kl800.com省心范文网

2013版高考数学(人教A版·数学文)全程复习方略配套课件:11.1 随机事件的概率(共64张PPT)_图文

第一节 随机事件的概率

点击进入相应模块

三年3考

高考指数:★★

1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的
意义,了解频率与概率的区别; 2.了解两个互斥事件的概率加法公式.

1.互斥事件与对立事件的概率是考查重点; 2.题型以选择题、填空题为主,与统计知识交汇则以解答题为

主.

1.概率和频率 (1)频率:在相同条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出
nA 现,nA为事件A出现的频数,事件A出现的频率为fn(A)=____; n

(2)概率:对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)

随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)
来估计概率P(A).

【即时应用】 (1)思考:概率与频率有何区别与联系? 提示:频率和概率的区别是频率随着试验次数的变化而变化, 概率却是一个常数,它是频率的科学抽象.当试验次数越来越 多时,频率向概率靠近,只要次数足够多,所得频率就可以近 似地当作随机事件的概率.

(2)判断下列说法的正误.(请在括号内打“√”或“×”) ①频率是反映事件发生的频繁程度,概率是反映事件发生的可 能性大小; ( )

②做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率就是事 件的概率; ③百分率是频率,但不是概率; ( ( ) )

④频率是不能脱离具体的n次试验的试验值,而概率是具有确
定性的、不依赖于试验次数的理论值; ⑤频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值. ( ( ) )

【解析】由频率的定义和概率的统计定义及二者的关系可知① ④⑤正确,②③不正确. 答案:①√②×③×④√⑤√

2.事件的关系与运算
名称 包含 关系 定义 如果事件A发生,则事件B一定发生, 这时称事件B包含事件A(或称事件A 包含于事件B) 符号表示

B?A A?B (或 ______ )

相等 关系

B?A A?B 若 _______, 且 _______,那么称事件A
与事件B相等
若某事件发生当且仅当事件A发生或

A=B

并事件 (和事件)

事件B发生,则称此事件为事件A与事
件B的并事件(或和事件)

A∪B (或 A+B )

名称 交事件 (积事件)

定义 若某事件发生当且仅当事件A发生且 事件B发生,则称此事件为事件A与 事件B的交事件(或积事件) 若A∩B为不可能事件,那么称事件A 与事件B互斥

符号表示

A?B AB (或____)

互斥事件

A∩B=??

若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事 对立事件 件,那么称事件A与事件B互为对立事 件

【即时应用】

(1)两个事件互斥是这两个事件对立的______条件.
(2)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,下列两个事

件是互斥事件但不是对立事件的是________(填序号).
①至少有1个白球,都是白球 ②至少有1个白球,至少有1个红球 ③恰有1个白球,恰有2个白球 ④至少有1个白球,都是红球

【解析】(1)互斥不一定对立,但对立一定互斥,故互斥是对 立的必要不充分条件. (2)①、②中的两个事件不互斥,当然也不对立;③中的两个 事件互斥,但不对立;④中的两个事件不但互斥,而且对立. 所以正确答案应为③. 答案:(1)必要不充分 (2)③

3.概率的几个基本性质

0≤P(A)≤1 (1)概率的取值范围 ______________;
1 (2)必然事件的概率为___;

0 (3)不可能事件的概率为____;
(4)概率的加法公式 P(A)+P(B) 如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=____________; (5)对立事件的概率

若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件.
1-P(B) 1 P(A∪B)=_____,P(A)=_________.

【即时应用】 (1)某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在 正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和 0.03,则抽验一只是正品(甲级)的概率为_______. (2)若A、B为互斥事件,P(A)=0.4,P(A∪B)=0.7,则P(B)= ___________.

(3)在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下:

排队人数
概率

0

1

2
0.3

3
0.3

4
0.1

5人以上
0.04

0.1 0.16

则至少有两人排队的概率为________.

【解析】(1)记抽验的产品是甲级品为事件A,是乙级品为事件 B,是丙级品为事件C,这三个事件彼此互斥,因而抽验产品是 正品(甲级)的概率为P(A)=1-P(B)-P(C)=1-0.05-0.03= 0.92. (2)∵A、B为互斥事件,∴P(A∪B)=P(A)+P(B),

∴P(B)=P(A∪B)-P(A)=0.7-0.4=0.3.
(3)P=1-(0.1+0.16)=0.74

答案:(1)0.92

(2)0.3

(3)0.74

随机事件的频率与概率 【方法点睛】频率与概率的理解 (1)依据定义求一个随机事件的概率的基本方法是通过大量的 重复试验,用事件发生的频率近似地作为它的概率,但是,某 一事件的概率是一个常数,而频率随着试验次数的变化而变化.

(2)概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律, 与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的.也就是说,单 独一次结果的不确定性与积累结果的有规律性,才是概率意义 下的“可能性”,事件A的概率是事件A的本质属性.

