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高二数学下册第三次段考检测试题1


中山一中 2009—2010 学年度上学期第三次段考













满分 150 分,时间 120 分钟 一、选择题: (每小题 5 分,共 40 分,只有一个答案正确) 1、抛物线 y ? ? x 2 的焦点坐标为 A.(0, ( C.(0, ? )

1 ) 4

B. (

1 , 0) 4

1 ) 4

D. ( ?

1 , 0) 4
)

2、设集合 A ? ? x

?

? x ? 0?, B ? ?x 0 ? x ? 3?,那么“ m ? A ”是“ m ? B ”的( ? x ?1 ?
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件

?x ? y ? 2 ? 0 ? 3、在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 ?x ? 2 ?
A 2 B 4 C

表示的平面区域的面积为





2 2


D 4 2

2 4、命题: “若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是(

,或 x ? ?1 A.若 x ? 1 ,则 x ? 1
2

2 B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x ? 1

C.若 x ? 1或x ? ?1 ,则 x ? 1
2

D.若 x ? 1或x ? ?1 ,则 x ? 1
2

5、方程 xy ? x y ? ?2 所表示的曲线的对称性是 ( A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于直线 y ? ? x 对称 D.关于原点对称
2 2



2 6、 已知点 A(3, 2) , F 为抛物线 y ? 2 x 的焦点, 点 P 在抛物线上, 使 PA ? PF 取得最小值,

则最小值为 ( A.

) B. 2 C.

3 2

5 2

D.

7 2


?x ? y ? 2 ? 0 ? 7、设实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 ?y ? 2 ? 0 ?
A.

,则 u ?

x? y 的最小值是( x
D.

1 3

B.2

C.3

4 3

2 8、设 a , b , c , d ? R ,则条件甲: ac ? 2 ? b ? d ? 是条件乙:方程 x ? ax ? b ? 0 与方程

x 2 ? cx ? d ? 0 中至少有一个有实根的(
A.充分而不必要条件 C.充要条件 二、填空题:(每小题 5 分,共 30 分)

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?x 2 ? 1 ? 0 9、不等式组 ? 的解集是:_______________ 2 ? x ? 3x ? 0
10、椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则离心率 e ? _______。 11、在一次射击训练中,某战士连续射击了两次,设命题 p 是“第一次射击击中目标” ,命题 q 是“第二次射击击中目标” ,用 p, q 及逻辑联结词“或” “且” “非” (或 ? , ? , ? )表示下列 命题: 两次都击中目标可表示为:_____________; 恰好一次击中目标可表示为:____________________. 12 、 已 知 点 P 是 圆 x 2 ? y 2 ? 1 上 的 一 个 动 点 , 过 点 P 作 PQ ? x 轴 于 点 Q , 设

???? ? ??? ? ???? OM ? OP ? OQ ,则点 M 的轨迹方程______________;

13、设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A ,右焦点为 F 。过点 F 平行双曲线的一条渐近线的 9 16

直线与双曲线交于点 B ,则△ AFB 的面积为_______
2 14、已知抛物线 y ? 4 x 与直线 y ? 2 x ? 4 交于 A, B 两点,如果在该抛物线上存在点 C ,使

得 OA ? OB ? ?OC (O 为坐标原点) ,则实数 ? =



三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15 . (本小题满分 13 分) 已知关于 x 的不等式 x ? 3x ? m ? 0 的解集是 ?x |1 ? x ? n? 。
2

(1)求实数 m, n 的值; (2)若正数 a , b 满足: ma ? 2nb ? 3 ,求 a ? b 的最大值。

16(本小题满分 13 分)如果双曲线的两个焦点分别为 F 1 (?3,0), F 2 (3,0) ,一条渐近线方程为:

y ? 2x
(1)求该双曲线的方程; (2)过焦点 F2 ,倾斜角为

? 的直线与该双曲线交于 A, B 两点,求 AB 。 3

17.(本小题满分 14 分)如图,椭圆以边长为 1 的正方形 ABCD 的对角顶点 A,C 为焦点,且 经过各边的中点,试建立适当的坐标系,求椭圆的方程。 D

A

C

B

18. (本小题满分 14 分)现有一批货物用轮船从甲地运往乙地,甲乙两地距离为 500 海里, 已知该船最大速度为 45 海里/小时,每小时运输成本由燃料费用和其它费用组成.轮船每小 时的燃料费用与轮船速度的平方成正比,其余费用为每小时 960 元.已知轮船速度为 20 海里 /小时,全程运输成本为 30000 元. (1)把全程运输成本 y (元)表示为速度 x (海里/小时)的函数; (2)为了使全程运输成本最小,轮船应为多大速度行驶?

19. (本题满分 12 分) 正方形 ABCD 的一条边 AB 在直线 y ? x ? 4 上,另外两个顶点 C , D 在抛物线 y 2 ? x 上,求正方形的边长.

20. (本小题满分 14 分) 已知,椭圆 C 过点 A ?1, ? ,两个焦点为 ? ?1,0? , ?1,0? 。 (1) 求椭圆 C 的方程; (2)

? 3? ? 2?

