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扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测试题高三数学及答案


扬 州 市 2012 —20 13 学 年 度 第 一 学 期 期 末 检 测 试 题 高 三 数 学
2013.01 全卷分两部分:第一部分为所有考生必做部分(满分 160 分,考试时间 120 分钟) ,第 二部分为选修物理考生的加试部分(满分 40 分,考试时间 30 分钟) . 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.第一部分试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 3.选修物理的考生在第一部分考试结束后,将答卷交回,再参加加试部分的考试.

第 一 部 分
一、 填空题 (本大题共 14 小题, 每小题 5 分, 70 分, 共 请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1.若集合 M ? {x | ?1 ? x ? 1}, N ? {x | x2 ? 2x ? 0} ,则 M∩N= ▲ . 2.将复数

1 ? 2i ( i 是虚数单位)写成 a ? bi(a, b ? R) ,则 a ? b ? 1? i

▲ .

3.已知向量 a ? ?2,1?, b ? ?? 1, k ?,若 a ? b ,则 k 等于 ▲ . 4.已知函数 f ( x) ? ?

?log 2 x ( x ? 0) ,则 f [ f (0)] ? ( x ? 0) 3x ?

▲ .

5.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6),骰 子朝上的面的点数分别为 x , y ,则 y ? 2 x 的概率为 ▲ .

?x ? 0 ? 6.设 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ▲ . ?2 x ? y ? 5 ?
7.如图所示的流程图,若输出的结果是 15,则判断框中的横线上可以填入 的最大整数为 ▲ . 8.已知圆 C 的圆心为抛物线 y ? ?4 x 的焦点,又直线 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 与圆
2

C 相切,则圆 C 的标准方程为 ▲ .
9.设 a、 b 是两条不同的直线,? 、 ? 是两个不同的平面,则下列四个命题
1

①若 a ? b, a ? ? ,则 b / /? , ③若 a // ? , a ? ? , 则? ? ? 其中正确的命题序号是 ▲ .

②若 a ? ? , ? ? ? ,则 a / /? , ④若 a ? b, a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ? ,

10.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,且 a ? 5, b ? 3,sin C ? 2sin A , 则 sin A ? ▲ .

11.已知函数 f ( x ) ? ln x ?

m ( m ? R )在区间 [1, e] 上取得最小值 4,则 m ? ▲ . x
y

12. 如图所示:矩形 An Bn Cn Dn 的一边 An Bn 在 x 轴上,另两

1 个顶点 Cn 、 n 在函数 f ( x) ? x ? ( x ? 0) 的图像上, 若点 Bn D x
的坐标为 ? n,0? (n ? 2, n ? N ) ) ,矩形 An Bn Cn Dn 的周长记为
*

Dn

Cn

an ,则 a2 ? a3 ? ? ? ? ? a10 ? ▲ .
x2 y 2 3 13.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,A、 a b 2 cos(? ? ? ) = ▲ . cos(? ? ? )
1 1 1 ? ??? =2,则 a1 a2 a2012
O An Bn x

B 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上不同于 A、B 的一点,直线 PA、PB 斜倾角分别为 ? 、

? ,则

14.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? an ( an ? 1) , (n ? N ? ) ,且

a2013? 4a 1的最小值为 ▲ .

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15. (本小题满分 14 分) 已知向量 m ? (sin x,?1) , n ? ( 3 cos x,? ) ,函数 f ( x ) ? m ? m ? n ? 2 . (Ⅰ)求 f (x) 的最大值,并求取最大值时 x 的取值集合; (Ⅱ)已知 a 、 b 、 c 分别为 ?ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边,且 a , b , c 成等比数列,
2

1 2

2

角 B 为锐角,且 f ( B) ? 1,求

1 1 ? 的值. tan A tan C

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD , AC ? BD 于 O 。 (Ⅰ)证明:平面 PBD ⊥平面 PAC ; (Ⅱ)设 E 为线段 PC 上一点,若 AC ? BE ,求证: PA // 平面 BED

17. (本小题满分 15 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)若数列 {an } 是等比数列,满足 2a1 数列

? a3 ? 3a2 , a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项,求

?an ?的通项公式;
*

(Ⅱ)是否存在等差数列 {an } ,使对任意 n ? N 都有 an ? Sn ? 2n2 (n ? 1) ?若存在,请 求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由.

