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第二轮专题 训练十一 三角函数的化简与求值doc

06 届数学(第
学校 学号

二 轮)专

题 训 练
姓名

第九讲: 三角函数的化简与求值
班级

知能目标
1. 掌握同角的三角函数的基本关系式: 掌握正弦,余弦的诱导公式;掌握两角和与两角 差的正弦,余弦,正切公式;掌握二倍角的在正弦,余弦,正切公式. 2. 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式证明.

综合脉络
三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点. 提高三 角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能. 常 用的数学思想方法技巧如下: 1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之 间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题 获解.对角的变形如下:

30? ? ? , ? ? (? ? ?) ? ? ? ( ? ?) ? (? ? ) , 2 2 2 ? ? ? ? ? 2? ? (? ? ?) ? (? ? ?) ? ( ? ?) ? ( ? ?) , ? ? ? ? ( ? ?) 4 4 4 2 4 ? ? ? ? 与 ? ? 为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高. 特别地, 4 4 15? ? 45? ? 30? ? 60? ? 45? ?
2. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是 基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名. 3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常 数“1”的代换变形有: 1 ? sin ? ? cos ? ? sec ? ? tan ? ? csc ? ? cot ? . 4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的
2 2 2 2 2 2

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? , cos 2 ? ? , sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 等, 2 2 三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式 1 ? cos? 常用升幂化为有理式, 升幂公式与降幂
方法. 常用降幂公式有: sin ? ?
2

公式是相对而言的. 5. 公式变形式: 三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用, 逆用以及变形式 的应用. 如: cos ? ? (一) 典型例题讲解: 例 1. (1)当 0 ? x ? A. 2

sin 2? , tan ? ? tan ? ? tan( ? ? ?)(1 ? tan ? ? tan ?) 等. 2 sin ?
( )

1 ? cos2x ? 8 sin 2 x ? 时,函数 f ( x ) ? 的最小值为 2 sin 2x B. 2 3 C. 4

D. 4 3

(2) 已知 tan

? ? 3, 则 cos ? ? 2

.

例 2. 已知 tan

? ? ? 2 , 求: (1) tan( ? ? ) 的值; 2 4

(2)

6 sin ? ? cos ? 的值. 3 sin ? ? 2 cos ?

例 3. 已知 A、B、C 的坐标分别为 A (3, 0) , B (0, 3) , C (cos?, sin ?) , ? ? ( , (1) 若 | AC | ? | BC | , 求角 ? 的值; (2) 若 AC ? BC ? ?1 , 求

? 2

3? ). 2

2 sin 2 ? ? sin 2? 的值. 1 ? tan?

例 4. 已知 ?

? 1 ? x ? 0, sin x ? cos x ? . (1) 求 sin x ? cos x 的值; 2 5 x x x x 3 sin 2 ? 2 sin cos ? cos2 2 2 2 2 的值. (2) 求 tan x ? cot x

(二) 专题测试与练习: 一. 选择题 1. tan15? ? cot15? ? A. 2 B. 2 ? 3 C. 4 ( ) D. ? 2 3 ( C. )

2. 若 f (tanx) ? sin 2x, 则 f ( ?1) 的值为 A. ? sin 2 B. ? 1

1 2

D. 1

3. 已知 tan( ? ? ?) ? A.

1 5

2 ? 3 ? , tan( ? ? ) ? , 那么 tan( ? ? ) ? 5 4 22 4 13 1 B. C. 18 4

( D. (

)

13 22
)

4. 若 ?,? 均是锐角,且 sin 2 ? ? cos(? ? ?) , ? 与 ? 的关系是 A. ? ? ? B. ? ? ? C. ? ? ?

D. ? ? ? ?

? 2

5. 化简:

1 ? 2sin 10 cos 10
2

cos( ?10 ) ? 1 ? cos 170 A. 0 B. ? 1

=

. C. ? 1 D. 1

6. 已知 sin(? ? A.

17 32

? 3? ? 7 2 , 求 tan( 2? ? )? ,且 ? ? ? 2 4 4 10 31 B. 17

? ) 的值. 4 31 C. ? 17

D. ?

17 31

二. 填空题 7. 若 sin(

? 1 2? ? ?) ? , 则 cos( ? 2? ) ? 6 3 3

.

8. 设 ? 为第四象限的角, 若

sin 3? 13 ? , 则 tan 2? ? ___________. sin ? 5
.

9. 已知 ? 、 ? 均为锐角, 且 cos(? ? ?) ? sin(? ? ?), 则 tan ? ? 10. 若 cos ? ? 三. 解答题 11. 已知 ? 为第二象限的角, sin ? ?

? ? 1 , ? ? (0, ) , 则 cos( ? ? ) ? ________ 2 3 7

__.

3 5 2? ? ?) 的值. , ? 为第一象限的角, cos ? ? , 求 tan( 5 13

12. 化简: .