【例1】(2011·新课标全国卷)某种产品的质量以其质量指标 值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或 等于102的产品为优质产品,现用两种新配方(分别称为A配方 和B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产

品的质量指标值,得到下面试验结果:
A配方的频数分布表
指标值 分组 频数 [90,94) 8 [94,98) 20 [98,102) [102,106) 42 22 [106,110] 8

B配方的频数分布表
指标值 分组 频数 [90,94) 4 [94,98) 12 [98,102) [102,106) 42 32 [106,110] 10

(1)分别估计用A配方,B配方生产的产品的优质品率;

(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位:元)与其质量
??2, ? 指标值t的关系式为 y ? ?2, ? ? ?4, ? t ? 94, 94 ? t ? 102, t ? 102.

估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率,并求用B配 方生产的上述100件产品平均一件的利润.

【解题指南】第(1)问分别用A配方、B配方生产的产品中优质

品的频率来估计概率,第(2)问,用B配方生产的一件产品的利
润大于0时即质量指标t≥94时的频率作为概率,生产的100件 产品的平均利润为(-2)×频率(t<94)+2×频率(94≤t<102) +4×频率(t≥102).

【规范解答】(1)由试验结果知,用A配方生产的产品中优质品
的频率为
22 ? 8 =0.3,所以用A配方生产的产品中优质品率的 100

估计值为0.3. 由试验结果知,用B配方生产的产品中优质品的频率为
32 ? 10 ? 0.42, 所以用B配方生产的产品中优质品率的估计值为 100

0.42.

(2)由条件知,用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率即
为t≥94的概率,由试验结果知, t≥94的频率为0.96,所以用B配方生产的一件产品的利润大于 0的概率估计值为0.96. 用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润为
1 ×[4×(-2)+54×2+42×4]=2.68(元). 100

【反思·感悟】概率可看作频率在理论上的期望值,它从数量 上反映了随机事件发生的可能性大小,频率可近似地当作随机 事件的概率,本题在解决概率问题时就是利用频率.

随机事件间的关系 【方法点睛】1.互斥事件的理解

(1)互斥事件研究的是两个事件之间的关系;
(2)所研究的两个事件是在一次试验中所涉及的;

(3)两个事件互斥是从“试验的结果不能同时出现”来确定
的.

2.从集合角度理解互斥和对立事件
从集合的角度看,几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的

结果组成的集合彼此的交集为空集,事件A的对立事件 A 所含
的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合 的补集.

【例2】判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件.

某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比
赛,其中

(1)恰有1名男生和恰有2名男生;
(2)至少有1名男生和至少有1名女生; (3)至少有1名男生和全是男生; (4)至少有1名男生和全是女生.

【解题指南】应重点关注从3名男生和2名女生中任选2名同学
的所有可能情况,然后根据各事件包含的各种可能结果来判断

各事件的关系.
【规范解答】(1)是互斥事件,不是对立事件. 原因是:在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质是选出的 是“1名男生和1名女生”,它与“恰有两名男生”不可能同时 发生,所以是一对互斥事件.但其并事件不是必然事件,所以 不是对立事件.

(2)不可能是互斥事件,从而也不是对立事件. 原因是:“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与 “两名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女 生和1名男生”与“两名都是女生”两种结果,它们可能同时 发生. (3)不可能是互斥事件,也不是对立事件.

原因是:“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与
“两名都是男生”,这与“全是男生”可能同时发生.

(4)是互斥事件,也是对立事件. 原因是:“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与 “两名都是男生”两种结果,它与“全是女生”不可能同时发 生,且其并事件是必然事件,所以也是对立事件.

【反思·感悟】判断两事件的关系时,一是要考虑试验的前提

条件;二是考虑事件间是否有交事件,可考虑利用Venn图分析.
对于较难作出判断关系的情况,也可列出全部结果,再进行分 析.

互斥事件、对立事件的概率

【方法点睛】求复杂的互斥事件的概率的一般方法
(1)直接求法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件

的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算.
(2)间接求法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A) =1-P( A ),即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”, “至少”型题目,用间接求法就显得较简便.

【提醒】应用互斥事件的概率加法公式,一定要注意首先确定 各个事件是否彼此互斥,然后求出各事件发生的概率,再求和.

【例3】(1)(2012·济南模拟)在数学考试中,小明的成绩在90 分及以上的概率是0.18,在80~89分的概率是0.51,在70~79 分的概率是0.15,在60~69分的概率是0.09,60分以下的概率 是0.07,则小明在数学考试中取得80分及以上的概率为____.

(2)国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩,

正在加紧备战,经过近期训练,某队员射击一次,命中7~10
环的概率如表所示: 命中环数 概率 10环 0.32 9环 0.28 8环 0.18 7环 0.12

求该射击队员射击一次 ①射中9环或10环的概率; ②至少命中8环的概率.

【解题指南】(1)小明的成绩在80分及以上可以看作是互斥事 件“80~89分”“90分及以上”的并事件; (2)该射击队员在一次射击中,命中几环不可能同时发生,故 彼此是互斥事件,利用互斥事件求概率的公式求其概率.另外,

当直接求解不容易时,可先求其对立事件的概率.

