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3.3.1两条直线的交点坐标


§3.3.1两直线的交点坐标
重点:解方 程组的能力

引入:
?

讨论:直线上的点与其方程Ax+By+C=0的解有 什么样的关系? ? 练习:完成书上P102的填表 ? 直线l上每一个点的坐标都满足直线方程,也就 是说直线上的点的坐标是其方程的解。反之直线 l的方程的每一组解都表示直线上的点的坐标。 ? 讨论:点A(-2,2)是否在直线l1:3X+4Y-2=0上? 点A(-2,2)是否在直线l2:2X+Y+2=0上? ? 讨论:点A和直线l1与l2有什么关系?为什么?

已知两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 相交, 如何求这两条直线交点的坐标 ?

问题1:方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系?

1.若方程组无解,则l1//l2 2.若方程组有且只有一个解,则l1与l2相交 3.若方程组有无数解,则l1与l2重合

例题分析
例1 求下列两条直线的交点: l1:3x+4y-2=0, l2:2x+y+2=0. 解:解方程组 3x+4y-2=0 得 2x+y+2=0 ? x=-2

y=2 所以直线l1与l2相交.交点为(-2,2)

例题分析
例2、判定下列各对直线的位置关系,若相交, 则求交点的坐标

? l1 : x ? y ? 0 (1) ? ?l 2 : 3 x ? 3 y ? 10 ? 0 ? l1 : 3x ? y ? 4 ? 0 (2) ? ?l2 : 6 x ? 2 y ? 1 ? 0

?l1 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 (3) ? ?l2 : 6 x ? 8 y ? 10 ? 0

例题分析
例2、判定下列各对直线的位置关系,若相交, 则求交点的坐标
? l1 : x ? y ? 0 (1) ? ? l 2 : 3 x ? 3 y ? 10 ? 0
解: 解方程组 ?x? y ? 0 ? ? 3 x ? 3 y ? 10 ? 0

5 ? ? x ?3 ? 得    ? ? y ?5 ? 3 ?

5 5 所以,l1与l2 相交,交点是M ,) ( 3 3

例题分析
例2、判定下列各对直线的位置关系,若相交, 则求交点的坐标
? l1 : 3 x ? y ? 4 ? 0 (2) ? ? l2 : 6 x ? 2 y ? 1 ? 0
?3 x ? y ? 4 ? 0 解:解方程组 ? ?6 x ? 2 y ? 1 ? 0
①×2-② 得 9=0,矛盾 ① ②

方程组无解,所以两直线无公共点,l1 / / l2 .

例题分析
例2、判定下列各对直线的位置关系,若相交, 则求交点的坐标
? l1 : 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 (3) ? ? l2 : 6 x ? 8 y ? 10 ? 0

?3 x ? 4 y ? 5 ? 0 解 : 解方程组 ? ? 6 x ? 8 y ? 10 ? 0




①×2 得 6 x ? 8 y ? 10 ? 0 因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一 条直线, l1与l2重合.

问题2:如何根据两直线的方程系数之间的关系来 判定两直线的位置关系? 利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置关系
已知方程组
A1x+B1y+C1=0 (1)

A2x+B2y+C2=0 当A1,A2,B1,B2不全为零时

(2)

(1)×B2-(2)×B1得(A1B2-A2B1)x=B1C2-B2C1 讨论:⒈当A1B2-A2B1≠0时,方程组有唯一解,两直线相交. C1A2-C2A1 y= —————— A1B2-A2B1 ⒉当A1B2-A2B1=0, B1C2-B2C1≠0 时,方程组无解, 两条直线平行. ⒊当A1B2-A2B1=0, B1C2-B2C1=0 时,方程组有无 穷多解,两条直线重合. B1C2-B2C1 x = —————— A1B2-A2B1

针对性练习 已知两直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0, 问当m为何值时,直线l1与l2: ① 相交,② 平行,③ 重合,④ 垂直

① m ? 3且m ? ?1
② ③ ④

m ? ?1 m?3 1 m? 2

当? 变化时, 方程 3 x ? 4 y ? 2 ? ? (2 x ? y ? 2) ? 0 表示什么图形 ? 图形有何特点 ?

