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2014届高三数学一轮“双基突破训练”(详细解析+方法点拨) (29)


2014 届高三一轮“双基突破训练” (详细解析+方法点拨) (29)
一、选择题

?x+y≤1, ? 1.(2011 安徽卷· 文)设变量 x,y 满足?x-y≤1, ?x≥0, ?
( ) A.1,-1 C.1,-2 【答案】B 【解析】作出可行域(如图阴影部分所示), B.2,-2 D.2,-1

则 x+2y 的最大值和最小值分别为

[来源:Zxxk.Com]

设 z=x+2y, 作 l0:x+2y=0,把 l0 向左下方平移到点(0,-1)时, z 有最小值,zmin=0+2×(-1)=-2. 把 l0 向右上方平移到点(0,1)时,z 有最大值, zmax=0+2×1=2. 故选择 B.

?x+3y-3≥0, ? 2. 若实数 x, 满足不等式组?2x-y-3≤0, y ?x-my+1≥0, ?
A.-2 C.1 【答案】C B.-1 D.2

且 x+y 的最大值为 9, 则实数 m=(

)

【解析】如图,设 x+y=9,显然只有在 x+y=9 与直线 2x-y-3=0 的交点处满足要 求,解得此时 x=4,y=5,即 P 点(4,5)在直线 x-my+1=0 上,代入得 m=1.

故选择 C.

?0≤x≤ 3.已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组?y≤2, ?x≤ 2y
→ → 为 D 上的动点,点 A 的坐标为( 2,1),则 z=OM· 的最大值为( OA

2, 给定,若 M(x,y)

)

A.4 2 C.4 【答案】C

B.3 2 D.3

→ → 【解析】本题考查线性规划问题及平面向量的数量积.由=OM· = 2x+y 可将其转 OA 化为线性规划问题,再用相关方法解决问题即可.解决线性规划问题,首先作出可行域,若 为封闭区域,则区域中的某个点的坐标使目标函数取得最大或最小值.

?0≤x≤ 由线性约束条件?y≤2, ?x≤ 2y
画出可行域如图所示,

2,
[来源:学#科#网]

→ → 目标函数 z=OM· = 2x+y, OA 将其化为 y=- 2x+z, 结合图形可知,目标函数的图像过点( 2,2)时,z 最大,将点( 2,2)的坐标代入 z= 2 x+y 得 z 的最大值为 4. 故选择 C.
? ?x-y+1≤0, y 4.若实数 x、y 满足? 则 的取值范围是( x ? ?x>0,

)

A.(0,1) C.(1,+∞) 【答案】C

B.(0,1] D.[1,+∞)

?x-y+1≤0, ? 【解析】实数 x、y 满足? 的相关区域如图中的阴影部分. ? ?x>0,

y y 表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率,由图可知, 的范围为(1,+ x x ∞).
[来源:Zxxk.Com]

故选择 C.

?y≥x, ? 5.设 m>1,在约束条件?y≤mx, ?x+y≤1 ?
取值范围为( ) A.(1 ,1+ 2) C.(1,3) 【答案】A

下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m 的

B.(1+ 2,+∞) D.(3,+∞)

1 z 【解析】根据约束条件画出可行域如图所示,将目标函数化为斜截式为 y=- x+ , m m

结合图形可以看出当目标函数过 y=mx 与 x+y=1 的交点时取到最大值.
? 1 m ?y=mx, 联立? 得交点坐标为?m+1,m+1?. ? ? ? ?x+y=1,

将其代入目标函数得 zmax= 1+m2 由题意可得 <2, m+1 又 m>1,所以 1<m <1+ 2. 故选择 A. 二、填空题

1+m2 . m+1

6.(2011 陕西卷· 文)如图,点(x,y)在四边形 ABCD 内部和边界上运动,那么 2x-y 的 最小值为 .

【答案】1 【解析】设目标函数为 z=2x-y,借助平移,显然点(1,1)满足题意,则 2x-y 的最小值 为 1. 1 ? ? 7.设集合 A=??x,y??y≥2|x-2|?, B={(x,y)|y≤-|x|+b},A∩B≠?. ? ? ? (1)b 的取值范围是 9 【答案】[1,+∞), 2 【解析】由图可知,当 y=-x(x>0)往右移动到阴影区域时,才满足条件,所以 b≥1; . . (2)若(x,y)∈A∩B,且 x+2y 的最大值为 9,则 b 的值是

9 要使 z=x+2y 取 得最大值,则过点(0,b),有 0+2b=9?b= . 2

?y≥x, ? 8.(2011 湖南卷· 文)设 m>1,在约束条件?y≤mx, ?x+y≤1 ?
为 4,则 m 的值为 【答案】3 【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影所示, .

