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2011届高考数学一轮复习精品题集分类汇编之不等式(25页)


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不等式 必修 5 第 3 章 不等式 §3.1-2 不等关系、一元二次不等式 重难点:通过具体情境,能建立不等式模型;掌握一元二次不等式解法,理解一元二次不等 式、一元二次方程、二次函数之间关系并能灵活运用. 考纲要求:①了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. ②会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. ③通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. ④会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. 经典例题:某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车 Sm 和汽车车速 x km/h 有如下关系: 1 1 2 s= x+ x 20 180 ,在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于 39.5m,那么这辆汽车刹 车前的车速至少为多少?(精确到 0.01km/h). 当堂练习:
2 1. 方程 mx + (2m + 1) x + m = 0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是(



m>? A.

1 4

m<? B.

1 4

m≥ C.

1 4


1 m > ? 且m ≠ 0 4 D.

2. 下列各一元二次不等式中,解集为空集的是( A.(x+3)(x-1)>0 B.(x+4)(x-1)<0

C.x2-2x+3<0

D.2x2-3x-2>0

3. 不等式组

?1 ? 2x < ?7, ? ?( x + 1)( x ? 2) ≥ 4

的解集为(



A.(-∞,-2]∪[3,4) C.(4,+∞)

B.(-∞,-2]∪(4,+∞) D.(-∞,-2]∪(4,+∞)

1 ( x ? a )( x ? ) < 0 a 4. 若 0<a<1,则不等式 的解是( a<x<
A.



1 a

1 < x<a B. a

1 x > 或x < a a C.


x > a或x <
D.

1 a

2 4x2 ? 4x + 1 + 2 x ? 2 5. 若 ?2 x + 5 x ? 2 > 0 ,则 等于(

A. 4 x ? 5

B. ? 3

C.3

D. 5 ? 4 x

1 1 6. 一元二次不等式 ax +bx+2 > 0 的解集是(- 2 , 3 ),则 a+b 的值是(
2

)

A.10

B.-10

C.14

D.-14

1 7. 若 0<a<1,则不等式(x-a)(x- a )>0 的解集是(
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1 A.(a, a ) 1 C.(-∞,a)∪( a ,+∞)

1 B.( a ,a) 1 D.(-∞, a )∪(a,+∞)


2 8. 若不等式 ax + bx + c > 0(a ≠ 0) 的解集为 ? ,则下列结论中正确的是( 2 A. a < 0, b ? 4ac > 0 2 C. a < 0, b ? 4ac ≤ 0 2 B. a > 0, b ? 4ac < 0 2 D. a > 0, b ? 4ac ≥ 0

9. 己知关于 x 的方程(m+3)x 2-4mx +2m-1= 0 的两根异号,且负根的绝对值比正根大, 那么实数 m 的取值范围是( ) A.-3< m<0 B.0<m<3 C.m<-3 或 m> 0 D.m<0 或 m>3 10. 有如下几个命题: ①如果 x1, x2 是方程 ax2+bx+c=0 的两个实根且 x1<x2,那么不等式 ax2+bx+c<0 的解集为 {x∣x1<x<x2}; ②当 ?=b2-4ac<0 时,二次不等式 ax2+bx+c>0 的解集为 ? ;

x?a ≤0 与不等式(x-a)(x-b)≤0 的解集相同; ③ x?b
x2 ? 2x <3 ④ x ?1 与 x2-2x<3(x-1)的解集相同.
其中正确命题的个数是( ) A.3 B.2
y= 1 64 ? x 2 的定义域是 .

C.1

D.0

11. 函数

2 12. 已知关于 x 的不等式 x + x + t > 0 对 x ∈ R 恒成立,则 t 的取值范围是

.

1 2 x + qx + p > 0 p 13. 若不等式 的解集为 {x | 2 < x < 4} ,则实数 p=

.

14. α 和 β 是关于 x 的方程 x2 - (k - 2)x+k2+3k+5=0 的两个实根 , 则 α 2+ β 2 的最大值



.

15. 设 a > 0 ,解关于 x 的不等式:

ax 2 ? (a + 1) x + 1 < 0.

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16. 已知函数 y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3 的图像都在 x 轴上方,求实数 k 的取值范围.

17. 要在墙上开一个上半部为半圆形、下部为矩形的窗户(如图所示), 在窗框为定长的条件下, 要使窗户能够透过最多的光线, 窗户应设计成 怎样的尺寸?

18. 设 A={x|x2 +3k2≥2k(2x-1)}, B={x|x2-(2x-1)k+k2≥0}且 A ? B, 试求 k 的取值范围.

必修 5 第 3 章 不等式 §3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题 重难点:会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;了解二元一次不等式的几何意义,能用 平面区域表示二元一次不等式组; 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题, 并 能加以解决. 考纲要求:①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. ②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. ③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 经典例题:求不等式|x-2|+|y-2|≤2 所表示的平面区域的面积.

