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高中数学必修3全套教案(算法部分)


算法初步
第 1 课时 程序框图及顺序结构 (1)程序框图又称流程图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形. 在程序框图中,一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤;带有方向箭头的流程线将程序框连接起来, 表示算法步骤的执行顺序. (2)椭圆形框: 时只有一个入口. (3)平行四边形框: (4)矩形框: (5)菱形框: 表示一个算法输入和输出的信息,又称为输入、输出框,它有一个入口和一个出口. 表示程序的开始和结束,称为终端框(起止框) .表示开始时只有一个出口;表示结束

表示计算、赋值等处理操作,又称为处理框(执行框) ,它有一个入口和一个出口. 是用来判断给出的条件是否成立,根据判断结果来决定程序的流向,称为判断框,它有一

个入口和两个出口. (6)流程线: 表示程序的流向.

(7)圆圈: 连接点.表示相关两框的连接处,圆圈内的数字相同的含义表示相连接在一起. (8)总结如下表. 图形符号 名称 终端框(起止框) 输入、输出框 处理框(执行框) 功能 表示一个算法的起始和结束 表示一个算法输入和输出的信息 赋值、计算 判断某一条件是否成立, 成立时在出口处标明 判断框 “是”或“Y”;不成立时标明“否”或“N” 流程线 连接程序框

连接点

连接程序框图的两部分

(9)很明显,顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,这是任何一个算法都离不开的基本结构. 三种逻辑结构可以用如下程序框图表示:

顺序结构

条件结构

循环结构

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例1 观察下面的程序框图 1、2,指出该算法解决的问题.

图1 拓展提升 如下给出的是计算

图2

图3

1 1 1 1 的值的一个流程图,其 ? ? ??? 2 4 6 20

中判断框内应填入的条件是______________. 例 2 已知一个三角形三条边的边长分别为 a, c, b, 利用海伦—秦九韶公式设计一个计算三角形面积的算法, 并画出程序框图表示.(已知三角形三边边长分别为 a,b,c,则三角形的面积为 S= 其中 p=

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ) ,

a?b?c .这个公式被称为海伦—秦九韶公式) 2

算法分析:这是一个简单的问题,只需先算出 p 的值,再将它代入分式,最后输出结果.因此只用顺序结构应 能表达出算法. 算法步骤如下: 第一步,输入三角形三条边的边长 a,b,c. 第二步,计算 p= 第三步,计算 S= 第四步,输出 S. 程序框图如图 4: 图4 变式训练 图 5 所示的是一个算法的流程图,已知 a1=3,输出的 b=7,求 a2 的值. 拓展提升 图5

a?b?c . 2
p( p ? a)( p ? b)( p ? c) .

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如下给出的是计算

1 1 1 1 的值的一个流程图,其 ? ? ??? 2 4 6 20
第 2 课时 条件结构

中判断框内应填入的条件是______________.

条件结构:先根据条件作出判断,再决定执行哪一种操作的结构就称为条件结构(或分支结构) ,如图 1 所示. 执行过程如下:条件成立,则执行 A 框;不成立,则执行 B 框.

图1

图2

注:无论条件是否成立,只能执行 A、B 之一,不可能两个框都执行.A、B 两个框中,可以有一个是空的, 即不执行任何操作,如图 2. (4)一种是在两个“分支”中均包含算法的步骤,符合条件就执行“步骤 A”,否则执行“步骤 B”;另一种是在 一个“分支”中均包含算法的步骤 A,而在另一个“分支”上不包含算法的任何步骤,符合条件就执行“步骤 A”, 否则执行这个条件结构后的步骤. 应用示例 例 1 任意给定 3 个正实数,设计一个算法,判断以这 3 个正实数为三边边长的三角形是否存在,并画 出这个算法的程序框图. 算法分析:判断以 3 个任意给定的正实数为三条边边长的三角形 是否存在,只需验证这 3 个数中任意两个数的和是否大于第 3 个 数.这个验证需要用到条件结构. 算法步骤如下: 第一步,输入 3 个正实数 a,b,c. 第二步,判断 a+b>c,b+c>a,c+a>b 是否同时成立.若是,则存在 这样的三角形;否则,不存在这样的三角形. 程序框图如右图:

例 2 设计算法判断一元二次方程 ax2+bx+c=0 是否有实数根, 并画出相应的程序框图. 解:算法步骤如下: 第一步,输入 3 个系数:a,b,c. 第二步,计算 Δ=b2-4ac.
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第三步,判断 Δ≥0 是否成立.若是,则输出“方程有实根”;否则,输出“方程无实根”.结束算法. 相应的程序框图如右:

