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安徽省马鞍山二中、安师大附中2017届高三12月阶段性测试理数试题Word版含答案.doc


数学(理)试卷
第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.已知复数 z ? A. 2 ? i

?

,则复数 z 的共轭复数为( 3 ? i i ? i 5 ( i 为虚数单位) C. 4 ? i D. 4 ? i

?



B. 2 ? i

2.“ a ? ?2 ”是“直线 l1 : ax ? y ? 3 ? 0 与 l2 : 2x ? ? a ?1? y ? 4 ? 0 互相平行”的 ( A.充分不必要条件 件 B.必要不充分条件 C.充要条件



D.既不充分也不必要条

3.如下程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法” ,执行该程序框 图(图中“ m MOD n ”表示 m 除以 n 的余数) ,若输入的 m, n 分别为 495,135,则输出 的m? ( )

A.0

B.5

C. 45

D. 90

4. 将三颗骰子各掷一次,记事件 A ? “三个点数都不同” , B ? “至少出现一个 6 点” ,则 条件概率 P ? A | B ? , P ? B | A? 分别是( A. ) D.

60 1 , 91 2

B.

1 60 , 2 91

C.

5 60 , 18 91

91 1 , 216 2


5. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.12

B.18

C.24

D.30

6. 已知点 P, A, B 在双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上,直线 AB 过坐标原点,且直线 PA、PB 的斜率 a 2 b2

之积为

1 ,则双曲线的离心率为( 3
B.



A.

2 3 3

15 3

C.2

D.

10 2
???? ??? ?

7.在边长为 1 的正 ?ABC 中,D, E 是边 BC 的两个三等分点 ( D 靠近于点 B ) , 则 AD?AE 等于( A. ) B.

1 6

2 9

C.

13 18

D.

1 3

8. 已知函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ?

? ?

??

? 的部分图象如图所示,若将 2?

f ? x ? 图象上的所有点向右平移
区间为( )

? 个单位得到函数 g ? x ? 的图象,则函数 g ? x ? 的单调递增 6

A. ? k? ?

? ?

?
4

, k? ?

?? ??

,k ?Z 4? ?

B. ? 2k? ?

? ?

?

?? , 2k? ? ? , k ? Z 4 4? ? ?? , 2k? ? ? , k ? Z 3 6?
1 ? an ,若对任意 an

C. ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

,k ?Z 6? ?

D. ? 2k? ?

? ?

9. 已知数列 ?an ? 是首项为 a ,公差为 1 的等差数列,数列 ?bn ? 满足 bn ? 的 n ? N ,都有 bn ? b8 成立,则实数 a 的取值范围是(
*



A. ? ?8, ?7 ?

B. ? ?8, ?7 ?
x

C. ? ?8, ?7?

D. ? ?8, ?7? )

10.函数 y ? 4cos x ? e ( e 为自然对数的底数)的图像可能是(

A.

B.

C.

D.

?x ? 2 y ? 2 ? 11. 当 x, y 满足不等式组 ? y ? 4 ? x 时, ?2 ? kx ? y ? 2 恒成立,则实数 k 的取值范围是 ?x ? 7 y ? 2 ?
( ) B. ? ?2,0? C. ? ? , ? 5 5

A. ??1, ?1?

? 1 3? ? ?

D. ? ? , 0 ? 5

? 1 ?

? ?

P 是面 12. 已知底面为边长为 2 的正方形,侧棱长为 1 的直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

A1B1C1D1 上的动点.给出以下四个结论中,则正确的个数是(
①与点 D 距离为 3 的点 P 形成一条曲线 ,且该曲线的长度是



2? ; 2
? 6 ? , ?? ? ?; ? 3 ?

②若 DP / / 平面 ACB1 ,则 DP 与平面 ACC1 A 1 所成角的正切值取值范围是 ?

③若 DP ? 3 ,则 DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为 6 2 . A.0 B.1 C.2 D.3 第Ⅱ卷(非选择题 ) 二、填空题(本大题 共 4 小题 ,每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2 ,则
x

f ? log4 9? ? ____________.

