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江西省南昌市第二中学2013-2014学年高三上学期第二次月考数学(文)试卷


江西省南昌市第二中学 2013-2014 学年高三上学期第二次月考

数学(文)试卷
一、选择题: 本大题共 10 小题, 每题 5 分, 50 分.在每小题给出的四个选项中, 共 只有一个符合一目要求的. 1. 若集合 A ? {x | y ? 2 x } ,集合 B ? {x | y ? x } ,则 A∩B= A. (0,+∞) B. (1,+∞) C. [0,+∞) D. (-∞,+∞) 2.当 0 ? x ? 3 时,则下列大小关系正确的是 A. x 3 ? 3 x ? log 3 x B. 33 ? x x ? log 3 x
x C. log 3 ? x 3 ? 3 x x D. log 3 ? 3 x ? x 3

4 3.已知角 ? 的终边经过点 P(?8m,?6 cos 60 0 ) ,且 cos? ? ? ,则 m 的值为 5 3 3 1 1 A. B. ? C. ? D. 2 2 2 2

4.函数 y ? 3 sin 2 ( A. 2

?
2

x?

? 1 ? 5.已知 sin(? ? ) ? ,则 cos( ? ? ) 的值等于 4 3 4 2 2 2 2 1 1 A. B. ? C. D. ? 3 3 3 3 6.已知函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,且满足 f ( x) ? 2 xf ?(e) ? ln x ,则 f ?(e) ? A. e ?1 B. ?1 C. ? e ?1 D. ? e ?? ? 7. 若函数 y ? f ? x ? 的导函数为 y ? f ?? x ? , f ?? x ? ? 2 cos? 2 x ? ? , y ? f ? x ? 且 则 6? ? 在 ?0, ? ? 上的单调增区间为 ? ?? ? 2? ? A. ?0, ? B. ? , ? ? ? 6? ? 3 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2? ? C. ?0, ? 和 ? , ? ? D. ?0, ? 和 ? , ? ? ? 6? ?3 ? ? 6? ? 3 ?

) 的最小正周期为 ? ,则 ? 为 4 B. 4 C. ? 2

?

D. ? 4

8.如图是函数 y ? 4sin(?x ? ?) (? ? 0,| ? |? ?) 图像的 一部分,则
-1-

13 5? 11 ? B. ? ? , ? ? ,? ? 5 6 5 6 7 5? 23 ? C. ? ? , ? ? D. ? ? , ? ? 5 6 5 6 9.在 ?ABC △中,若 3sin A ? 4 cos B ? 6 , 4sin B ? 3cos A ? 1 ,则角 C 为 A. 300 B. 300 或 1500 C. 1500 D. 600 10.设 x ? R ,则 f ? x ? = coscos x 与 g ? x ? = sin sin x 的大小关系( ) A. f ( x) ? g ( x) B. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g ( x) D. f ( x) ? g ( x) A 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

A. ? ?

? 3 , ?0 ? ? ? ? ? , a ? =________ . 11. 已知 sin( ? ? ) ? 则n t 2 2 12.若 f (cos x) ? cos 2 x ,则 f (sin15?) ? ____________. B
3 2

13.函数 y ? cos x ? sin x ? cos x 的最大值____________. 14.如图, 在 ?ABC 中, ?B ? 45 ? , D 是 BC 边上一点, AD ? 5, AC ? 7, DC ? 3 ,则 AB 的长为________. 15.对于 ?ABC ,有如下四个命题: ①若 sin 2 A ? sin 2B ,则 ? ABC 为等腰三角形,②若 sin B ? cos A ,则 ? ABC 是不一定直角三角形③若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 ? ABC 是钝角三角形[来 a b c ]④若 ,则 ? ABC 是等边三角形。其中正确的命题是 . ? ? A B C cos cos cos 2 2 2 三、解答题:本大题共 7 小题,共 85 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 16. (本小题 12 分) ? ? ? ? 2 已 知 向 量 m ? (cos? ? ,?1), n ? (sin ? ,1), m 与 n 为 共 线 向 量 , 且 3 ? ? [?? ,0] . (Ⅰ)求 sin? ? cos? 的值 sin 2? (Ⅱ)求 的值 sin ? ? cos?

