2011届高考数学一轮复习精品题集分类汇编之不等式(25页)

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不等式 必修 5 第 3 章 不等式 §3.1-2 不等关系、一元二次不等式 重难点：通过具体情境，能建立不等式模型；掌握一元二次不等式解法，理解一元二次不等 式、一元二次方程、二次函数之间关系并能灵活运用． 考纲要求：①了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景． ②会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型． ③通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． ④会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 经典例题：某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车 Sm 和汽车车速 x km/h 有如下关系： 1 1 2 s= x+ x 20 180 ，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于 39.5m，那么这辆汽车刹 车前的车速至少为多少？（精确到 0.01km/h）. 当堂练习：
2 1. 方程 mx + (2m + 1) x + m = 0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（

）

m>? A.

1 4

m<? B.

1 4

m≥ C.

1 4
）

1 m > ? 且m ≠ 0 4 D.

2. 下列各一元二次不等式中，解集为空集的是（ A．(x+3)(x－1)>0 B．(x+4)(x－1)<0

C．x2－2x+3<0

D．2x2－3x－2>0

3. 不等式组

?1 ? 2x < ?7, ? ?( x + 1)( x ? 2) ≥ 4

的解集为（

）

A．（－∞，－2］∪[3，4) C．（4，+∞）

B．（－∞，－2］∪（4，+∞） D．（－∞，－2］∪（4，+∞）

1 ( x ? a )( x ? ) < 0 a 4. 若 0<a<1，则不等式 的解是（ a<x<
A.

）

1 a

1 < x<a B. a

1 x > 或x < a a C.
）

x > a或x <
D.

1 a

2 4x2 ? 4x + 1 + 2 x ? 2 5. 若 ?2 x + 5 x ? 2 > 0 ，则 等于（

A. 4 x ? 5

B. ? 3

C.3

D. 5 ? 4 x

1 1 6. 一元二次不等式 ax ＋bx＋2 > 0 的解集是(－ 2 , 3 )，则 a＋b 的值是(
2

)

A.10

B.－10

C.14

D.－14

1 7. 若 0＜a＜1，则不等式（x－a）(x－ a )>0 的解集是（
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）

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1 A．(a， a ) 1 C．(－∞，a)∪( a ，+∞)

1 B．( a ，a) 1 D．(－∞， a )∪(a，+∞)
）

2 8. 若不等式 ax + bx + c > 0(a ≠ 0) 的解集为 ? ，则下列结论中正确的是（ 2 A. a < 0, b ? 4ac > 0 2 C. a < 0, b ? 4ac ≤ 0 2 B. a > 0, b ? 4ac < 0 2 D. a > 0, b ? 4ac ≥ 0

9. 己知关于 x 的方程(m+3)x 2－4mx +2m－1= 0 的两根异号，且负根的绝对值比正根大， 那么实数 m 的取值范围是( ) A．－3< m<0 B．0<m<3 C．m<－3 或 m> 0 D．m<0 或 m>3 10. 有如下几个命题： ①如果 x1, x2 是方程 ax2+bx+c=0 的两个实根且 x1<x2，那么不等式 ax2+bx+c＜0 的解集为 {x∣x1＜x＜x2}; ②当 ?＝b2－4ac<0 时，二次不等式 ax2+bx+c＞0 的解集为 ? ;

x?a ≤0 与不等式(x－a)(x－b)≤0 的解集相同； ③ x?b
x2 ? 2x <3 ④ x ?1 与 x2－2x＜3(x－1)的解集相同.
其中正确命题的个数是( ) A．3 B．2
y= 1 64 ? x 2 的定义域是 .

C．1

D．0

11. 函数

2 12. 已知关于 x 的不等式 x + x + t > 0 对 x ∈ R 恒成立，则 t 的取值范围是

.

1 2 x + qx + p > 0 p 13. 若不等式 的解集为 {x | 2 < x < 4} ，则实数 p=

.

14. α 和 β 是关于 x 的方程 x2 － (k － 2)x+k2+3k+5=0 的两个实根 , 则 α 2+ β 2 的最大值

为

.

15. 设 a > 0 ，解关于 x 的不等式：

ax 2 ? (a + 1) x + 1 < 0.

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16. 已知函数 y=(k2+4k－5)x2+4(1－k)x+3 的图像都在 x 轴上方，求实数 k 的取值范围.

17. 要在墙上开一个上半部为半圆形、下部为矩形的窗户(如图所示)， 在窗框为定长的条件下， 要使窗户能够透过最多的光线， 窗户应设计成 怎样的尺寸?

18. 设 A={x|x2 +3k2≥2k(2x－1)}， B={x|x2－(2x－1)k+k2≥0}且 A ? B， 试求 k 的取值范围.

必修 5 第 3 章 不等式 §3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题 重难点：会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用 平面区域表示二元一次不等式组； 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题， 并 能加以解决． 考纲要求：①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． ②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． ③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 经典例题：求不等式|x－2|+|y－2|≤2 所表示的平面区域的面积.

