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第4课时 三角函数的图像和性质


第 4 课时-----三角函数的图象和性质

数 y = A sin(ω x + ? ) 的图象的变换原理.掌握正、余弦函数,正余切函数的性质; 能把一般 的三角函数变形为 y=Asin(ωx+φ)的形式,并能求解它的周期、最值、单调区间以及奇偶性、 图象的对称性等问题。 过程: (一)主要知识: 1.三角函数线:正弦线、余弦线、正切线的作法; 2.函数 y = sin x 的图象到函数 y = A sin(ω x + ? ) 的图象的两种主要途径. 3. 正、余弦函数,正切函数的性质 ①三角函数的定义域、值域及周期如下表: 函数 定义域 值域 周期

课题:三角函数的图象和性质 目标:了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和函 数 y = A sin(ω x + ? ) 的简图,理解 A, ω , ? 的物理意义,掌握由函数 y = sin x 的图象到函

y = sin x y = cos x

R R

[?1,1] [?1,1]

y = tan x

{x | x ≠ kπ +

π
2

2π 2π

, k ∈ Z}

R
单调区间

π

②三角函数的奇偶性和单调性具体如下表: 函数 奇偶性

y = sin x



y = cos x y = tan x

偶 奇

, 2kπ + ] 上增 2 2 π 3π 在 [2kπ + , 2kπ + ] 减 (k ∈ Z ) 2 2 在 [2kπ ? π , 2kπ ] 上增 在 [2kπ , 2kπ + π ] 减 ( k ∈ Z )
在 (kπ ?

在 [2kπ ?

π

π

π

, kπ + ) 上增 (k ∈ Z ) 2 2

π

(二)主要方法: 1. “五点法”画正弦、余弦函数和函数 y = A sin(ω x + ? ) 的简图,五个特殊点通常都是取三个平衡 点,一个最高、一个最低点; 2.给出图象求 y = A sin(ω x + ? ) + B 的解析式的难点在于 ω , ? 的确定,本质为待定系数法,基本 方法是:①寻找特殊点(平衡点、最值点)代入解析式;②图象变换法,即考察已知图象可由哪 个函数的图象经过变换得到的,通常可由平衡点或最值点确定周期 T ,进而确定 ω . 3.求三角函数的定义域实质就是解三角不等式(组) .一般可用三角函数的图象或三角函数线确定 三角不等式的解.列三角不等式,既要考虑分式的分母不能为零;偶次方根被开方数大于等于零; 对数的真数大于零及底数大于零且不等于 1,又要考虑三角函数本身的定义域; 4.求三角函数的值域的常用方法:①化为求代数函数的值域;②化为求 y = A sin(ω x + ? ) + B 的 值域;③化为关于 sin x (或 cos x )的二次函数式; 5.三角函数的周期问题一般将函数式化为 y = Af (ω x + ? ) (其中 f ( x ) 为三角函数, ω > 0 ) . 6. 函数 y = A sin(ω x + ? ) 为奇函数 ? ? = kπ ; 函数 y = A sin(ω x + ? ) 为偶函数 ? ? = kπ +

π
2



1

第 4 课时-----三角函数的图象和性质

函数 y = A cos(ω x + ? ) 为偶函数 ? ? = kπ ; 函数 y = A cos(ω x + ? ) 为奇函数 ? ? = kπ + 7.函数 y = A sin(ω x + ? ) ( A > 0, ω > 0) 的单调增区间可由 ? 单调减区间可由 2kπ +

π
2



π
2

+ 2 kπ ≤ ω x + ? ≤

π
2

+ 2kπ 解出,

π
2

≤ ω x + ? ≤ 2 kπ +

3π 解出; 2

函数 y = A sin(ω x + ? ) ( A < 0, ω > 0) 的单调增区间可由 2kπ + 单调减区间可由 ?

π
2

≤ ω x + ? ≤ 2 kπ +

+ 2kπ 解出 2 2 注意:函数 y = A cos (ω x + ? ) (ω > 0) 的单调性类似于 y = A sin(ω x + ? ) (ω > 0 ) π 8.对称性: ○ 函数 y = A sin(ω x + ? )的对称轴可由ω x + ? = kπ + 解出; 1 对称中心的横坐标是方程
ω x + ? = kπ的解,对称中心的纵坐标为0;
π ω x + ? = kπ + 的解,对称中心的横坐标为0.
9. A > 0时,y = A sin (ω x + ? )当ω x + ? = 2kπ + π 时,有最大值A; ω x + ? = 2kπ ? π 时,有最小值 ? A ; 当 2 2
A < 0时,与上述情况相反。

