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高中数学学考专题训练2:基本初等函数Ⅰ

专题训练2 基本初等函数Ⅰ

基础过关 1.若 a>0,且 m,n 为整数,则下列各式中正确的是( D ) m A. am÷an=a n
m n + C. (a ) =am n

B. am·an=am

·n

D. 1÷ an=a0

-n

2. 对于 a>0,a≠1,下列说法中,正确的是( D ) ①若 M=N,则 logaM=logaN;②若 logaM=logaN,则 M=N;③若 logaM2 =logaN2,则 M=N;④若 M=N 则 logaM2=logaN2. A. ①②③④ B. ①③ C. ②④ D. ②

3. 函数 y=2+log2x(x≥1)的值域为( C )
? A. ? ?2,+∞? ? C. ? ?2,+∞? ? B. ? ?-∞,2? ? D. ? ?3,+∞?

4. 设函数 A. 2

?1 ? ? f(x)=logax(a>0,a≠1)的图象过点?8,-3? ?,则 ? ?

a 的值为( A )

B. -2

1 C. - 2

D.

1 2

5. 下列函数中,在(-∞,0)上为减函数的是( B ) 1 A. y=x 3 B. y=x2 C. y=x3 D. y=x
-2

6. 三个数 0.76,60.7,log0.76 的大小关系为( D ) A. 0.76<log0.76<60.7 C. log0.76<60.7<0.76


B. 0.76<60.7<log0.76 D. log0.76<0.76<60.7

7. 函数 y=ax 2+1(a>0,a≠1)的图象必经过点( D ) A. (0,1) B. (1,1) C. (2,0) D. (2,2)

8. 若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0, 且 a≠1)的反函数, 且 f(2)=1, 则 f(x) =( A ) A. log2x B. 1 2x 1 C. log x 2 D. 2x
-2

提示:函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数是 f(x)=logax,又 f(2)=1,即 loga2 =1,所以 a=2.

9. 已知幂函数 y=(m2-m-1)xm2-2m-3,当 x∈(0,+∞)时为减函数, 则 m 的值为( A ) A. m=2 C. m=-1 或 m=2 B. m=-1 1± 5 D. m≠ 2

提示:根据幂函数的定义可得,m2-m-1=1,又因为当 x∈(0,+∞)时幂函 数为减函数,知 m2-2m-3<0,得到 m=2.此时幂函数解析式为 y=x 3.


10. 已知 lg2=a,lg3=b,则 log36=( B ) A. a+b a B. a+b b C. a a+b D. b a+b

lg6 lg(2×3) lg2+lg3 a+b 提示:由换底公式得 log36= = = = . lg3 lg3 lg3 b

11. 函数

? 2 ? ? y=lg?1-x-1? ?的图象关于( ? ?

C )

A. y 轴对称 C. 原点对称
提示:y=lg(

B. x 轴对称 D. 直线 y=x 对称
1+x 2 -1)=lg ,所以为奇函数. 1-x 1-x

12. 由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低.若每隔 5 年计算 1 机的价格降低 ,则现在价格为 8100 元的计算机经________年后降为 2400 元 3 ( B ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
? 1? ? ?x 1 - 8100· =2400,得 ? 3? ? ?

提示:经 x 个 5 年后价格为

x=3.

13. 函数 f(x)=(a2-1)x 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是( D ) A. |a|>1 B. |a|<2 C. a< 2 D. 1<|a|< 2

14. 若函数 f(x)=logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的 3 倍, 则 a 的值为( A ) A. 2 4 B. 2 2 C. 1 4 D. 1 2

15. 已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(其中 a>b)的图象如右图 所示,则函数 g(x)=ax+b 的图象是( A )

(第15题)

提示:先由 f(x)图象中判断出 b<-1,0<a<1,再由指数函数 y=ax 的图象向下 平移|b|个单位得到 g(x)的图象.

16. 已知函数 f(x)为幂函数,并且过(2, 2)点,则 f(x)=________. 17. 函数 f(x)=

(1,2] log1(x-1)的定义域是________. 2

x-1>0, ? ? 提示:不要漏掉真数大于零这个条件,?log1(x-1)≥0,解得 1<x≤2. ? ? 2 16 1 x 18. 设 0≤x≤2,则函数 f(x)=4x- -3· 2 +5 的最大值是________ . 15 2
12 1? 1 5 ? ?2 提示:令 t=2x? ?1≤t≤4?,则 y= t -3t+5= ?t-3? + ,当 t=1 时,ymax= . 2 2 2 2

19. 计算:
1 ? 3?0 ? 1?- -2 ? ? ? 2 0.5 (1)? ?25? +2 ×?24? -(0.01) ; ? ? ? ?