当堂练习: 1.下列各点中,与点(1,2)位于直线 x+y-1=0 的同一侧的是 ( 嘉兴数学网》系列资料 《嘉兴数学网 嘉兴数学网 网址: www.jxsxjx.com



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资料全免费,无限资料无限下载-------------------欢迎你访问嘉兴数学网 www.jxsxjx.com A.(0,0) B.(-1,1) C.(-1,3) D.(2,-3) 2.下列各点中,位于不等式(x+2y+1)(x-y+4)<0 表示的平面区域内的是 ( ) A.(0,0) B.(-2,0) C.(-1,0) D.(2,3) 3.用不等式组表示以点(0,0)、(2,0)、(0,-2)为顶点的三角形内部,该不等式 组为_______. 4.甲、乙两地生产某种产品,它们可调出的数量分别是 300t 和 750t.A、B、C 三地需要该 种产品的数量分别为 200t、450t、400t,甲运往 A、B、C 三地每 1t 产品的运费分别为 6 元、 3 元、5 元,乙地运往 A、B、C 三地每 1t 产品的运费分别为 5 元、9 元、6 元,为使运费最 低,调运方案是_______,最低运费是_______.

5.画出不等式组

? x ? y + 5 ≥ 0, ? ? x + y ≥ 0, ?x ≤ 3 ?

表示的平面区域.

6.一个农民有田 2 亩,根据他的经验,若种水稻,则每亩每期产量为 400 千克;若种花生, 则每亩每期产量为 100 千克,但水稻成本较高,每亩每期需 240 元,而花生只要 80 元,且 花生每千克可卖 5 元,稻米每千克只卖 3 元,现在他只能凑足 400 元,问这位农民对两种作 物各种多少亩,才能得到最大利润?

7.已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5,求 9a-b 的取值范围.

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8.给出的平面区域是△ABC 内部及边界(如下图),若目标函数 z=ax+y(a>0)取得最大 值的最优解有无穷多个,求 a 的值及 z 的最大值.

9.若把满足二元二次不等式(组)的平面区域叫做二次平面域. (1)画出 9x2-16y2+144≤0 对应的二次平面域; (2)求 x2+y2 的最小值;

y (3)求 x ? 2 的取值范围.

必修 5 第 3 章 不等式 §3.4 基本不等式 重难点:了解基本不等式的证明过程;会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 考纲要求:①了解基本不等式的证明过程. ②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 经典例题:若 a,b,c 都是小于 1 的正数,求证: (1 ? a)b , (1 ? b)c , (1 ? c) a 不可能同时

1 大于 4 .

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1. 若

a ∈ R ,下列不等式恒成立的是


2



2 A. a + 1 > a

1 <1 a2 + 1 B.

2 C. a + 9 > 6 a

D. lg( a + 1) > lg | 2a |

2. 若 0 < a < b 且 a + b = 1 ,则下列四个数中最大的是
2 2 B. a + b 1 y = 3 ? 3x ? x 的最大值为 3. 设 x>0,则





1 A. 2

C.2ab

D.a ( )

A.3

B. 3 ? 3 2

C. 3 ? 2 3
) C. 4 6

D.-1

x y 4. 设 x, y ∈ R, 且x + y = 5, 则3 + 3 的最小值是(

A. 10

B. 6 3

D. 18 3

1 4 + =1 ,则 xy 有 5. 若 x, y 是正数,且 x y 1 B.最小值 16





A.最大值 16 C.最小值 16 6. 若 a, b, c∈R,且 ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是
2 2 2 A. a + b + c ≥ 2

1 D.最大值 16 (
2



B. ( a + b + c ) ≥ 3

1

C. a

+

1 b

+

1 c

≥2 3

D. a + b + c ≤

3

7. 若 x>0, y>0,且 x+y ≤ 4,则下列不等式中恒成立的是 1 1 ≤ x+ y 4 A.
a+b , 8. a,b 是正数,则 2 a+b 2ab ≤ ab ≤ 2 a+b A. 2ab a+b ≤ ab ≤ 2 C. a + b


xy ≥ 2


1 ≥1 xy D.

1 1 + ≥1 x y B.
ab ,

C.

2ab a + b 三个数的大小顺序是 ( ) a + b 2ab ab ≤ ≤ 2 a+b B. ab ≤ 2ab a + b ≤ a+b 2

D. 9. 某产品的产量第一年的增长率为 p,第二年的增长率为 q,设这两年平均增长率为 x,则 有( ) p+q p+q p+q p+q x= x< x≤ x≥ 2 2 2 2 A. B. C. D.

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资料全免费,无限资料无限下载-------------------欢迎你访问嘉兴数学网 www.jxsxjx.com 10. 下列函数中,最小值为 4 的是 4 y= x+ x A.
x ?x C. y = e + 4e
2 11. 函数 y = x 1 ? x 的最大值为

) 4 y = sin x + sin x (0 < x < π ) B. D.
.
y = log3 x + 4 log x 3



12. 建造一个容积为 18m3, 深为 2m 的长方形无盖水池,如果池底和池壁每 m2 的造价为 200 元和 150 元,那么池的最低造价为 元. 13. 若直角三角形斜边长是 1,则其内切圆半径的最大值是 .

x2 y2 x y + 2 ? 8( + ) + 15 2 x y x 的值恒为正,对吗?答 14. 若 x, y 为非零实数,代数式 y
2 2 2 2 15. 已知: x + y = a, m + n = b( a, b > 0) , 求 mx+ny 的最大值.

.

