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河南省中原名校2012-2013学年高一上学期期中联考数学试题(叶县)


中原名校 2012—2013 学年第一学期期中联考

高一数学试卷
命题:叶县高中数学命题组 责任老师: 陈立 注意事项:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,4 页,三道大题,共 22 小题. 满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ 卷(选择题

共 60 分)
( D. ?3 )

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) A.1 B.0 C. ?2

1.已知集合 A ? ?0,1 ,B ? ??1,0, a ?1 ,且A ? B, 则a ? ? ?

2.已知集合 A ? ??1,0, a? , B ? ?x | 0 ? x ? 8?,若A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是( ) A.{8} B. (0,8) C. ?-?,0? D. ? 8,+?? ( )

[来源:学科网]

?0?????x是有理数 3.设函数 D( x) ? ? ,则下列结论错误的是 .... ?1?????x是无理数
A. D ( x ) 的值域是[0,1] B. D ( x ) 是偶函数

C. D ( x ) 不是单调函 数 D. D ( x ) 的值域是{0,1} 4.设集合 M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示以集合 M 为定义域,N 为值域的函数关系的是 ( )
y 2 y 2 y 2 y 2

-2

0

2

x

-2

0

2

x

-2

0

2

x

-2

0

2

x

A

B

C

D

5.下列说法: ①映射一定是函数; ②函数的定义域可以为空集; ③存在既是奇函数又是偶函数的函数; ④y=1 因为没有自变量,所以不是函数; ⑤若函数 y ? f ( x) 在 (??,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上也单调递增, 则在 (??,1) ? (1, ??) 上单调递增.其中不正确的个数 ( ) ...
[来源:学,科,网]

A.4 B.3 6.下列函数 f(x)与 g(x)表示同一函数的是 A. f ( x) ? x 与 g ( x) ? 1
0

C.2

D.1 ( )

B. f ( x) ? x 与 g ( x) ?
2

x x

2

C. f ( x) ? x 与 g ( x) ? ( x ? 1)
2

D. f ( x) ?

x ( x )2 与 g ( x) ? x ( x )2

1 ?0.3 , b ? log3 2, c ? log 1 5 则,它们的大小关系正确的是 ( ) 3 3 A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? b ? a D. a ? c ? b x ?1 ?2e ??????????? x ? 2 8.已知 f ( x) ? ? ( , 则不等式 f ( x) ? 2 的解集是 log3 ( x ? 1)??x ? 2 ? A. ? ??,10? B. ? ??,1? ? ? 2,10?
7.若 a ? ( ) C. (2,10) D. ? ??,2? ? ?10, ???



9.已知 f ( x ) 的定义域是 ?1,5? ,则函数 y ? A. ?1,3? B. ? ,3? 2

f (2 x ? 1) 2x ? 4

的定义域是

( D. ? 2,3? (



?3 ? C. ? 2,3? ? ? ? x?????????????????x ? 0 10.已知函数 f ( x) ? ? , 则f (2013) ? f (?3) ? ? f ( x ? 2)?????x ? 0



A.2012 B.2013 C.2014 D.2015 11.我们定义渐进线:已知曲线 C,如果存在有一条直线,当曲线 C 上任一点 M 沿曲线运动时 M 可无限 趋近于该直线但永远达不到,那么这条直线称为这条曲线的渐近线;下列函数:①f ( x) ? x2 ? 2x ? 3
x ② ( x )? 2 ? ③ ( x)? l o g x( ? g 1h 2

t ④ () ) ? 1x

2x ?1 x ?1
( )

u ⑤ ( x) ?

x2 ? 2 ,其中有渐进线的个数为 x

A.2 B.3 C.4 D.5 12.中原名校本次试卷批改采用网上统一阅卷,各校选派阅卷老师时规定:每 100 人选 1 名 老师,总人数除以 100 的余数大于 70 时再增加一名老师。那么各校需派出的老师数量 y 与各校的学生数 量 x 之 间 的 函 数 关 系 如 果 用 取 整 函 数 y ? ? x ? (?x ? 表示不大 于x的最大整数)可 以 表 示 为 ( A. y ? [ )

x ] 100

B. y ? [

x ? 29 ] 100

C. y ? [

x ? 30 ] 100

D. y ? [

x ? 31 ] 100

第Ⅱ 卷(非选择题

共 90 分)
. . .

