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100测评网高三数学复习淮安市2008—2009学年度高三年级第四次调研考试


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淮安市 2008—2009 学年度高三年级第四次调研考试

数 学 试 题
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

2009.5

1.本试卷所有考生全做,分填空题和解答题两部分,共 160 分,考试用时 120 分钟. 2.答题前,考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡的密封线内.答题时,务请将答案 写在答题卡上对应题目的空格内,答案写在试卷上无效 .本卷考试结束后,上交答题卡. ......... 3.答题一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔. 4.作图题可使用 2B 铅笔,不需要用签字笔描摹. 5.文字书写题统一使用 0.5 毫米及 0.5 毫米以上签字笔.lfx

必做题部分
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 已知 U 为实数集,集合 M ? {x | 0 ? x ? 2}, N ? {x | y ? x ? 1} ,则 M
(CU N ) = ___▲_ .

?1, x ? 0 ? 2. 已知符号函数 sgn x ? ?0, x ? 0 ,则不等式 ( x ? 1) sgn x ? 2 的解集是 ▲ . ?? 1, x ? 0 ?
3.若复数 z ? (a2 ? 3) ? (a ? 3)i, a ? R 为纯虚数,则 4.执行如图所示的算法程序,输出的结果是

a ? i3 = 6+z
.

▲ .

5.若正三棱锥的主视图与俯视图如下(单位 cm),则左视图的面积为___▲___ cm 2 . a←1 b←3 While a<8 a ← a+b b ← a-b End while Print b End 第4题 6. 设双曲线 x2 ? y 2 ? 1 的两条渐近线与直线 x ?

主视图

3
第5题

1

俯视图

2 围成的三角形区域(包含边界)为 D, 2

点 P( x, y) 为 D 内的一个动点,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值为





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2 2

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7.若向圆 x ? y ? 4 所围成的区域内随机地丢一粒豆子,则豆子落在直线 x ? y ? 2 ? 0 上 方的概率是 ▲ .

8. 某同学在求方程 lg x ? 2 ? x 的近似解(精确到 0.1)时,设 f ? x ? ? lg x ? x ? 2 ,发现
f ?1? ? 0 ,

f ? 2? ? 0 ,他用“二分法”又取了 4 个值,通过计算得到方程的近似解为 x ? 1.8 ,那么他所

取的 4 个值中的第二个值为____▲___. 9.已知两个非零向量 a与b ,定义 a ? b ?| a || b | sin ? ,其中 ? 为 a与b 的夹角.若

a ? b ? (?3,6) , a ? b ? (?3,2) ,则 a ? b ? ___▲___.
2 2 10. 若 关 于 x 的 不 等 式 x ? 9 ? x ? 3 x ? kx 在 [1,5] 上 恒 成 立 , 则 实 数 k 的 范 围 为





11.已知锐角三角形 ABC 中,边长 a , b 满足 a ? b ? 2 3, ab ? 2 ,且 2sin( A ? B ) ?3 ? 0 ,则 另一边长 c = ▲ .

12.已知 f1 ( x) ? sin x ? cos x ,记
' f 2 ( x) ? f1' ( x) , f3 ( x) ? f 2' ( x) ,?, f n ( x) ? f n?1 ( x) (n ? N *, n ? 2) ,

则 f1 ( ) ? f 2 ( ) ? 4 4

?

?

? f 2009 ( ) ? ____▲____. 4

?

13. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若存在正整数 m, n ? m ? n ? , 使得 Sm ? Sn , 则 Sm? n ? 0 . 类比上述结论,设正项等比数列 ?bn ? 的前 n 项积为 Tn ,若存在正整数 m, n ? m ? n ? ,使得
Tm ? Tn ,则 Tm? n ? ▲.
? a x ?5 ? x ? 6? ? 14. 已知函数 f ? x ? ? ? , 数列 ?an ? 满足 an ? f ?n? n ? N ? ,且数列 ?an ? a (4 ? ) x ? 4 x ? 6 ? ? ? ? 2

?