当堂练习： 1．下列各点中，与点（1，2）位于直线 x+y－1=0 的同一侧的是 （ 嘉兴数学网》系列资料 《嘉兴数学网 嘉兴数学网 网址： www.jxsxjx.com

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资料全免费，无限资料无限下载-------------------欢迎你访问嘉兴数学网 www.jxsxjx.com A．（0，0） B．（－1，1） C．（－1，3） D．（2，－3） 2．下列各点中，位于不等式（x+2y+1）（x－y+4）＜0 表示的平面区域内的是 （ ） A．（0，0） B．（－2，0） C．（－1，0） D．（2，3） 3．用不等式组表示以点（0，0）、（2，0）、（0，－2）为顶点的三角形内部，该不等式 组为_______. 4．甲、乙两地生产某种产品，它们可调出的数量分别是 300t 和 750t.A、B、C 三地需要该 种产品的数量分别为 200t、450t、400t，甲运往 A、B、C 三地每 1t 产品的运费分别为 6 元、 3 元、5 元，乙地运往 A、B、C 三地每 1t 产品的运费分别为 5 元、9 元、6 元，为使运费最 低，调运方案是_______，最低运费是_______.

5．画出不等式组

? x ? y + 5 ≥ 0, ? ? x + y ≥ 0, ?x ≤ 3 ?

表示的平面区域.

6．一个农民有田 2 亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为 400 千克；若种花生， 则每亩每期产量为 100 千克，但水稻成本较高，每亩每期需 240 元，而花生只要 80 元，且 花生每千克可卖 5 元，稻米每千克只卖 3 元，现在他只能凑足 400 元，问这位农民对两种作 物各种多少亩，才能得到最大利润?

7．已知－4≤a－b≤－1，－1≤4a－b≤5，求 9a－b 的取值范围.

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8．给出的平面区域是△ABC 内部及边界（如下图），若目标函数 z=ax+y（a＞0）取得最大 值的最优解有无穷多个，求 a 的值及 z 的最大值.

9．若把满足二元二次不等式（组）的平面区域叫做二次平面域. （1）画出 9x2-16y2+144≤0 对应的二次平面域； （2）求 x2+y2 的最小值；

y （3）求 x ? 2 的取值范围.

必修 5 第 3 章 不等式 §3.4 基本不等式 重难点：了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题． 考纲要求：①了解基本不等式的证明过程． ②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题． 经典例题：若 a，b，c 都是小于 1 的正数，求证： (1 ? a)b ， (1 ? b)c ， (1 ? c) a 不可能同时

1 大于 4 ．

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1. 若

a ∈ R ，下列不等式恒成立的是

（
2

）

2 A． a + 1 > a

1 <1 a2 + 1 B．

2 C． a + 9 > 6 a

D． lg( a + 1) > lg | 2a |

2. 若 0 < a < b 且 a + b = 1 ，则下列四个数中最大的是
2 2 Ｂ． a + b 1 y = 3 ? 3x ? x 的最大值为 3. 设 x>0,则

（

）

1 Ａ． 2

Ｃ．2ab

Ｄ．a （ ）

Ａ．3

Ｂ． 3 ? 3 2

Ｃ． 3 ? 2 3
) C. 4 6

Ｄ．－1

x y 4. 设 x, y ∈ R, 且x + y = 5, 则3 + 3 的最小值是(

A. 10

B. 6 3

D. 18 3

1 4 + =1 ，则 xy 有 5. 若 x, y 是正数，且 x y 1 Ｂ．最小值 16

（

）

Ａ．最大值 16 Ｃ．最小值 16 6. 若 a, b, c∈R，且 ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是
2 2 2 A． a + b + c ≥ 2

1 Ｄ．最大值 16 （
2

）

B． ( a + b + c ) ≥ 3

1

C． a

+

1 b

+

1 c

≥2 3

D． a + b + c ≤

3

7. 若 x>0, y>0,且 x+y ≤ 4,则下列不等式中恒成立的是 1 1 ≤ x+ y 4 A．
a+b , 8. a,b 是正数，则 2 a+b 2ab ≤ ab ≤ 2 a+b Ａ． 2ab a+b ≤ ab ≤ 2 Ｃ． a + b

（
xy ≥ 2

）
1 ≥1 xy D．

1 1 + ≥1 x y B．
ab ,

C．

2ab a + b 三个数的大小顺序是 （ ） a + b 2ab ab ≤ ≤ 2 a+b Ｂ． ab ≤ 2ab a + b ≤ a+b 2

Ｄ． 9. 某产品的产量第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，设这两年平均增长率为 x，则 有（ ） p+q p+q p+q p+q x= x< x≤ x≥ 2 2 2 2 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

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资料全免费，无限资料无限下载-------------------欢迎你访问嘉兴数学网 www.jxsxjx.com 10. 下列函数中，最小值为 4 的是 4 y= x+ x Ａ．
x ?x Ｃ． y = e + 4e
2 11. 函数 y = x 1 ? x 的最大值为

） 4 y = sin x + sin x (0 < x < π ) Ｂ． Ｄ．
.
y = log3 x + 4 log x 3

（

12. 建造一个容积为 18m3, 深为 2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每 m2 的造价为 200 元和 150 元，那么池的最低造价为 元. 13. 若直角三角形斜边长是 1，则其内切圆半径的最大值是 .

x2 y2 x y + 2 ? 8( + ) + 15 2 x y x 的值恒为正，对吗？答 14. 若 x, y 为非零实数，代数式 y
2 2 2 2 15. 已知： x + y = a, m + n = b( a, b > 0) , 求 mx+ny 的最大值.

.