18. (本小题满分 15 分) 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动.如图,助跑道 ABC 是一段 抛物线,某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为 1 米的平台上 E 处,飞行的轨迹是一段抛物线 CDE(抛物线 CDE 与抛物线 ABC 在同一平面内) ,D 为 这段抛物线的最高点. 现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系, 轴 x 在地面上,助跑道一端点 A(0,4),另一端点 C(3,1),点 B(2,0),单位:米. y (Ⅰ)求助跑道所在的抛物线方程; A (Ⅱ)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点 C 处有相 4 D 同的切线,为使运动员安全和空中姿态优美,要求运动员的飞行 距离在 4 米到 6 米之间 (包括 4 米和 6 米) 试求运动员飞行过程 , C 中距离平台最大高度的取值范围? B (注:飞行距离指点 C 与点 E 的水平距离,即这两点横坐标差的 O 2 绝对值. )

E x

3

19. (本小题满分 16 分) 如图,已知椭圆 E1 方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,圆 E2 方程为 a 2 b2
D B A

y C

过椭圆的左顶点 A 作斜率为 k1 直线 l1 与椭圆 E1 和圆 x2 ? y 2 ? a2 ,

O

x

E2 分别相交于 B、C.
(Ⅰ)若 k1 ? 1 时, B 恰好为线段 AC 的中点,试求椭圆 E1 的离心率 e ; (Ⅱ)若椭圆 E1 的离心率 e = 值; (Ⅲ)设 D 为圆 E2 上不同于 A 的一点,直线 AD 的斜率为 k2 ,当

1 , F2 为椭圆的右焦点,当 | BA | ? | BF2 |? 2a 时,求 k1 的 2

k1 b2 时,试问直线 ? k2 a 2

BD 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.

20. (本小题满分 16 分) (Ⅰ)求 a 的值.

n * 记函数 f n ? x ? ? a ? x ? 1 a ? R, n ? N 的导函数为 fn? ? x ? ,已知 f3?? 2? ? 12 .

?

?

(Ⅱ)设函数 gn ( x) ? f n ( x) ? n2 ln x ,试问:是否存在正整数 n 使得函数 gn ( x) 有且只有 一个零点?若存在,请求出所有 n 的值;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)若实数 x0 和 m( m ? 0 ,且 m ? 1 )满足: 大小,并加以证明.

f n? ? x0 ? f ? m? ,试比较 x0 与 m 的 ? n f n??1 ? x0 ? f n?1 ? m ?

4

第二部分(加试部分)
21.B 选修 4 - 2:矩阵与变换(本题满分 10 分) 若矩阵

A 有 特 征 值 ?1 ? 3 , ?2 ? ?1 , 它 们 所 对 应 的 特 征 向 量 分 别 为 e1 ? ? ? 和 0
? ?

?1 ?

e2 ? ? ? ,求矩阵 A . 2
? ?
…………………10 分

?1 ?

21.C. 选修 4 - 4:坐标系与参数方程 (本题满分 10 分)

x2 y 2 ? ? 1 与 x 正半轴、 y 正半轴的交点分别为 A, B ,动点 P 是椭圆 16 9 上任一点,求 ?PAB 面积的最大值。
已知椭圆 C :

22. (本题满分 10 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, 侧面 PCD ? 底面 ABCD ,PD ? CD , 底面 ABCD 是直角梯形,

AB / /CD , ?ADC ?

?
2

, AB ? AD ? PD ? 1,CD ? 2 .设 Q

??? ? ??? ? 为侧棱 PC 上一点, PQ ? ? PC ,试确定 ? 的值,使得二面角
Q ? BD ? P 为 45°.

23. (本题满分 10 分) 已知数列 {an } 是等差数列,且 a1 , a2 , a3 是 (1 ?