14.若 ? ? ? 0,

? ?? ?? ? ? , cos ? ? ? ? ? 2 2 cos 2? ,则 sin 2? ? ____________. ? 2? ?4 ?

15.在数列 ?an ? 及 ?bn ? 中,
2 2 2 2 an ?1 ? an ? bn ? an ? bn , bn ?1 ? an ? bn ? an ? bn , a1 ? 1, b1 ? 1 .设 cn ?

1 1 ? ,则数列 an bn

?cn ? 的前 2017 项和为
16.已知点 A 在椭圆

____________.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? x2 y 2 ? ? 1 上,点 P 满足 AP ? ? ? ? 1? OA ? ? ? R ? ,有 OA? OP ? 72 , 25 9

则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为____________. 三、解答题 (本大题共 6 小题,第 17 题 至 21 题每题 12 分,在第 22、23 题中任选一题 10 分,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 如图,在 ?ABC 中, AB ? 2, cos B ?

1 ,点 D 在线段 BC 上. 3

3 ? ,求 AD 的长; 4 4 sin ?BAD 2 ,求 (2)若 BD ? 2DC, ?ACD 的面积为 的值. sin ?CAD 3
(1)若 ?ADC ? 18.(本小题满分 12 分) 近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇.2016 年“618”期间,某购物平台的销售业绩 高达 516 亿元人民币, 与此同时, 相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系. 现 从评价系统中选出 200 次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为 0.6,对服务 的好评率为 0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次. (1)请完成关于商品和服务评价的 2 ? 2 列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为商品好评与服务好评有关? (2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的 3 次购物中,设对商品和服务全为好

评的次数为随机变量 X : ①求对商品和服务全为好评的次数 X 的分布列: ②求 X 的数学期望和方差. 附临界值表:

P?K2 ? k?
k
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841
2

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n ? ad ? bc ? K 的观测值: k ? (其中 n ? a ? b ? c ? d )关于商品和服 ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
务评价的 2 ? 2 列联表: 对服务好评 对商品好评 对商品不满意 合计 19.(本小题满分 12 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是梯形, BC / / AD , AB ? AD ,且 80 10 200 对服务不满意 合计

AB ? BC ? 1, AD ? 2 ,顶点 P 在平面 ABCD 内的射影 H 在 AD 上, PA ? PD .

(1)求证:平面 PAB ? 平面 PAD ; (2)若直线 AC 与 PD 所成角为 60°,求二面角 A ? PC ? D 的余弦值. 20.(本小题满分 12 分) 已知焦点为 F 的抛物线 C1 : x ? 2 py ? p ? 0? ,圆 C2 : x2 ? y2 ? 1 ,直线 l 与抛物线相切于
2

点 P ,与圆相切于点 Q .

(1)当直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 时,求抛物线 C1 的方程; (2)记 S1 , S2 分别为 ?FPQ, ?FOQ 的面积,求 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

S1 的最小值. S2

ln x ? a ? m ? a, m ? R ? 在 x ? e ( e 为自然对数的底)时取得极值,且有 x

两个零点记为 x1 , x2 . (1)求实数 a 的值,以及实数 m 的取值范围; (2)证明: ln x1 ? ln x2 ? 2 . 选做题 (在第 22、23 两题中任选一题作答,若两题都做,按第 22 题 记分.) 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的参数方程为 ?

? ? x ? ?5 ? 2 cos t ? ? y ? 3 ? 2 sin t

( t 为参数) , 在以原点 O

为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为

? cos ? ? ?

? ?

??

?? ? 2. 4?

(1)求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与 x 轴, y 轴分别交于 A, B 两点,点 P 是圆 C 上任一点,求 A, B 两点的极坐 标和 ?PAB 面积的最小值. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 . (1)解不等式: f ? x ? ? f ? x ?1? ? 2 ; (2)若 a ? 0 ,求证: f ? ax ? ? af ? x ? ? f ? 2a ? .

参考答案 一、选择题 1 B 2 A 3 C 4 A 5 C 6 A 7 C 8 A 9 A 10 A 11 D 12 C

二、填空题 13. ?

1 3

14.