1 [ f ( x1 ) + f ( x2 )] f ( x ) = log a x( a > 0且a ≠ 1, x ∈ R ) ． x1 、x 2 ∈ R , 试比较 2 若 16. 已知
+

+

f(
与

x1 + x2 ) 2 的大小，并加以证明.

17. 已知正数 a, b 满足 a+b=1（1）求 ab 的取值范围;（2）求

ab +

1 ab 的最小值.

n( n + 1) (n + 1) < an < a = 1 ? 2 + 2 ? 3 + ? + n(n + 1) 2 2 对所有的 18. 设 n .证明不等式
2

正整数 n 都成立.

必修 5 §3.5 不等式单元测试

第 3 章 不等式

1．设 b < a ， d < c ，则下列不等式中一定成立的是 A． a ? c > b ? d B． ac > bd C． a + c > b + d

（
D． a + d > b + c

）

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2． “ a > b > 0 ”是“ A．充分而不必要条件 C．充要条件

ab <

a 2 + b2 2 ”的
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

（

）

3．不等式 ax > b 的解集不可能是

（

）

A． φ

B． R

b ( ,+∞) C． a

b (?∞,? ) a D．

1 1 (? , ) 4．不等式 ax + bx + 2 > 0 的解集是 2 3 ，则 a ? b 的值等于
2

（

）

A．－14

B．14

C．－10

D．10 （ ）

5．不等式 x | x |< x 的解集是 A． {x | 0 < x < 1} C． {x | 0 < x < 1 或 x < ?1} B． {x | ?1 < x < 1} D． {x | ?1 < x < 0, x > 1}

1 1 < <0 6．若 a b ，则下列结论不正确的是
A． a < b
2

（

）

2

B． ab < b

2

b a + >2 C． a b

D． | a | + | b |>| a + b | （ ）

2 2 7．若 f ( x ) = 3 x ? x + 1 ， g ( x ) = 2 x + x ? 1 ，则 f (x ) 与 g (x ) 的大小关系为

A． f ( x ) > g ( x )

B． f ( x ) = g ( x )

C． f ( x ) < g ( x)

D．随 x 值变化而变化 （ ）

8．下列各式中最小值是 2 的是

x y y＋x A．

x +5
2

B．

x2 + 4

C．tanx＋cotx

x ?x D． 2 + 2

9．下列各组不等式中，同解的一组是 A． x > 0 与 x > 0
2

（

）

( x ? 1)( x + 2) <0 x ?1 B． 与x+2< 0
x?2 x?2 ≤1 ≤1 x ?1 x ?1 D． 与
（ ）

log 1 (3 x + 2) > 0
C．
2

与 3x + 2 < 1

10．如果 | x + 1 | + | x + 9 |> a 对任意实数 x 总成立,则 a 的取值范围是 A. {a | a < 8} B. {a | a > 8} C. {a | a ≥ 8}

D. {a | a ≤ 8} 邮箱： xiaowangboy@sina.com

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1 1 1 + 11．若 a, b ∈ R ，则 a b 与 a + b 的大小关系是
+

.

y = lg
12．函数

1 ? 2x x + 1 的定义域是

.

13．某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储 费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x = 吨.

? x，x ≥ 0 f ( x) = ? ? ?1, x < 0 , 则不等式 f ( x + 2) ≤ 3 的解集___ 14. 已知

_ ____.

15．已知 f ( x ) 是奇函数，且在（－ ∞ ，０）上是增函数， f (2) = 0 ，则不等式 xf ( x ) < 0 的 解集是___ _ ____.
2

x ≥2 16．解不等式： x ? 8 x + 15

ax >1 17．已知 a < 1 ，解关于 x 的不等式 x ? 2 ．

18．已知 a + b + c = 0 ，求证： ab + bc + ca ≤ 0 。

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资料全免费，无限资料无限下载-------------------欢迎你访问嘉兴数学网 www.jxsxjx.com 19． 对任意 a ∈ [?1,1] ， 函数 f ( x) = x + (a ? 4) x + 4 ? 2a 的值恒大于零， x 的取值范围。 求
2

20．如图所示，校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器。已知喷水 器的喷水区域是半径为 5m 的圆。问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛 的面积最大且能全部喷到水？ 喷 水 喷 水

?

?

2 21．已知函数 f ( x) = x + ax + b .

（1）若对任意的实数 x ，都有 f ( x) ≥ 2 x + a ，求 b 的取值范围； （2）当 x ∈ [?1,1] 时， f (x ) 的最大值为 M，求证： M ≥ b + 1 ；

1 a2 a ∈ (0, ) ? 1 ≤ b ≤ ? a. 2 ，求证：对于任意的 x ∈ [?1,1] ，| f ( x) |≤ 1 的充要条件是 4 （3） 若

