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1-1集合的概念和运算


第1讲
1.集合与元素

集合的概念和运算
基础梳理

③A∪A=A,A∪?=A; ④A∩?UA=?,A∪?UA=U,?U(?UA)=A. 双基自测 1.设集合 A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则 A∪B 等于( A.{x|3≤x<4} 答案 D ). B.{x|x≥3} C.{x|x>2} D.{x|x≥2} ).

(1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法、区间法. (4)常用数集:自然数集 N;正整数集 N*(或 N+);整数集 Z;有理数集 Q;实数集 R. (5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、空集. 2.集合间的基本关系 (1)子集:对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A?B(或 B?A). (2)真子集:若 A?B,且 A≠B,则 A?B(或 B?A). (3)空集: 空集是任意一个集合的子集, 是任何非空集合的真子集. 即??A, ??B(B≠ ?). (4)若 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有 2n 个,A 的非空子集有 2n-1 个. (5)集合相等:若 A?B,且 B?A,则 A=B. 3.集合的基本运算及其性质 (1)并集:A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. (2)交集:A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. (3)补集:?UA={x|x∈U,且 x?A},U 为全集,?UA 表示 A 相对于全集 U 的补集. (4)集合的运算性质 ①A∪B=A?B?A,A∩B=A?A?B; ②A∩A=A,A∩?=?;

2.(2011· 福建)若集合 M={-1,0,1},N={0,1,2},则 M∩N 等于( A.{0,1} C.{0,1,2} 答案 A ). B.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2}

3.(2011· 浙江)若 P={x|x<1},Q={x|x>-1},则( A.P?Q B.Q?P 答案 C C.?RP?Q D.Q??RP

4.(2011· 新课标全国)已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则 P 的子 集共有( A.2 个 答案 B ). B.4 个 C.6 个 D.8 个

5.已知集合 A={1,3,m},B={3,4},A∪B={1,2,3,4},则 m=________. 答案 2 考向一 集合的概念

【例 1】?已知集合 A={m+2,2m2+m},若 3∈A,则 m 的值为________. [审题视点] 分 m+2=3 和 2m2+m=3 两种情况讨论. 答案 3 -2

已知两集合的关系求参数时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转 【训练 1】 设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a 的值 为________. 答案 1 考向二 集合的基本运算 化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析,而且 经常要对集合进行讨论. 【训练 3】 (2012· 泉州模拟)已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B,则 实数 a 的取值范围是(c,+∞),其中 c=________. 解析 A={x|log2x≤2}={x|0<x≤4},即 A=(0,4].由 A?B,B=(-∞,a),且 a

【例 2】?(2011· 山东)设集合 M={x|(x+3)(x-2)<0},N={x|1≤x≤3},则 M∩N 等 于( ). B.[1,2] D.[2,3]

的取值范围是(c,+∞),结合数轴分析得 c=4. 答案 4

A.[1,2) C.(2,3] 答案 A

【训练 2】 (2011· 江西)若全集 U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则集合{5,6} 等于( A.M∪N ). B.M∩N

C.(?UM)∪(?UN) D.(?UM)∩(?UN) 答案 D 考向三 集合间的基本关系

【例 3】?已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B?A,求实数 m 的取值范围. [审题视点] 若 B?A,则 B=?或 B≠?,故分两种情况讨论. 解 当 B=?时,有 m+1≥2m-1,得 m≤2.

?m+1≥-2, 当 B≠?时,有?2m-1≤7, ?m+1<2m-1,

解得 2<m≤4.

综上,m≤4,即 m 的取值范围是(-∞,4].

限时训练 A
1.已知全集 U=R,集合 P={x|x2≤1},那么?UP 等于( A.(-∞,-1) C.(-1,1) 答案 D ). B.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) ).

7.若全集 U=R,集合 A={x|x≥1},则?UA=________. 答案 {x|x<1}

8.)已知集合 A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则 A∩B =________. 答案 {(0,1),(-1,2)}

9.若集合 A={-1,3},集合 B={x|x2+ax+b=0},且 A=B,求实数 a,b. 解 ∵A=B,∴B={x|x2+ax+b=0}={-1,3}.

2.已知集合 A={x|x>1},B={x|-1<x<2},则 A∩B 等于( A.{x|-1<x<2} 答案 D B.{x|x>-1}C.{x|-1<x<1}

D.{x|1<x<2}

?-a=-1+3=2, ∴? ∴a=-2,b=-3. ?b=?-1?×3=-3, 10.设集合 A={x2,2x-1,-4},B={x-5,1-x,9},若 A∩B={9},求 A∪B. 综上所述,A∪B={-8,-7,-4,4,9}. B级 1. 若 A={2,3,4}, B={x|x=n· m, m, n∈A, m≠n}, 则集合 B 中的元素个数是( A.2 答案 B ). B.3 C.4 D.5 ).

3.设全集 U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩?UN={2,4},则 N=( A.{1,2,3} B.{1,3,5} C.{1,4,5} D.{2,3,4} 答案 B

).

4.已知全集 U=R,集合 A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则图中阴影部分所表示

的集合为(

).

2.已知集合 A={x|x=a+(a2-1)i}(a∈R,i 是虚数单位),若 A?R,则 a=( A.1 B.-1 C C.± 1 D.0 C.{1,2} D.{0,1,2}

A.{1} 答案 A

B.{0,1}

答案 ).

3.已知集合 A= {x|x≤1} , B={x|x≥a} ,且 A∪ B= R,则实数 a 的取值范围是
2

5.已知集合 M={y|y=x +1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},则 M∩N 等于( A.[1,+∞) B.[-1,+∞) C.[1,2) D.[-1,2) 答案 A

________. 答案 (-∞,1]

4.设 A,B 是非空集合,定义 A*B={x|x∈A∪B 且 x?A∩B},已知 A={x|0≤x<3}, B={y|y≥1},则 A*B=____________________________________.

6.已知集合 A={-1,1,2,4},B={-1,0,2},则 A∩B=________. 答案 {-1,2}

答案

[0,1)∪[3,+∞)


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