D (第 14 题)

C

17. (本小题 12 分)

-2-

1 已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? ae x . 2 (Ⅰ)若 a ? 1 ,求 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)若 f (x) 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题 12 分) 在 锐 角 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 是 内 角 A, B, C 所 对 边 长 , 且 满 足
sin 2 A ? sin( ? B) ? sin( ? B) ? sin 2 B 。 3 3 (Ⅰ)求角 A 的大小; ??? ???? ? (Ⅱ)若 AB ? AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b, c(b ? c) .

?

?

19. (本小题12分) 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax 2 ? b ? a, b ? R ? . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)若对任意 a ? [3, 4] ,函数 f ( x) 在 R 上都有三个零点,求实数 b 的取 值范围.[来源:学+科+网]

-3-

20. (本小题 13 分)

已知函数 f ( x) ? sin( x ? ) ? 2 cos2 x ? 1 , 函数 g (x) 与函数 f (x) 图像关 2 6 4 于 y 轴对称. (Ⅰ)当 x ? [0,2] 时,求 g (x) 的值域及单调递减区间 (Ⅱ)若 g ( x0 ? 1) ?
3 5 2 , x0 ? (? ,? ) 求 sin ?x0 值 3 3 3

?

?

?

21. (本小题 14 分)
x 2 ? ax ? b ,是否存在实数 a、b、c,使 f (x) 同时满 x 2 ? cx ? 1 足下列三个条件: (1)定义域为 R 的奇函数; (2)在 ?1,?? ? 上是增函数; (3) 最大值是 1.若存在,求出 a、b、c;若不存在,说明理由.

已知函数 f ( x) ? log 3

?? x 3 ? x 2 ( x ? 1) ? 附加题(本小题 10 分,计入总分)已知函数 f ( x) ? ? a ? (1 ? ln x) ,曲 ( x ? 1) ? x ?
线 y ? f (x) 上是否存在两点 P, Q ,使得△ POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形, 且此三角形斜边的中点在 y 轴上。 如果存在, 求出实数 a 的范围; 如果不存在, 说明理由。

南昌二中 2013-2014 学年度上学期第二次考试
-4-

高三数学(文)参考答案
1.【解析】选 C;注意集合对象, A ? R, B ? [0,??) ,? A ? B ? ?0,?? ?
3 x 2. 【解析】C;不妨设 x ? 2 ,则 x ? 8,3 ? 9, log 3 x ? log 3 2 ? 1 ,所以 log 3 ? x ? 3 ,

x

3

x

因此选 C。 3. 【解析】选 A ; cos? ?

? 8m 64 m 2 ? 36 cos2 60 ?

?

? 8m 64 m 2 ? 9

??

4 1 , m2 ? , 5 4

1 1 m ? ? ,但 m ? 0 , m ? 2 2
4. 【解析】选 C; y ? 3 sin (
2

?
2

x?

?
4

) ? 3?

1 ? cos(?x ? 2

?

T?

2?

) 2 ? 3 sin ?x ? 3 , 2 2

?

? ? ∴ ? ? ?2 。

? ? 1 ? ? ) ? sin( ? ? ) ? ? sin(? ? ) ? ? 4 2 4 4 4 3 1 1 ' ?1 ' ' ' ' 6. 【解析】选 C; f ( x) ? 2 f (e) ? ,? f (e) ? 2 f (e) ? 即 f (e) ? ?e 。 x e ?? ? 7 . 【 解 析 】 选 D ; 由 f ?? x ? ? 2 cos? 2 x ? ? ? 0 , 得 6? ?
5. 【解析】选 D: cos( ? ? ) ? sin(

?

?

?

?

2k? ?
k? ?

?

?

2

? 2x ?

?

6

? 2k? ?

?

3 ? 2? ? x ? ? ,? ? 。 ? 3 ?

? x ? k? ?

?

? ?? , k ? Z , 取 k ? 0, k ? 1 , 又 x ? ?0, ? ? , 得 x ? ?0, ? 和 6 ? 6?