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1．如果

log 3 m + log 3 n = 4

，那么 m + n 的最小值是（ B． 4 3 C．9

） D．18

A．4 2、数列

{a n }的通项为 a n = 2n ? 1 ， n ∈ N * ，其前 n 项和为 S n ，则使 S n >48 成立的 n 的最
） B．8 C．9
2

小值为（ A．7 3、若不等式

D．10 ）

8x + 9 < 7

和不等式 ax + bx ? 2 > 0 的解集相同，则 a 、 b 的值为（ B． a =﹣4 b =﹣9 C． a =﹣1 b =9

A． a =﹣8 b =﹣10 ﹣1 b =2

D． a =

4、△ABC 中，若 c = 2a cos B ，则△ABC 的形状为（ A．直角三角形 形 B．等腰三角形

） C．等边三角形 D．锐角三角

1 5、在首项为 21，公比为 2 的等比数列中，最接近 1 的项是（
A．第三项 B．第四项 C．第五项

） D．第六项

a 20 {a } a ? a a 6、在等比数列 n 中， 7 11 =6， a 4 + a14 =5，则 10 等于（
2 A． 3 3 B． 2 3 2 C． 2 或 3

）

2 3 D．﹣ 3 或﹣ 2
） D． 30

7、△ABC 中，已知 (a + b + c)(b + c ? a ) = bc ，则 A 的度数等于（ A． 120 8、数列 B． 60 C． 150

{a n } 中， a1 =15， 3a n+1 = 3a n ? 2 （ n ∈ N * ），则该数列中相邻两项的乘积是负
） B．

数的是（

A． a 21 a 22

a 22 a 23

C．

a 23 a 24

D．

a 24 a 25

9、某厂去年的产值记为 1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长 10% ，则从今年起到 第五年，这个厂的总产值为（ A． 1.1
4

）
5 6 C． 10 × (1.1 ? 1) 5 D． 11× (1.1 ? 1)

B． 1.1

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b 则集合 P = {( x, y ) | x = a, y = b} 10、 已知钝角△ABC 的最长边为 2， 其余两边的长为 a 、 ，
所表示的平面图形面积等于（ A．2 ） C．4 D． 4π ? 2 B． π ? 2

11、在△ABC 中，已知 BC=12，A=60°，B=45°，则 AC= 12．函数 y = lg(12 + x ? x ) 的定义域是
2

13．数列

{an } 的前 n 项和 sn = 2an ? 3(n ∈ N * ) ，则 a5 =
?2 x ? y ≤ 2 ? ? x ? y ≥ ?1 ?x + y ≥ 1 ?

14、设变量 x 、 y 满足约束条件

，则 z = 2 x + 3 y 的最大值为

15、《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一。书中有一道这样的

1 题目：把 100 个面包分给五人，使每人成等差数列，且使最大的三份之和的 3 是较小的两份
之和，则最小 1 份的大小是 16、 已知数列

{a n }、{bn }都是等差数列，a1 = ? 1 ，b1 = ?4 ，用 S k 、S k ' 分别表示数列 {a n }、

{bn }的前 k 项和（ k 是正整数），若 S k + S k ' =0，则 a k + bk 的值为
cos B b =? a, b, c 是 A，B，C 所对的边，S 是该三角形的面积，且 cos C 2a + c 17、△ABC 中，
（1）求∠B 的大小； （2）若 a =4， S = 5 3 ，求 b 的值。

18、已知等差数列 （1）求通项公式 （2）设

{an } 的前四项和为 10，且 a2 , a3 , a7 成等比数列

an bn
的前 n 项和

bn = 2 an

，求数列

sn

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19、已知： f ( x) = ax + (b ? 8) x ? a ? ab ，当 x ∈ (?3,2) 时，
2

f ( x) > 0 ； x ∈ (?∞,?3) ∪ (2,+∞) 时， f ( x) < 0
（1）求 y = f (x ) 的解析式 （2）c 为何值时， ax + bx + c ≤ 0 的解集为 R.
2

20、 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD， 公园由长方形的休闲区 A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成。已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4000 平方 米，人行道的宽分别为 4 米和 10 米。 （1）若设休闲区的长

A1 B1 = x

米，求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S (x ) 的解析式；

（2）要使公园所占面积最小，休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计？ D D1 C1 C 4米

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B1 A1 邮箱： xiaowangboy@sina.com 4 米 A 10 米 10 米 B

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21、设不等式组

?x > 0 ? ?y > 0 ? y ≤ ? nx + 3n ?

所表示的平面区域为
*

Dn ，记 Dn 内的格点（格点即横坐标和

纵坐标均为整数的点）个数为 f ( n)( n ∈ N ) （1）求 f (1), f ( 2) 的值及 f (n) 的表达式；

（2） 记

Tn =

f (n) ? f (n + 1) T 与Tn +1 T ≤m 2n ， 试比较 n 的大小； 若对于一切的正整数 n ， 总有 n

成立，求实数 m 的取值范围； （3）设

Sn

为数列

{bn } 的 前 n 项 的和 ， 其 中 bn

= 2 f ( n)

， 问 是 否 存 在正 整 数 n, t ， 使

S n + tbn 1 < S n +1 ? tbn +1 16 成立？若存在，求出正整数 n, t ；若不存在，说明理由。

参考答案 第 3 章 不等式 §3.1 不等关系、一元二次不等式 经典例题：79.94km/h 当堂练习：
?1 ? ? , + ∞? ?4 ? ; 12.

1.D; 2.C; 3.C; 4.A; 5.C; 6.D; 7.A;8.C; 9.A; 10.D;11. （－8，8）;
13. ?2 2 ; 14. 18;

当a > 1时, 解集为{x |

15.
16.

1 1 < x < 1}； 当a < 1时, 解集为{x |1 < x < } a a ;

[1, 19 ) ;

17．半圆直径与矩形的高的比为 2∶1 ;

18． [

0, + ∞ ) ∪ [ ?1, 0 )

.