1 2 1 16 原式=1+ × - = . 4 3 10 15

(2)(lg2)2+lg5·lg20-1.
? ? ?2 原式=(lg2) +lg5·? ?2lg2+lg5?-1=?lg2+lg5? -1=1-1=0.
2

1+x 20. 已知函数 f(x)=loga (a>0,且 a≠1). 1-x (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性; (3)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围.
解析 1+x (1)由 >0,得-1<x<1,故函数 f(x)的定义域为(-1,1). 1-x

1-x 1+x (2)∵f(-x)=loga =-loga =-f(x), 又由(1)知函数 f(x)的定义域关 1+x 1-x 1+x 于原点对称,∴函数 f(x)是奇函数. (3)当 a>1 时,由 loga >0=loga1, 1-x 1+x 1 +x 1+x 得 >1,解得 0<x<1;当 0<a<1 时,由 loga >0=loga1,得 0< 1-x 1 -x 1-x <1,解得-1<x<0.故当 a>1 时,x 的取值范围是{x|0<x<1};当 0<a<1 时,x 的取值范围是{x|-1<x<0}.

21. 已知函数 A. (-∞, 0]

?3x+1 ? f(x)=? ? ?log2x

x≤0 ,若 f(x0)≥1,则 x0 的取值范围是( B ) x>0 B. (-∞, 0]∪[2,+∞) D. R

C. {0}∪[2,+∞)

?x0≤0, ?x0>0, 解析:? 或? ∴x0≤0 或 x0≥2. 3 x + 1 ≥ 1 , log x ≥ 1 , ? 0 ? 2 0

22. ( B ) A. C.

?1?x2-4x + ? 不等式? >22ax a 对一切实数 ?2? ? ?

x 都成立,则实数 a 的取值范围是

(1,4) (-∞,-4)∪(-1,+∞)


B. D.

(-4,-1) (-∞,1)∪(4,+∞)

? 解析:2x2-4x>22ax a,即 x2-? ?4+2a? x-a>0 对一切实数 x 都成立,令Δ = ? ?4+2a??2 ? ? ?? -4?-a?<0,解得-4<a<-1. ?-?

1 23. 已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在[0,+∞]上是增函数,且 f( )=0,则 2 ? ? ? 1 ? ?x|0<x< 或x>2? 不等式 f(log4x)>0 的解集是____________________ . ? ? 2 ? ?

1 1 解析:因为 f(x)是偶函数,所以 f(- )=f( )=0.又 f(x)在[0,+∞)上是增函数, 2 2 1 1 所以 f(x)在(-∞,0)上是减函数.所以 f(log4x)>0 即为 log4x> 或 log4x<- , 2 2 1 解得 x>2 或 0<x< . 2

? 1? ? 2 1 24. 已知 f(x)=log (x -ax-a)在?-∞,-2? 则实数 a 的取值 ?上是增函数, ? ? 2 ? ? ? ? 1? ? ?a?-1≤a≤ ? 范围是__________________ . ? 2? ? ? ?
? 1? ? 解析:?-∞,-2? ?是函数 ? ? ? 1? ? f(x)的递增区间,说明?-∞,-2? ?是函数 ? ?

u=x2-ax

-a 的递减区间,由于是对数函数,还需保证真数大于 0.令 u(x)=x2-ax-
? ? 1? 1? ? ? ? 1 a.∵f(x)=log u(x)在?-∞,-2?上是增函数,∴u(x)在?-∞,-2? ?上是减函数, ? ? ? ? 2

且 u(x) > 0 1 1≤a≤ . 2

a 1 ? a≥-1, ? ≥- , ? ? ? ? 2 2 1 ? 在? 即 ?1 a ∴- ?-∞,-2? 上恒成立.∴ ? ? ? ? ? 1 + - a ≥ 0 , ? ? ? - ?4 2 ? u ≥ 0 , ? ? ? ? 2?

1-2x 25. 已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求实数 k 的取 值范围.
解析 (1)∵f(x)为定义域 R 上的奇函数,∴f(0)=0,∴a=2. (2)∵f(t2-

2t)+f(2t2-k)<0 ,∴f(t2-2t)<-f(2t2-k).∵f(x)为奇函数,∴f(t2-2t)<f(-2t2 1-2x -(2x+1)+2 1 1 +k).由(1)得 f(x)= x+1 = =- + x ,f(x)在定义域内为 x 2 2 +1 2 +2 2(2 +1) 单调递减函数. ∴ t2-2t>-2t2+k, 即 3t2-2t-k>0 恒成立, ∴k<3t2-2t 对 t∈R 1 1 恒成立,其中 g(t)=3t -2t 在 t∈R 上的最小值为- ,∴ k<- . 3 3
2