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高考数学闯关密练特训10-9随机变量的数字特征与正态分布(理)新人教A版(含解析)

10-9 随机变量的数字特征与正态分布(理)
闯关密练特训 1.(2011·烟台模拟)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1), 若 P(ξ >1)=p, 则 P(-1<ξ <0) =( ) 1 A. +p 2 C.1-2p [答案] B [解析] ∵ξ ~N(0,1), ∴P(ξ <-1)=P(ξ >1)=p, 1 1 ∴P(-1<ξ <0)= [1-2p(ξ >1)]= -p. 2 2 2.(2012·浙江嘉兴模拟)甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生考试,若甲、乙能通 2 过面试的概率都是 ,则面试结束后通过的人数 X 的数 学期望是( 3 A. 4 3 B. D. 11 9 8 9 ) 1 B. -p 2 D.1-p

C.1 [答案] A [解析] 依题意,X 的取值为 0、1、2. 2 2 1 且 P(X=0)=(1- )×(1- )= , 3 3 9

P(X=1 )= ×(1- )+(1- )× = , P(X=2)= × = .
1 4 4 12 4 故 X 的数学期望 E(X)=0× +1× +2× = = ,选 A. 9 9 9 9 3 3 3.(2011·盐城模拟)某人射击一次击中的概率为 ,经过 3 次射击,此人至少有两次击 5 中目标的概率为( A. C. 81 125 36 125 ) B. D. 54 125 27 125 2 2 3 3 4 9

2 3

2 3

2 3

2 4 3 9

[答案] A

-1-

[解析] 该人 3 次射击,恰有两次击中目标的概率是
2 P1=C2 3·( ) · ,

3 5

2 5

3 3 3 三次全部击中目标的概率是 P2=C3·( ) , 5 所以此人至少有两次击中目标的概率是
2 3 3 P=P1+P2=C2 3·( ) · +C3·( ) =

3 5

2 5

3 5

81 . 125

4.(2011·福州调研)已知某一随机变量 ξ 的概率分布列如下,且 E(ξ )=6.3,则 a 的 值为( ) ξ 4 0.5

a
0.1 B.6 D.8

9

P
A.5 C.7 [答案] C

b

[解析] 由 0.5+0.1+b=1 知,b=0.4, 由 E(ξ )=4×0.5+a×0.1+9×0.4=6.3 知,a=7,故选 C. 5.(2012·杭州质检)体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球 3 次, 一旦发球成功, 则停止发球, 否则一直发到 3 次为止. 设学生一次发球成功的概率为 p(p≠0), 发球次数为 X,若 X 的数学期望 E(X)>1.75,则 p 的取值范围是( 7 A.(0, ) 12 1 C.(0, ) 2 [答案] C [解析] 由已知条件可得 P(X=1)=p, 7 B.( ,1) 12 1 D.( ,1) 2 )

P(X=2)=(1-p)p, P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,
则 E(X)=P(X=1)+2 P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p) =p -3p+3>1.75, 5 1 解得 p> 或 p< , 2 2 1 又由 p∈(0,1),可得 p∈(0, ),故应选 C. 2 6.已知随机变量 ξ ,η 满足 ξ =2η -1,且 ξ ~B(10,p),若 E(ξ )=8,则 D(η )= ( )
2 2

-2-

A.0.5 C.0.2 [答案] D [解析]

B.0.8 D.0.4

∵E(ξ )=10p=8,∴p=0.8,∴D(ξ )=10p(1-p)=10×0.8×0.2=1.6,又

D(ξ )=D(2η -1)=4D(η ),∴D(η )=0.4.
7.(2011 ·滨州模拟)有一批产品,其中有 12 件正品和 4 件次品,从中任取 3 件,若 ξ 表示取到次品的件数,则 E(ξ )=________. [答案] 3 4
[来源:学。科。网]

[解析] 分布列如下: ξ 0 C12 3 C16
3 1 2 2 1 3

1 C4C12 3 C16
3 1 2

2 C4C12 3 C16
2 1

3 C4 3 C16
3

P

C12 C4C12 C4C12 C4 3 ∴E(ξ )=0× 3 +1× 3 +2× 3 +3× 3 = . C16 C16 C16 C16 4 1 8.如果 ξ ~B(100, ),当 P(ξ =k)取得最大值时,k=________. 2 [答案] 50

?1?100-k k ?1?k [解析] P(ξ =k)=C100? ? ·? ? 2 ? ? ?2?
k ?1?100 =C100? ? ,由组合数的性质知,当 k=50 时取到最大值. ?2?