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§3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题 经典例题：79.94km/h 当堂练习：
?1 ? ? , + ∞? 4 ? ; 12. ?

1.D; 2.C; 3.C; 4.A; 5.C; 6.D; 7.A;8.C; 9.A; 10.D;11. （－8，8）;
13. ?2 2 ; 14. 18;

当a > 1时, 解集为{x |

15.
16.

1 1 < x < 1}； 当a < 1时, 解集为{x |1 < x < } a a ;

[1, 19 ) ;

17．半圆直径与矩形的高的比为 2∶1 ;

18． [

0, + ∞ ) ∪ [ ?1, 0 )

.

§3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题 经典例题：思路分析：主要是去绝对值，可以运用分类讨论思想依绝对值的定义去掉绝对值 符号.也可以运用化归、转化思想化陌生问题为熟悉问题，化复杂问题为简单问题. 解法一：原不等式|x－2|+|y－2|≤2 等价于

? x + y ≤ 6, ? x ? y ≤ 2, ? ? ? x ? y ≥ ?2, ? x + y ≥ 2, ?

x ≥ 2, y ≥ 2, x ≥ 2, y ≤ 2, x ≤ 2, y ≥ 2, x ≤ 2, y ≤ 2, 作出以上不等式组所表示的平面区域：它是边长为 22

的正方形，其面积为 8. 解法二：∵|x－2|+|y－2|≤2 是|x|+|y|≤2 经过向右、向上各平移 2 个单位得到的， ∴|x－2|+|y－2|≤2 表示的平面区域的面积等于|x|+|y|≤2 表示的平面区域的面积，由于

|x|+|y|≤2 的图象关于 x 轴、y 轴、原点均对称，故求得平面区域
面积为 2，故|x|+|y|≤2 的面积为 4×2=8. ∴所求面积为 8.

? x + y ≤ 2, ? ?x ≥ 0 ? y ≥ 0. ?

如下图所示的

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1.C; 2.B; 3.

? x > 0, ? ? y < 0, ?x ? y ? 2 < 0 ?

; 4. 甲地运往 B 地 300t，乙地运往 A 地 200t，运往 B 地 150t，

运往 C 地 400t，5650 元; 5. 思路分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各 个不等式所表示的平面区域的公共部分. 解：运用“直线定界，特殊点定域”的方法，先画出 直线 x－y+5=0（画成实线），如下图，取原点（0，0）， 代入 x－y+5.∵0－0+5=5＞0，∴原点在 x－y 表示的 平面区域内，即 x－y+5≥0 表示直线 x－y+5=0 上及右 下方的点的集合，同理可得 x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及右上方的点的集合，x≤3 表示直线 x=3 上及左方的点的集合.

6. 思路分析：这是一个求最大利润问题，首先根据条件设种两种作物分别为 x、y 亩，根据 条件列出不等式组和目标函数画图，即可得到最大利润.

? x + y ≤ 2, ?240 x + 80 y ≤ 400, ? ? ? x ≥ 0, ? y ≥ 0. 解：如下图所示，设水稻种 x 亩，花生种 y 亩，则由题意得 ?
而利润 P=（3×400－240）x+（5×100－80）y =960x+420y（目标函数），

? x + y = 2, ? 240 x + 80 y = 400, 得交点 B（1.5，0.5）. 可联立 ?
故当 x=1.5，y=0.5 时， Pmax=960×1.5+420×0.5=1650， 即水稻种 1.5 亩，花生种 0.5 亩时所得到的利润最大. 7. 思路分析：可以把 a、b 分别看成横坐标和纵坐标，根据不等式组画出可行域，然后求目 标函数 9x－y 的最大值和最小值.

?? 4 ≤ a ? b ≤ 1, ? ? 1 ≤ 4a ? b ≤ 5 下，目标函数 z=9a－b 的取值范围. 解：问题转化为在约束条件 ?
画出可行域如下图所示的四边形 ABCD 及其内部.

?a ? b = 1, ?a = 0, ? ? ?4a ? b = ?1 ，解得 ?b = 1 得点 A（0，1）. 由
当直线 9a－b=t 通过与可行域的公共点 A（0，1）时， 使目标函数 z=9a－b 取得最小值为 zmin=9×0－1=－1.

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?a ? b = ?4, ?a = 3, ? ? 4a ? b = 5, 解得 ?b = 7 得点 C（3，7）. 由?
当直线 9a－b=t 通过与可行域的公共点 C（3，7）时， 使目标函数 z=9a－b 取得最大值为 zmax=9×3－7=20. ∴9a－b 的取值范围是［－1，20］. 8. 思路分析：本题考查逆向思维、数形结合的思想方法，利用图形的特性和规律，解决数 的问题或将图形信息转换成代数信息， 削弱或清除形的推理部分， 使要解决的形问题转化为 数量关系的讨论. 解：直线 z=ax+y（a＞0）是斜率为－a，y 轴上的截距为 z 的直线族，从题图可以看出， 当－a 小于直线 AC 的斜率时，目标函数 z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解是（1，4）； 当－a 大于直线 AC 的斜率时，目标函数 z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解是（5，2）； 只有当－a 等于直线 AC 的斜率时，目标函数 z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多