?

是单调递增数列,则实数 a 的取值范围是____▲___. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知锐角 ABC 中内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 c ? 6 ,向量 s ? 2sin C , ? 3 ,

?

?

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C ? ? t ? ? cos 2C , 2cos 2 ? 1? ,且 s ∥ t . 2 ? ?

(1)求 C 的大小;

1 ?? ? (2)若 sin A ? ,求 sin ? ? B ? 的值. 3 ?3 ?

16.(本小题满分 14 分) 如 图 , 在 三 棱 柱 B C E? A D F 中,四边形

F

E

ABCD 是正方形, DF ? 平面ABCD , M , N 分
别是 AB, AC 的中点, G 是 DF 上的一点. (1)求证: GN ? AC ; (2)若 FG ? GD ,求证: GA // 平面FMC . 17.(本小题满分 14 分) A

G D N M B C

从某学校高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高,测量发现被测学生身高全 部介于 155cm 和 195cm 之间,将测量结果按如下方式分 成八组:第一组 ?155,160? 、第二组 ?160,165? ;?第 八组 ?190,195? ,右图是按上述分组方法得到的频率分 布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第 六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列. (1)估计这所学校高三年级全体男生身高 180cm 以上 (含 180cm)的人数; (2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图; (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为

x、 y ,求满足 x ? y ? 5 的事件概率.
18.(本小题满分 16 分) 已 知 过 点 A(?1, 0) 的 动 直 线 l 与 圆 C : y

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 相交于 P 、Q 两点, M 是 PQ 中



l M Q · x m l

· A N

P O

第 17 题

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点, l 与直线 m : x ? 3 y ? 6 ? 0 相交于 N . (1)求证:当 l 与 m 垂直时, l 必过圆心 C ; (2)当 PQ ? 2 3 时,求直线 l 的方程; (3)探索 AM ? AN 是否与直线 l 的倾斜角有关,若无关,请求出其值;若有关,请说 明理由.

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? x ? 1 , x ? ?0, ? ?? . (1)求 f ? x ? 的单调区间和极值; (2)设 a ≥1,函数 g ? x ? ? x2 ? 3ax ? 2a2 ? 5 ,若对于任意 x0 ? ? 0, 1? ,总存在 x1 ? ? 0, 1? ,使 得 f ?x1 ? ? g ?x0 ? 成立,求 a 的取值范围; (3)对任意 x ? ?0, ? ?? ,求证:

1 x ?1 1 ? ln ? . x ?1 x x

20.(本小题满分 16 分) 已知:数列﹛ an ﹜,﹛ bn ﹜中, a1 =0, b1 =1,且当 n ? N ? 时, an , bn , a n ?1 成等差 数列, bn , a n ?1 , bn ?1 成等比数列. (1)求数列﹛ an ﹜,﹛ bn ﹜的通项公式;

(2? ? 3) ( 2 )求最小自然数 k ,使得当 n ≥ k 时,对任意实数 ? ? ?0, 1? ,不等式 bn ≥ (2? ? 4) (? ? 3) 恒成立; an ?
(3) 设 dn ?
1 ? 1 ? ? ? ?? 1 bn

b1

b2

d d d ? 2 (n∈N ) , 求证: 当 n ≥2 都有 dn >2 . ( 2 ? 3 ? ??? ? n ) 2 3 n

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(请各位老师不要将试卷上网)

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数学附加试题
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷选修物理的考生做,分选做题和必做题两部分,共 40 分,考试用时 30 分钟. 2.答题前,考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡的密封线内.答题时,务请将答案 写在答题卡上对应题目的空格内,答案写在试卷上无效 .本卷考试结束后,上交答题卡. ......... 3.答题一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔. 4.作图题可使用 2B 铅笔,不需要用签字笔描摹. 5.文字书写题统一使用 0.5 毫米及 0.5 毫米以上签字笔. 21.选做题:本大题共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题,如果多做,则按所做的前 两题记分.每 小题 10 分,共 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1:几何证明选讲 已知 C 点在圆 O 直径 BE 的延长线上,CA 切圆 O 于 A 点, ?ACB 的平分线分别交 AE 、