9.(2011·龙岩月考)袋中有 3 个黑球,1 个红球.从中任取 2 个,取到一个黑球得 0 分, 取到一个红球得 2 分,则所得分数 ξ 的数学期望 E(ξ )=________. [答案] 1 C3 1 C3·C1 1 [解析] P(ξ =0)= 2= ,P(ξ =2)= 2 = , C4 2 C4 2 1 1 ∴E(ξ )=0× +2× =1. 2 2 10.(2012·聊城市模拟)某学校数学兴趣小组有 10 名学生,其中有 4 名女学生;英语兴 趣小组有 5 名学生,其中有 3 名女学生,现采用分层抽样方法,从数学兴趣小组、英语兴趣 小组中共抽取 3 名学生参加科技节活动. (1)求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数; (2)求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有 1 名女学生的概率; (3)记 ξ 表示抽取的 3 名学生中男学生数,求 ξ 的分布列及数学期望.
2 1 1

-3-

[解析]

(1)因为数学兴趣小组人数:英语兴趣小组人数= 10:5=2:1,从数学兴趣小组

和英语兴趣小组中抽取 3 人,则抽取数学小组的人数为 2 人,英语小组的人数为 1 人. (2)从数学兴趣小组中抽取 2 人恰有一名女生的概率

P=

C6·C4 8 = . 2 C10 15

1

1

(3)随机变量 ξ 的可能取值为 0、1、2、3.

P(ξ =0)= 2 · = ; P(ξ =1)=
C6·C4 3 C4 2 28 · + 2· = ; 2 C10 5 C10 5 75
2 1 1 1 1 2

C4 3 2 C10 5 25

2

C6 3 C6·C4 2 31 P(ξ =2)= 2 · + 2 · = ; C10 5 C10 5 75 C6 2 2 P(ξ =3)= 2 · = , C10 5 15 所以 ξ 的分布列为 ξ 0 2 25 28 75 31 75 1 28 75 2 8 15 5 2 31 75 3 2 15
2

P
2 25

E(ξ )=0× +1× +2× +3× = .
能力拓展提升 11.(2011·温州十校联考)已知随机变量 X~N(3,2 ), 若 X=2η +3, 则 D(η )等于( A.0 [答案] B [解析] 由 X=2η +3,得 D(X)=4D(η ),而 D(X)=2 =4,∴D(η )=1. 12.(2011·广州模拟)一射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率为 0.6, 现有 4 颗子弹,射击停止后尚余子弹的数目 X 的期望值为( A.2.44 C.2.376 [答案] C [解析] X 的取值为 3、2、1、0, B.3.376 D.2.4 )
2 2

)

B.1

C.2

D.4

P(X=3)=0.6; P(X=2)=0.4×0.6=0.24; P(X=1)=0.42×0.6=0.096; P(X=0)=0.43×0.6+0.44=0.064.
∴E(X)=3×0.6+2×0.24+1×0.096+0×0.064=2.376.
-4[来源:Zxxk.Com]

13.(2012·河北石家庄市模拟)有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙,已知从城 市甲到城市乙只有两条公路,且通过这两条公路所用的时间互不影响. 据调查统计,通过这两条公路从城市甲到城市乙的 200 辆汽车所用时间的频数分布如下 表: 所用的时间(天数) 通过公路 1 的频数 通过公路 2 的频数 10 20 10 11 40 40 12 20 40 13 20 10

假设汽车 A 只能在约定日期(某月某日)的前 11 天出发,汽车 B 只能在约定日期的前 12 天出发. (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙,估计汽车 A 和汽车 B 应如何 选择各自的路径. (2)若通过公路 1、公路 2 的“一次性费用”分别为 3.2 万元、1.6 万元(其他费用忽略不 计),此项费用由生产商承担.如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到,则销售商一次性 支付给生产商 40 万元,若在约定日期前送到,每提前一天销售商将多支付给生产商 2 万元; 若在约定日期后送到,每迟到一天,销售商将少支付给生产商 2 万元.如果汽车 A、B 长期按 (1)中所选路径运输货物,试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大. (注:毛利润=销售商支付给生产商的费用-一次性费用) [解析] (1)频率分布表,如下: 所用的时间(天数) 通过公路 1 的频率 通过公路 2 的频率 10 0.2 0.1 11 0.4 0.4 12 0.2 0.4 13 0.2 0.1

设 A1、A2 分别表示汽车 A 在前 11 天出发选择公路 1、2 将货物运往城市乙;B1、B2 分别表 示汽车 B 在前 12 天出发选择公路 1、2 将货物运往城市乙.