1 1 1 个，线段 AC 上的所有点都是最优解.直线 AC 的斜率为- 2 ，所以 a= 2 时，z 的最大值为 2 9 ×1+4= 2 .
9. 思路分析：本题可以使用线性规划的基本思路，像二元一次不等式所示的区域一样，我 们仍然可以用“线定界，点定域”的方法来确定 9x2-16y2+144≤0 所表示的平面区域. 解：(1)将原点坐标代入 9x2-16y2+144，其值为 144>0，因此 9x2-16y2+144≤0 表示的平

y2 x2 面区域如图所示的阴影部分，即双曲线 9 - 16 =1 的含有焦点的区域.
(2)设 P(x， y)为该区域内任意一点， 由上图可知， P 与双曲线的顶点(0， 当 ±4)重合时， |OP|取得最小值 4.所以，x2+y2=|OP|2=16.

y (3)取 Q(2，0)，则直线 PQ 的斜率为 k= x ? 2 ，其直线方程为 y=k(x-2)，代入

3 5 9x2-16y2+144=0 得(9-16k2)x2+64k2x-64k2+144=0，由Δ=0 得 k=± 10 ， 3 5 3 5 由图可知 k≥ 10 或 k≤- 10 . 3 5 3 5 y 故所求 x ? 2 的取值范围是(-∞，- 10 ］∪［ 10 ，+∞).
§3.4 基本不等式 经典例题： 【 解析】 证法一 假设
(1 ? a)b

，

(1 ? b)c

，

(1 ? c)a

1 同时大于 4 ，

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(1 ? a ) + b (1 ? a)b > 2 ∵ 1－a>0，b>0，∴ ≥

1 1 = 4 2，

(1 ? b) + c 1 (1 ? c ) + a 1 3 3 > > > 2 2， 2 2 .三个不等式相加得 2 2 ，不可能， 同理 1 ∴ (1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不可能同时大于 4 .

证法二 假设

(1 ? a )b >

1 1 1 (1 ? b)c > (1 ? c ) a > 4， 4， 4 同时成立， (1 ? a )b(1 ? b)c (1 ? c ) a >
2

∵ 1－a>0，1－b>0，1－c>0，a>0，b>0，c>0，∴

1 64 ，

1 (1 ? a ) a (1 ? b)b(1 ? c )c > 64 . （*） 即 1 1 同理 (1 ? b)b ≤ 4 ， (1 ? c)c ≤ 4 ，
∴
(1 ? a )a (1 ? b)b (1 ? c )c

1 ? (1 ? a ) + a ? ? =4 (1 ? a) a ≤ ? 2 ? ? 又∵ ，

1 ≤ 64 与（*）式矛盾，

故

(1 ? a )b, (1 ? b)c, (1 ? c )a

1 不可能同时大于 4 .

当堂练习：
1 1.A; 2.B; 3.C; 4.D; 5.C; 6.A; 7.B; 8.C; 9.C; 10.C;11. 2 ;

12. 3600 ;

13.

2 ?1 2 ;

14. 对;

15． ab

f ( x1 ) + f ( x2 ) = log a x1 + log a x2 16. 【 解析】

= log a ( x1 x 2 ), f (

x1 + x 2 x +x ) = log a 1 2 2 ．

∵

x1 、 x 2 ∈ R + ， ∴

x1 x 2 ≤ (

x1 + x 2 2 ) 2 ．

当且仅当 x1 ＝ x 2 时，取“＝”号．

当 a > 1 时，有

log a ( x1 x 2 ) ≤ log a (

x1 + x 2 ) 2 ．

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∴

1 log a ( x1 x 2 ) ≤ 2

≤ log a (

x1 + x 2 x + x2 1 ) [log a x1 + log a x 2 ] ≤ log a ( 1 ) 2 2 ．2 ．

x + x2 1 [ f ( x1 ) + f ( x 2 )] ≤ f ( 1 ) 2 即2 ．
当 0 < a < 1 时，有

log a ( x1 ? x2 ) ≥ log a

(

x1 + x 2 2 ) 2 ．

x1 + x 2 1 [ f ( x1 ) + f ( x2 )] ≥ f ( ). 2 即2
? 1? ? 0, ? 17. (1) ? 4 ?
17 (2) 4
k < k (k + 1) < k + (k + 1) 2k + 1 = 2 2

18．【 解析】 证明 由于不等式
1 + 2 + ? + n < an < 3 5 2n + 1 + +?+ 2 2 2 ( n + 1)n 2

对所有的正整数 k 成立,把它对 k 从 1 到 n(n≥1)求和,得到

又因

1+ 2 +?+ n =

3 5 2n + 1 1 (n + 1) 2 + +?+ < [1 + 3 + 5 + ? + ( 2n + 1)] = 2 2 2 以及 2 2
2

n(n + 1) (n + 1) < an < 2 对所有的正整数 n 都成立. 因此不等式 2

§3.5 不等式单元测试

1 1 1 1 + > (?1, ) 2 ; 13. 20 ; 14. 1.C; 2.A; 3.D; 4.C; 5.C; 6.D; 7.A; 8.D; 9.B; 10.A;11. a b a + b ; 12.
(?∞ ,1 ] ;15． {x | ?2 < x < 0, 或0<x<2} ;
16．解：原不等式等价于：

x ? 2 x 2 + 17 x ? 30 2 x 2 ? 17 x + 30 ?2≥0? ≥0? ≤0 x 2 ? 8 x + 15 x 2 ? 8 x + 15 x 2 ? 8 x + 15
? ( x ? 6)(2 x ? 5) 5 ≤0? ≤ x<3 ( x ? 3)( x ? 5) 2 或5 < x ≤ 6
5 [ ,3) ∪ (5,6] ∴原不等式的解集为 2 ax (a ? 1) x + 2 >1 >0 x?2 可化为 ． 17．解：不等式 x ? 2