AB 于点 F 、 D .
(1)求 ? ADF 的度数;
D B

A F O E

AC (2)若 AB ? AC ,求 的值. BC
B.选修 4—2:矩阵与变换 曲线 x ? 4 xy ? 2 y ? 1 在二阶矩阵 M ? ?
2 2

C

?1 a ? 2 2 ? 的作用下变换为曲线 x ? 2 y ? 1, b 1 ? ?

(1)求实数 a , b 的值;(2)求 M 的逆矩阵 M ?1 .

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C.选修 4—4:坐标系与参数方程
? x ? 1 ? cos ? 在 曲 线 C1 : ? (? 为参数), 在 曲 线 C1 求 一 点 , 使 它 到 直 线 C 2 : ? y ? sin ?

1 ? x ? ?2 2 ? t ? ? 2 的距离最小,并求出该点坐标和最小距离. (t为参数) ? 1 ?y ?1? t ? ? 2

D.选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?

x ?1 ? x ? 2 ? a .

(1)当 a ? ?5 时,求函数 f ( x ) 的定义域; (2)若函数 f ( x ) 的定义域为 R ,试求 a 的取值范围. [必做题] 共两小题,每小题 10 分,共 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时写出文 字说明,证明过程或演算步骤. 22. 如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都为 2, D 为 CC1 中点,试用空间向量 知识解下列问题: (1)求证: AB1 ? 平面 A 1BD ; (2)求二面角 A ? A1D ? B 的余弦值大小. B C D B1 C1 A A1

23. 甲乙两个奥运会主办城市之间有 7 条网线并联,这 7 条网线能通过的信息量分别为 l, 1,2,2,2,3,3,现从中任选三条网线,设可通过的信息总量为 X,若可通过的信息量 X ≥6,则可保证信息通畅. (1)求线路信息通畅的概率; (2)求线路可通过的信息量 X 的分布列; (3)求线路可通过的信息量 X 的数学期望.

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数学试题参考答案与评分标准
必做题部分
一、填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分. 1 . {x | 0 ? x ? 1} 2. {x x ? ?3或x ? 1 } 3.

3 6

4. 5

5.

3 4

6. -

2 2

7.

1 1 ? 4 2?
8. 1.75 9.6 10.

? ??,6?
1 )

11. 6

12. 2

13.1

14.

? 4,8?
, ∴

二、 解答题:本大题共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤. 15 . ( ∵

s



t

2 sin C (2 cos 2

tan 2C ? ? 3

C ? 1) ? ? 3 cos 2C 2

??????????????2 分 , 即

sin 2C ? ? 3 cos 2C

???????????????????????4 分 为 锐 角 , ∴
2C ? ? 0, ? ?



?C
?
3

,



2C ?

2? 3

,



C?


???????????????6 分 2 ) ∵

C?

?
3

,



A?


2? ? B ????????????????????????????8 分 3

?? 2? ?? ?? ? ? ?? ? sin ? ? B ? ? sin ?? ? B ? ? ? ? sin ? A ? ? ??????????????????? 3? ?3 ? ? 3? ? ?? 3

?10 分 又

sin A ?

1 3

,



A











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cos A ?

2 2 ?????????????????????12 分 3



?? ? ? 1? 2 6 ?? ? ? sin ? ? B ? ? sin ? A ? ? ? sin A cos ? cos A sin ? 3? 3 3 6 ?3 ? ?
14 分 16. (1)连接 DN ,∵四边形 ABCD 是正方形,∴ DN ? AC ∵ DF ? 平面ABCD , AC ? 平面ABCD , ∴ DF ? AC ????????????????2 分 又 DN DF ? D ,∴ AC ? 平面DNF ??????4 分 ∵ GN ? 平面DNF ,∴ GN ? AC ???????6 分 (2)取 DC 中点 S ,连接 AS , GS , GA ???8 分 ∵ G 是 DF 的中点, ∴ GS

????????????