经过两直线的交点,且与第二条不重 合的直线的集合-----直线束 在这个集合中如何确定过点(4,-2)的 练习:求经过原点及两条直线l1:3x+4y-2=0, 直线? l2:2x+y+2=0的交点的直线的方程.

已知直线l 过两直线l1 : 3 x ? 4 y ? 2 ? 0, l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点,分别求满足条件的直线l 的方程.

(1) 直线l过点N (5, ?7); (2) 直线l 过点N (6, ?4); (3) 直线l 过点N (2, ?6); (4) 直线l与直线14 x ? 12 y ? 21 ? 0平行.

1.直线(2k ? 1) x ? ( k ? 3) y ? ( k ? 11) ? 0( k ? R)所经过 的定点是(B ) 1  A.(5, 2)   B.(2, 3)   C .( ? , 3)   D.(5, 9)   2 2.两条直线 2 x ? my ? 4 ? 0和2mx ? 3 y ? 6 ? 0的交点位于
第二象限, m的取值范围是(B ) 则

3 3 3 3 A. ? ? m ? 2 B. ? ? m ? 2  C . ? ? m ? 2  D. ? ? m ? 2   2 2 2 2
3.过直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点,且垂直于直线 2x+y-8=0 x-2y=0的直线的方程是____________.

1)是直线l1 : Ax ? 4 y ? 2 ? 0与 (4) 若点(2, 直线l2 : 2 x ? By ? 2 ? 0的交点,则A ? B ?

?7

(5)   三条直线 ax ? 2 y ? 8 ? 0,4 x ? 3 y ? 10 ? 0

与2 x ? y ? 10 ? 0相交于一点,则实数a=
平行,则A ?
都过定点

?1

(6) 若直线l1 : Ax ? 6 y ? 9 ? 0与l2 : 2 x ? 3 y ? 15 ? 0

4

(7) 不论? 取何实数,直线(2? ? 1) x ? (? ? 3) y ? (? ? 4) ? 0

(1, ?1)

课堂练习 8、两条直线y=kx+2k+1和x+2y-4=0的交点 1 1 {k | ? ? k ? ? } 在第四象限,则k的取值范围是 2 6

9.在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得
(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大; (2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小. y 解:(1)如图,B关于l的对称点B’(3,3) B
求得直线AB '的方程为2 x ? y ? 9 ? 0 ?2 x ? y ? 9 ? 0 由? ?3x ? y ? 1 ? 0

l P B’

A
O x

?x ? 2 解得 ?   即P(2,5) ?y ? 5

10.在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得 (2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小. 3 24 y C’ l 解 : C关于l的对称点C '( , ) 5 5 由图象可知 :| PA | ? | PC |?| AC ' | P 11 26 当P是直线AC ' 与l的交点P( , )时, P’ 7 7 11 26 “ ? ”成立.所以P( , ). O 7 7

C
A

x

解下列方程组
?3 x ? 4 y ? 2 ? 0 (1) ? ? 2x ? y ? 2 ? 0
?2 x ? 6 y ? 0 ? (3) ? 1 1 ?y? 3 x? 2 ?

?2 x ? 6 y ? 3 ? 0 ? (2) ? 1 1 ? y? 3 x? 2 ?

问题2:如何根据两直线的方程系数之间的关 系来判定两直线的位置关系?

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0

l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2 A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2

l1与l2重合
l1与l2平行

A1 B1 ? A2 B2

l1与l2相交

小结
利用二元一次方程组的解判断平面上两条直线 的位置关系 ⒈方程组有唯一解,则两直线相交.
⒉方程组无解,则两直线平行 ⒊方程组有无穷多解,则两直线重合.

布置作业 学生同步课时作业P109-110


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