例 3 (1)设计算法,求 ax+b=0 的解,并画出流程图. 解:对于方程 ax+b=0 来讲,应该分情况讨论方程的解. 我们要对一次项系数 a 和常数项 b 的取值情况进行分类,分类如下: (1)当 a≠0 时,方程有唯一的实数解是 ?

b ; a

(2)当 a=0,b=0 时,全体实数都是方程的解; (3)当 a=0,b≠0 时,方程无解. 联想数学中的分类讨论的处理方式,可得如下算法步骤: 第一步,判断 a≠0 是否成立.若成立,输出结果“解为 ?

b ”. a

第二步, 判断 a=0, 是否同时成立.若成立, b=0 输出结果“解集为 R”. 第三步,判断 a=0,b≠0 是否同时成立.若成立,输出结果“方程无 解”,结束算法. 程序框图如下: 知能训练 设计算法,找出输入的三个不相等实数 a、b、c 中的最大值,并画出流程图. 解:算法步骤: 第一步,输入 a,b,c 的值. 第二步,判断 a>b 是否成立,若成立,则执行第三步;否则执行第四 步. 第三步,判断 a>c 是否成立,若成立,则输出 a,并结束;否则输出 c, 并结束. 第四步,判断 b>c 是否成立,若成立,则输出 b,并结束;否则输出 c, 并结束. 程序框图如下:

拓展提升 有一城市, 市区为半径为 15 km 的圆形区域, 近郊区为距中心 15—25 km 的范围内的环形地带, 距中心 25 km 以外的为远郊区, 如右图所示. 市 区地价每公顷 100 万元,近郊区地价每公顷 60 万元,远郊区地价为每公 顷 20 万元,输入某一点的坐标为(x,y),求该点的地价.

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第 3 课时 循环结构 1°当型循环结构,如图(1)所示,它的功能是当给定的条件 P 成立时,执行 A 框,A 框执行完毕后, 返回来再判断条件 P 是否成立,如果仍然成立,返回来再执行 A 框,如此反复执行 A 框,直到某一次返回来 判断条件 P 不成立时为止,此时不再执行 A 框,离开循环结构.继续执行下面的框图. 2°直到型循环结构,如图(2)所示,它的功能是先执行重复执行的 A 框,然后判断给定的条件 P 是否 成立,如果 P 仍然不成立,则返回来继续执行 A 框,再判断条件 P 是否成立.继续重复操作,直到某一次给定 的判断条件 P 时成立为止,此时不再返回来执行 A 框,离开循环结构.继续执行下面的框图. 见示意图:

当型循环结构

直到型循环结构

(4)两种循环结构的不同点:直到型循环结构是程序先进入循环体,然后对条件进行判断,如果条件不满足, 就继续执行循环体,直到条件满足时终止循环. 当型循环结构是在每次执行循环体前,先对条件进行判断,当条件满足时,执行循环体,否则终止循环. 两种循环结构的相同点: 两种不同形式的循环结构可以看出,循环结构中一定包含条件结构,用于确定 何时终止执行循环体. 应用示例 思路 1 例 1 设计一个计算 1+2+……+100 的值的算法,并画出程序框图. 解决这一问题的算法是: 第一步,令 i=1,S=0. 第二步, 若 结束算法. 第三步, 第四步, S=S+i. i=i+1 , 返 回 第 二 步. i≤100 成立,则执 行第三步;否则,输出 S,

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变式训练 已知有一列数

1 2 3 n ,设计框图实现求该列数前 20 项的和. , , , ?, 2 3 4 n ?1
方法二:

解:程序框图如下: 方法一:

例 2 某厂 2005 年的年生产总值为 200 万元,技术革新后预计以后每年的年生产总值都比上一年增长 5%, 设计一个程序框图,输出预计年生产总值超过 300 万元的最早年份. 算法分析:先写出解决本例的算法步骤: 第一步,输入 2005 年的年生产总值. 第二步,计算下一年的年生产总值. 第三步,判断所得的结果是否大于 300,若是,则输出该年的年份,算法结束;否则,返回第二步. 由于“第二步”是重复操作的步骤,所以本例可以用循环结构来实现.我们按照“确定循 环体”“初始化变量”“设定循环控制条件”的顺序来构造循环结构. (1)确定循环体:设 a 为某年的年生产总值,t 为年生产总值的年增长量,n 为年份, 则循环体为 t=0.05a,a=a+t,n=n+1. (2)初始化变量:若将 2005 年的年生产总值看成计算的起始点,则 n 的初始值为 2005,a 的初始值为 200. (3)设定循环控制条件:当“年生产总值超过 300 万元”时终止循环,所以可通过判