1 [ f ( x1 ) + f ( x2 )] f ( x ) = log a x( a > 0且a ≠ 1, x ∈ R ) . x1 、x 2 ∈ R , 试比较 2 若 16. 已知
+

+

f(


x1 + x2 ) 2 的大小,并加以证明.

17. 已知正数 a, b 满足 a+b=1(1)求 ab 的取值范围;(2)求

ab +

1 ab 的最小值.

n( n + 1) (n + 1) < an < a = 1 ? 2 + 2 ? 3 + ? + n(n + 1) 2 2 对所有的 18. 设 n .证明不等式
2

正整数 n 都成立.

必修 5 §3.5 不等式单元测试

第 3 章 不等式

1.设 b < a , d < c ,则下列不等式中一定成立的是 A. a ? c > b ? d B. ac > bd C. a + c > b + d


D. a + d > b + c



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2. “ a > b > 0 ”是“ A.充分而不必要条件 C.充要条件

ab <

a 2 + b2 2 ”的
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件





3.不等式 ax > b 的解集不可能是





A. φ

B. R

b ( ,+∞) C. a

b (?∞,? ) a D.

1 1 (? , ) 4.不等式 ax + bx + 2 > 0 的解集是 2 3 ,则 a ? b 的值等于
2





A.-14

B.14

C.-10

D.10 ( )

5.不等式 x | x |< x 的解集是 A. {x | 0 < x < 1} C. {x | 0 < x < 1 或 x < ?1} B. {x | ?1 < x < 1} D. {x | ?1 < x < 0, x > 1}

1 1 < <0 6.若 a b ,则下列结论不正确的是
A. a < b
2





2

B. ab < b

2

b a + >2 C. a b

D. | a | + | b |>| a + b | ( )

2 2 7.若 f ( x ) = 3 x ? x + 1 , g ( x ) = 2 x + x ? 1 ,则 f (x ) 与 g (x ) 的大小关系为

A. f ( x ) > g ( x )

B. f ( x ) = g ( x )

C. f ( x ) < g ( x)

D.随 x 值变化而变化 ( )

8.下列各式中最小值是 2 的是

x y y+x A.

x +5
2

B.

x2 + 4

C.tanx+cotx

x ?x D. 2 + 2

9.下列各组不等式中,同解的一组是 A. x > 0 与 x > 0
2





( x ? 1)( x + 2) <0 x ?1 B. 与x+2< 0
x?2 x?2 ≤1 ≤1 x ?1 x ?1 D. 与
( )

log 1 (3 x + 2) > 0
C.
2

与 3x + 2 < 1

10.如果 | x + 1 | + | x + 9 |> a 对任意实数 x 总成立,则 a 的取值范围是 A. {a | a < 8} B. {a | a > 8} C. {a | a ≥ 8}

D. {a | a ≤ 8} 邮箱: xiaowangboy@sina.com

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1 1 1 + 11.若 a, b ∈ R ,则 a b 与 a + b 的大小关系是
+

.

y = lg
12.函数

1 ? 2x x + 1 的定义域是

.

13.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储 费用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x = 吨.

? x,x ≥ 0 f ( x) = ? ? ?1, x < 0 , 则不等式 f ( x + 2) ≤ 3 的解集___ 14. 已知

_ ____.

15.已知 f ( x ) 是奇函数,且在(- ∞ ,0)上是增函数, f (2) = 0 ,则不等式 xf ( x ) < 0 的 解集是___ _ ____.
2

x ≥2 16.解不等式: x ? 8 x + 15

ax >1 17.已知 a < 1 ,解关于 x 的不等式 x ? 2 .

18.已知 a + b + c = 0 ,求证: ab + bc + ca ≤ 0 。

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资料全免费,无限资料无限下载-------------------欢迎你访问嘉兴数学网 www.jxsxjx.com 19. 对任意 a ∈ [?1,1] , 函数 f ( x) = x + (a ? 4) x + 4 ? 2a 的值恒大于零, x 的取值范围。 求
2

20.如图所示,校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器。已知喷水 器的喷水区域是半径为 5m 的圆。问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置,才能使花坛 的面积最大且能全部喷到水? 喷 水 喷 水

?

?

2 21.已知函数 f ( x) = x + ax + b .

(1)若对任意的实数 x ,都有 f ( x) ≥ 2 x + a ,求 b 的取值范围; (2)当 x ∈ [?1,1] 时, f (x ) 的最大值为 M,求证: M ≥ b + 1 ;

1 a2 a ∈ (0, ) ? 1 ≤ b ≤ ? a. 2 ,求证:对于任意的 x ∈ [?1,1] ,| f ( x) |≤ 1 的充要条件是 4 (3) 若

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1.如果

log 3 m + log 3 n = 4

,那么 m + n 的最小值是( B. 4 3 C.9

) D.18

A.4 2、数列

{a n }的通项为 a n = 2n ? 1 , n ∈ N * ,其前 n 项和为 S n ,则使 S n >48 成立的 n 的最
) B.8 C.9
2

小值为( A.7 3、若不等式

D.10 )

