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中山市高二级2008—2009学年度第一学期期末统一考试数学卷(文)


中山市 2008—2009 学年度第一学期期末统一考试

高二数学试卷(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题) 、第 II 卷(非选择题)两部分. 共 150 分,考试时间 120 分 钟. 第 I 卷(选择题共 50 分) 注意事项: 1. 答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上. 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上. 3. 不可以使用科学型计算器. 4. 考试结束,将答题卡与第Ⅱ卷交回. 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的.)

1 1 1 1.数列 1, ? , , ? , ??? 的一个通项公式为 2 3 4
A.

(?1) n n

B.

(?1) n ?1 n

C.

(?1) n n +1

D.

(?1) n +1 n +1

2.不等式 4 x 2 ? 4 x + 1 ≤ 0 的解集是

1 A. { } 2
C. R

1 1 B. (?∞, ) U ( , +∞) 2 2
D. ?

3.条件 p: = 0 ,条件 q: b 函数 f ( x) = ax 2 + bx + c 是偶函数,则 p 是 q 的 A. 充分但不必要条件 C. 充分且必要条件 4.椭圆 16 x 2 + 25 y 2 = 400 的离心率为 A. B. 必要但不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

16 25

B.

4 5

C.

3 4

D.

3 5

高二数学(文科)第1页(共 6 页)

5.在 ?ABC 中,下列关系式不一定成立的是 A. a sin B = b sin A C. a 2 + b 2 ? c 2 = 2ab cos C B. a = b cos C + c cos B D. b = c sin A + a sin C

?x ? 3y + 6 ≤ 0 6.不等式组 ? 表示的平面区域是 ?x ? y + 2 > 0

A.

B.

C.

D.

7.在等差数列 {an } 中,若 a1 + a2 + a8 + a9 = 360 ,则数列 {an } 的前 9 项的和为 A. 180 B. 405 C. 810 D. 1620

8. 曲线

x2 y2 x2 y2 + = 1 与曲线 + = 1(9 < k < 25) 的 25 9 25 ? k 9 ? k
B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等

A.长轴长相等

9. 对于函数 f(x)=x2+2x,在使 f(x)≥M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最大值-1 叫做 f(x)=x2+2x 的下确界. 则函数 f ( x) = x3 ? 12 x, x ∈ [0,3] 的下确界为 A. 0 B. -27 C. -16 D. 16

10.在平面直角坐标系 xoy 中,已知△ABC 的顶点 A(-6,0)和 C(6,0),顶点 B 在双曲线

x2 y2 sin B ? = 1 的左支上, 则 等于 25 11 sin A ? sin C
A.

5 6

B.

6 5

C.

11 25

D.

11 6

高二数学(文科)第2页(共 6 页)

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
密 封 线 内 不 要 答 题

中山市 2008—2009 学年度第一学期期末统一考试

高二数学试卷(文科)
第 II 卷(非选择题共 100 分)
题 号 二 15 16 17 18 19 20 总分 总分人 复分人

统考考号

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案 得 分 评卷人 填在题中的横线上) 11.已知函数 f ( x) = 2 x 2 ? 8 x ,且 f '(3 2) = 12.命题: ?x ∈ N , x ≥ x 的否定是
2

. . .

姓名

13.等轴双曲线的一个焦点是 F1 (4,0) ,则它的渐近线方程为 14.函数 f ( x) 由下表定义:

x f ( x)

1 4

2 1

3 3

4 5

5 2 .

若 a1 = 2 , an +1 = f (an ) , n = 1, 2,3,L ,则 a2008 =

座号

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 得 分 评卷人 15. (13 分)设集合 A = x x 2 < 4 , B = { x ( x ? 1)( x + 3) < 0} . (1)求集合 A I B ; (2)若不等式 2 x 2 + ax + b < 0 的解集为 A U B ,求 a , b 的值.