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断“a>300”是否成立来控制循环. 程序框图如右:

思路 2 例 1 设计框图实现 1+3+5+7+…+131 的算法. 分析:由于需加的数较多,所以要引入循环结构来实现累加.观察所加的数是一组有规律的数(每相临两数 相差 2) ,那么可考虑在循环过程中,设一个变量 i,用 i=i+2 来实现这些有规律的数,设一个累加器 sum,用 来实现数的累加,在执行时,每循环一次,就产生一个需加的数,然后加 到累加器 sum 中. 解:算法如下: 第一步,赋初值 i=1,sum=0. 第二步,sum=sum+i,i=i+2. 第三步,如果 i≤131,则反复执第二步;否则,执行下一步. 第四步,输出 sum. 第五步,结束. 程序框图如右图.

点评: (1)设计流程图要分步进行,把一个大的流程图分割成几个小的部分,按照三个基本结构即顺序、条 件、循环结构来局部安排,然后把流程图进行整合. (2)框图画完后,要进行验证,按设计的流程分析是否能实现所求的数的累加,分析条件是否加到 131 就结 束循环,所以我们要注意初始值的设置、循环条件的确定以及循环体内语句的先后顺序,三者要有机地结合 起来. 最关键的是循环条件, 它决定循环次数, 可以想一想, 为什么条件不是“i<131”或“i=131”, 如果是“i<131”, 那么会少执行一次循环,131 就加不上了. 例 2 高中某班一共有 40 名学生, 设计算法流程图, 统计班级数学成绩良好(分数>80)和优秀(分数>90)的人数. 分析:用循环结构实现 40 个成绩的输入,每循环一次就输入一个成绩 s,然后对 s 的值进行判断.设两个计数 器 m,n,如果 s>90,则 m=m+1,如果 80<s≤90,则 n=n+1.设计数器 i,用来控制 40 个成绩的输入,注意循环 条件的确定. 解:程序框图如下图:

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知能训练 由相应的程序框图如右图,补充完整一个计算 1+2+3+…+100 的值的算法.(用循环结构) 第一步,设 i 的值为_____________. 第二步,设 sum 的值为_____________. 第 三 步 , 如 果 i≤100 执 行 第 _____________ 步 , 否 则 , 转 去 执 行 第 _____________步. 第四步,计算 sum+i 并将结果代替_____________. 第五步,计算_____________并将结果代替 i. 第六步,转去执行第三步. 第七步,输出 sum 的值并结束算法. 分析:流程图各图框的内容(语言和符号)要与算法步骤相对应,在流程图 中算法执行的顺序应按箭头方向进行. 解:第一步,设 i 的值为 1. 第二步,设 sum 的值为 0. 第三步,如果 i≤100,执行第四步,否则,转去执行第七步. 第四步,计算 sum+i 并将结果代替 sum. 第五步,计算 i+1 并将结果代替 i. 第六步,转去执行第三步. 第七步,输出 sum 的值并结束算法. 拓展提升 设计一个算法,求 1+2+4+…+249 的值,并画出程序框图. 解:算法步骤: 第一步,sum=0. 第二步,i=0. 第三步,sum=sum+2i.
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第四步,i=i+1. 第五步,判断 i 是否大于 49,若成立,则输出 sum,结束.否则,返回第三步重新执行. 程序框图如右图:

第 4 课时 程序框图的画法 从前面的学习可以看出,设计一个算法的程序框图通常要经过以下步骤: 第一步,用自然语言表达算法步骤. 第二步,确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构,并用相应的程序框表示,得到该步骤的程序框图. 第三步,将所有步骤的程序框图用流程线连接起来,并加上终端框,得到表示整个算法的程序框图.

应用示例 例 1 结合前面学过的算法步骤,利用三种基本逻辑结构画出程序框图,表示用“二分法”求方程 x2-2=0(x>0) 的近似解的算法. 算法分析: (1)算法步骤中的“第一步”“第二步”和“第三步”可以用顺序结构来表示(如下图) :

(2)算法步骤中的“第四步”可以用条件结构来表示(如下图).在这个条件结构中,“否”分支用“a=m”表示含 零点的区间为[m,b],并把这个区间仍记成[a,b] ;“是”分支用“b=m ”表示含零点的区间为[a,m] ,同样 把这个区间仍记成[a,b].