1 m x) 展开式的前三项的系数. 2

(Ⅰ)求 (1 ?

1 m x) 展开式的中间项; 2
1 1 1 1 1 与 的大小. ? ? ??? an an?1 an?2 an2 3
5

(Ⅱ)当 n ? 2 时,试比较

扬 州 市 2012 — 20 13 学 年 度 第 一 学 期 期 末 检 测 试 题 高 三 数 学 参 考 答 案
2013.01

第 一 部 分
一、 填空题 (本大题共 14 小题, 每小题 5 分, 70 分, 共 请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1. [0,1] ;2. 1 ;3. 2 ;4. 0 ;5.

1 2 2 ; 6. 3 ;7.49; 8. ( x ? 1) ? y ? 4 ; 12

9.③④;10.

3 7 5 ;11. ? 3e ;12. 216;13. ;14. ? 2 5 5

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? (m ? n) ? m ? 2 ? sin x ? 1 ? 3 sin x cos x ?
2

1 ?2 2

?

1 ? cos 2 x 3 1 3 1 ? ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) .……… 3 分 2 2 2 2 2 6

故 f ( x) max ? 1 ,此时 2 x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

, k ? Z ,得 x ? k? ?

?
3

,k ? Z ,

∴取最大值时 x 的取值集合为 {x | x ? k? ? (Ⅱ) f ( B ) ? sin(2 B ?

?
3

, k ? Z} .

………………… 7 分

?
6

) ? 1 ,? 0 ? B ?

?
2

,? ?

?
6

? 2B ?

?
6

?

? 2B ?
2

?
6

?

?
2

,B ?

?
3

5? , 6


2

…………………………… 10 分

由 b ? ac 及正弦定理得 sin B ? sin A sin C 于是

1 1 cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin( A ? C ) 1 2 3 ? ? ? . ……………………………………14 分 2 sin B sin B 3
16. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证:因为 PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,? PA ? BD …………………2 分 又 AC ? BD , PA, AC 是平面 PAC 内的两条相交直线,
6

? BD ? 平面 PAC , 而 BD ? 平面 PBD ,所以平面 PBD ⊥平面 PAC (Ⅱ)证:? AC ? BE , AC ? BD , BE 和 BD 为平面 BED 内 两相交直线,? AC ? 平面 BED , 连接 EO ,? EO ? 平面 BED ,? AC ? EO , ? PA ⊥平面 ABCD ,? AC ? 平面 ABCD ,? AC ? PA , 又 AC , PA, EO 共面,? EO // PA , 又? PA ? 平面 BED , EO ? 平面 BED ,? PA // 平面 BED
17. (本小题满分 15 分) 解: (Ⅰ)设等比数列

…………………4 分 …………………6 分 …………………8 分 …………………10 分 …………………12 分 …………………14 分

?an ?的首项为 a1 ,公比为 q ,
……3 分

? a1 (2 ? q 2 ) ? 3a1 q, (1) ? 2a1 ? a 3 ? 3a 2 , 依题意,有 ? 即? 3 2 ?a 2 ? a 4 ? 2( a 3 ? 2). ?a1 (q ? q ) ? 2a1 q ? 4. (2)


(1) 得 q 2 ? 3q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 1 或 q ? 2 .
? 1 时,不合题意舍;

当q 当q

? 2 时,代入(2)得 a1 ? 2 ,所以, an ? 2 ? 2 n?1 ? 2 n .
n(n ? 1) d ] ? 2n 2 (n ? 1) ,得 2

…………………7 分

(Ⅱ)假设存在满足条件的数列 {an } ,设此数列的公差为 d ,则 方法 1: [a1 ? (n ? 1)d ][a1 n ?

d2 2 3 3 1 n ? ( a1d ? d 2 )n ? (a12 ? a1d ? d 2 ) ? 2n 2 ? 2n 对 n ? N * 恒成立, 2 2 2 2

?d2 ? 2 ? 2, ? ?3 2 则 ? a1 d ? d ? 2, 2 ? 1 2 ? 2 3 ?a1 ? 2 a1 d ? 2 d ? 0, ?
解得 ?