【规范解答】(1)分别记小明的成绩“在90分及以上”“ 在 80~89分”“在70~79分”“在60~69分”“60分以下”为事 件B、C、D、E、F,这五个事件彼此互斥. 所以小明的成绩在80分及以上的概率是:P(B+C)=P(B)+P(C) =0.18+0.51=0.69.

答案:0.69 (2)记事件“射击一次,命中k环”为Ak (k∈N,k≤10),则事件Ak彼此互斥.

①记“射击一次,射中9环或10环”为事件A,那么当A9,A10之
一发生时,事件A发生,由互斥事件的概率加法公式得

P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.
②设“射击一次,至少命中8环”为事件B,那么当A8,A9,A10 之一发生时,事件B发生.由互斥事件概率的加法公式得 P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.

【反思·感悟】必须明白事件A、B互斥的条件,只有互斥事件 才可用概率的求和公式P(A+B)=P(A)+P(B).

【满分指导】随机事件主观题的规范解答
【典例】(12分)(2011·陕西高考)如 图,A地到火车站共有两条路径L1和L2, 现随机抽取100位从A地到达火车站的人 进行调查,调查结果如下:

所用时间(分钟) 选择L1的人数 选择L2的人数

10~20 6 0

20~30 30~40 40~50 50~60 12 4 18 16 12 16 12 4

(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;

(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频
率; (3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站, 为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明, 他们应如何选择各自的路径.

【解题指南】(1)读懂所给表格,确定不能赶到火车站的人数

所在的区间,用相应的频率作为所求概率的估计值;(2)根据
频率的计算公式计算;(3)计算选择不同的路径,在允许的时

间内赶往火车站的概率,通过比较概率的大小确定选择的最佳
路径. 【规范解答】(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶 到火车站的有12+12+16+4=44人, 用频率估计相应的概率为0.44. ?????????3分

(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率为: 所用时间(分钟) 选择路径L1的频率 选择路径L2的频率 10~20 0.1 0 20~30 30~40 40~50 50~60 0.2 0.1 0.3 0.4 0.2 0.4 0.2 0.1

????????????????????????6分

(3)用A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;
用B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站. 由(2)知P(A1) =0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5, P(A1)>P(A2), 甲应选择路径L1; ??????????????10分

P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2) >P(B1), 乙应选择路径L2. ??????????????12分

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以
得到以下失分警示和备考建议: 解答本题时有两点容易造成失分: (1)不能将概率问题转化为频率来进行估计; (2)在解答第(3)问时,不能正确地把所求事件转化 为几个互斥事件的和,导致计算错误.

失 分 警 示

解决随机事件的概率问题时,还有以下几点容易造 成失分,在备考时要高度关注: 备 考 建 议 (1)不判断事件是否彼此互斥,盲目套用概率加法公 式导致错误;

(2)解决互斥与对立事件问题时,由于对事件的互斥
与对立关系不清楚,不能正确判断互斥与对立事件 的关系而致错.

1.(2012·西安模拟)袋中装有3个白球,4个黑球,从中任取3 个球,则①恰有1个白球和全是白球;②至少有1个白球和全是

黑球;③至少有1个白球和至少有2个白球;④至少有1个白球
和至少有1个黑球.在上述事件中,是对立事件的为( )

(A)①

(B)②

(C)③

(D)④

【解析】选B.由对立事件的定义,可知“至少有一个白球”和 “全是黑球”为对立事件.

2.(2012·莆田模拟)从一箱产品中随机地抽取一件,设事件 A=“抽到一等品”,事件B=“抽到二等品”,事件C=“抽到三 等品”,且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1.则事件“抽

到的不是一等品”的概率为(
(A)0.65 (B)0.35

)
(D)0.005

(C)0.3

【解析】选B.由对立事件的概率公式知,“抽到的不是一等品”
的概率为1-P(A)=1-0.65=0.35.

3.(2011·湖南高考)某河流上的一座水力发电站,每年六月份
的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量 X(单位:毫米)有关.据统计,当X=70时,Y=460;X每增加10, Y增加5.已知近20年X的值为:140,110,160,70,200,160, 140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160, 220,140,160.

(1)完成如下的频率分布表: 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70
1 20

110

140
4 20

160

200

220
2 20

频率

(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规 律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发 电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.

【解析】(1)在所给数据中,降雨量为110毫米的有3个,为160 毫米的有7个,为200毫米的有3个,故近20年六月份降雨量频 率分布表为: 降雨量 频率 70
1 20

110
3 20

140
4 20

160
7 20

200
3 20

220
2 20

(2)由已知可得Y= X +425,故
2

P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”) =P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210) =P(X=70)+P(X=110)+P(X=220) =
1 3 2 3 ? ? ? . 20 20 20 10

故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超
过530(万千瓦时)的概率为 3 .
10