(3)算法步骤中的“第五步”包含一个条件结构,这个条件结构与“第三步”“第四步”构成一个循环结构,循环 体由“第三步”和“第四步”组成, 终止循环的条件是“|a-b|<d 或 f(m)=0”.在“第五步”中, 还包含由循环结构与“输 出 m”组成的顺序结构(如下图).
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(4)将各步骤的程序框图连接起来,并画出“开始”与“结束”两个终端框,就得到了表示整个算法的程序框图 (如下图).

点评:在用自然语言表述一个算法后,可以画出程序框图,用顺序结构、条件结构和循环结构来表示这个算 法,这样表示的算法清楚、简练,便于阅读和交流. 例 2 相传古代的印度国王要奖赏国际象棋的发明者,问他需要什么.发明者说:陛下,在国际象棋的第一个 格子里面放 1 粒麦子,在第二个格子里面放 2 粒麦子,第三个格子放 4 粒麦子,以后每个格子中的麦粒数都 是它前一个格子中麦粒数的二倍,依此类推(国际象棋棋盘共有 64 个格子),请将这些麦子赏给我,我将感 激不尽.国王想这还不容易,就让人扛了一袋小麦,但不到一会儿就没了,最后一算结果,全印度一年生产的 粮食也不够.国王很奇怪,小小的“棋盘”,不足 100 个格子,如此计算怎么能放这么多麦子?试用程序框图表 示此算法过程. 解:将实际问题转化为数学模型,该问题就是要求 1+2+4+……+263 的和. 程序框图如下:

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点评:对于开放式探究问题,我们可以建立数学模型(上面的题目可以与等比数列的定义、性质和公式联系 起来)和过程模型来分析算法,通过设计算法以及语言的描述选择一些成熟的办法进行处理. 例 3 乘坐火车时,可以托运货物.从甲地到乙地,规定每张火车客票托运费计算方法是:行李质量不超过

50 kg 时按 0.25?元/kg;超过 50 kg 而不超过 100 kg 时,其超过部分按 0.35 元/kg;超过 100 kg 时,其超 过部分按 0.45 元/kg.编写程序,输入行李质量,计算出托运的费用. 分析:本题主要考查条件语句及其应用.先解决数学问题,列出托运的费用关于行李质量的函数关系式.设 行李质量为 x kg,应付运费为 y 元,则运费公式为:

?0.25 x,0 ? x ? 50, ? y= ?0.25 ? 50 ? 0.35( x ? 50 ),50 ? x ? 100 , ?0.25 ? 50 ? 0.35 ? 50 ? 0.45( x ? 100 ), x ? 100 , ? ?0.25 x,0 ? x ? 50, ? 整理得 y= ?0.35 x ? 5,50 ? x ? 100 , ?0.45 x ? 15, x ? 100 . ?
要计算托运的费用必须对行李质量分类讨论,因此要用条件语 句来实现. 解:算法分析: 第一步,输入行李质量 x. 第二步,当 x≤50 时,计算 y=0.25x,否则,执行下一步. 第三步,当 x≤100,计算 y=0.35x-5,否则,计算 y=0.45x- 15. 第四步,输出 y. 程序框图如下: 知能训练 设计一个用有理数数幂逼近无理指数幂 5 的程序框图.
2

的算法,画出算法

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解:算法步骤: 第一步,给定精确度 d,令 i=1. 第二步,取出 2 的到小数点后第 i 位的不足近似值,记为 a;取出 2 的到小数点后第 i 位的过剩近似值, 记为 b. 第三步,计算 m=5b-5a. 第四步,若 m<d,则得到 5 第五步,得到 5 程序框图如下: 拓展提升 1、求 4 ?
2 2

的近似值为 5a;否则,将 i 的值增加 1,返回第二步.

的近似值为 5a.

1 4? 1

,画出程序框图.

1 4 ??? 4 ??? ??? ? ? ?
( 共10个 4 )

解:程序框图如下: 2、在如图所示的算法流程图 2,输出 S 的值为

A、11 C、13

B、12 D、15 1 1 1 1 3、 图 1 给出的是计算 ? ? ? ? ? 的值的一个流程图,其中判断框内应填入的条件是( 2 4 6 20
A. i ? 21 C. i ? 21 B. i ? 11 D. i ? 11 开始 S:=0 i:=3 S:=S+i i:=i+1 否 i>5 是 输出 S 结束 图1 图2

).

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