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x?
∵ a < 1 ，∴ a ? 1 < 0 ，则原不等式可化为

2 1? a < 0 x?2 ，
2 } 1? a ；

故当 0 < a < 1 时，原不等式的解集为 当 a = 0 时，原不等式的解集为 φ ；

{x | 2 < x <

当 a < 0 时，原不等式的解集为 18．证明：法一（综合法）

{x |

2 < x < 2} 1? a ．

∵a + b + c = 0，

∴ (a + b + c) 2 = 0

a 2 + b2 + c 2 ab + bc + ca = ? ≤0 2 展开并移项得： ∴ ab + bc + ca ≤ 0
法二（分析法） 要证 ab + bc + ca ≤ 0 ，∵ a + b + c = 0 ，故只要证 ab + bc + ca ≤ ( a + b + c) 即证 a + b + c + ab + bc + ca ≥ 0 ，
2 2 2

2

1 [(a + b) 2 + (b + c) 2 + (c + a ) 2 ] ≥ 0 也就是证 2 ，
而此式显然成立，由于以上相应各步均可逆，∴原不等式成立。 法三：∵ a + b + c = 0 ，∴ ?c = a + b

b 3b 2 ∴ ab + bc + ca = ab + (b + a )c = ab ? (a + b) 2 = ? a 2 ? b 2 ? ab = ?[(a + ) 2 + ]≤ 0 2 4 ∴ ab + bc + ca ≤ 0
2 2 2 2 2 2 法四：∵ a + b ≥ 2ab, b + c ≥ 2bc ， c + a ≥ 2ca

∴由三式相加得： a + b + c ≥ ab + bc + ca
2 2 2 2 两边同时加上 2( ab + bc + ca ) 得： ( a + b + c ) ≥ 3( ab + bc + ca )

∵a + b + c = 0 ，

∴ ab + bc + ca ≤ 0

2 2 19．解：设 g ( a ) = x + ( a ? 4) x + 4 ? 2a = ( x ? 2) a + ( x ? 2) ，

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资料全免费，无限资料无限下载-------------------欢迎你访问嘉兴数学网 www.jxsxjx.com 则 g (a ) 的图象为一直线，在 a ∈ [?1,1] 上恒大于 0，故有

?x 2 ? 5x + 6 > 0 ? g (?1) > 0 ? 2 ? ? g (1) > 0 ，即 ? x ? 3x + 2 > 0 ，解得： x < 1 或 x > 3
∴ x 的取值范围是 (?∞,1) ∪ (3,+∞) 20．解：设花坛的长、宽分别为 xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰

x y ( ) 2 + ( ) 2 = 25 2 好位于喷水区域的边界。依题意得： 4 ，（ x > 0, y > 0 ） x2 + y 2 = 100 x > 0, y > 0 ， 4 问题转化为在 的条件下，求 S = xy 的最大值。 x x ∵ S = xy = 2 ? ? y ≤ ( ) 2 + y 2 = 100 2 2 ， 法一： x x2 =y + y 2 = 100 由2 和 4 及 x > 0, y > 0 得： x = 10 2 , y = 5 2
∴S max = 100 x2 + y 2 = 100 x > 0, y > 0 ， 4 法二：∵ ， ∴ S = xy = x 100 ? x2 x2 1 x 2 ? (100 ? ) = ? ( x 2 ? 200) 2 + 10000 4 = 4 4

2 S = 100 ∴当 x = 200 ，即 x = 10 2 ， max

x2 + y 2 = 100 4 由 可解得： y = 5 2 。
答：花坛的长为 10 2m ，宽为 5 2m ，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，则符 合要求。 21． 解：（1）对任意的 x ∈ R ，都有 f ( x ) ≥ 2 x + a ?
2 2 对任意的 x ∈ R ， x + ( a ? 2) x + (b ? a ) ≥ 0 ? ? = ( a ? 2) ? 4(b ? a ) ≤ 0

? b ≥ 1+

a2 ? b ≥ 1(∵ a ∈ R ) 4

∴ b ∈ [1,+∞ ) .