F

E

G D N S C

FC, AS CM
A M B

又 GS , AS ? 平面FMC, FM , CM ? 平面FMC ∴

GS 平面FMC, AS 平面FMC ??????????????????????? 10
分 而 ∵

AS

GS ? S

,







GSA
,

//



面 ∴

FMC ??????????????????????12 分
GA ? 平面GSA

GA 平面FMC ?????????????????????14 分
(注:亦可取 FC 中点 P ,通过证明 GA // MP 达到目的,相应给分) 17. (1)由频率分布直方图知,前五组频率为

(0.008 ? 0.016 ? 0.04 ? 0.04 ? 0.06) ? 5 ? 0.82 ,
后三组频率为 1 ? 0.82 ? 0.18 ,人数为 0.18 ? 50 ? 9 人?????????????????2 分 这所学校高三男生身高在 180cm 以上 (含 180cm) 的人数为 800 ? 0.18 ? 144 人?????? 4分 (2)由频率分布直方图得第八组频率为 0.008 ? 5 ? 0.04 ,人数为 0.04 ? 50 ? 2 人, 设第六组人数为 m ,则第七组人数为 9 ? 2 ? m ? 7 ? m ,又 m ? 2 ? 2 ? 7 ? m? ,所以 m ? 4 ,

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即第六组人数为 4 人,第七组人数为 3 人,频率分别为

0.08, 0.06 ,????????????6


0.012 ,见 频率除以组距分别等于 0.016,
图?8 分 (3)由(2)知身高在 ?180185 , ? 内的人 数为 4 人, 设为 a, b, c, d .身高在 ?190195 , ? 的人数为 2 人,设为 A, B . 若 x, y ??180,185? 时,有 ab, ac, ad , bc, bd , cd 共六种情况. 若 x, y ??190,195? 时,有 AB 共一种情况. 若 x, y 分别在 ?180,185? , ?190,195? 内时,有 aA, bA, cA, dA, aB, bB, cB, dB 共 8 种情况 所 以 基 本 事 件 的 总 数 为

6 ? 8 ? 1 ? 15

种 ?????????????????????12 分 事 件
x? y ?5

所 包 含 的 基 本 事 件 个 数 有 ????????14 分

6 ?1 ? 7

种 , 故

P( x ? y ? 5) ?

7 15

18.(1)∵ l 与 m 垂直,且 k m ? ?

1 ,∴ kl ? 3 , 3

y

故直线 l 方程为 y ? 3( x ? 1) ,即 3x ? y ? 3 ? 0 ???2 分 ∵圆心坐标(0,3)满足直线 l 方程, ∴当 l 与 m 垂直时, l 必过圆心 C ??????? ?4 分 (2)①当直线 l 与 x 轴垂直时, 易知 x ? ?1 符合题意?????????????6 分 ②当直线 l 与 x 轴不垂直时, 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 , ∵



l M Q · x m l ∴

P · A O N
第 17 题

PQ ? 2 3



CM ? 4 ? 3 ? 1 ,??????????????????????8 分
则由 CM ? 故 直

| ?k ? 3 | k 2 ?1
线

? 1 ,得 k ?
l

4 , ∴直线 l : 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 . 3
的 方 程 为

x ? ?1



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4 x ? 3 y ? 4 ? 0 ????????????????????10 分
( 3 ) ∵
CM ? MN

,



AM ? AN ? ( AC ? CM ) ? AN ? AC ? AN ? CM ? AN ? AC ? AN ?????12 分

5 5 ① 当 l 与 x 轴垂直时,易得 N (?1, ? ) ,则 AN ? (0, ? ) ,又 AC ? (1,3) , 3 3

AM ? AN ? AC ? AN ? ?5 ????????????????????????? 14

分 当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,

则由 ?

