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高等数学(同济第六版)课件 第一章 8.连续函数_图文

第八节 函数的连续性与间断点

一、函数的连续性

设函数y = f (x)在 U ( x0 , ? )内有定义,
?x ? U ( x0 , ? ) ,

称 ?x ? x ? x0 为自变量x在点x0的增量, 称 ?y ? f ( x ) ? f ( x0 ) ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) 为函数y = f (x)在点x0相应于?x 的增量。

定义:设函数y = f (x)在 U ( x0 , ? ) 内有定义,
?x0 ? ?x ? U ( x0 , ? ) , ?y ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 )

若 lim ?y ? 0, 则称y = f (x)在点x0连续。
?x ? 0

y
曲 线 连 续
0

y
y ? f ( x)

y ? f ( x)

?y

?y

?x
x0
?x ? 0

? ?x

曲 线 间 断

x

x

0

x
?x ? 0

x0

x

量化特征? lim ?y ? 0

lim ?y ? 0

注:(1)连续定义的等价形式:若 lim f ( x ) ? f ( x0 )
x ? x0

则称y = f (x)在点x0连续。 函数y = f (x)在点x0连续 ? lim ?y ? 0
?x ? 0

? lim [ f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 )] ? 0
?x?0 ?x?0

? lim f ( x0 ? ?x ) ? lim f ( x0 ) ? 0
?x?0

? lim f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 )
?x?0
x ? x0

( x ? x0 ? ?x )

? lim f ( x ) ? f ( x0 )

(2)若函数 y = f (x)在区间(a,b)内每一点都连续, 称函数 y = f (x)在区间(a,b)内连续。 (3)在区间(a,b)内连续的函数其图像 是一条在区间(a,b)内的连续曲线。 哪些函数是连续的? 设 f ( x ) ? a0 x n ? a1 x n?1 ? ? ? an?1 x ? an

则 lim f ( x ) ? f ( x0 )
x ? x0

多项式函数在定义域内连续

例1 证明f(x)=sinx在定义域内连续。

证 ? x ? ( ??,?? ),
?y ? sin( x ? ?x ) ? sin x
?x ?x ? 2 sin ? cos( x ? ) 2 2

函数y = f (x) 在点x0连续
? lim ?y ? 0
?x ? 0

?lim f ( x ) ? f ( x0 )
x ? x0

?x ?x ?2 ? ?x , ? ?y ? 2 sin 2 2
?x ? 0

? ?x ? ?y ? ?x

? lim ?x ? 0, ? lim ?y ? 0 故f(x)=sinx在x点连续。
?x?0

同理cosx在定义域内连续。

(1)多项式函数在定义域内连续 。 (2)正弦函数、余弦函数在定义域内连续 。 (3)指数函数在定义域内连续 。
函数y = f (x) 在点x0连续
? lim ?y ? 0
?x ? 0

函数y = f (x) 在点x0右连续
? lim ?y ? 0
?x ? 0 ?
? 0

函数y = f (x) 在点x0左连续
? lim ?y ? 0
?x ? 0 ?

?lim f ( x ) ? f ( x0 )
x ? x0

?lim f ( x ) ? f ( x0 )
x? x

?lim f ( x ) ? f ( x0 )
x ? x0?

定理: 函数y = f (x)在点x 0连续的充要条件是 若函数f(x)在点x0 处既左连续又右连续. 若 f(x)开区间(a,b)内连续, 且在 x=a 右连续, 在 x=b 左连续, 则称 f(x)闭区间[a,b]上连续。

记为f ( x ) ? C[a , b]

? x ? 2, x ? 0, 例2 讨论函数 f ( x ) ? ? 在x=0处的连续性 ? x ? 2, x ? 0,



x ?0 ?

lim f ( x ) ? lim ( x ? 2) ? 2 ? f ( 0),
x ?0 ?

f(x)在x=0右连续

lim f ( x ) ? lim ( x ? 2) ? ?2 ? f ( 0), x ?0 x ?0
? ?

但 f(x)在x=0 不左连续 函数f(x)在点x=0 处不连续.

二、函数的间断点
若函数 f(x) 在点 x0不连续, 称 x0为函数 f(x) 的间断点。 定义:若 f(x) 在 x0点的 左右极限都存在但不相等,

? ? x, x ? 0 f ( x) ? ? ?1 ? x , x ? 0
y

称 x0为 f(x) 的跳跃间断点。
若 f(x) 在 x0点的极限存在, 但 lim f ( x ) ? f ( x0 ),
x ? x0

o

x

称 x0为 f(x) 的可去间断点。

x=0为跳跃间断点。

例3 设

? 2 x , 0 ? x ? 1, ? f ( x ) ? ?1, x ?1 ?1 ? x , x ? 1, ?
y
2 1 1

讨论 f(x) 在x=1点的连续性。

y ? 1? x



x ?1? x ?1
?

lim f ( x ) ? lim 2 x ? 2
x ?1?
?

lim f ( x ) ? lim (1 ? x ) ? 2
x?1

y?2 x

? lim f ( x ) ? 2 ? f (1), x ?1

o

x

故x=1是f(x)的可去间断点。 若令 f(1) =2,则 f(x)在点连续。

跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点:函数在点x0 处的左、右极限都存在.
若函数在点x0 处的左、右极限至少有一个不存在,

则称点x0 为该函数的第二类间断点。

例4 解

?1 ? , x ? 0, 讨论函数 f ( x ) ? ? x 在x=0点的连续性。 ? x , x ? 0, ?
1 lim f ( x ) ? lim ? ? x ?0 x x ?0
?
?

点x=1 为该函数的第二类间断点。 若函数在x0的左右极限至少有一个为无穷大, 称x0为函数的无穷间断点。

1 例5 讨论函数 f ( x ) ? sin 在x=0点的连续性。 x



1 lim sin 不存在, x ?0 x

y ? sin

点x=0 为第二类间断点。

1 x

振荡间断点

第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y

y
可去型

y 跳跃型

o

x0

x

o

x0

x

y ? sin

1 x

o

x0

x

无穷型

振荡型

练习题:

x2 ? 1 一 1.设 y ? 2 则x=1是函数第___类间断点; x ? 3x ? 2 二 x=2是函数第_____类间断点 . x2 ? x 一 2.函数 x ( x 2 ? 1) 则x=0是第____类间断点; 二 一 x=1是第___类间断点; x=-1是第___类间断点

sin x x? x ? 0 3. x=0是函数 f ( x ) ? ? ? 1 x sin x 跳跃 的____间断点;

x?0 x?0 x?0

作业:P60: T4 (2)(3)(4),

P65:T3(1)(2)(4)


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