P(A1)=0.2+0.4=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,
∴汽车 A 应选择公路 1.

P(B1)=0.2+0.4+0.2=0.8,P(B2)=0.1 +0.4+0.4=0.9,
∴汽车 B 应选择公路 2. (2)设 X 表示汽车 A 选择公路 1 时,销售商付给生产商的费用,则 X=42,40,38,36.

X 的分布列如下: X P
42 0.2 40 0.4 38 0.2 36 0.2

E(X)=42×0.2+40×0.4+38×0.2+36×0.2=39.2.

-5-

∴汽车 A 选择公路 1 时的毛利润为 39.2-3.2=36.0(万元) 设 Y 表示汽车 B 选择公路 2 时的毛利润,Y=42.4,40.4,38.4,36.4. 则分布列如下:

Y P

42.4

[来源:学科网]

40.4 0.4

38.4 0.4

36.4 0.1

0.1

E(Y)=42.4×0.1+40.4×0.4+38.4×0.4+36.4×0.1=39.4,
∴汽车 B 选择公路 2 时的毛利润为 39.4 万元, ∵36.0<39.4, ∴汽车 B 为生产商获得毛利润更大. 14.(2012·陕西理,20)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间 互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 办理业务所 需的时间(分) 频率 从第一个顾客开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待 4min 开始办理业务的概率; (2)X 表示至第 2min 末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数 学期望. [分析] (1)由表中所给出的数值,第三个顾客恰好等待 4min 开始办理业务应分三种情 况,逐一列出后求出其概率.(2)从已知条件知,X 的值为 0 人,1 人,2 人三种情况,特别当 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

x=1 时要注意再进行分类讨论.
[解析] 设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y 的分布列如下:

Y P

1 0.1

2 0.4

3 0.3

4 0.1

5 0.1

(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4min 开始办理业务”,则事件 A 对应三种情形: ①第一个顾客办理业务所需的时间为 1min,且第二个顾客办理业务所需的时间为 3min; ②第一个顾客办理业务所需的时间为 3min,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1min;③第 一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2min. 所以 P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2) =0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22. (2)X 所有可能的取值为 0,1,2.

X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2min,
所以 P(X=0)=P(Y>2)=0.5;

X=1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1min 且第二个顾客办理业务所需的时间超过
-6-

1min,或第一个顾客办理业务所需的时间为 2min, 所以 P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2) =0.1×0.9+0.4=0.49;

X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1min,
所以 P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01; 所以 X 的分布列为
[来源:学科网 ZXXK]

X P

0 0.5

1 0.49

2 0.01

E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.
15.设两球队 A、B 进行友谊比赛,在每局比赛中 A 队获胜的概率都是 p(0≤p≤1). 2 (1)若比赛 6 局,且 p= ,求其中 A 队至多获胜 4 局的概率是多少? 3 (2)若比赛 6 局,求 A 队恰好获胜 3 局的概率的最大值是多少? (3)若采用“五局三胜”制,求 A 队获胜时的比赛局数 ξ 的分布列和数学期望. [解析] (1)设“比赛 6 局,A 队至多获胜 4 局”为事件 A, 则 P(A)=1-[P6(5)+P6(6)] 256 473 ? 5?2?5? 2? 6?2?6? =1-?C6? ? ?1- ?+C6? ? ?=1- = . 729 729 ? ?3? ? 3? ?3? ? 473 ∴A 队至多获胜 4 局的概率为 . 729 (2)设“若比赛 6 局,A 队恰好获胜 3 局”为事件 B,则 P(B)=C6p (1-p) . 当 p=0 或 p=1 时,显然有 P(B)=0. 当 0<p<1 时,P(B)=C6p (1-p) =20·[p(1-p)] ≤20·??
3 3 3 3 3 3 3

??p+1-p?2?3=20·?1?6= 5 , ?? ?2? 16 ?? 2 ? ? ? ?

1 当且仅当 p=1-p,即 p= 时取等号. 2 5 故 A 队恰好获胜 3 局的概率的最大值是 . 16 (3)若采用“五局三胜”制,A 队获胜时的比赛局数 ξ =3,4,5.