? y ? k ( x ? 1) ?3k ? 6 ? 5k ?5 ?5k , , ) ,得 N ( ),则 AN ? ( 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k ?x ? 3 y ? 6 ? 0
?5 ?15k ? ? ?5 1 ? 3k 1 ? 3k
与 直 线

∴ AM ? AN ? AC ? AN = 综 上 所 述 ,

AM ? AN

l















AM ? AN ? ?5 .???????????16 分
(本题若用其它解法,相应给分) 19. (1) ∵

1 1? x ???????????????????????2 分 ?1 ? x x ∴当 x >1时, f ?( x) <0,当0< x <1时, f ?( x) >0. f ?( x) ?
∴ f ( x) 的单调递增区间为 ? 0,1? , 单调递减区间为 ?1, ?? ? ,极大值为 f (1) ? 0 . 4分 (2) ∵ g ?( x) ? 2 x ? 3a ( a ≥1)∴当 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 2 x ? 3a ? 0 , g ( x) 单调递减, 此时 g ( x) 值域为
(2a2 ? 3a ? 4, 2a2 ? 5) .

????

?????????????????????6 分 ??????????????

由(1)得,当 x ? (0,1) 时, f ( x) 值域为 ? ??, ?1? , 8分 由题意可得: 2a 2 ? 5 ≤-1,所以1≤ a ≤ 2 . 10 分 (3)令

????????????????

x ?1 1 1 ,∵ x ? 0 ,∴ t ? 1 ,原不等式等价于 1 ? ? ln t ? t ? 1 ? t ,则 x ? x t ?1 t

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由(1)知 f ? t ? ? ln t ? t ? 1 在 ?1, ?? ? 上单调递减,∴ f ? t ? ? f ?1? ? 0 ,即 ln t ? t ? 1 ???? 12 分

1 1 1 t ?1 令 h ? t ? ? ln t ? 1 ? ,∵ h? ? t ? ? ? 2 ? 2 ,当 t ? ?1, ?? ? 时, h? ? t ? ? 0 , t t t t 1 1 ∴ h ? t ? ? ln t ? 1 ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,∴ h ? t ? ? h ?1? ? 0 ,即 1 ? ? ln t ???????? t t
14 分 综上所述,对任意 x ? ?0, ? ?? ,恒有 16 分 20. (1) ∵当 n ∈ N 时, an , bn , a n ?1 成等差数列, bn , a n ?1 , bn ?1 成等比数列. ∴2 bn = an + a n ?1 ,
2 an?1 = bn ? bn?1 .
?

1 x ?1 1 ? ln ? 成立. ???????????? x ?1 x x

?????????????????????2 分

又∵ a1 ? 0 , b1 ? 1 ,∴ bn ≥0, an ≥0 , 且 2bn ?

bn?1bn ? bn bn?1 ,

∴ 2 bn ? bn?1 ? bn?1 ( n ≥2),??????????????????????? 4分 ∴数列﹛ bn ﹜是等差数列,又 b2 ? 4 ,∴ bn ? n , n ? 1 也适合. ∴ bn ? n 2 ,

an ? (n ? 1)n .

??????????????????????????6 分 (? )

(2? ? 3) (2? ? 4) (? ? 3) (2) 将 an , bn 代入不等式 bn ≥ an ?
整理得: (2n ? 1)? ? n 2 ? 4n ? 3 ≥ 0 ???????????????????????8 分

令 f (? ) ? (2n ? 1)? ? n 2 ? 4n ? 3 ,则 f (? ) 是关于 ? 的一次函数, 由题意可得 ?

? f (0) ? 0 ? f (1) ? 0

∴?

2 ? ?n ? 4 n ? 3 ? 0 2 ? ?n ? 2 n ? 2 ? 0

,解得 n ≤1 或 n ≥3.