15 16

15. 4034 16. 15

三、解答题 17.(1)在三角形中,∵ cos B ?

1 2 2 ,∴ sin B ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 3 3

4 2 ,∴ S?ADC ? 4 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 3 1 ∵ S ?ABC ? AB ?BC sin ?ABC ,∴ BC ? 6 , 2 1 1 ∵ S ?ABD ? AB ?AD sin ?BAD, S ?ADC ? AC ?AD sin ?CAD , 2 2 sin ?BAD AC ? 2? , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分 S?ABD ? 2S?ADC ,∴ sin ?CAD AB
又 S ?ADC ? 在 ?ABC 中,由余弦定理得 AC ? AB ? BC ? 2 AB?BC cos ?ABC ,
2 2 2

∴ AC ? 4 2 ,∴

sin ?BAD AC ? 2? ?4 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 sin ?CAD AB

18.解: (1)由题 意可得关于商品和服务评价的 2 ? 2 列联表如下: 对服务好评 对商品好评 对商品不满意 合计
2

对服务不满意 40 10 50
2

合计 120 80 200

80 70 150

200 ? ?80 ?10 ? 40 ? 70 ? K ? ? 11.111 ? 10.828 ,故能在犯错误的概率不超过 0.001 的 150 ? 50 ?120 ? 80

前提下,认为商品好评与服务好评有关. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 (2)①每次购物时,对商品和服务全为好评的概率为 中

2 ,且 X 取值可以是 0,1,2,3.其 5

27 54 ? 3? ? 2 ? ? 3 ? 36 1 ? 2 ?? 3 ? P ? X ? 0? ? ? ? ? ; P ? X ? 1? ? C3 ; P ? X ? 2? ? C32 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 5 ? 125 ? 5 ?? 5 ? 125 ? 5 ? ? 5 ? 12


3

2

2

1

8 ? 2? ? 3? , P ? X ? 3? ? C ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125
3 3

3

0

X 的分布列为: X
0 1 2 3

P

27 125

54 125

36 125

8 125

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 ②由于 X ? B ? 3, ? , 则E? X 分 19.解析: (1)∵ PH ? 平面 ABCD, AB ? 平面 ABCD ,∴ PH ? AB , ∵ AB ? AD, AD ? PH ? H , AD, PH ? 平面 PAD ,∴ AB ? 平面 PAD , 又 AB ? 平面 PAB ,∴平面 PAB ? 平面 PAD . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 (2)以 A 为原点,如图建立空间直角坐标系 A ? xyz ,∵ PH ? 平面 ABCD , ∴ x 轴 / / PH . 则 A? 0,0,0? , C ?1,1,0? , D ? 0,2,0? ,设 AH ? a, PH ? h ? 0 ? a ? 2, h ? 0? , ∴ P ? 0, a, b ? , AP ? ? 0, a, h ? , DP ? ? 0, a ? 2, h ? , AC ? ?1,1, 0 ? ,
2 ∵ PA ? PD ,∴ AP ?DP ? a ? a ? 2 ? ? h ? 0 ,

? 2? ? 5?

? ? 3?

2 6 ? ,D X? 5 5

3 ??

2 ?2 ? 1 8 ? ? 1? ? ? ? 5 2 5 ?5 ?

. . . . . . . . . . . . 12

??? ?

??? ?

????

??? ? ??? ?

∵ AC 与 BD 所成角为 60°. ∴ cos AC , DP ?

???? ??? ?

a?2 2 ? ? a ? 2 ? ? h2
2

?

1 , 2

2 ∴ ? a ? 2 ? ? h ,∴ ? a ? 2?? a ?1? ? 0 , 2

∵ 0 ? a ? 2 ,∴ a ? 1 ,∵ h ? 0 ,∴ h ? 1 ,∴ P ? 0,1,1? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 ∴ AP ? ? 0,1,1? , AC ? ?1,1, 0 ? , PC ? ?1, 0, ?1? , DC ? ?1, ?1, 0 ? ,设平面 APC 的法向量为

??? ?

????

??? ?

????