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上)
2 3 13.已知 A ? x | x ? 3x ? 2 ? 0 ,B ? x | x ? x ,则A ? B ?

?

?

?

?

14.化简:

? log2 3?

2

? 4log 1 3 ? 4 ? log2
2

1 ? 3

15.已知 f ( x) ? ax ? b 且集合 A ? ?x | f ( x) ? 0? =? ,f (1) ? 2, 则2012a ? 2013b?2 ? 16.函数 f ( x ) 是 R 上的奇函数,其部分图象如图,试用图 象写出不等式 x ? f ( x) ? 0 的解集为 . -2
[来源:学科网]

y -1

0

x

(16 题图)

三、解答题. 17.(本小题满分 10 分)
2 a 设 A ? ? x ? Z | x ? 4? , B ? ? x | ( x ? 1)( x 2 ? 5 x ? 6) ? 0? , C ? ?a | y ? (a ? 7a ? 13) x 是幂函数? 求:

(1) A, B, C?????????痧 ? B) ? ( ?C)] . ? [(

18.(本小题满分 12 分)

动点 P 从如图示的长方形 ABCD 的顶点 A 出发顺次经过 B、C、D 再回到 A,设 x 表示 P 点的行程,y 表 示 PA 的长,求 y 关于 x 的函数.(注意:写出详细运算过程)
D P C

1 P B

A

2

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

m ? 3x ? m ? 2 为奇函数 3x ? 2

(1)求实数 m 的值; (2)用定义法判断函数 f ( x ) 在其定义域上的单调性.

20. (本小题满分 1 2 分) 已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x ) 是二次函数,其图象与 x 轴交于 A(1,0)、 B(3,0),与 y 轴交于 C(0,6) (1)求 y ? f ( x),( x ? R) 的解析式; (2)若方程 f ( x) ? 2a ? 2 ? 0 有四个不同的实数根,试求 a 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 4 ? a? 2
x x ?1

? a2 的定义域为 ?1, 2? ,试求函数 f ( x) 的最大值,记为 g (a) ,求 g (a) 表

达式,并求 g (a ) 的最大值.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 y ? f ( x)?( x ? R) 对任意实数 x , y ,有 f ? x ? ? f ( y ) ? 2 f (

f (0) ? 0 (1)求 f (0) 的值; (2)试判断函数 y ? f ( x)?( x ? R) 的奇偶性; (3)若函数 y ? f ( x)?( x ? R) 在 [0, ??) 上单调递增, f ( x ? 1) ? 2a ? 3 ? 0 恒成立,试求 a
的取值范围.

x? y x? y )?f ( ) 恒成立,且 2 2

中原名校 2012—2013 学年第一学期期中联考

高一数学试题参考答案
一.选择题(每小题 5 分) 1-- ------5 BBACA 二.填空题(每小题 5 分) 13. 6------10
[来源:学科网]

DABDC

11 C 12 B

??1,0,1, 2?

14. 2

15. 2

16.

?x |

x? ?2 或 x ? 或 x ? 或 x ? 0 , 2 ?1 ?

三.解答题

17. 解:解: (1) A ? ??4, ?3, ?2, ?1,0,1,2,3,4? ……………………………2

B ? ?1,2,3? ………………………….……………………4 C ? ?3,4?
……………….6 (2)? (痧B) ? ( ?C) ? ?
?

………………………………

( B ? C)

………………..…………8

?痧? ? (B ? C) ? B C { 3 } ? ? …………………………….…..10 ? ?? ?
18. (本题 12 分) 解:(1)当 P 在 AB 边上时即 0 ? x ? 2时y ? x ………………………………….….2 (2)当 P 在 BC 边上时即 2 ? x ? 3时y ? (3 )当 P 在 CD 边上时即 3 ? x ? 5时y ?

( x ? 2) 2 ? 4 ? x 2 ? 4 x ? 8 ………4 (5 ? x) 2 ? 1 ? x 2 ? 10 x ? 26 ……6.

(4)当 P 在 DA 边上时即 5 ? x ? 6时y ? 6 ? x ………………………………….8.