8x + 9 < 7

和不等式 ax + bx ? 2 > 0 的解集相同,则 a 、 b 的值为( B. a =﹣4 b =﹣9 C. a =﹣1 b =9

A. a =﹣8 b =﹣10 ﹣1 b =2

D. a =

4、△ABC 中,若 c = 2a cos B ,则△ABC 的形状为( A.直角三角形 形 B.等腰三角形

) C.等边三角形 D.锐角三角

1 5、在首项为 21,公比为 2 的等比数列中,最接近 1 的项是(
A.第三项 B.第四项 C.第五项

) D.第六项

a 20 {a } a ? a a 6、在等比数列 n 中, 7 11 =6, a 4 + a14 =5,则 10 等于(
2 A. 3 3 B. 2 3 2 C. 2 或 3



2 3 D.﹣ 3 或﹣ 2
) D. 30

7、△ABC 中,已知 (a + b + c)(b + c ? a ) = bc ,则 A 的度数等于( A. 120 8、数列 B. 60 C. 150

{a n } 中, a1 =15, 3a n+1 = 3a n ? 2 ( n ∈ N * ),则该数列中相邻两项的乘积是负
) B.

数的是(

A. a 21 a 22

a 22 a 23

C.

a 23 a 24

D.

a 24 a 25

9、某厂去年的产值记为 1,计划在今后五年内每年的产值比上年增长 10% ,则从今年起到 第五年,这个厂的总产值为( A. 1.1
4


5 6 C. 10 × (1.1 ? 1) 5 D. 11× (1.1 ? 1)

B. 1.1

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b 则集合 P = {( x, y ) | x = a, y = b} 10、 已知钝角△ABC 的最长边为 2, 其余两边的长为 a 、 ,
所表示的平面图形面积等于( A.2 ) C.4 D. 4π ? 2 B. π ? 2

11、在△ABC 中,已知 BC=12,A=60°,B=45°,则 AC= 12.函数 y = lg(12 + x ? x ) 的定义域是
2

13.数列

{an } 的前 n 项和 sn = 2an ? 3(n ∈ N * ) ,则 a5 =
?2 x ? y ≤ 2 ? ? x ? y ≥ ?1 ?x + y ≥ 1 ?

14、设变量 x 、 y 满足约束条件

,则 z = 2 x + 3 y 的最大值为

15、《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一。书中有一道这样的

1 题目:把 100 个面包分给五人,使每人成等差数列,且使最大的三份之和的 3 是较小的两份
之和,则最小 1 份的大小是 16、 已知数列

{a n }、{bn }都是等差数列,a1 = ? 1 ,b1 = ?4 ,用 S k 、S k ' 分别表示数列 {a n }、

{bn }的前 k 项和( k 是正整数),若 S k + S k ' =0,则 a k + bk 的值为
cos B b =? a, b, c 是 A,B,C 所对的边,S 是该三角形的面积,且 cos C 2a + c 17、△ABC 中,
(1)求∠B 的大小; (2)若 a =4, S = 5 3 ,求 b 的值。

18、已知等差数列 (1)求通项公式 (2)设

{an } 的前四项和为 10,且 a2 , a3 , a7 成等比数列

an bn
的前 n 项和

bn = 2 an

,求数列

sn

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19、已知: f ( x) = ax + (b ? 8) x ? a ? ab ,当 x ∈ (?3,2) 时,
2

f ( x) > 0 ; x ∈ (?∞,?3) ∪ (2,+∞) 时, f ( x) < 0
(1)求 y = f (x ) 的解析式 (2)c 为何值时, ax + bx + c ≤ 0 的解集为 R.
2

20、 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD, 公园由长方形的休闲区 A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成。已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4000 平方 米,人行道的宽分别为 4 米和 10 米。 (1)若设休闲区的长

A1 B1 = x

米,求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S (x ) 的解析式;

(2)要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计? D D1 C1 C 4米

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B1 A1 邮箱: xiaowangboy@sina.com 4 米 A 10 米 10 米 B

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21、设不等式组

?x > 0 ? ?y > 0 ? y ≤ ? nx + 3n ?

所表示的平面区域为
*

Dn ,记 Dn 内的格点(格点即横坐标和

纵坐标均为整数的点)个数为 f ( n)( n ∈ N ) (1)求 f (1), f ( 2) 的值及 f (n) 的表达式;

(2) 记

Tn =

f (n) ? f (n + 1) T 与Tn +1 T ≤m 2n , 试比较 n 的大小; 若对于一切的正整数 n , 总有 n

成立,求实数 m 的取值范围; (3)设

Sn

为数列

{bn } 的 前 n 项 的和 , 其 中 bn

= 2 f ( n)

, 问 是 否 存 在正 整 数 n, t , 使

S n + tbn 1 < S n +1 ? tbn +1 16 成立?若存在,求出正整数 n, t ;若不存在,说明理由。

参考答案 第 3 章 不等式 §3.1 不等关系、一元二次不等式 经典例题:79.94km/h 当堂练习:
?1 ? ? , + ∞? ?4 ? ; 12.

1.D; 2.C; 3.C; 4.A; 5.C; 6.D; 7.A;8.C; 9.A; 10.D;11. (-8,8);
13. ?2 2 ; 14. 18;

当a > 1时, 解集为{x |

15.
16.

1 1 < x < 1}; 当a < 1时, 解集为{x |1 < x < } a a ;

[1, 19 ) ;

17.半圆直径与矩形的高的比为 2∶1 ;

18. [

0, + ∞ ) ∪ [ ?1, 0 )

.