2 cos2 ? ? 1 . ? 2 ? 2 tan( ? ?) ? sin ( ? ?) 4 4

13. 已知向量 m ? (cos?, sin ?) , 和 n ? ( 2 ? sin ?, cos?), ? ? (? , 2?), 且| m ? n | ?

? ? 8 2 . 求 cos( ? ) 的值. 2 8 5

三角函数的化简与求值解答
(一) 典型例题 例 1. 解:1. (1) D ; (2) -

? ? 2 ? 2? 2 ? ? 4 ; 例 2. 解:(1) ∵ tan ? 2 , ∴ tan? ? ? 1? 4 2 3 1 ? tan2 2 4 ? ? ?1 tan? ? tan ? tan ? ? 1 1 4 ? 所以 tan( ?? )? ? 3 ? . ? 1 ? tan? 4 4 7 1 ? tan? tan 1? 2 3 4 6(? ) ? 1 4 6 sin ? ? cos? 6 tan? ? 1 7 3 (2) 由(1) tan ? ? ? , 所以 ? ? ? 4 3 3 sin ? ? 2 cos? 3 tan? ? 2 6 3(? ) ? 2 3 2 tan
例 3. 解:(1)∵ | AC | ? | BC | , ∴点 C 在 y ? x 上, 则 sin ? ? cos ? .

4 . 5

? 3? 5? ? ? ? ( , ), ? ? ? . 2 2 4
(2) AC ? (cos? ? 3, sin ?), BC ? (cos?, sin ? ? 3),

? cos?(cos? ? 3) ? sin ?(sin ? ? 3) ? ?1, 则 sin ? ? cos ? ?
原式= 2 sin ? cos ? ? ? .

2 3

5 9

1 1 24 ? 2 sin x cos x ? ?1 ? ? , 5 25 25 24 49 ? (sin x ? cos x ) 2 ? 1 ? ? ,又? ? ? x ? 0 ? sin x ? cos x ? 0 , 25 25 2 7 ? sin x ? cos x ? ? . 5 x 2 sin 2 ? 1 ? sin x 9 12 108 2 (2) 原式 ? . ? [2 ? (cosx ? sin x )]sin x cos x ? ? (? ) ? ? 1 5 25 125 sin x cos x
例 4. 解:(1) sin x ? cos x ? (二) 专题测试与练习 一. 选择题 题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 A 5 D 6 C

二. 填空题 7.

?

7 9

;

8.

?

3 4

;

9.

1

;

10.

?

11 . 14

三. 解答题 11. 解: ? 是第二象限角, sin ? ?

3 4 3 24 ? cos ? ? ? ? tan ? ? ? ? tan 2? ? ? , 5 5 4 7 5 12 204 ? tan( 2? ? ?) ? ? 是第一象限角, cos ? ? ? tan ? ? 13 5 253

12. 解:原式=

cos2? cos2? cos2? ? ? ?1 ? ? ? ? ? cos2? 2 tan( ? ?) sin 2 [ ? ( ? ?)] 2 sin( ? ?) cos( ? ?) 4 2 4 4 4
cos? ? sin ?)

13. 解法一:

m ? n ? (cos? ? sin ? ? 2,

m ? n ? (cos? ? sin ? ? 2 ) 2 ? (cos? ? sin ?) 2 ? 4 ? 2 2 (cos ? ? sin ?)

? ? ? 4 ? 4 cos(? ? ) ? 2 1 ? cos(? ? ) 4 4 ? 7 8 2 由已知 | m ? n | ? ,得 cos( ? ? ) ? 4 25 5 ? ? ? 2 又 cos( ? ? ) ? 2 cos ( ? ) ? 1 4 2 8 ? ? 16 2 所以 cos ( ? ) ? 2 8 25 5? ? ? 9? ? ? ? ? ? ? ? 2?,? ? ? ? ? cos( ? ) ? 0 8 2 8 8 2 8
解法二:

? ? 4 ?c o s ( ? ) ? ? 2 8 5
2

m ? n ? (m ? n) 2 ? m 2 ? 2m ? n ? n 2 ? m

2

? n

? 2m ? n

? ( cos 2 ? ? sin 2 ? ) 2 ? ( ( 2 ? sin 2 ?) 2 ? cos 2 ? ) 2 ? 2[cos ?( 2 ? sin ?) ? sin ? cos ?] ? ? ? ? 4 ? 2 2 (cos ? ? sin ?) ? 4[1 ? cos( ? ? )] ? 8 cos 2 ( ? ) 4 2 8 ? ? 4 8 2 由已知 | m ? n | ? ,得 | cos( ? ) | ? 2 8 5 5 5? ? ? 9? ? ? ? ? ? ? ? 2?,? ? ? ? ? cos( ? ) ? 0 8 2 8 8 2 8 ? ? 4 ? cos( ? ) ? ? 2 8 5


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