…………………10 分

? d ? 2, ? d ? ?2, 或? 此时 an ? 2n ,或 an ? ?2n . ? a1 ? 2, ? a1 ? ?2.
*

故存在等差数列 {an } ,使对任意 n ? N 都有 an ? Sn ? 2n2 (n ? 1) .其中 an ? 2n , 或 an ? ?2n .
2 方法 2:令 n ? 1 , a1 ? 4 ,得 a1 ? ?2 ,

…………………15 分

7

2 令 n ? 2 ,得 a2 ? a1 ? a2 ? 24 ? 0 ,

…………………9 分

①当 a1 ? 2 时,得 a2 ? 4 或 a2 ? ?6 ,
* 若 a2 ? 4 , 则 d ? 2 , an ? 2n , Sn ? n(n ? 1) , 对 任 意 n ? N 都 有

; an ? Sn ? 2n2 n ? 1 ) ( 若 a2 ? ?6 ,则 d ? ?8 , a3 ? ?14 , S3 ? ?18 ,不满足 a3 ? S3 ? 2 ? 32 ? (3 ? 1) . …………………12 分 ②当 a1 ? ?2 时,得 a2 ? ?4 或 a2 ? 6 ,
* 若 a2 ? ?4 , 则 d ? ?2 , an ? ?2n , Sn ? ?n(n ? 1) , 对 任 意 n ? N 都 有

an ? Sn ? 2n2 ( ? 1; n )
若 a2 ? 6 ,则 d ? 8 , a3 ? 14 , S3 ? 18 ,不满足 a3 ? S3 ? 2 ? 32 ? (3 ? 1) . 综上所述,存在等差数列 {an } ,使对任意 n ? N 都有 an ? Sn ? 2n2 (n ? 1) .其中
*

an ? 2n ,或 an ? ?2n .
18. (本小题满分 15 分) 解: (Ⅰ)设助跑道所在的抛物线方程为 f ( x) ? a0 x2 ? b0 x ? c0 ,

…………………15 分

?c0 ? 4, ? 依题意: ?4a0 ? 2b0 ? c0 ? 0, ?9a ? 3b ? c ? 1, 0 0 ? 0
解得, a0 ? 1 , b0 ? ?4 , c0 ? 4 , ∴助跑道所在的抛物线方程为 f ( x) ? x2 ? 4x ? 4 .
2 (Ⅱ)设飞行轨迹所在抛物线为 g ( x) ? ax ? bx ? c ( a ? 0 ) ,

…………………3 分

…………………7 分

依题意: ?

? f (3) ? g (3), ?9a ? 3b ? c ? 1, ?b ? 2 ? 6a, 得? 解得 ? …………………9 分 ? f '(3) ? g '(3), ?6a ? b ? 2, ?c ? 9a ? 5,
2

∴ g ( x) ? ax ? (2 ? 6a ) x ? 9a ? 5 ? a ( x ?
8

3a ? 1 2 1 ) ?1? , a a

3a ? 1 2 1 3a ? 1 1 2 ) ? 2 ,∵ a ? 0 ,∴ x ? ? ? 3 ? ,…11 分 a a a a a 3a ? 1 1 当x ? 时, g ( x) 有最大值为 1 ? , a a 2 2 则运动员的飞行距离 d ? 3 ? ? 3 ? ? , ………………13 分 a a 1 1 飞行过程中距离平台最大高度 h ? 1 ? ? 1 ? ? , a a 2 1 依题意, 4 ? ? ? 6 ,得 2 ? ? ? 3 , a a
令 g ( x) ? 1 得, ( x ? 即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在 2 米到 3 米之间.………………15 分 19. (本小题满分 16 分) 解: (Ⅰ)当 k1 ? 1 时,点 C 在 y 轴上,且 C (0, a ) ,则 B ( ?

a a , ) ,由点 B 在椭圆上, 2 2
…………………2 分 …………………4 分

a a (? ) 2 ( ) 2 2 ? 2 ? 1, 得 a2 b2 b2 1 c2 b2 2 6 2 ∴ 2 ? , e ? 2 ? 1 ? 2 ? ,∴e ? . 3 3 a a a 3