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§3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题 经典例题:79.94km/h 当堂练习:
?1 ? ? , + ∞? 4 ? ; 12. ?

1.D; 2.C; 3.C; 4.A; 5.C; 6.D; 7.A;8.C; 9.A; 10.D;11. (-8,8);
13. ?2 2 ; 14. 18;

当a > 1时, 解集为{x |

15.
16.

1 1 < x < 1}; 当a < 1时, 解集为{x |1 < x < } a a ;

[1, 19 ) ;

17.半圆直径与矩形的高的比为 2∶1 ;

18. [

0, + ∞ ) ∪ [ ?1, 0 )

.

§3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题 经典例题:思路分析:主要是去绝对值,可以运用分类讨论思想依绝对值的定义去掉绝对值 符号.也可以运用化归、转化思想化陌生问题为熟悉问题,化复杂问题为简单问题. 解法一:原不等式|x-2|+|y-2|≤2 等价于

? x + y ≤ 6, ? x ? y ≤ 2, ? ? ? x ? y ≥ ?2, ? x + y ≥ 2, ?

x ≥ 2, y ≥ 2, x ≥ 2, y ≤ 2, x ≤ 2, y ≥ 2, x ≤ 2, y ≤ 2, 作出以上不等式组所表示的平面区域:它是边长为 22

的正方形,其面积为 8. 解法二:∵|x-2|+|y-2|≤2 是|x|+|y|≤2 经过向右、向上各平移 2 个单位得到的, ∴|x-2|+|y-2|≤2 表示的平面区域的面积等于|x|+|y|≤2 表示的平面区域的面积,由于

|x|+|y|≤2 的图象关于 x 轴、y 轴、原点均对称,故求得平面区域
面积为 2,故|x|+|y|≤2 的面积为 4×2=8. ∴所求面积为 8.

? x + y ≤ 2, ? ?x ≥ 0 ? y ≥ 0. ?

如下图所示的

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1.C; 2.B; 3.

? x > 0, ? ? y < 0, ?x ? y ? 2 < 0 ?

; 4. 甲地运往 B 地 300t,乙地运往 A 地 200t,运往 B 地 150t,

运往 C 地 400t,5650 元; 5. 思路分析:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各 个不等式所表示的平面区域的公共部分. 解:运用“直线定界,特殊点定域”的方法,先画出 直线 x-y+5=0(画成实线),如下图,取原点(0,0), 代入 x-y+5.∵0-0+5=5>0,∴原点在 x-y 表示的 平面区域内,即 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及右 下方的点的集合,同理可得 x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及右上方的点的集合,x≤3 表示直线 x=3 上及左方的点的集合.

6. 思路分析:这是一个求最大利润问题,首先根据条件设种两种作物分别为 x、y 亩,根据 条件列出不等式组和目标函数画图,即可得到最大利润.

? x + y ≤ 2, ?240 x + 80 y ≤ 400, ? ? ? x ≥ 0, ? y ≥ 0. 解:如下图所示,设水稻种 x 亩,花生种 y 亩,则由题意得 ?
而利润 P=(3×400-240)x+(5×100-80)y =960x+420y(目标函数),

? x + y = 2, ? 240 x + 80 y = 400, 得交点 B(1.5,0.5). 可联立 ?
故当 x=1.5,y=0.5 时, Pmax=960×1.5+420×0.5=1650, 即水稻种 1.5 亩,花生种 0.5 亩时所得到的利润最大. 7. 思路分析:可以把 a、b 分别看成横坐标和纵坐标,根据不等式组画出可行域,然后求目 标函数 9x-y 的最大值和最小值.

?? 4 ≤ a ? b ≤ 1, ? ? 1 ≤ 4a ? b ≤ 5 下,目标函数 z=9a-b 的取值范围. 解:问题转化为在约束条件 ?
画出可行域如下图所示的四边形 ABCD 及其内部.

?a ? b = 1, ?a = 0, ? ? ?4a ? b = ?1 ,解得 ?b = 1 得点 A(0,1). 由
当直线 9a-b=t 通过与可行域的公共点 A(0,1)时, 使目标函数 z=9a-b 取得最小值为 zmin=9×0-1=-1.

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?a ? b = ?4, ?a = 3, ? ? 4a ? b = 5, 解得 ?b = 7 得点 C(3,7). 由?
当直线 9a-b=t 通过与可行域的公共点 C(3,7)时, 使目标函数 z=9a-b 取得最大值为 zmax=9×3-7=20. ∴9a-b 的取值范围是[-1,20]. 8. 思路分析:本题考查逆向思维、数形结合的思想方法,利用图形的特性和规律,解决数 的问题或将图形信息转换成代数信息, 削弱或清除形的推理部分, 使要解决的形问题转化为 数量关系的讨论. 解:直线 z=ax+y(a>0)是斜率为-a,y 轴上的截距为 z 的直线族,从题图可以看出, 当-a 小于直线 AC 的斜率时,目标函数 z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解是(1,4); 当-a 大于直线 AC 的斜率时,目标函数 z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解是(5,2); 只有当-a 等于直线 AC 的斜率时,目标函数 z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多

