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-08年度高一数学第一学期期末考试试卷123

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龙湖区新溪一中 07-08 年度高一数学第一学期期末考试试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.已知全集 I = {0, ?1, ?2, ?3, ?4} ,集合 M = {0, ?1, ?2} , N = {0, ?3, ?4} ,那么 (C I M ) I N = A.{0} B.{?3, ?4} C.{?1, ?2} D. ? ( ) ( )

2. . 如图所示, 三视图表示的几何体是

正视图

侧视图

俯视图

A.棱锥;

B.圆柱;

C.圆锥;

D.圆台;
L2 x

3.若图中的直线 L1、L2、L3 的斜率分别为 K1、K2、K3 L3 . C.K3﹤K2﹤K1 D.K1﹤K3﹤K2
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o L1

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4 . 直 线 3x+4y-13=0 与 圆 ( x ? 2) 2 + ( y ? 3) 2 = 1 的 位 置 关 系 是 : ( ) A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法判定.

5.如果函数 f ( x) = x 2 + 2(a ? 1) x + 2 在区间 ( ?∞, 4] 上是减函数,那么实数 a 的 . 取 值 范 围 是 (

) A.a ≤ ?3 6 . 三 个 数 ( ) A. 0.7 6 < log 0.7 6 < 60.7 C. log 0.7 6 < 0.7 6 < 60.7 B. 0.7 6 < 60.7 < log 0.7 6 D. log 0.7 6 < 60.7 < 0.7 6 B.a ≥ ?3
60.7

C.a ≤ 5 ,
log 0.7 6

D.a ≥ 5



0.7 6

的 大 小 顺 序 是

7.设 a,b 是两条不同的直线, α , β 是两个不同的平面,则下列四个命题: ( )
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1 ○若 a ⊥ b, a ⊥ α , 则b // α ; 3 ○若 a ⊥ β , β ⊥ α , 则a // α ; 其 ( 中 ) A.0 个; B.1 个; 正 确 的

2 ○若 a // α , β ⊥ α , 则a // β ; 4 ○若 a ⊥ b , a ⊥ α , b ⊥ β , 则 β ⊥ α ; 命 题 的 个 数 是

C.2 个;

D.3 个; (
1 3

8. 如果直线 ax+y+1=0 与直线 3x-y-2=0 垂直, 那么系数 a 为 A.-3 B.3 C. ?
1 3

)

D.

9.设 f ( x ) = 3 x + 3 x ? 8 ,用二分法求方程 3 x + 3 x ? 8 = 0在x ∈ (1,2 ) 内近似解的 过 程 中 得 f (1) < 0, f (1.5) > 0, f (1.25) < 0, 则 方 程 的 根 落 在 区 间 ( ) A. (1,1.25) . C. .5,2) (1. B. .25,1.5) (1. . D.不能确定

10. 如图,在正四棱柱 ABCD- A′B ′C ′D ′ 中(底面是正方形 的直棱柱), 侧棱 AA′ = 3 , AB = 2 , 则二面角 A′ ? BD ? A 的大小为 A.30o B.45o ( C.60o ) D.90o

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.函数 y = (1 + x) 0 ? 1 + x 的定义域为了 ______.
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12.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 1cm,则球的体积为

__.

13. 自点 A -1, 作圆(x-2)2+(y-3)2=1 的切线 m, ( 4) 则切线 m 的方程为 ____. 14.直线 x-2y-3=0 与圆( x ? 2) 2 + ( y + 3) 2 = 9 交于 E、F 两点,则△EOF(O 为坐标原点)的面积等于 .

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 80 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。)

15. (12 分)已知函数 f ( x) = x 2 + 1 (1)用定义证明 f ( x ) 是偶函数; 数 (2)用定义证明 f ( x ) 在 [ 0, +∞ ) 上是增函

16.(12 分) 已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A(-1,5) 、B(-2,-1) 、 C(4,3) ,M 是 BC 边上的中点。 (1) 求中线 AM 所在的直线方程;(2) 求 AC 边上的高所在的直线方程。

17. (14 分)已知关于 x,y 的方程 C: x 2 + y 2 ? 2 x ? 4 y + m = 0 . (1)当 m 为何值时,方程 C 表示圆。 (2)若圆 C 与直线 l : x + 2 y ? 4 = 0 相交于 M,N 两点,且 MN= 18.(14 分)如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中: (1) 求异面直线 BC1 与 AA1 所成的角的大小; (2) 求三棱锥 B1 ? A1C 1B 的体积;
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4 5

,求 m 的值。

D1 A1
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C1 B1

D

C

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(3) 求证: B1 D ⊥ 平面A1C1 B 。

19. 分)如图, (14 在边长为 a 的菱形 ABCD 中,∠ABC = 60o , PC ⊥ 面ABCD , E,F 是 PA 和 AB 的中点。 (1)求证: EF∥平面 PBC ; (2)求 E 到平面 PBC 的距离。
E P

D

C

A

F

B

20. (14 分)医学上为了研究传染病在传播的过程中病毒细胞的生长规律及 其预防措施,将一种病毒细胞的 m 个细胞注入一只小白鼠的体内进行试验。 在试验过程中,得到病毒细胞的数量与时间的关系记录如下表: 时间(小时) 病毒细胞总数 1 m 2 2m 3 4m 4 8m 5 16m 6 32m 7 64m

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(个) 已知该种病毒细胞在小白鼠体内超过 m ×106 个时,小白鼠将死亡,但有 一种药物对杀死此种病毒有一定效果,用药后,即可杀死其体内的大部分病 毒细胞。
(1)在 16 小时内,写出病毒细胞的总数 y 与时间 x 的函数关系式。

(2)为了使小白鼠在实验过程中不死亡, 最迟应在何时注射该种药物。 (精 确到小时, lg 2 = 0.3010 )

参考答案
一、选择题

1 B

2 C

3 A

4 C

5 A

6 C

7 B

8 C

9 B

10 C

二、填空题 11. {x | x > ?1} 12.