{

}

班级

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

学校

高二数学(文科)第3页(共 6 页)

得 分

评卷人

16. (13 分)如图,从气球 A 测得正前方的河流上的桥梁两端 B、 C 的俯角 α 、 β ,如果这时气球的高度是 h,求桥梁 BC 的长度。

得 分

评卷人

17. (14 分)已知函数 f ( x) = x ln x . (1)求这个函数的图象在点 x = 1 处的切线方程; (2)讨论这个函数的单调区间及单调性.

高二数学(文科)第4页(共 6 页)

得 分

评卷人

18. (14 分)设正项等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 已知 a2 = 2 ,

a3 a4 a5 = 29 .
(1)求首项 a1 和公比 q 的值; (2)试证明数列 {log m an } (m > 0且m ≠ 1) 为等差数列.

得 分

评卷人

19. (13 分)已知直线 l 经过抛物线 y 2 = 4 x 的焦点 F,且与抛物线 相交于 A、B 两点. (1)若 | AF |= 4 ,求点 A 的坐标; (2)若直线 l 的倾斜角为 45° ,求线段 AB 的长. y A

F
O

x B

高二数学(文科)第5页(共 6 页)

得 分

评卷人

20. (13 分)为了迎接 2010 年在广州举办的亚运会,我市某体校 计划举办一次宣传活动, 届时将在运动场的一块空地 ABCD (如图) 上摆放花坛,已知运动场的园林处(P 点)有一批鲜花,今要把这 批鲜花沿道路 PA 或 PB 送到空地 ABCD 中去, PA=200 m, 且 PB=300

m,∠APB=60°. (1)试求 A、B 两点间的距离; (2)能否在空地 ABCD 中确定一条界线,使位于界线一侧的点,沿道路 PA 送花较近;而另一侧的点,沿道路 PB 送花较近?如果能,请说出这条 界线是一条什么曲线,并求出其方程.

高二数学(文科)第6页(共 6 页)

中山市 2008—2009 学年度第一学期期末统一考试

高二数学科试卷(文科)答案
一、选择题:BACDD CCDCB 二、填空题:11.4; 三、解答题: 12. ?x ∈ N , x < x ;
2

13. y = ± x ;

14. 5.

15. 解: A = x x 2 < 4 = { x ?2 < x < 2} , ……(2 分) (1)∴ A I B = { x ?2 < x < 1} . (2) A U B = { x ?3 < x < 2} .
2

B = { x ( x ? 1)( x + 3) < 0} = { x ?3 < x < 1} . ……(4 分)
……(6 分) ……(8 分)

{

}

因为 2 x + ax + b < 0 的解集为 { x ?3 < x < 2} ,

所以 ?3和2 为 2 x 2 + ax + b = 0 的两根, ……(9 分)

? a ?? 2 = ?3 + 2 ? 故? ,……(11 分) ? b = ?3 × 2 ?2 ? 所以 a = 2 , b = ?12 . ……(13 分) 16.解:过 A 作垂线 AD 交 CB 于 D,则在 Rt?ADB 中,

∠ABD = α , AB =

h 。……(4 分) sin α

又在 ?ABC 中, ∠C = β , ∠BAC = α ? β , 由正弦定理,得

BC AB = ……(10 分) sin(α ? β ) sin β

∴ BC =

AB ? sin(α ? β ) h ? sin(α ? β ) = ……(13 分) sin β sin α ? sin β
……(3 分)

17. 解: f '( x) = ( x) ' ln x + x (ln x) ' = ln x + 1 .