1 1 1 个,线段 AC 上的所有点都是最优解.直线 AC 的斜率为- 2 ,所以 a= 2 时,z 的最大值为 2 9 ×1+4= 2 .
9. 思路分析:本题可以使用线性规划的基本思路,像二元一次不等式所示的区域一样,我 们仍然可以用“线定界,点定域”的方法来确定 9x2-16y2+144≤0 所表示的平面区域. 解:(1)将原点坐标代入 9x2-16y2+144,其值为 144>0,因此 9x2-16y2+144≤0 表示的平

y2 x2 面区域如图所示的阴影部分,即双曲线 9 - 16 =1 的含有焦点的区域.
(2)设 P(x, y)为该区域内任意一点, 由上图可知, P 与双曲线的顶点(0, 当 ±4)重合时, |OP|取得最小值 4.所以,x2+y2=|OP|2=16.

y (3)取 Q(2,0),则直线 PQ 的斜率为 k= x ? 2 ,其直线方程为 y=k(x-2),代入

3 5 9x2-16y2+144=0 得(9-16k2)x2+64k2x-64k2+144=0,由Δ=0 得 k=± 10 , 3 5 3 5 由图可知 k≥ 10 或 k≤- 10 . 3 5 3 5 y 故所求 x ? 2 的取值范围是(-∞,- 10 ]∪[ 10 ,+∞).
§3.4 基本不等式 经典例题: 【 解析】 证法一 假设
(1 ? a)b



(1 ? b)c



(1 ? c)a

1 同时大于 4 ,

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(1 ? a ) + b (1 ? a)b > 2 ∵ 1-a>0,b>0,∴ ≥

1 1 = 4 2,

(1 ? b) + c 1 (1 ? c ) + a 1 3 3 > > > 2 2, 2 2 .三个不等式相加得 2 2 ,不可能, 同理 1 ∴ (1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不可能同时大于 4 .

证法二 假设

(1 ? a )b >

1 1 1 (1 ? b)c > (1 ? c ) a > 4, 4, 4 同时成立, (1 ? a )b(1 ? b)c (1 ? c ) a >
2

∵ 1-a>0,1-b>0,1-c>0,a>0,b>0,c>0,∴

1 64 ,

1 (1 ? a ) a (1 ? b)b(1 ? c )c > 64 . (*) 即 1 1 同理 (1 ? b)b ≤ 4 , (1 ? c)c ≤ 4 ,

(1 ? a )a (1 ? b)b (1 ? c )c

1 ? (1 ? a ) + a ? ? =4 (1 ? a) a ≤ ? 2 ? ? 又∵ ,

1 ≤ 64 与(*)式矛盾,



(1 ? a )b, (1 ? b)c, (1 ? c )a

1 不可能同时大于 4 .

当堂练习:
1 1.A; 2.B; 3.C; 4.D; 5.C; 6.A; 7.B; 8.C; 9.C; 10.C;11. 2 ;

12. 3600 ;

13.

2 ?1 2 ;

14. 对;

15. ab

f ( x1 ) + f ( x2 ) = log a x1 + log a x2 16. 【 解析】

= log a ( x1 x 2 ), f (

x1 + x 2 x +x ) = log a 1 2 2 .



x1 、 x 2 ∈ R + , ∴

x1 x 2 ≤ (

x1 + x 2 2 ) 2 .

当且仅当 x1 = x 2 时,取“=”号.

当 a > 1 时,有

log a ( x1 x 2 ) ≤ log a (

x1 + x 2 ) 2 .

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1 log a ( x1 x 2 ) ≤ 2

≤ log a (

x1 + x 2 x + x2 1 ) [log a x1 + log a x 2 ] ≤ log a ( 1 ) 2 2 .2 .

x + x2 1 [ f ( x1 ) + f ( x 2 )] ≤ f ( 1 ) 2 即2 .
当 0 < a < 1 时,有

log a ( x1 ? x2 ) ≥ log a

(

x1 + x 2 2 ) 2 .

x1 + x 2 1 [ f ( x1 ) + f ( x2 )] ≥ f ( ). 2 即2
? 1? ? 0, ? 17. (1) ? 4 ?
17 (2) 4
k < k (k + 1) < k + (k + 1) 2k + 1 = 2 2

18.【 解析】 证明 由于不等式
1 + 2 + ? + n < an < 3 5 2n + 1 + +?+ 2 2 2 ( n + 1)n 2

对所有的正整数 k 成立,把它对 k 从 1 到 n(n≥1)求和,得到

又因

1+ 2 +?+ n =

3 5 2n + 1 1 (n + 1) 2 + +?+ < [1 + 3 + 5 + ? + ( 2n + 1)] = 2 2 2 以及 2 2
2

n(n + 1) (n + 1) < an < 2 对所有的正整数 n 都成立. 因此不等式 2

§3.5 不等式单元测试

1 1 1 1 + > (?1, ) 2 ; 13. 20 ; 14. 1.C; 2.A; 3.D; 4.C; 5.C; 6.D; 7.A; 8.D; 9.B; 10.A;11. a b a + b ; 12.
(?∞ ,1 ] ;15. {x | ?2 < x < 0, 或0<x<2} ;
16.解:原不等式等价于:

x ? 2 x 2 + 17 x ? 30 2 x 2 ? 17 x + 30 ?2≥0? ≥0? ≤0 x 2 ? 8 x + 15 x 2 ? 8 x + 15 x 2 ? 8 x + 15
? ( x ? 6)(2 x ? 5) 5 ≤0? ≤ x<3 ( x ? 3)( x ? 5) 2 或5 < x ≤ 6
5 [ ,3) ∪ (5,6] ∴原不等式的解集为 2 ax (a ? 1) x + 2 >1 >0 x?2 可化为 . 17.解:不等式 x ? 2