3 π 2

13. y = 4或3 x + 4 y ? 13 = 0

14.

6 5 5

三、解答题 15. .
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(1)证明:∵ f ( ? x) = ( ? x) + 1 = x + 1 = f ( x) )
2 2

∴函数 f ( x) = x 2 + 1 是偶函数

<x (2)证明:设 0 ≤ x1 2 )
∵ f ( x1 ) = x1 + 1 , f ( x
2 2

2

) = x2
2

+ 1
2 2

∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = x1 + 1 ? ( x 2 + 1) = x1 ? x 2 = ( x1 ? x 2 )( x1 + x 2 )

<x 又∵ 0 ≤ x1 2 ,∴ x1 ? x2 <0, x1 + x2 >0, ( x1 ? x2 )( x1 + x2 ) <0
∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) <0 即 f ( x1 ) < f ( x 2 ) 所以 f ( x ) = x 2 + 1 在 [0,+∞) 上是增函数。 16. . 解: 1)∵M 是 BC 边上的中点, ( ) B 点的坐标为(-2,-1) 点的坐标为(4,3) 、C ∴M 点的坐标为(1,1). 由两点式写方程得 即 2x + y ? 3 = 0 直线 AC 的斜率为 k AC = (2) )

y ? 5 x +1 = , 1? 5 1+1

5 3?5 2 所以 = ? , AC 边上的高所在直线的斜率为 k = , 2 4 +1 5

又因为 AC 边上的高所在直线过点 B(-2,-1) ,由点斜式方程得

y +1 =
17.

5 ( x + 2) ,即 5 x ? 2 y + 8 = 0 2 ( x ? 1) 2 + ( y ? 2) 2 = 5 ? m

解: 1)方程 C 可化为 ( ) 显然

5 ? m > 0时,即m < 5 时方程 C 表示圆。
( x ? 1) 2 + ( y ? 2) 2 = 5 ? m
r = 5?m

(2)圆的方程化为 )

圆心 C(1,2) ,半径

则圆心 C(1,2)到直线 l :x+2y-4=0 的距离为
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d=
Q MN =

1+ 2× 2 ? 4 12 + 2 2
4

=

1 5

1 2 1 2 2 2 , 则 MN = ,有 r = d + ( MN ) 2 2 5 5

∴5 ? M = (

1 5

)2 + (

2 5

)2 , 得 m = 4

18. . (1)解:∵AA1∥BB1, ) ∴异面直线 BC1 与 AA1 所成的角就是 BC1 与 BB1 所成的角,即∠B1BC1=45o, 故异面直线 BC1 与 AA1 所成的角为 45o (2)解: V B1 ? A1C1B = V B ? A1B1C1 = )

1 1 1 1 S ?A1B1C ? BB1 = ? ? 1 ? 1 ? 1 = 3 3 2 6

(3) 证明:如图,连结 BD、B1D1 , ) ∵A1B1C1D1 是正方形, ∴A1C1⊥B1D1, 又∵BB1⊥底面 A1B1C1D1,A1C1 ? 底面 A1B1C1D1, ∴A1C1⊥BB1, ∴A1C1⊥平面 BB1D1D, ∴B1D⊥A1C1,同理可证:B1D⊥BC1,且 A1C1∩BC1= C1 故 B1D⊥平面 A1C1B 19. (1)证明:Q AE = PE , AF = BF , ∴EF∥PB ) 又 EF ? 平面PBC , PB ? 平面PBC , 故 EF || 平面PBC (2)解:在面 ABCD 内作过 F 作 FH ⊥ BC于H )

Q PC ⊥ 面ABCD , PC ? 面PBC

∴ 面PBC ⊥ 面ABCD
又 面PBC I 面ABCD = BC , FH ⊥ BC , FH ? 面ABCD

∴ FH ⊥ 面ABCD
又 EF || 平面PBC ,故点 E 到平面 PBC 的距离等于点 F 到平面 PBC 的距离 FH。
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在直角三角形 FBH 中, ∠FBC = 60 , FB =
o

a , 2

FH = FB sin ∠FBC =

3 3 a a × sin 60 0 = × = a 2 2 2 4

故点 E 到平面 PBC 的距离等于点 F 到平面 PBC 的距离, 等于

3 a。 4

20. (1)第 1 小时的病毒细胞总数为 m 个,第 2 小时的病毒细胞总数为 2m 个, ) 第 3 小时的病毒细胞总数为 2 m 个,第 4 小时的病毒细胞总数为 2 m 个, ……………………第 x 小时的病毒细胞总数为 2 故
x ?1 2 3

m 个,

y = m ? 2 x ?1 。又 m ? 216 ?1 = m ? 32768 < m × 106 ,
= m ? 2 x ?1
n ?1

所以函数的解析式为: y

(1 ≤ x ≤ 15)
≤ m × 106

(2)设最迟在第 n 小时注射药物,由(1)可得: ) 为了使小白鼠不死亡,应有: m × 2

∴ 2n ?1 ≤ 106 ,∴ (n ? 1) lg 2 ≤ 6
∴n ≤ 1+ 6 ≈ 20.9 lg 2

答:最迟在注入病毒细胞后的第 20 小时应注射药物。

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