(1)当 x = 1 时, f (1) = 1 × ln1 = 0 , f '(1) = ln1 + 1 = 1 . ……(5 分) 所以,切线过点 (1, 0) ,斜率为 1, ……(7 分) 故切线的方程为 y = x ? 1 . ……(8 分)
高二数学(文科)第7页(共 6 页)

1 . e 1 所以,函数 f ( x) = x ln x 的单调递增区间为 ( , +∞) . e 1 令 f '( x) < 0 ,即 ln x + 1 < 0 ,解得 0 < x < . e
(2)令 f '( x) > 0 ,即 ln x + 1 > 0 ,解得 x >

……(11 分)

1 所以,函数 f ( x) = x ln x 的单调递减区间为 (0, ) . e

……(14 分)

18. 解: (1)Qa3 a4 a5 = (a4 )3 = 29 ? a4 = 23 = 8 (a4 > 0) , ∴

……(3 分)

a4 = q 2 = 4 ? q = 2 , ……(5 分) a2

又由 a4 = a1q 3 ,即 8 = a1 23 ,解得 a1 = 1 . ……(7 分) (2)证明:由(1)知, an = 2n ?1 . ……(9 分) ……(12 分)

设 bn = log m an ,则 bn = log m 2n ?1 = (n ? 1)log m 2 . ∵ bn +1 ? bn = n log m 2 ? ( n ? 1) log m 2 = log m 2 =常数,

∴ 数列 {bn } 为等差数列,即数列 {log m an } (m > 0且m ≠ 1) 为等差数列. ……(14 分) 19.解:由 y 2 = 4 x ,得 p = 2 ,其准线方程为 x = ?1 ,焦点 F (1,0) . 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) . (1)由抛物线的定义可知, | AF |= x1 + 代入 y 2 = 4 x ,解得 y1 = ±2 3 . ∴ 点 A 的坐标为 (3, 2 3) 或 (3, ?2 3) . ……(6 分) A′ ……(9 分) F
O

……(2 分)

p ,从而 x1 = 4 ? 1 = 3 . 2

y A

(2)直线 l 的方程为 y ? 0 = tan 45° ( x ? 1) ,即 y = x ? 1 .

? y = x ?1 与抛物线方程联立,得 ? 2 , ? y = 4x
2

消 y,整理得 x ? 6 x + 1 = 0 ,其两根为 x1 , x2 ,且 x1 + x2 = 6 . B′ 由抛物线的定义可知, 所以,线段 AB 的长是 8.

B

x

| AB |= x1 + x2 + p = 6 + 2 = 8 .
……(13 分)

高二数学(文科)第8页(共 6 页)

20. 解: (1) | AB |= 2002 + 3002 ? 2 × 200 × 300 × cos 60° = 100 7 . 所以,A、B 两点间的距离为 100 7 米. ……(4 分) (2)设 M 是这种界线上的点,则必有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|, 即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=100. ……(6 分) ∴这种界线是以 A、B 为焦点的双曲线靠近 B 点的一支. ……(7 分) 建立以 AB 为 x 轴,AB 中点 O 为原点的直角坐标系, 则曲线为

x2 y2 1 - 2 =1, 其中 a=50,c= |AB|. 2 a b 2 x y - =1(x≥50,y≥0). 2500 15000
2 2

……(9 分) ……(11 分) ……(13 分)

∴c=50 7 ,b2=c2-a2=15000. ∴所求曲线方程为

1 题. 2 题. 3 题. 4 题. 5 题. 6 题. 7 题.

教材必修⑤ P34 例 1 改编 教材必修⑤ P87 例 2 改编 选修 1—1 P11 例 3(1)改编 选修 1—1 P40 例 4,选修 2—1 P46 例 4 改编 教材必修⑤ P22 练习第 3 题改编 教材必修⑤ P99 练习第 3 题改编 教材必修⑤ P76 习题 A 组第 9 题改编

11 题. 选修 1—1 P85 习题 A 组第 5 题 改编 13 题. 选修 1—1 P53 练习第 4 题 改编 16 题. 教材必修⑤ P24A 组第 5 题 19 题. 选修 1—1 P61 例 4 及 P64 习题 A 组第 3 题 改编

高二数学(文科)第9页(共 6 页)


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