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x?
∵ a < 1 ,∴ a ? 1 < 0 ,则原不等式可化为

2 1? a < 0 x?2 ,
2 } 1? a ;

故当 0 < a < 1 时,原不等式的解集为 当 a = 0 时,原不等式的解集为 φ ;

{x | 2 < x <

当 a < 0 时,原不等式的解集为 18.证明:法一(综合法)

{x |

2 < x < 2} 1? a .

∵a + b + c = 0,

∴ (a + b + c) 2 = 0

a 2 + b2 + c 2 ab + bc + ca = ? ≤0 2 展开并移项得: ∴ ab + bc + ca ≤ 0
法二(分析法) 要证 ab + bc + ca ≤ 0 ,∵ a + b + c = 0 ,故只要证 ab + bc + ca ≤ ( a + b + c) 即证 a + b + c + ab + bc + ca ≥ 0 ,
2 2 2

2

1 [(a + b) 2 + (b + c) 2 + (c + a ) 2 ] ≥ 0 也就是证 2 ,
而此式显然成立,由于以上相应各步均可逆,∴原不等式成立。 法三:∵ a + b + c = 0 ,∴ ?c = a + b

b 3b 2 ∴ ab + bc + ca = ab + (b + a )c = ab ? (a + b) 2 = ? a 2 ? b 2 ? ab = ?[(a + ) 2 + ]≤ 0 2 4 ∴ ab + bc + ca ≤ 0
2 2 2 2 2 2 法四:∵ a + b ≥ 2ab, b + c ≥ 2bc , c + a ≥ 2ca

∴由三式相加得: a + b + c ≥ ab + bc + ca
2 2 2 2 两边同时加上 2( ab + bc + ca ) 得: ( a + b + c ) ≥ 3( ab + bc + ca )

∵a + b + c = 0 ,

∴ ab + bc + ca ≤ 0

2 2 19.解:设 g ( a ) = x + ( a ? 4) x + 4 ? 2a = ( x ? 2) a + ( x ? 2) ,

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资料全免费,无限资料无限下载-------------------欢迎你访问嘉兴数学网 www.jxsxjx.com 则 g (a ) 的图象为一直线,在 a ∈ [?1,1] 上恒大于 0,故有

?x 2 ? 5x + 6 > 0 ? g (?1) > 0 ? 2 ? ? g (1) > 0 ,即 ? x ? 3x + 2 > 0 ,解得: x < 1 或 x > 3
∴ x 的取值范围是 (?∞,1) ∪ (3,+∞) 20.解:设花坛的长、宽分别为 xm,ym,根据要求,矩形花坛应在喷水区域内,顶点应恰

x y ( ) 2 + ( ) 2 = 25 2 好位于喷水区域的边界。依题意得: 4 ,( x > 0, y > 0 ) x2 + y 2 = 100 x > 0, y > 0 , 4 问题转化为在 的条件下,求 S = xy 的最大值。 x x ∵ S = xy = 2 ? ? y ≤ ( ) 2 + y 2 = 100 2 2 , 法一: x x2 =y + y 2 = 100 由2 和 4 及 x > 0, y > 0 得: x = 10 2 , y = 5 2
∴S max = 100 x2 + y 2 = 100 x > 0, y > 0 , 4 法二:∵ , ∴ S = xy = x 100 ? x2 x2 1 x 2 ? (100 ? ) = ? ( x 2 ? 200) 2 + 10000 4 = 4 4

2 S = 100 ∴当 x = 200 ,即 x = 10 2 , max

x2 + y 2 = 100 4 由 可解得: y = 5 2 。
答:花坛的长为 10 2m ,宽为 5 2m ,两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心,则符 合要求。 21. 解:(1)对任意的 x ∈ R ,都有 f ( x ) ≥ 2 x + a ?
2 2 对任意的 x ∈ R , x + ( a ? 2) x + (b ? a ) ≥ 0 ? ? = ( a ? 2) ? 4(b ? a ) ≤ 0

? b ≥ 1+

a2 ? b ≥ 1(∵ a ∈ R ) 4

∴ b ∈ [1,+∞ ) .