2

, k ? Z ,也即得

8 .【 解 析 】 选

5? 5? 5? 2? 5? 6 1 2 ? T ? ,即 ? ,所以 ? ? ?,所以 A、D 排除。对于选项 B:当 ? 6 3 6? 3 5 5 11 ? 11 ? 1 1 ? ? 5 ? 5? 5? 令 x ? ? , 得x ? , 因为 0 ? , ? ? , ? ? 时,y ? 4sin( x ? ) , ? 5 6 5 6 5 6 2 3 3 33 6
式 两 边 平 方 相 加 得 ,

C ; 由 图 像 知 函 数 的 周 期 满 足 :

与图像矛盾,因此排除。所以答案选 C。 9 . 【 解 析 】 A ; 两

9 ? 16 ? 24 sin A cos B ? 24 cos Asin B ? 37 ? sin C ? sin(A ? B) ?
?C ? 30 ? 或 150
?

若 ?C ? 150

?

则 0 ? A ? 30

?

1 2 ? , 0 ? B ? 30 , 得

4 s i B ? 3 c o As? 0 ? 3 ? n

3 ? 与 4 sin B ? 3 cos A ? 1 矛盾,?C ? 30 。 2
-5-

10. 【解析】选 C;初步判断便可以确定: f ? x ? 、 g ? x ? 都是周期函数,且最小正周期都 另外,由于 f ? x ? 为偶函数, g ? x ? 为奇函数,所以,很自然的可以联想到:能否把需考 虑的的范围继续缩小? 事实上,当 x ? ?? ? ,0?时, f ? x ? >0, g ? x ? ? 0 恒成立,此时, f ? x ? > g ? x ? . 下面,我们只需考虑 x ? ?0, ? ? 的情形. 如果我们把 f ? x ? 看作是关于 cos x 的余弦函数,把 g ? x ? 看作是关于 sin x 的正弦函数, 那么这两个函数既不同名,自变量也不相同,为了能进行比较,我们可以作如下恒等变 换,使之成为同名函数,以期利用三角函数的单调性. sin sin x ? cos? 至此为止,可以看出:由于 为 2? .所以,只需考虑 x ? ?? ? , ? ?的情形.

?
2

?? ? ? sin x ? ?2 ?

(即 ? sin x 和 cos x 同属于余弦函数的一个单调区间,

?
2

,所以,只需比较 ? sin x , cos x ?0, ? ?)

?
2

? sin x 与 cos x 的大小即可.

?? ? ? ? 2 sin? x ? ? ? ? 2 ? 0 2 4? 2 2 2 ? 所以,利用余弦函数在 ?0, ? ?上单调递减,可得: sin sin x < coscos x .也即 g ? x ? < f ? x ?
事实上, (

?

? sin x )— cos x =

?

? sin x — cos x =

?

另解:可用特值法代入验算,轻易得出结论。

三、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 3 3 1 3 ,? 0 ? ? ? ? ,? sin ? ? ,? tan? ? 11. 【解析】 ; cos? ? 2 2 3 3 3 12. 【解析】 ? ; f (sin15?) ? f (cos 75?) ? cos150? ? cos(180? ? 30?) ? ? cos 30? ? ? 3 2 2
32 3 2 : y ? cos x ? (1 ? cos x) ? cos x , 令 t ? cos x , 则 ?1 ? t ? 1 , 有 27 3 2 y ? t ? t ? t ? 1 ,得 y ' ? 3t 2 ? 2t ? 1 1 1 1 ' ' 令 y ? 0 , 有 t1 ? 1 , t2 ? ? ① 当 ?1 ? t ? ? 时 , y ? 0 , y 为 增 函 数 ; ② 当 ? ? t ? 1 3 3 3 ' 时, y ? 0 , y 为减函数. 1 1 1 32 32 y极大 ? (? )3 ? (? )2 ? (? ) ? 1 = ,于是 y 的最大值是 . 3 3 3 27 27 2 2 2 5 14. 【解析】 6 ;在 ?ADC 中 , cos ?ADC ? AD ? DC ? AC ? 9 ? 25 ? 49 ? ? 1 , 2 2 AD ? DC 2 ? 3? 5 2 AB AD , ? ?ADC ? 120 ? 在 ?ABD 中, ?ADB ? 60 ? , ?ABD ? 45 ? , sin ?ADB sin ?ABD
13 . 解 析 】 【

-6-

AB ?