∴存在最小自然数 k ? 3 ,使得当 n ≥ k 时,不等式( ? )恒成立.?????????? 10 分 (3) 由(1)得: d n ? 1 ? ∴

1 1 1 1 1 ? ? ?+ .∴ d n ? d n ?1 ? , dn ? dn?1 ? 2dn ? ( n ≥2), n 2 3 n n

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2 dn 2 ? dn ?1 ? 2

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dn 1 ? n n2
2

???????????????????????12


2 2 2 由( d n ? d n ?1 )+( d n?1 ? d n?2 )+?+( d 2 ? d1 ) 2
2

d d2 d3 d4 1 1 1 1 ? ? ? ?+ n ) ?( 2 ? 2 ? 2 ? ?+ 2 ) , 2 3 4 2 3 4 n n d d d d 1 1 1 1 2 即: dn ? 2( 2 ? 3 ? 4 ? ?+ n ) ?( 2 ? 2 ? 2 ? ?+ 2 ) ? 1 2 3 4 2 3 4 n n 14 分 1 1 1 1 1 1 1 1 ∵ 2 ? 2 ? 2 ? ?+ 2 < ? ? ? ?+ ( n ? 1) n 2 3 4 n 1? 2 2 ? 3 3 ? 4
? 2( 1 1 1 1 1 1 1 = 1 ? ? ? ? ? ? ?+ ? 2 2 3 3 4 n ?1 n
=1?

???????????

1 <1 n d d 2 d3 d 4 . ?????????????????? ? ? ? ?+ n ) 2 3 4 n

2 ∴当 n≥2 时,dn >2 (

16 分

附加题部分 AC O ? B ? ?EAC , 21. A. ? 为圆 的切线,∴ 又 DC 是 ?ACB 的平分线, ∴ ?ACD ? ?DCB , ∴ ?B ? ?DCB ? ?EAC ? ?ACD , 即 ?ADF ? ?AFD ,??????????4 分 又因为 BE 为圆 O 的直径, ∴ ?BAE ? 90?
1 ∴ ?ADF ? (180? ? ?BAE) ? 45? ??????6 分 2

A D B F O E C

(2) ∴ ? ?B ? ?EAC , ?ACB ? ?ACB ,∴ ?ACE ∽ ?ABC , 8分 又? AB ? AC , ∴ ?B ? ?ACB ,∴ ?B ? ?ACB ? ?EAC 由 ?BAC ? 90? 及三角形内角和知, ?B ? 30? R? t ∴ 在

AC AE ? , ???? BC AB



A

,

B

AC AE 3 ? ? tan ?B ? tan30? ? ??????????????10 分 BC AB 3
B.(1)设 P(x, y) 为曲线 x ? 2 y ? 1上任意一点, P ( x , y ) 为曲线 x ? 4 xy ? 2 y ? 1 上
2 2 ' ' ' 2 2



P













?1 a ? ? x ' ? ? x ? ?b 1 ? ? ' ? ? ? y ? ? ? ?y ? ? ?





? x ? x ' ? ay ' ? ' ' ? y ? bx ? y

????????????????4 分

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代入的 ( x' ? ay ' )2 ? 2(bx' ? y ' )2 ? 1得 1 ? 2b2 x?2 ? ? 2a ? 4b? x?y? ? a2 ? 2 y?2 ? 1,
?1 ? 2b2 ? 1 ? 及方程 x ? 4 xy ? 2 y ? 1 , 从而 ?2a ? 4b ? 4 , 解得 a ? 2, b ? 0 , ? 2 ?a ? 2 ? 2
2 2

?

?

?

?

???????????

6分
?1 ?1 1 2 ?0, (2) 因为 M ? 故 M ?1 ? ? 0 1 ?0 ? ?1 ?2 ? 1 ? ?1 ?2 ? ?? ? 1 ? ? ?0 1 ? ? 1 ?

??????????????

10 分 C . 直 线

C2















x ? y ?1 ? 2 2 ? 0 ????????????????????2 分
设所求的点为 P(1 ? cos ? ,sin ? ) ,则 C 到直线 C2 的距离

d?

|1 ? cos ? ? sin ? ? 2 2 ? 1| 2

???????????????????????