(Ⅱ)设椭圆的左焦点为 F ,由椭圆定义知, | BF | ? | BF2 |? 2a , 1 1 ∴| BF1 |?| BA | ,则点 B 在线段 AF1 的中垂线上,∴xB ? ? 又e ?

a?c ,…………6 分 2

c 1 1 3a 3 ? ,∴c ? a , b ? a ,∴xB ? ? , a 2 2 4 2

代入椭圆方程得 yB ? ?

yB 7 21 21 =? .…………9 分 b=? a ,∴k1 ? 4 8 2 xB ? a

? y ? k1 ( x ? a), x 2 ? a 2 k12 ( x ? a) 2 ? 2 ? ? 0, (Ⅲ)法一:由 ? x 2 得 y a2 b2 ? 2 ? 2 ? 1, b ?a
a(b2 ? k12 a 2 ) ∴x ? ?a ,或 x ? , b2 ? a 2 k12
∵xB ? ?a ,∴xB ?

a(b2 ? k12 a 2 ) 2ab2 k1 ,则 yB ? k1 ( xB ? a) ? 2 .……11 分 b2 ? a 2 k12 b ? a 2 k12

9

由?

? y ? k2 ( x ? a), ?x ? y ? a ,
2 2 2

2 得 x2 ? a2 ? k2 ( x ? a)2 ? 0 ,

得 x ? ?a ,或 x ?

2 2 2ak2 a(1 ? k2 ) a(1 ? k2 ) ,同理,得 xD ? , yD ? ,……13 分 2 2 2 1 ? k2 1 ? k2 1 ? k2

b4 2 k2 ) a (a 2 ? b 2 k22 ) k 2ab2 k2 b a2 ? 当 1 ? 2 时, xB ? , yB ? 2 , 2 2 b4 2 a 2 ? b 2 k2 k2 a a ? b 2 k2 2 b ? 2 k2 a
2

a (b 2 ?

k BD

2ab 2 k2 2ak2 ? 2 2 2 2 a ? b k2 1 ? k2 1 AD,∵E2 为圆, ? ? ? ,∴ BD⊥ 2 2 2 2 k2 a(a ? b k2 ) a(1 ? k2 ) ? 2 2 a 2 ? b 2 k2 1 ? k2
…………………10 分

∴ ∠ ADB 所对圆 E2 的弦为直径,从而直线 BD 过定点(a,0). ……………16 分 法二:直线 BD 过定点 ( a, 0) , 证明如下: 设 P (a, 0) , B( xB , yB ) ,则:

xB 2 yB 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a2 b 2 2 y y y2 a a a2 a 2 b2 k AD kPB ? 2 k1kPB ? 2 ? B ? B ? 2 ? 2 B 2 ? 2 (? 2 ) ? ?1 , b b xB ? a xB ? a b xB ? a b a 所以 PB ? AD ,又 PD ? AD 所以三点 P, B, D 共线,即直线 BD 过定点 P (a, 0) 。. …………………16 分
20. (本小题满分 16 分) 解: (Ⅰ) f3' ( x) ? 3ax2 ,由 f3?? 2? ? 12 得 a ? 1 .
n 2
' n n ?1

…………………3 分

(Ⅱ) gn ( x) ? x ? n ln x ? 1 , g ( x) ? n ? x
' ∵ x ? 0 ,令 gn ( x) ? 0 得 x ?
n

n 2 n( x n ? n ) ? ? ,………………5 分 x x

n,

当x?

n

' n 时, gn ( x) ? 0 , gn ( x) 是增函数;
n

当0 ? x ? ∴当 x ?
n

' n 时, gn ( x) ? 0 , gn ( x) 是减函数.

