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高三数学试题贵州省湄潭中学2013届高三第二次月考 文科试题


2012—2013 学年湄潭中学高三第二次月考文科数学试题
(总分 150 分 时间 120 分钟)

出题人:黄棋 审题人:高三命题小组 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共
12 小题,每小题 5 分,共 60 分) (1) 集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x ? 4} ,则 M
2

?N ?(

) (D) [1, 2]

(A) (1, 2)

(B) [1, 2)
5 ? 3i

(C) (1, 2]

(2)i 是虚数单位,复数 (A)1-i
?

4?i

=(

) (C)1+i (D)-1-i )

(B)-1+i
?

(3)设向量 a =(1, cos ? )与 b =(-1, 2 cos ? )垂直,则 cos 2? 等于 ( (A)

2 2

(B)

1 2

(C)0 )

(D)-1

(4)下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分而不必要的条件是( (A) a ? b ? 1 (B) a ? b ? 1 (C) a 2 ? b 2 (D) a 3 ? b3

(5)设 f ( x) 是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时, f ( x) = 2 x(1 ? x) ,则 f (? ) =( (A) -

5 2



1 2
2

(B) ?

1 4

(C)

1 4

(D)

1 2

2

(6)命题“若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是( A.若 x ? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1
2

B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x ? 1 D.若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x ? 1
2

C.若 x ? 1或 x ? ?1 ,则 x ? 1
2

(7)设向量 a , b 满足| a |=| b |=1,且 a , b 的夹角为 120o , 则 a ? 2b ? ( (A) 2 (B) 3 ) (C) 5 (D) 7

? ?

?

?

? ?

(8)某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的 k 的值是 ( (A) 4 (C) 6 (B) 5 (D) 7 )

(9)已知 a ? 21.2 , b ? ? ? (A)c<b<a

?1? ?2?

0. 2

, c ? 2 log5 2 ,则 a,b,c 的大小关系为( C)b<a<c (D)b<c<a



(B)c<a<b

?x ? y ? 6 ? (10)若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? -2 ,则 z =2 x ? 3 y 的最小值为( ?x ? 1 ?
(A)17 (B)14
2 2



(C)5

(D)3 )

(11) 已知圆 C : x ? y ? 4 x ? 0 , l 过点 P(3,0) 的直线,则(

(A) l 与 C 相切(B) l 与 C 相交 (C) l 与 C 相离 (D) 以上三个选项均有可能 (12)已知偶函数 f ( x) 在区间 ? 0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 ( (A) ( )

1 3

1 2 , ) 3 3

(B) [

1 2 , ) 3 3

(C)(

1 2 , ) 2 3

(D) [

1 2 , ) 2 3
.

二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分). (13)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a6 ? s3 ? 12 ,则数列的通项公式 an ?

(14)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成角的余 弦值为 . (15) 已知双曲线 C1 :

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与双曲线 C 2 : ? ? 1 有相同的渐近线, 4 16 a2 b

且 C1 的右焦点为 F ( 5, 0) ,则 a ?

b?

(16)设 m, n ? R ,若直线 l : mx ? ny ? 1 ? 0 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于 B,且 l 与圆

x 2 ? y 2 ? 4 相交所得弦的长为 2,O 为坐标原点,则 ?AOB 面积的最小值为



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 70 分) (17)(本小题满分 l0 分) 等比数列{ an }的前 n 项和为 S n ,已知 S1 , S 3 , S 2 成等差数列, 求{ an }的公比 q.

(18)( (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

(19) (本小题 12 分) ( ? )当 a =

设 f ( x) ?

ex 1 ? ax 2

,a 为正实数

4 时,求 f(x)的极值点; 3

(Ⅱ)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围

(20)本小题 (12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PD ? 底面ABCD ,点 E 在棱 PB 上. (Ⅰ)求证:平面 AEC ? 平面PDB ; (Ⅱ)当 PD ?

2 AB 且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与

平面 PDB 所成的角的大小.

(21)设函数 f (x) =x+ax2+blnx,曲线 y= f (x) 过 P(1,0) ,且在 P 点处的切斜线率为 2. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)证明: f (x) ≤2x-2.

(22) (本小题 12 分)

x2 已知椭圆 C1 : ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率。 4
(1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2 OA ,求直线 AB 的方程
? ?

2012—2013 学年湄潭中学第二次月考 文科数学试题答题卡


一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. . 14. . 15. a ? . 16. . b? 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 70 分) (17)(本小题共 l0 分) 等比数列{ an }的前 n 项和为 S n ,已知 S1 , S 3 , S 2 成等差数列, 求{ an }的公比 q. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

(18)( (本小题共 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

(19)本小题 (12 分)设 f ( x) ? ( ? )当 a =

ex 1 ? ax 2

,a 为正实数

4 时,求 f(x)的极值点; 3

(Ⅱ)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围

(20)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PD ? 底面ABCD ,点 E 在棱 PB 上. (Ⅰ)求证:平面 AEC ? 平面PDB ; (Ⅱ)当 PD ?