? x???????????????????????????0 ? x ? 2 ? 2 ? x ? 4 x ? 8?????????2 ? x ? 3 综上可知: y ? ? ………………………………….12 ? x 2 ? 10 x ? 26?????3 ? x ? 5 ? ?6 ? x?????????????????????5 ? x ? 6
19.(本小题 12 分) 解: (1)? f ( x) 的定义域为 R 且为奇函数

?f(0) 0 ?
? m?m?2 ? 0 ? m ? 1 …………………………………………………………4 5
[来源:学科网 ZXXK]

(2)由(1)知 f ( x) ?

3x ? 1 3 ?1? x x 3 ?2 3 ?2

设 x1 , x2 是定义域 R 上的任意两个实数且 x1 ? x2 ………………………………5

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

3 3 3(3x1 ? 3x2 ) ………………………8 ? x1 ? x1 3x2 ? 2 3 ? 2 (3 ? 2)(3x2 ? 2)

? x1 ? x2 ?3x1 ? 3x2 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ……………………11
? f ( x) 在定义域 R 上单调递增……………………………………………………12
20.(本大题12分) 解:依题意可设,当 x ? 0 时, f ( x) ? a( x ? 1)( x ? 3) ………………………………1 由 f (0) ? 6 得: 3a ? 6,? a ? 2 ,………………………………………………………2 此时 f ( x) ? 2( x ?1)( x ? 3) ? 2 x ? 8x ? 6?( x ? 0) ……………………………………3
2

当 x ? 0 时, ? x ? 0, 则f (? x) ? 2 x ? 8x ? 6 …………………………………………4
2

又? f ( x) 是偶函数? f (? x) ? f ( x)

? f ( x) ? 2x2 ? 8x ? 6??( x ? 0)
?2 x 2 ? 8 x ? 6??? x ? 0 ? ? f ( x) ? ? 2 ……………………………………………………………6 ?2 x ? 8 x ? 6??? x ? 0 ?
y (2)依题意: f ( x) ? 2a ? 2 有四个不同实数根,即 y ? f ( x)与y ? 2a ? 2 在同一坐标系中的图象有四个
y

不同的交点, 如图可知 只需满足条件

6

o -2

x

?2 ? 2a ? 2 ? 6 ? 0 ? a ? 4
即实数 a 的取值范围是(0,4)…………………………………………………………12 (注:图象不作出,方法正确也不扣分) 21.(本小题 12 分) 解:函数 f ( x) ? 4 x ? a2 x ?1 ? a 2 ? (2 x ) 2 ? 2a2 x ? a 2 (1 ? x ? 2) …………………………2
x 令 t ? 2 则 2 ? t ? 4 原函数可化为 y ? t 2 ? 2at ? a2 ? (t ? a)2 ? 2a2 (2 ? t ? 4)

(1)当 a ? 3 时: t ? 2 ? 4即x ? 2 时 f ( x)max ? f (2) ? ?a2 ? 8a ? 16 ………………4
x

(2)当 a ? 3 时: t ? 2 ? 2即x ? 1 时 f ( x)max ? f (1) ? ?a2 ? 4a ? 4 …………………6
x

??a 2 ? 8a ? 16??a ? 3 ? ? g (a) ? ? 2 ………………………………………………………………8 ??a ? 4a ? 4??a ? 3 ? 当 a ? 3 时: g (a) ? ?a2 ? 8a ? 16 此时 g (a)max ? g (?4) ? 32
当 a ? 3 时: g (a) ? ?a ? 4a ? 4 此时 g (a)max ? g (3) ? ?17
2

综上可知 g (a)max ? 32 ………………………………………………………………………12
22.解(1)令 x ?

y ? 0,? 2 f (0) ? 2 f (0)?f (0) ? f (0) ? 0或f (0) ? 1 而 f (0) ? 0

? f (0) ? 1 ………………………………………………………………………………………2
(2)令 y ? ? x ? f ( x) ? f (? x) ? 2[ f (0)?f ( x)] 由(1)知 f (0) ? 1? f ( ? x) ? f ( x) …………………………………………………………4

? f ( x) 的定义域为 R ? f ( x) 为偶函数. ……………………………………………………………………………6
(3)? y ? f ( x) 是偶函数且在 ?0, ??? 上单调递增

?? 0, ??? 上单调递减 ? f ( x ?1)在? ??,上单调递减,在?1 ? ?? 上单调递增 1? ,
? f ( x ?1)min ? f (0) ? 1
? f ( x ?1) ? 2a ? 3 ? 0 恒成立,只需 1 ? 2a ? 3 ? 0,? a ? 2


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