n 时, gn ( x) 有极小值,也是最小值, gn ( n n ) ? n ? n ln n ? 1 ,……7 分

当 x ? 0 时, gn ( x) ? ?? ;
10

当 x ??? 时(可取 x ? e, e2 , e3 ? 体验) gn ( x) ? ?? . , 当 n ? 3 时, gn ( n n ) ? n(1 ? ln n) ? 1 ? 0 ,函数 gn ( x) 有两个零点; 当 n ? 2 时, gn ( n n ) ? ?2ln 2 ? 1 ? 0 ,函数 gn ( x) 有两个零点; 当 n ? 1 时, gn ( n n ) ? 0 ,函数 gn ( x) 有且只有一个零点, 综上所述,存在 n ? 1 使得函数 gn ( x) 有且只有一个零点. …………………9 分 (Ⅲ) f n' ( x) ? n ? xn?1 ,∵
n f n? ? x0 ? f ? m? nx0 ?1 mn ? 1 ,∴ , ? n?1 ? n n (n ? 1) x0 m ? 1 f n??1 ? x0 ? f n?1 ? m ?

n(mn?1 ? 1) 得 x0 ? , (n ? 1)(mn ? 1)
则 x0 ? m ?

…………………11 分

?mn?1 ? m(n ? 1) ? n , (n ? 1)(mn ? 1)

当 m ? 1 时, (n ? 1)(mn ? 1) ? 0 ,设 h( x) ? ? xn?1 ? x(n ? 1) ? n( x ? 1) , 则 h '( x) ? ?(n ? 1) xn ? n ? 1 ? ?(n ? 1)( xn ? 1) ? 0 (当且仅当 x ? 1 时取等号) , ∴ h( x) 在 ?1, ?? ? 上是减函数, 又∵ m ? 1 ,∴ h(m) ? h(1) ? 0 ,∴ x0 ? m ? 0 ,∴ x0 ? m .…………………14 分 当 0 ? m ? 1 时, (n ? 1)(mn ? 1) ? 0 ,设 h( x) ? ? xn?1 ? x(n ? 1) ? n(0 ? x ? 1) , 则 h '( x) ? ?(n ? 1) xn ? n ? 1 ? ?(n ? 1)( xn ? 1) ? 0 (当且仅当 x ? 1 时取等号) , ∴ h( x) 在 ? 0,1? 上是增函数, 又∵ 0 ? m ? 1 ,∴ h(m) ? h(1) ? 0 ,∴ x0 ? m ? 0 ,∴ x0 ? m . 综上所述,当 m ? 1 时 x0 ? m ,当 0 ? m ? 1 时 x0 ? m ………………………………16 分

11

第二部分(加试部分)
21.B 选修 4 - 2:矩阵与变换(本题满分 10 分)

? Ae1 ? ?1e1 a b? 解.设 A ? ? ? c d ? ,由 ? Ae ? ? e ? ? ? 2 2 2
? a b ? ?1 ? ?1 ? ? 3? ? ? c d ? ?0? ? 3 ? ?0? ? ?0? ? ?? ? ? ? ? ? ? ,即 ? ? a b ? ?1 ? ?1 ? ? ?1? ? ? ? c d ? ? 2 ? ? ?1? ? 2 ? ? ? ?2 ? ? ?? ? ? ? ? ? ?3 ?2? 所以 A ? ? ? ?0 ?1?
? ? 得? ? ?

…………………3 分

a?3 ? c?0 ? ,? a ? 2b ? ?1 ? ? c ? 2d ? ?2

a?3 c?0 , b ? ?2 d ? ?1
…………………10 分

21.C. 选修 4 - 4:坐标系与参数方程 (本题满分 10 分) 解:依题意 A(4, 0) , B(0,3) , AB ? 5 ,直线 AB :

x y ? ? 1 ,即 3x ? 4 y ? 12 ? 0 4 3 设点 P 的坐标为 (4cos ? ,3sin ? ) ,则点 P 到直线 AB 的距离是 | 3 ? 4 cos ? ? 4 ? 3sin ? ? 12 | 12 ? d? ? | 2 sin(? ? ) ? 1| , …………………4 分 5 5 4 ? 12( 2 ? 1) 当 sin(? ? ) ? ?1 时, d max ? , …………………6 分 4 5 1 所以 ?PAB 面积的最大值是 S ? AB ? d max ? 6( 2 ? 1) …………………10 分 2