2 AB 且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与

平面 PDB 所成的角的大小.

(21)设函数 f (x) =x+ax2+blnx,曲线 y= f (x) 过 P(1,0) ,且在 P 点处的切斜线率为 2. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)证明: f (x) ≤2x-2.

(22) 已知椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率。 4

(1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2 OA ,求直线 AB 的方程
? ?

2012—2013 学年湄潭中学第二次月考 文科数学试题答题卡
一、选择题 题号 答案 1 C 2 C 3 C 4 A 5 A 6 D 7 B 8 A 9 A 10 A 11 B 12 A

二、填空题 13. 2n

.

14.

2/3

.

15. a ?

1

b?

2.

16.

3

.

(17)(本小题满分 l0 分) 等比数列{ an }的前 n 项和为 S n ,已知 S1 , S 3 , S 2 成等差数列, 求{ an }的公比 q. 解 依题意有

a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q 2 )

由于 a1 ? 0 ,故

2q 2 ? q ? 0
又 q ? 0 ,从而 q ? -

1 2

(18)( (本小题共 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

解(Ⅰ)∵ f ? x ? ? 2sin ?? ? x ? cos x ? 2sin x cos x ? sin 2 x , ∴函数 f ( x) 的最小正周期为 ? . (Ⅱ)由 ?

?
6

?x?

?
2

??

?
3

? 2 x ? ? ,∴ ?

3 ? sin 2 x ? 1 , 2

∴ f ( x) 在区间 ? ?

3 ? ? ?? , ? 上的最大值为 1,最小值为 ? . 2 ? 6 2?

(19)本小题 (12 分) ( ? )当 a =

设 f ( x) ?

ex 1 ? ax 2

,a 为正实数

4 时,求 f(x)的极值点; 3

(Ⅱ)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围

(20)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PD ? 底面ABCD ,点 E 在棱 PB 上. (Ⅰ)求证:平面 AEC ? 平面PDB ; (Ⅱ)当 PD ?

2 AB 且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与

平面 PDB 所成的角的大小. 【解法 1】 (Ⅰ)∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD, ∵ PD ? 底面ABCD , ∴PD⊥AC,∴AC⊥平面 PDB, ∴平面 AEC ? 平面PDB . (Ⅱ)设 AC∩BD=O,连接 OE, 由(Ⅰ)知 AC⊥平面 PDB 于 O, ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角, ∴O,E 分别为 DB、PB 的中点, ∴OE//PD, OE ?

1 PD ,又∵ PD ? 底面ABCD , 2
1 2 PD ? AB ? AO , 2 2
?

∴OE⊥底面 ABCD,OE⊥AO, 在 Rt△ AOE 中, OE ?
?

∴ ?AOE ? 45 ,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 .

(21)设函数 f (x) =x+ax2+blnx,曲线 y= f (x) 过 P(1,0) ,且在 P 点处的切斜线率为 2. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)证明: f (x) ≤2x-2. 解: (I) f ?( x) ? 1 ? 2ax ? 由已知条件得 ?

b . x

…………2 分

? f (1) ? 0, ?1 ? a ? 0, 即? ? f ?(1) ? 2. ?1 ? 2a ? b ? 2.
………………5 分
2

解得 a ? ?1, b ? 3.

(II) f ( x)的定义域为(0, ??) ,由(I)知 f ( x) ? x ? x ? 3ln x. 设 g ( x) ? f ( x) ? (2 x ? 2) ? 2 ? x ? x ? 3ln x, 则
2

g ?( x) ? 1 ? ?2 x ?

3 ( x ? 1)(2 x ? 3) ?? . x x

当0 ? x ? 1时, g ?( x) ? 0;当x ? 1时, g ?( x) ? 0. 所以g ( x)在(0,1)单调增加, 在(1, ??)单调减少.
而 g (1) ? 0, 故当x ? 0时, g ( x) ? 0,即f ( x) ? 2 x ? 2. ………………12 分

(22) (本小题 12 分) 已知椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率。 4

(1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2 OA ,求直线 AB 的方程
? ?

解:( )依题意设椭圆方程为 1

x2 y2 3 ? ? 1(a ? 2),? e ? , 2 a 4 2

4 3 x2 y 2 2 ? 1? 2 ? ,? a ? 16,? 椭圆方程为 ? ? 1. a 2 16 4 ??? ? ??? ? (2)设(x1 , y1 ), B x2 , y2 ),? OB ? 2OA,? O, A, B三点共线且不在y轴上, A (
x2 x2 y 2 ? y 2 ? 1和 ? ? 1得: 4 16 4 ??? ? ??? ? 4 16 16 16 x1 ? , x2 ? ,? OB ? 2OA,? x 22 ? 4 x12 ,? ? , 2 2 2 1 ? 4k 4?k 4?k 1 ? 4k 2 ? k ? ?1, 所求直线为:y ? x或y ? ? x. ? 设直线AB方程为y ? kx, 并分别代入


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