π

+ 2 kπ ≤ ω x + ? ≤

π

3π 解出, 2

2

2 对 ○ 函 数 y = A cos(ω x + ? )的对称轴可由ω x + ? = kπ 解出; 称 中 心 的 纵 坐 标 是 方 程

2

(三)例题分析: 例 1:作出 y = 3sin(2 x +

π
3

) 在一个周期内的简图,说明它与 y = sin x 图象之间的关系。

例 2:已知函数 y = 3sin( x ? (1) (2) (3) (4)

1 2

π
4

)

用: “五点法”作出一个周期内的函数图象 说出它是 y = sin x 怎样变换得到的 求振幅、周期和初相 求对称轴方程、对称中心坐标。

例 3:(1)函数 y = sin 2 x 的图象向右平移 ? ( ? > 0 )个单位,得到的图象关于直线 x = 则 ? 的最小值为 ) A.

π
6

对称, (

5π 12

B.

11π 6

C.

11π 12

D. 以上都不对

2

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(2)将函数 y = 5sin( ?3 x ) 的周期扩大到原来的 2 倍,再将函数图象左移 是( A. y = 5sin( )

π
3

,得到图象对应解析式

3π 3 x ? ) 2 2

B. y = 5sin(

7π 3 x ? ) 10 2

C. y = 5sin(

π
6

? 6 x)

D. y = 5cos

3x 2

(3)若函数 f ( x ) 图象上每一个点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的两倍,然后再将整个图 象沿 x 轴向右平移

π
2

个单位,向下平移 3 个单位,恰好得到 y =

则 f ( x) = . 例 4.求下列函数的定义域: (1) y =

1 sin x 的图象, 2

1 ;(2) y = sin x + 1 ? tan x ;(3) y = 1 ? 2 cos x + lg(2sin x ? 1) 1 ? cos x

(1) f ( x ) =

3 ? tan x ; (2) f ( x) =

2sin x ? 1 ; tan x + 1

(3) y = 1 ? 2 cos( 例 5:求单调增区间 : (1) 求函数 y =

π
2

? x) ;

(4) y = sin x + 16 ? x 2

1 π sin( ? 2 x) 的单调递减区间; 2 3

(2) 求函数 y = ? cos( 练习 1: f ( x) =

π

3

? 2 x) 的单调递减区间

2 sin(2 x + ) + 2, x ∈ R 4

π

(1) 求 f(x)的最小正周期; (2) 求 f(x)在区间[

π 3π
8 , 4

]的最大值与最小值;

(3) 求 f(x)的单调递增区间 (4) 求 f(x)的对称轴和对称中心

练习 2:分别求下列函数的周期、单调递增区间、对称轴、对称中心、最值及其对应的 x 的集合

6 π 1 (3) y = tan( ? x) 3 2

(1) y = sin( x +

1 3

π

)

1 x) 3 2 π 1 (4) y = cos( ? x) 3 2
(2) y = sin(

π

?

3

第 4 课时-----三角函数的图象和性质

例 6:如图为 y = A sin(ω x + ψ ) 的图象的一段,求解析式。

y
3

π
3
M

N O
? 3

5π 6

x

练习:(1) y = A sin(ω x + ψ )( A > 0, ω > 0,| ? |< π ) 的部分图象如图所示,试确定函数的解析式。 y
? 7 π 12

O

2 1 -2

x

(2) y = A sin(ω x + ψ )( A > 0, ω > 0, 0 < ? < 2π ) ,在它的某个周期内,图象最高点是( ? ,与 x 轴的一个交点是( 与 y 轴的交点是(0, ? 3 )

π
2

7π ,A) , 4

,0) ,求函数解析式。 y y

π
2
x x

7π ? 4

O

? 3

3π , 0) 对 例 7:已知函数 f ( x) = sin(ω x + ? )(ω > 0, 0 ≤ ? ≤ π )是R 上的偶函数,其图象关于点 M ( 4
称,且在区间 [0,

π

2

] 上是单调函数,求 ω和? 的值.

例 8:设函数 f ( x ) = sin( 2 x + ? ) ( ?π < ? < 0), y = f ( x ) 图像的一条对称轴是直线 x = (Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)求函数 y = f (x ) 的单调增区间; (Ⅲ)画出函数 y = f (x ) 在区间 [0, π ] 上的图像。

π
8



例 9:当函数 y = sin x + a cos x ?
2

1 3 a ? 的最大值为 1 时,求 a 的值. 2 2
4


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