P(ξ =3)=p3;
3 3 P(ξ =4)=C2 3p (1-p)=3p (1-p); 3 2 3 2 P(ξ =5)=C2 4p (1-p) =6p (1-p) ,

所以 ξ 的分布列为: ξ 3 4 3p (1-p)
3 3

5 6p (1-p)
2

P

p3

E(ξ )=3p3(10p2-24p+15).
-7-

[点评]

本题第(3)问容易出错,“五局三胜制”不一定比满五局,不是“五局中胜三

局”.A 队获胜包括:比赛三局,A 队全胜;比赛四局,A 队前三局中胜两局,第四局胜;比 赛五局,前四局中胜两局,第五局胜,共三种情况.

1.设随机变量 ξ 服从分布 P(ξ =k)= ,(k=1、2、3、4、5),E(3ξ -1)=m,E(ξ ) 15 =n,则 m-n=( 31 A.- 9 C. 8 3 ) B.7 D.-5

k

2

[答案] D [ 解析] =10, 1 2 3 4 5 2 2 2 2 2 2 又 E(ξ )=1 × +2 × +3 × +4 × +5 × =15,∴m-n=-5. 15 15 15 15 15 2. 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(0, σ ), P(ξ >2)=0.023, 则 P(-2≤ξ ≤2)=( A.0.477 C.0.954 [答案] C [分析] 若 ξ ~N(μ ,σ ),则 μ 为其均值,图象关于 x=μ 对称,σ 为其标 准差. [解析] ∵P(ξ >2)=0.023,∴P(ξ <-2)=0.023, 故 P(-2≤ξ ≤2)=1-P(ξ >2)-P(ξ <-2)=0.954.故选 C. [点评] 考查其对称性是考查正态分布的主要方式. 3.某次国际象棋比赛规定,胜一局得 3 分,平一局得 1 分,负一局得 0 分,某参赛队员 比赛一局胜的概率为 a,平局的概率为 b,负的概率为 c(a,b,c∈[0,1)),已 知他比赛一局 得分的数学期望为 1,则 ab 的最大值为( A. C. 1 3 1 12 ) B. D. 1 2 1 6
2 2

E(ξ )=1× +2× +3× +4× +5× = ,∴E(3ξ -1)=3E(ξ )-1

1 15

2 15

3 15

4 15

5 15

11 3

)

B.0.628 D.0.977

[答案] C 1 1 ?3a+b?2 1 1 [解析] 由条件知,3a+ b=1,∴ab= (3a)·b≤ ·? ? = ,等号在 3a=b=2, 3 3 ? 2 ? 12 1 1 即 a= ,b= 时成立. 6 2
-8-

4.(2012·重庆理,17)甲 、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,约定甲先投且先投中者 1 获胜,一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 ,乙每 3 1 次投篮投中的概率为 ,且各次投篮互不影响. 2 (1)求甲获胜的概率; (2)求投篮结束时甲的投球次数 ξ 的分布列与期望. [分析] (1)“甲获胜”的含义是:第一次甲中,或者第一次甲、乙都不中、第二次甲中, 或者第一、二次甲、乙都不中,第三次甲中. (2)“甲投球次数”ξ 的取值为 1、2、3,ξ =1 表示第一次甲中;ξ =2 表示第一次甲、 乙都未中,第二次甲中;ξ =3 表示第一、二次甲、乙都不中,第三次甲中. [解析] 设 Ak,Bk 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中,则

P(Ak)= ,P(Bk)= ,(k=1,2,3).
(1)记“甲获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概 率计算公式知

1 3

1 2

P(C)=P(A1)+P( A 1 B 1A2)+P( A 1 B 1 A 2 B 2A3)
=P(A1)+P( A 1)P( B 1)P(A2)+P( A 1)P( B 1)P( A 2)P( B 2)P(A3) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 = + × × +( ) ×( ) × 3 3 2 3 3 2 3 = 13 . 27

(2)ξ 的所有可能值为 1,2,3. 由独立性知

P(ξ =1)=P(A1)+P( A 1B1)= + × = , P(ξ =2)=P( A 1 B 1A2)+P( A 1 B 1 A 2B2)
2 1 1 2 2 1 2 2 = × × +( ) ( ) = , 3 2 3 3 2 9

1 2 3 3

1 2 2 3

P(ξ =3)=P( A 1 B 1 A 2 B 2)
2 2 1 2 1 =( ) ×( ) = . 3 2 9 综上知,ξ 的分布列为: ξ 1 2 3

-9-

P

2 3

2 9

1 9

2 2 1 13 从而,E(ξ )=1× +2× +3× = (次). 3 9 9 9 [点评] 求事件发生的概率与分布列、期望是高考中的常见题型,求解时要弄清事件的

性质以及可能性.

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