E , F 是椭圆 C 上的两个动点, 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数, 证明直

线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。



二 数 学 理 科 答 案

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)
题号

1 C

2 A

3 B

4 C

5 C

6 D

7 D

8 A

得分

答案

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9. ____ ? 0,1? __________ 11. p ? q , ? p ? (?q)? ? ?? ?p ? ? q ? 10. ____ _______
x2 ? y 2 ? 1 ___ 4
1 2

12. ____

13. _____

32 _________ 15

14._____ ____

1 5

_

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15 . (本小题满分 13 分) 已知关于 x 的不等式 x ? 3x ? m ? 0 的解集是 ?x |1 ? x ? n? 。
2

(1)求实数 m, n 的值; (2)若正数 a , b 满足: ma ? 2nb ? 3 ,求 a ? b 的最大值。 解: (1)由题意可知: 1, n 是 x ? 3x ? m ? 0 的两根,所以
2

?1 ? n ? 3 ,解得: m ? 2, n ? 2 ; ? ?1? n ? m
(2)把 m ? 2, n ? 2 代入 ma ? 2nb ? 3 得 a ? 2b ? 因为 a ? 2b ? 2 a ? 2b ,所以

3 2

3 ? 2 a ? 2b , 2 9 3 3 3 得 a ?b ? ,当且仅当 a ? 2b ? ,即 a ? , b ? 时等号成立, 32 4 4 8 9 所以 a ? b 的最大值为 。 32
16(本小题满分 13 分) 如果双曲线的两个焦点分别为 F 2x 1 (?3,0), F 2 (3,0) ,一条渐近线方程为: y ? (1)求该双曲线的方程; (2)过焦点 F2 ,倾斜角为

? 的直线与该双曲线交于 A、B 两点,求 AB 。 3
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

解: (1)依题意:设该双曲线的方程为:

?b ?a 2 ? 3 ? ? 2 ? 则: ? a ,? ? 2 ? ?b ? 6 ? ?c ? 3
x2 y 2 ? ? ? 1为所求。 3 6

(2)由题意知直线AB的方程为y = 3 ( x ? 3) 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ? y = 3 ( x ? 3) ? 由? x2 y 2 得x 2 ? 18 x ? 33 ? 0 ?1 ? ? 6 ?3 ? x1 ? x2 ? 18, x1 x2 ? 33 ?| AB|= [1+( 3) 2 [( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 4(182 ? 4? 33) ? 16 3
17.(本小题满分 14 分) 如图,椭圆以边长为 1 的正方形 ABCD 的对角顶点 A,C 为焦点,且经过各边的中点,试建立 适当的坐标系,求椭圆的方程。 17.解:如图建系 则 A(? D

2 2 2 ,0), C ( ,0) ,则 c ? 2 2 2

A

C

设交点为 P,P 为 AD 中点,则

1 5 1 5 5 ?1 | PA |? ,| PC |? ,?| PA | ? | PC |? ? ? 2a,? a ? 2 2 2 2 4 5 ?1 ? b2 ? a 2 ? c 2 ? 8 2 2 x y ? ? ?1 5 ?3 5 ?1 8 8

B

18. (本小题满分 14 分)现有一批货物用轮船从甲地运往乙地距离为 500 海里,已知该船最 大速度为 45 海里/小时,每小时运输成本由燃料费用和其他费用组成.轮船每小时的燃料费 用与轮船速度的平方成正比,其余费用为每小时 960 元.已知轮船速度为 20 海里/小时,全 程运输成本为 30000 元. (1)把全程运输成本 y (元)表示为速度 x (海里/小时)的函数; (2)为了使全程运输成本最小,轮船应为多大速度行驶? 18.解: (1)由题意得,每小时燃料费用为 kx (0 ? x ? 45) ,全程所用时间为
2

500 小时.则全程 x

运输成本 y= kx 2 ?

500 500 , x ? (0, 45] ? 960 ? x x

当 x=20 时,y=30000 得:k=0.6 故所求的函数为 y= 300( x ? 1600 ) , x ? (0, 45] x

(2)y= 300( x ? 当且仅当 x ?

1600 ) ? 300 ? 2 x ? 1600 ? 24000 x x

1600 ,即 x=40 时取等号 x

故当轮船速度为 40 海里/小时时,所需成本最小 19. (本小题满分 12 分) 正方形的一条边 AB 在直线 y ? x ? 4 上, 顶点 C、 D 在抛物线 y 2 ? x 上, 求正方形的边长. 19.解:设直线 l : y ? x ? b 与抛物线交于 C ( x1 , y1 ) ,D ( x2 , y2 ) 两点

? ? ? 1 ? 4b ? 0 ? y2 ? x ? 联立方程 ? ? y 2 ? y ? b ? y 2 ? y ? b ? 0 ? ? y1 ? y2 ? 1 ?y y ? b ?y ? x ?b ? 1 2

?| CD |? 1 ? 1 1 ? 4b |b?4| ?| AD |? 2 |b?4| ? 1 ? 1 1 ? 4b ? 2 2 解得:b ? 8b ? 12 ? 0 ? b ? ?2或 ? 6 |b?4| ? 边长为 ? 3 2或5 2 2
20. (本题满分 14 分) 已知,椭圆 C 过点 A ?1, ? ,两个焦点为 ? ?1,0? , ?1,0? 。 (3) 求椭圆 C 的方程; (4)

? 3? ? 2?

E , F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直
线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。

解: (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为

1 9 3 ? 2 ? 1,解得 b2 ? 3 , b 2 ? ? (舍去) 2 4 1? b 4b

x2 y 2 ? ? 1。 所以椭圆方程为 4 3
(Ⅱ)设直线 AE 方程为: y ? k ( x ? 1) ?

3 x2 y 2 ? ? 1得 ,代入 2 4 3

3 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2 3 设 E (x E , y E ) , F (x F , y F ) ,因为点 A(1, ) 在椭圆上,所以 2 3 4( ? k )2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? kxE ? ? k 2
又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以— k 代 k ,可得

3 4( ? k )2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? ?kxE ? ? k 2
所以直线 EF 的斜率 K EF ?

yF ? yE ?k ( xF ? xE ) ? 2k 1 ? ? xF ? xE xF ? xE 2
1 。 2

即直线 EF 的斜率为定值,其值为


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