下,目标函数 z=x+5y 的最大值

1 z 把目标函数化为 y=- x+ , 5 5 1 z 显然只有 y=- x+ 在 y 轴上的截距最大时 z 值最大, 5 5 根据图形,目标函数在点 A 处取得最大值,
?y=mx, 1 m ? 由? 得 A?1+m,1+m?, ? ? ? ?x+y=1,

1 5m 代入目标函数 ,即 + =4,解得 m=3. 1+m 1+m 三、解答题

?x-2y+7≥0 ? 9.求 z=x2+y2 的最大值和最小值,使式中的 x,y 满足约束条件?4x-3y-12≤0 ?x+2y-3≥0 ? ?x-2y+7≥0 ? 【解析】已知不等式组为?4x-3y-12≤0 ?x+2y-3≥0 ?

.

在同一直角坐标系中,作直线 x-2y+7=0,4x-3y-12=0 和 x+2y-3=0,再根据不 等式组确定可行域△ABC(如图).

?x-2y+7=0 ? 由? 解得点 A 的坐标(5,6). ? ?4x-3y-12=0

所以(x2+y2)max=|OA|2=52+62=61; 因为原点 O 到直线 BC 的距离为 |0+0-3| 3 = 5 5 9 所以(x2+y2)min= . 5 10.某公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总 费用不超过 9 万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟.假定 两个电视台为该公司所做的 每分钟广告, 能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元. 问 该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少 万元? 【解析】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元.由题意得

?x+y≤300, ? ?500x+200y≤90 000, ?x≥0,y≥0. ?
目标函数为 z=3 000x+2 000y.

?x+y≤300, ? 二元一次不等式组等价于?5x+2y≤900, ?x≥0,y≥0. ?
作出二元一次不等式组所表示的 平面区域.即可行域,如图.

作直线 l:3 000x+2 000y=0, 即 3x+2y=0. 平移直线 l,从图中可知,当直线 l 过 M 时,目标函数取得最大值.
?x+y=300, ? 联立? ? ?5x+2y=900.

解得 x=100,y=200. ∴点 M 的坐标为(100,200), ∴zmax=3 000x+2 000y=700 000(元). 答: 该公司在甲电视台做 100 分钟广告, 在乙电视台做 200 分钟广告, 公司的收益最大, 最大收益是 70 万元. 11.预算用 2 000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子,希望使桌椅的总数尽可能 的多,但椅子数不少于桌子数,且不多于桌子数的 1.5 倍,问桌、椅各买多少才行?

【解析 】

设桌、椅各买 x 张,y 把,把所给的条件表示成 x,y 的不等式组 ,再在直角坐标系内 把满足不等式组所在的区域表示出来.设 x+y=a,可借助图像求 a 的最大值.

?y≥0, ? 由题意得?x≤y, ?y≤1.5x, 000. ?50x+20y≤2
x≥0,
?x=y, ? 由? 解得 ? ?50x+20y=2 000.

?x= 7 , ? 200 ?y= 7 .
200

200 200 ∴点 A 的坐标为? 7 , 7 ?. ? ?

?x=25, ? ? ?y=1.5x, 由? 解得? 75 ?50x+20y=2 000. ? ?y= 2 . ?
75 ∴点 B 的坐标为?25, 2 ?. ? ? 200 200 75 满足以上不等式组所表示的区域如图中 A? 7 , 7 ?,B?25, 2 ?,O(0,0)为顶点的三角 ? ? ? ? 形区域 E(包括边界和内部). 75 直线 x+y=a 过 E 内的点 B 时,a 最大.这时 x=25,y= ,由于 y 取整数,故 y=37. 2 所以,买桌子 25 张,椅子 37 把是最优选择. 答:买桌子 25 张,椅子 37 把. 12.(2011 高考福建卷· 文)设函数 f(θ)= 3sin θ+cos θ,其中,角 θ 的顶点与坐标原点重 合,始边与 x 轴非负半轴重合,终边经过点 P(x,y),且 0≤θ≤π. 1 3 (1)若点 P 的坐标为? , ?,求 f(θ)的值; ?2 2 ?

?x+y≥1, ? ( 2)若点 P(x,y)为平面区域 Ω:?x≤1, ?y≤1 ?
并求函数 f(θ)的最小值和最大值.
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

上的一个动点,试确定角 θ 的取值范围,

【解析】(1)由点 P 的坐标和三角函数的定义

?sin θ= 23, 可得? 1 ?cos θ=2.
于是 f(θ)= 3sin θ+cos θ= 3× 3 1 + =2. 2 2 (2)作出平面区域 Ω(即三 角区域 ABC)如图所示,其中 A(1,0),B(1,1),C(0,1). π 于是 0≤θ≤ . 2

π 又 f(θ)= 3sin θ+co s θ=2sin?θ+6?, ? ? π π 2π 且 ≤θ+ ≤ , 6 6 3 π π π 故当 θ+ = ,即 θ= 时,f(θ)取得最大值,且最大值等于 2; 6 2 3 π π 当 θ+ = ,即 θ=0 时,f(θ)取得最小值,且最小值等于 1. 6 6
[来源:学科网 ZXXK]


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