22. (本题满分 10 分) 解:因为侧面 PCD ? 底面 ABCD ,平面 PCD ? 平面 ABCD ? CD , PD ? CD , 所以 PD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? AD ,即三直线 DA, DC , DP 两两互相垂直。 如图,以 D 为坐标原点, DA, DC , DP 分别为 x, y, z 轴建立直角坐标系, 则平面 PBD 的一个法向量为 n ? (?1,1, 0) , ??? ? ??? ? ??? ? PC ? (0, 2, ? 1), PQ ? ? PC , ? ? (0, 1) ,所以
Q(0, 2? , 1 ? ? ) , 设 平 面 QBD 的 一 个 法 向 量 为

…………………2 分

m ? (a, b, c) ,由 m ? BD ? 0 , m ? DQ ? 0 ,
得?

??? ?

????

? a?b ? 0 , ? 2?b ? (1 ? ? )c ? 0
2? ) ? ?1
12

所以 m ? (?1,1,

…………………6 分

所以 cos 45 ?
?

| m?n| ,即 | m |?| n|

2 2? 2?(
2 ? 1.

2? 2 ) ? ?1

?

2 2
…………………10 分

注意到 ? ? (0,1) ,解得 ? ? 23. (本题满分 10 分) 解 :( Ⅰ ) (1 ?

1 m 1 1 1 2 1 x) ? 1 ? Cm ( x) ? Cm ( x) 2 ?? 依 题 意 a1 ? 1 , a2 ? m , 2 2 2 2
…………………2 分

a3 ?

m(m ? 1) ,由 2a2 ? a1 ? a3 可得 m ? 1(舍去) ,或 m ? 8 8

所以 (1 ?

1 m 1 35 4 x) 展开式的中间项是第五项为:T5 ? C84 ( x) 4 ? x ;…………………4 分 2 2 8

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? 3n ? 2 , 当 n ? 2 时,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 69 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? an an?1 an?2 an2 a2 a3 a4 4 7 10 140 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? an an?1 an?2 an2 a3 a4 a5 a9

当 n ? 3 时,

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ? )?( ? ? ) 7 10 13 16 19 22 25 7 10 13 16 19 22 25

1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 3 1 1 ? ?( ? ? )?( ? ? ) ? ? ? ? ? ? ? 8 16 16 16 32 32 32 8 16 32 8 16 16 3 1 1 1 1 1 ? 猜测:当 n ? 2 时, …………………6 分 ? ? ??? an an?1 an?2 an2 3
以下用数学归纳法加以证明: ① n ? 3 时,结论成立, ②设当 n ? k 时, 则 n ? k ? 1 时,

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? , ak ak ?1 ak ?2 ak 2 3

1 a( k ?1)

?

1 a( k ?1)?1

?

1 a( k ?1)?2

???

1 a( k ?1)2

?(

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ) ?( ? ??? ? ) ak ak ?1) a( k ?1)?1 a( k ?1)?2 ak 2 ak 2 ?1 ak 2 ?2 a( k ?1)2 ak
13

1 1 1 1 1 1 (2k ? 1) 1 ? ? ?( ? ??? ? )? ? 2 3 3(k ? 1) ? 2 3k ? 2 3 ak 2 ?1 ak 2 ?2 a( k ?1)2 ak
1 (2k ? 1)(3k ? 2) ? [3(k ? 1)2 ? 2] 1 3k 2 ? 7k ? 3 ? ? ? ? 3 [3(k ? 1)2 ? 2][3k ? 2] 3 [3(k ? 1)2 ? 2][3k ? 2]
2 由 k ? 3 可知, 3k ? 7k ? 3 ? 0



1 a( k ?1)

?

1 a( k ?1)?1

?

1 a( k ?1)?2

???

1 a( k ?1)2

?

1 3

综合①②可得,当 n ? 2 时,

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? …………………10 分 an an?1 an?2 an2 3

14


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