? n ? ? x, y , z ? ,由

? ??? ? ? ? n?AP ? y ? z ? 0 ,得平面 APC 的一个法向量为 n ? ?1, ?1,1? ,设平面 DPC 的法向量为 ? ? ???? ?n?AC ? x ? y ? 0
?? m ? ? x, y , z ? ,

?? ??? ? ? m?PC ? x ? z ? 0 由 ? ?? ???? ,得平面 DPC 的一个法向量为 ?1,1,1? , ? m?DC ? x ? y ? 0 ?? ? ?? ? m?n 1 ∴ cos m, n ? ?? ? ? . m n 3
∵二面角 A ? PC ? D 的平面角为钝角,∴二面角 A ? PC ? D 的余弦值为

1 ? . . . . . . . . . . . . .12 分 3

20.解: (1)设点 P ? x0 ,

? ?

2 ? x0 x x2 2 ,求导 y ? ? , ? ,由 x ? 2 py ? p ? 0? 得, y ? 2p ? p 2p

2 x0 x0 ? 1 且 x0 ? 因为直线 PQ 的斜率为 1,所以 ? 2 ? 0 ,解得 p ? 2 2 , p 2p

所以抛物线 C1 的方程为 x2 ? 4 2 y . (2)因为点 P 处的切线方程为: y ?
2 x0 x 2 ? 0 ? x ? x0 ? ,即 2x0 x ? 2 py ? x0 ? 0, 2p p

根据切线与圆切,得 d ? r ,即

2 ? x0

4x ? 4 p
2 0

2

4 2 ? 1 ,化简得 x0 ? 4x0 ? 4 p2 ,

2 ?2 x0 x ? 2 py ? x0 ?0 2 ? 2 4 ? x0 ? ? 2 2 x ? y ?1 由方程组 ? ,解得 Q ? , ?, ? x0 2 p ? ? x4 ? 4 x2 ? 4 p2 ? 0 0 ? 0
2 x0 2 ? 所以 PQ ? 1 ? k xP ? xQ ? 1 ? 2 x0 ? p x0 2 2 2 p 2 ? x0 x0 ?2 , p x0

2 ? p 2 ? x0 1 2 ? p? 点 F ? 0, ? 到切线 PQ 的距离是 d ? ? x0 ? p 2 , 2 2 2 2 ? ? 4 x0 ? 4 p

所以 S1 ?

1 1 PQ ?d ? ? 2 2

2 2 2 p 2 ? x0 x0 ?2 1 2 x 2 ? p 2 x0 ?2 ? x0 ? p 2 ? 0 , p x0 2 4p x0

S2 ?

1 p , OF xQ ? 2 2 x0

4 2 4 2 而由 x0 ? 4x0 ? 4 p2 知, 4 p2 ? x0 ? 4x0 ? 0 ,得 x0 ? 2 ,

所以
2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 ? p 2 x0 ? 2 2 x0 ? x0 ? p ?? x0 ? 2 ? ? 4 x0 ? x0 ? 4 x0 ?? x0 ? 2 ? x0 ? x0 ? 2 ? S1 x0 ? ? ? ? ? 4 2 2 S2 4p x0 p 2 p2 2 ? x0 ? 4 x0 2 ? x0 ? 4? ?

?

2 x0 ?4 4 ? 2 ?3? 2 2 ?3 2 x0 ? 4

当且仅当

2 x0 ?4 4 2 时取“=”号,即 x0 ? 2 ? 4 ? 2 2 ,此时, p ? 2 ? 2 2 . 2 x0 ? 4

所以

S1 的最小值为 2 2 ? 3 . S2

1 ?x ? ? ln x ? a ? a ? 1 ? ln x x ? 21.(1) f ? x ? ? , ? a x x2
由 f ? ? x? ? 0 ? x ? e 所以 f ? x ? 在 x ? e 所以 f ? x ? ?
a ?1

a ?1

,且当 x ? e

a ?1

时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? e
a ?1

a ?1

时, f ? ? x ? ? 0 ,

时取得极值,所以 e

? e ? a ? 0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分

ln x 1 ? ln x ? m, ? x ? 0 ? , f ? ? x ? ? ,函数 f ? x ? 在 ? 0, e ? 上递增,在 ? e, ??? 上 x x2

递减, f ? ? e ? ?