??4 分

? = sin(? ? ) ? 2 ???????????????????????????????6 4
分 当

??

?
4

?

3? 2







??

5? 4





d









1 ???????????????????8 分 P 此 时 , 点









? 2 2? ? ?1 ? 2 , ? 2 ? ? ????????????????????????10 分 ? ?
D.(1)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? 0 , 如图,在同一坐标系中作出函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 和 y ? 5 的 图象(如图所示),知定义域为 ? ??, ?2?
5 y=5 4 3 2 1 y y= x+1 + x-2

?3, ?? ? .???5 分

(2)由题设知,当 x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 0 ,

-3 -2 -1

O 1

2

3

x

即 x ? 1 ? x ? 2 ? ?a , 又由 (1) x ? 1 ? x ? 2 ? 3 , ∴ ?a ? 3,即a ? ?3 ???????? 10 分 22. 取 BC 中点 O ,连 AO ,∵ ?ABC 为正三角形,∴ AO ? BC ,

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? ∵ 在 正 三 棱 柱 ABC BCC1 B1 ???????2 分

1

A1 B1 C , 平 面 ABC ? 平 面 BCC1 B1 , ∴ AO ? 平 面 中

OB , OO1 , OA 的方向为 x, y, z 取 B1C1 中点为 O1 ,以 O 为原点,

轴的正方向,建立空间直角坐标系,则 B(1,0,0) ,
D(?1,1,0), A1 (0,2, 3), A(0,0, 3), B1 (1,2,0) ?????4 分

∴ AB1 ? (1,2, ? 3), BD ? (?2,1,0), BA1 ? (?1,2, 3) , ∵ AB1 ? BD ? ?2 ? 2 ? 0 ? 0 , AB1 ? BA1 ? ?1 ? 4 ? 3 ? 0 , ∴

AB1 ? BD



AB1 ? BA1

,



AB1 ?





A1 BD .?????????????????????6 分
(2)设平面 A1 AD 的法向量为 n ? ( x, y, z) , AD ? (?1,1, ? 3), AA1 ? (0,2,0) .

?n ? AD ? 0 ? ? ? ?? x ? y ? 3z ? 0 ?y ? 0 ,∴ ? ,解得 ? , n ? AD, n ? AA1 ,∴ ? ? ? ? ?2 y ? 0 ? x ? ? 3z ?n ? AA1 ? 0


z ?1





n ? (?

3

, 为0 平 ,

面 ) A1 AD 1











量, ?????????????????8 分 由(1)知 AB1 ? 平面 A1 BD ,∴ AB1 为平面 A1 AD 的法向量,

cos ? n, AB1 ??

n ? AB1 n AB1


?

? 3? 3 2? 2 2
? A

??

6 , 4
D 的 B 余
弦 值 大 小 为


cos ? ?


6 . 4



A?

1

?????????????????10 分 ( 1 )

23.
P( X ? 8) ?

2 1 1 2 1 1 1 1 3 C2 C3 C32C2 ? C2 C2 C2 C3C2 ? C3 3 8 13 ? , P ( X ? 7) ? ? P ( X ? 6) ? ? , ??3 分 3 3 3 C7 35 C7 35 C7 35





线



















24 35

???????????????????????????4 分 ( 2 )

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P( X ? 5) ?

2 1 1 2 1 C2 C2 ? C32C2 C2 C3 8 3 ???????????????? 6 ? , P ( X ? 4) ? ? 3 3 C7 35 C7 35

分 X 为 的 分 布 列

???????????????????????????8 分 X 4 5 6 7 8

P

3 35

8 35

13 35

8 35

3 35
列 知

( 3 ) 由 分 布 4 ? 3 5 ? 8 6 ?13 7 ? 8 8 ? 3 E( X ) ? ? ? ? ? ? 6 ???????????10 分 35 35 35 35 35


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