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均值不等式的应用

均值不等式应用
一.均值不等式

1.(1)若 a, b ? R ,则 a 2 ? b 2 ? 2ab (当且仅当 a ? b 时取“=”)
(2)若 a, b ? R ,则 ab ?

2.(1)若 a, b ? R * ,则 a ? b ? ab (当且仅当 a ? b 时取“=”)
2
(2)若 a, b ? R * ,则 a ? b ? 2 ab (当且仅当 a ? b 时取“=” ) (3)若 a, b ? R * ,则 ab ? ? a ? b ? ? ? ? 2 ? 3.若 x ? 0 ,则 x ?
2

a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时取“=”) 2

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

1 ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=” ); x 1 若 x ? 0 ,则 x ? ? ?2 (当且仅当 x ? ?1 时取“=” ) x
若 x ? 0 ,则 x ? 1 ? 2即x ? 1 ? 2或x ? 1 ? -2 x x x (当且仅当 a ? b 时取“=” )

a b 3.若 ab ? 0 ,则 ? ? 2 b a

(当且仅当 a ? b 时取“=” ) (当且仅当 a ? b 时取“=” )

若 ab ? 0 ,则

a b a b a b ? ? 2即 ? ? 2或 ? ? -2 b a b a b a

a ? b 2 a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时取“=” ) ) ? 2 2 注: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时, 可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方 面有广泛的应用. 应用一:求最值
4.若 a, b ? R ,则 ( 例 1:求下列函数的值域(1)y=3x 2+ 1 2x 2 1 (2)y=x+ x

解题技巧: 技巧一:凑项 例 1:已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

技巧二:凑系数 例 1. 当

时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

变式:设 0 ? x ?

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2

技巧三: 分离 x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 例 3. 求 y ? x ?1

技巧四:换元 x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 例 3. 求 y ? x ?1

技巧五: 注意: 在应用最值定理求最值时, 若遇等号取不到的情况, 应结合函数 f ( x) ? x ? 的单调性。例:求函数 y ?

a x

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

练习.1.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值. (1) y ?

1 x 2 ? 3x ? 1 ,x ?3 , ( x ? 0) (2) y ? 2 x ? x ?3 x

(3)

y ? 2sin x ?

1 , x ? (0, ? ) sin x

2.已知 0 ? x ? 1 ,求函数 y ? 的最大值.

x(1 ? x) 的最大值.;3.0 ? x ?

2 ,求函数 y ? 3

x(2 ? 3x)

条件求最值
a b 1.若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是

.

变式:若 log4 x ? log4 y ? 2 ,求

1 1 ? 的最小值.并求 x,y 的值 x y

技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就 会出错。 。 2:已知 x ? 0, y ? 0 ,且

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

变式: (1)若 x, y ? R 且 2 x ?

?

y ? 1 ,求 1 ? 1 的最小值
x y

? (2)已知 a, b, x, y ? R 且 a ? b ? 1 ,求 x x y

? y 的最小值

y2 技巧七、已知 x,y 为正实数,且 x 2+ =1,求 x 1+y 2 的最大值. 2

技巧八:已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y=

1 的最小值. ab

变式:1.已知 a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求 a+b 的最小值。 2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。

技巧九、取平方 5、已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 3x + 2y 的最值.

变式: 求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。
2 2

应用二:利用均值不等式证明不等式 1.已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a
2

? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca

变式:正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc

例 6:已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ?

?

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

应用三:均值不等式与恒成立问题 例:已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y

应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例:若 a ? b ? 1, P ? 是 .

lg a ? lg b , Q ?

1 a?b (lg a ? lg b), R ? lg( ) ,则 P, Q, R 的大小关系 2 2


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