1 ?m, e

x ? 0 ? x ? 0? 时, f ? x ? ? ??; x ? ?? 时, f ? x ? ? ?m, f ? x ? 有两个零点 x1 , x2 ,
?1 1 ? ?m ?0 故 ?e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 ,0 ? m ? , e ? ? ?m ? 0
(2)不妨设 x1 ? x2 ,由题意知 ?

? ln x1 ? mx1 , ?ln x2 ? mx2

x2 x x1 则 ln x1 x2 ? m ? x1 ? x2 ? , ln 2 ? m ? x2 ? x1 ? ? m ? . x1 x2 ? x1 ln
需证 ln x1 ? ln x2 ? 2 ,只需证明 x1 ?x2 ? e2 ,只需证明: ln ? x1 ?x2 ? ? 2 , 只需证明: m ? x1 ? x2 ? ? 2 ,即证:

? x1 ? x2 ? ln x2
x2 ? x1 x1

? 2,

1?
即证

x2 x1

x2 ?1 x1

ln

x2 t ?1 x ? 2 ,设 t ? 2 ? 1 ,则只需证明: ln t ? 2? . t ?1 x1 x1
t ?1 ? 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分 t ?1
2

也就是证明: ln t ? 2?

? t ? 1? ? 0 , t ?1 1 4 , ? t ? 1? ,∴ u? ? t ? ? ? ? 记 u ? t ? ? ln t ? 2? 2 2 t ?1 t ? t ? 1? t ? t ? 1?
∴ u ? t ? 在 ?1, ?? ? 单调递增, ∴ u ?t ? ? u ?1? ? 0 ,所以原不等式成立,故 x1 x2 ? e2 ,则 ln x1 ? ln x2 ? 2 得 证. . . . . . . . . . . .12 分 22.(1)由 ?

? ? x ? ?5 ? 2 cos t ? ? y ? 3 ? 2 sin t

,消去参数 t ,得 ? x ? 5 ? ? ? y ? 3? ? 2 ,
2 2 2 2

所以圆 C 的普通方程为 ? x ? 5 ? ? ? y ? 3? ? 2 , 由 ? cos ? ? ?

? ?

??

? ? ? 2 ,得 ? cos ? ? ? sin ? ? ?2 , 4?

所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 (2)直线 l 与 x 轴, y 轴的交点为 A? ?2,0? , B ? 0, 2? ,化为极坐标为 A ? 2, ? ? , B ? 2, 设 P 点的坐标为 ?5 ? 2 cos t ,3 ? 2 sin t ,则 P 点到直线 l 的距离为

? ?

??

?, 2?

?

?

d?

?5 ? 2 cos t ? 3 ? 2 sin t ? 2 2

? ?? ?6 ? 2cos ? t ? ? ? 4? . ? 2

∴ d min ?

4 ? 2 2 ,又 AB ? 2 2 , 2
1 ?2 2 ?2 2 ? 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 2

所以 ?PAB 面积的最小值是 S ? ?

23.(1)由题意,得 f ? x ? ? f ? x ? 1? ? x ?1 ? x ? 2 , 因此只须解不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 2 , 当 x ? 1 时,原不等式等价于 ?2 x ? 3 ? 2 ,即

1 ? x ? 1; 2 5 . 2

当 1 ? x ? 2 时,原不等式等价于 1 ? 2 ,即 1 ? x ? 2 ; 当 x ? 2 时,原不等式等价于 2 x ? 3 ? 2 ,即 2 ? x ? 综上,原不等式的解集为 ? x | (2)由题意得

? ?

1 5? . . . . . . . . . . . .5 分 ? x? ?. 2 2?

f ? ax ? ? af ? x ? ? ax ? 2 ? a x ? 2 ? ax ? 2 ? 2a ? ax ? ax ? 2 ? 2a ? ax ? 2a ? 2 ? f ? 2a ?
, 所以 f ? ax ? ? af ? x ? ? f ? 2a ? 成立. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分


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