即 (2) 证明: f (1) = 1 + a + b ≤ M , f ( ?1) = 1 ? a + b ≤ M , ∴ 2 M ≥ 2b + 2 , M ≥ b + 1 。 ∵ 嘉兴数学网》系列资料 《嘉兴数学网 嘉兴数学网 网址: www.jxsxjx.com 邮箱: xiaowangboy@sina.com

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(3)证明:由 是增函数。

0<a<

1 1 a a a ? <? <0 [?1,? ] [? ,1] 2 得, 4 2 2 上是减函数,在 2 上 ∴ f (x) 在

a a2 x=? b? 2 时取得最小值 4 ,在 x = 1 时取得最大值 1 + a + b . ∴当 | x |≤ 1 时, f (x) 在

?1 + a + b ≤ 1 a2 ? | f ( x) |≤ 1 ? ? a 2 ? ? 1 ≤ b ≤ ? a. 4 ?b ? 4 ≥ ?1 ? 故对任意的 x ∈ [?1,1] ,
必修 5 综合测试

x ?3 < x < 4 1.D; 2.B; 3.B; 4.B; 5.C; 6.C; 7.A; 8.C; 9.D; 10.B;11. 4 6 ; 12. ; 13. 48 ; 14.18;
15.10; 16.5;

{

}

cos B b cos B sin B =? ? =? 2a + c cos C 2sin A + sin C 17、⑴由 cos C
? 2sin A cos B + cos B sin C = ? sin B cos C ? 2sin A cos B = ? sin B cos C ? cos B sin C

∴ 2sin A cos B = ? sin( B + C ) ? 2 sin A cos B = ? sin A 1 2 ? cos B = ? , 又 0 < B < π ,∴ B = π 2 3



由a = 4, S = 5 3有S =

1 1 3 ac sin B = × c × ?c=5 2 2 2 3 ? b = 61 2

b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B ? b 2 = 16 + 25 ? 2 × 4 × 5 ×

?4a1 + 6d = 10 ? (a + 2d ) 2 = (a1 + d )(a1 + 6d ) 18、⑴由题意知 ? 1
5 ? ?a1 = ?2 ?a1 = ?? 或? 2 ?d = 3 ?d = 0 ? an = 3n ? 5或an = 5 2 1

所以

⑵当

an = 3n ? 5

{b } 时,数列 n 是首项为 4 、公比为 8 的等比数列
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1 (1 ? 8n ) 8n ? 1 4 Sn = = 1? 8 28 所以
an = 5 5 5 bn = 2 2 Sn = 2 2 n 2 时, 所以 Sn = 8n ? 1 5 Sn = 2 2 n 28 或



综上,所以

19、⑴由 x ∈ (?3,2) 时, f ( x ) > 0 ; x ∈ ( ?∞,?3) ∪ ( 2,+∞) 时, f ( x ) < 0
2 知: ?3, 2 是是方程 ax + (b ? 8) x ? a ? ab = 0 的两根

b?8 ? ? ?3 + 2 = ? a ? ? ?a = ?3 ??3 × 2 = ? a ? ab ? ? ? a ? ?b = 5 ∴ f ( x) = ?3 x 2 ? 3 x + 18
2 ⑵由 a < 0 ,知二次函数 y = ax + bx + c 的图象开口向下

要使 ?3 x ? 5 x + c ≤ 0 的解集为 R,只需 ? ≤ 0
2



25 ? 12c ≤ 0 ? c ≥

25 12

∴当

c≥

25 12 时 ax 2 + bx + c ≤ 0 的解集为 R. A1 B1 = x B1C1 = 4000 x

20、⑴由

,知

4000 + 8) x 80000 = 4160 + 8 x + ( x > 0) x S = ( x + 20)(

S = 4160 + 8 x +


80000 80000 ≥ 4160 + 2 8 xi = 5760 x x

当且仅当

8x =

80000 即x = 100 x 时取等号

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资料全免费,无限资料无限下载-------------------欢迎你访问嘉兴数学网 www.jxsxjx.com ∴要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长为 100 米、宽为 40 米. 21、⑴ f (1) = 3, f (2) = 6 当 x = 1 时, y 取值为 1,2,3,…, 2n 共有 2n 个格点 当 x = 2 时, y 取值为 1,2,3,…, n 共有 n 个格点 ∴ f ( n) = n + 2n = 3n

9(n + 1)(n + 2) T n+2 2 n +1 ? n +1 = = f (n) f (n + 1) 9n(n + 1) 9n(n + 1) Tn 2n Tn = = n n n 2 2 2 ⑵
当 n = 1, 2 时, 当 n ≥ 3 时, ∴ n = 1 时,

Tn +1 ≥ Tn

n + 2 < 2n ? Tn +1 < Tn T1 = 9 T2 = T3 = 27 2

n = 2,3 时,

n ≥ 4 时, Tn < T3



{Tn } 中的最大值为

T2 = T3 =

27 2

27 27 ≤m m≥ T ≤ m 对于一切的正整数 n 恒成立,只需 2 2 要使 n ∴ bn = 2 f ( n ) = 23n = 8 n ? S n = 8(1 ? 8n ) 8 n = (8 ?1) 1? 8 7



S n + tbn S S ? tbn +1 将 n 代入 n +1

?8 ? n 8 ? ? t ?8 ? 7 1 ?7 ? < 1 ?8 ? n 1 2 < ? t ?8 ? 16 ,化简得, ? 7 ? 7 ? (﹡)

8n 8 ? n 7 7 < 1 , 即 8 < 15 8n 1 2 7 7 ? ,显然 n = 1 若 t = 1时 7 7

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?8 ? n 1 ? 8 ? n 15 ? ? t ?8 ? < 0 ? ? t ?8 > 7 7 不可能成立 ? ? 若 t > 1时 ? 7 (﹡)式化简为 ? 7

S n + tbn 1 < S ? tbn +1 16 成立. 综上,存在正整数 n = 1, t = 1 使 n +1

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