与联系, 当两向量共线且有公共点时, 才能得出三点共线. → → → → (4)当 A、 B、 C 三点共线时,OA、OB作基底,OC= λOA+ → mOB,则 λ+m= 1.
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3.已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1、e2不共线,

向量c=2e1-9e2.问是否存在这样的实数λ、μ,使向量d=λa
+μb与c共线?
解:∵ d= λ(2e1- 3e2 )+μ(2e1+ 3e2 ) = (2λ+ 2μ)e1+ (- 3λ+ 3μ)e2, 要使 d 与 c 共线,则应有实数 k,使 d= kc, 即 (2λ+ 2μ)e1+ (- 3λ+ 3μ)e2= 2ke1- 9ke2,
? ?2λ + 2μ= 2k, 即? 得 λ=- 2μ. ?- 3λ+ 3μ=- 9k, ?

故存在这样的实数 λ、μ,只要 λ=- 2μ,就能使 d 与 c 共线.
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因平面向量概念理解不清致误

(2014· 河南郑州模拟)已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d

1 =a+(2λ-1)b,若c与d同向,则实数λ的值为________ .

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[解析]

由于 c 与 d 同向,所以 c= kd(k>0),

于是 λa+ b= k[a+(2λ- 1)b], 整理得 λa+ b= ka+ (2λk- k)b. ? ?λ = k, 由于 a,b 不共线,所以有? ? ?2λ k- k= 1, 1 整理得 2λ2- λ- 1= 0,所以 λ=1 或 λ=- . 2 又因为 k>0,所以 λ>0,故 λ= 1.

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解答本题时,由于对两个向量共线、同向、反向的概念理解
不清,混淆它们之间的关系,导致错解.

两个向量共线,是指两个向量的方向相同或相反,因此共线 包含两种情况:同向共线或反向共线.在求解相关问题时要

注意区分三者.一般地,若a=λb,那么a与b共线;当λ>0时,
a与b同向;当λ<0时,a与b反向.

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(2014· 安徽芜湖质检)设 e1, e2 是两个不共线的向量,则向量 a= 2e1- e2 与向量 b= e1+ λe2 (λ∈ R)共线的充要条件是 ( A.λ = 0 C.λ =- 2 1 B.λ =- 2 D.λ =- 1 )

解析:选 B.由 a= 2e1- e2 与 b= e1+ λe2 共线得存在实数 k, 使得 a= kb,即 2e1- e2= k(e1 + λe2).又 e1, e2 不共线,所以 1 k= 2,- 1= kλ,得 λ=- . 2
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