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对数函数y=log a x (a>0, a≠1) a>1 图 象 o y (1, 0) x y o 0<a<1 (1, 0) x (1) 定义域: (0,+∞) 性 (2) 值域:R (3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0 (4) 0<x<1时, y<0; (4) 0<x<1时, y>0; x>1时, y<0 质 x>1时, y>0 (5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数 探求之一:底数相同的两个对数比较 例1 比较下列各组数中两个值的大小: (1) log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , a≠1 ) 解 ⑴考察对数函数 y = log 2x,因为它的底数2>1, 所以它在(0,+∞)上是增函数,于是 log 23.4<log 28.5 ⑵考察对数函数 y = log 0.3 x,因为它的底数0.3, 即0<0.3<1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是 log 0.31.8>log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , a≠1 ) 分析:对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是 小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大,因此 需要对底数a进行讨论: 解:当a>1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数,于是 log a5.1<log a5.9 当0<a<1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数, 于是 log a5.1>log a5.9 小结:怎样比较同底的两个对数的大小? (1)确定函数的底数是否大于1: (2)判断对数函数的增减; (3)确定两数的大小; 练习1: 比较下列各题中两个值的大小: < log 8 ⑴ log106 10 < log0.54 ⑵ log0.56 > log0.10.6 ⑶ log0.10.5 > log1.51.4 ⑷ log1.51.6 探求之二:不同底的两个对数比较 例2 比较下列各组中两个值的大小: (1) log 3π , log 2 0.8 . (2)log 67 , log 7 6 ; y log3π X=1 X=1 y Y= log 3 x 1 3π Y= log 2 x o 0.8 1 o x log 2 0.8 x 分析:㏒3 π>1=㏒33 ㏒ 3π> 0 ㏒20.8<0 解:(1)∵ log3π>log31=0 log20.8<log21=0 ∴ log3π>log20.8 (2)log 67 , log 7 6 ; y log 67 1 Y=log 67 1 log 7 6 67 y Y=㏒7 x o x o 6 7 x 分析: log 67>1 解:∵ log67>log66=1 log76<log77=1 ∴ log67>log76 log 7 6 <1 小结:若底数不同,真数也 不同的两个对数比较大小时, 先作相对应的函数图进行估 值,再采用插入中间变量“0” 或“1”来确定两对数值得大 小。 练习2: (1)㏒0.30.7 , ㏒2.12.9 解:㏒0.30.7<㏒0.30.3=1 ㏒2.12.9>㏒2.12.1=1 ㏒0.30.7 < ㏒2.12.9 探求之三:底数不同但真数相同 例3 ㏒1.10.7 , ㏒1.20.7 y 解: y=㏒1.1x 0.7 ㏒1.20.7 ㏒1.10.7 Y=㏒1.2x x 由图可知: ㏒1.10.7 < 采用作图法。 ㏒1.20.7 小结:底数不同但真数相同的题目中,一般 练习3: (1)㏒1.1 2.3 ,㏒1.2 2.2 解:㏒1.1 2.3>㏒1.1 2.2 y X=1 Y=㏒1.1 x Y=㏒1. 2 x 2.2 ㏒1.1 2.2 ㏒1.2 2.2 o x ㏒1.12.2> ㏒1.2 2.2 ㏒1.1 2.3> ㏒1.2 2.2 比较两个对数值的大小 1、若底数为同一常数,则可由对数函数的单 调性直接进行判断 2、若底数为同一字母,则按对数函数的单调 性对底数进行分类讨论 3、若底数、真数都不相同,则常借助1、0、 -1等中间量进行比较. 4、若底数不同真数相同,则常借助对数函数 图象进行比较

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