即 （2） 证明： f (1) = 1 + a + b ≤ M , f ( ?1) = 1 ? a + b ≤ M , ∴ 2 M ≥ 2b + 2 ， M ≥ b + 1 。 ∵ 嘉兴数学网》系列资料 《嘉兴数学网 嘉兴数学网 网址： www.jxsxjx.com 邮箱： xiaowangboy@sina.com

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（3）证明：由 是增函数。

0<a<

1 1 a a a ? <? <0 [?1,? ] [? ,1] 2 得， 4 2 2 上是减函数，在 2 上 ∴ f (x) 在

a a2 x=? b? 2 时取得最小值 4 ，在 x = 1 时取得最大值 1 + a + b . ∴当 | x |≤ 1 时, f (x) 在

?1 + a + b ≤ 1 a2 ? | f ( x) |≤ 1 ? ? a 2 ? ? 1 ≤ b ≤ ? a. 4 ?b ? 4 ≥ ?1 ? 故对任意的 x ∈ [?1,1] ，
必修 5 综合测试

x ?3 < x < 4 1.D; 2.B; 3.B; 4.B; 5.C; 6.C; 7.A; 8.C; 9.D; 10.B;11. 4 6 ; 12. ; 13. 48 ; 14.18;
15.10; 16.5;

{

}

cos B b cos B sin B =? ? =? 2a + c cos C 2sin A + sin C 17、⑴由 cos C
? 2sin A cos B + cos B sin C = ? sin B cos C ? 2sin A cos B = ? sin B cos C ? cos B sin C

∴ 2sin A cos B = ? sin( B + C ) ? 2 sin A cos B = ? sin A 1 2 ? cos B = ? , 又 0 < B < π ,∴ B = π 2 3

⑵

由a = 4, S = 5 3有S =

1 1 3 ac sin B = × c × ?c=5 2 2 2 3 ? b = 61 2

b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B ? b 2 = 16 + 25 ? 2 × 4 × 5 ×

?4a1 + 6d = 10 ? (a + 2d ) 2 = (a1 + d )(a1 + 6d ) 18、⑴由题意知 ? 1
5 ? ?a1 = ?2 ?a1 = ?? 或? 2 ?d = 3 ?d = 0 ? an = 3n ? 5或an = 5 2 1

所以

⑵当

an = 3n ? 5

{b } 时，数列 n 是首项为 4 、公比为 8 的等比数列
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1 (1 ? 8n ) 8n ? 1 4 Sn = = 1? 8 28 所以
an = 5 5 5 bn = 2 2 Sn = 2 2 n 2 时， 所以 Sn = 8n ? 1 5 Sn = 2 2 n 28 或

当

综上，所以

19、⑴由 x ∈ (?3,2) 时， f ( x ) > 0 ； x ∈ ( ?∞,?3) ∪ ( 2,+∞) 时， f ( x ) < 0
2 知： ?3, 2 是是方程 ax + (b ? 8) x ? a ? ab = 0 的两根

b?8 ? ? ?3 + 2 = ? a ? ? ?a = ?3 ??3 × 2 = ? a ? ab ? ? ? a ? ?b = 5 ∴ f ( x) = ?3 x 2 ? 3 x + 18
2 ⑵由 a < 0 ，知二次函数 y = ax + bx + c 的图象开口向下

要使 ?3 x ? 5 x + c ≤ 0 的解集为 R，只需 ? ≤ 0
2

即

25 ? 12c ≤ 0 ? c ≥

25 12

∴当

c≥

25 12 时 ax 2 + bx + c ≤ 0 的解集为 R. A1 B1 = x B1C1 = 4000 x

20、⑴由

，知

4000 + 8) x 80000 = 4160 + 8 x + ( x > 0) x S = ( x + 20)(

S = 4160 + 8 x +
⑵

80000 80000 ≥ 4160 + 2 8 xi = 5760 x x

当且仅当

8x =

80000 即x = 100 x 时取等号

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资料全免费，无限资料无限下载-------------------欢迎你访问嘉兴数学网 www.jxsxjx.com ∴要使公园所占面积最小，休闲区 A1B1C1D1 的长为 100 米、宽为 40 米. 21、⑴ f (1) = 3, f (2) = 6 当 x = 1 时， y 取值为 1，2，3，…， 2n 共有 2n 个格点 当 x = 2 时， y 取值为 1，2，3，…， n 共有 n 个格点 ∴ f ( n) = n + 2n = 3n

9(n + 1)(n + 2) T n+2 2 n +1 ? n +1 = = f (n) f (n + 1) 9n(n + 1) 9n(n + 1) Tn 2n Tn = = n n n 2 2 2 ⑵
当 n = 1, 2 时， 当 n ≥ 3 时， ∴ n = 1 时，

Tn +1 ≥ Tn

n + 2 < 2n ? Tn +1 < Tn T1 = 9 T2 = T3 = 27 2

n = 2,3 时，

n ≥ 4 时， Tn < T3

∴

{Tn } 中的最大值为

T2 = T3 =

27 2

27 27 ≤m m≥ T ≤ m 对于一切的正整数 n 恒成立，只需 2 2 要使 n ∴ bn = 2 f ( n ) = 23n = 8 n ? S n = 8(1 ? 8n ) 8 n = (8 ?1) 1? 8 7

⑶

S n + tbn S S ? tbn +1 将 n 代入 n +1

?8 ? n 8 ? ? t ?8 ? 7 1 ?7 ? < 1 ?8 ? n 1 2 < ? t ?8 ? 16 ，化简得， ? 7 ? 7 ? （﹡）

8n 8 ? n 7 7 < 1 , 即 8 < 15 8n 1 2 7 7 ? ，显然 n = 1 若 t = 1时 7 7

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?8 ? n 1 ? 8 ? n 15 ? ? t ?8 ? < 0 ? ? t ?8 > 7 7 不可能成立 ? ? 若 t > 1时 ? 7 （﹡）式化简为 ? 7

S n + tbn 1 < S ? tbn +1 16 成立. 综上，存在正整数 n = 1, t = 1 使 n +1

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