5?

15. 【解析】②④;对于①,若 sin 2 A ? sin 2B , 2 A ? 2B 或 2 A ? 2B ? ? ,∴ A ? B 或 A? B ?

3 2 ?5 6。 2 2 2

?

2

, 则 ?ABC 为 等 腰 或 直 角 三 角 形 ; 对 于 ② , 若 s i nB ? c oA , 则 s

即, s i nB ? s i n (? A ∴ B ? ? A或B ? ? A ? ? , 则 ?ABC 不一定为直角三角形; ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 对于③若 sin A ? sin B ? sin C ,则 a ?b ?c ,∴ C 为锐角,但不能判断 A 或 B 为 a b c sin A sin B sin C 钝角;对于④若 , 则 ,∴ ? ? ? ? A B C A B C cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 A B C A B C sin ? sin ? sin ,∴ ? ? ,∴ A ? B ? C ,∴ ?ABC 是等边三角形. 2 2 2 2 2 2 三、解答题:本大题共 7 小题,共 85 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

?

?

?

步骤.
16. 本小题 12 分) 解析】 Ⅰ) ( 【 : ( ∵m 与 n 为共线向量, (cos? ∴ 即 sin ? ? cos? ?

2 ) ? 1 ? (?1) ? sin ? ? 0, 3

2 .3 分 3

(Ⅱ)?1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos? ) 2 ?

2 7 ,? sin 2? ? ? . 9 9

…6 分

? (sin ? ? cos? ) 2 ? (sin ? ? cos? ) 2 ? 2,? (sin ? ? cos? ) 2 ? 2 ? (


2 2 16 ) ? . 3 9

? ? ? [?? ,0],

sin? ? cos? ? 0

? ? ? [?

?
2

,0]

4 ? sin ? ? cos? ? 0, sin ? ? cos? ? ? . …9 分 3 sin 2? 7 因此, ? . sin ? ? cos? 12

…12 分

17. (本小题 12 分) 【解析】 (Ⅰ)由 a ? 1 , f ( x) ? ?

1 2 3 x ? 2 x ? e x , f (1) ? ? e ∴ 2 2

f ?( x) ? ? x ? 2 ? e x , …2 分


f ?(1) ? 1 ? e

∴ 所 求 切 线 方 程 为 y ? ( ? e) ? (1 ? e)( x ? 1) , 即

2 (? 1 x ?e y ? ?2 . …6 分0 ) 1
-7-

3 2

1 (Ⅱ) 由已知 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? ae x , f ?( ) ?? ? 2? ae x . 得 x ∵函数 f (x) 在 R 上 x 2 是增函数, ∴ f ?( x) ? 0 恒 成 立 , 即 不 等 式 ? x ? 2 ? ae x ? 0 恒 成 立 . 整 理 得

?x ? 2 . …9 分 ex ?x ? 2 x ?3 令 g ( x) ? , g ?( x) ? x . x, g ?( x), g ( x) 的变化情况如下表: ex e a?

x
g ?( x)

(?? , 3)
?
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

3

(3 , ? ?)
+

0
极小值

g ( x)

?3 由此得 a ? g (3) = ?e?3 ,即 a 的取值范围是 ?? , ? e ? . ?

?

…12 分

18. (本小题 12 分) 【解析】(Ⅰ)? sin 2 A ? (sin ? cos B ? cos ? sin B)(sin ? cos B ? cos ? sin B) ? sin 2 B : 3 3 3 3

3 1 3 ? ? sin 2 A ? cos2 B ? sin 2 B ? sin 2 B , 即 s i 2 n ? A , ? 0? A? 4 4 4 2 3 ? ? sin A ? ,A? 2 3 1 (Ⅱ)? AB ? AC ? bc cos A ? bc ? 12 ,?bc ? 24 2 2 2 2 2 又 a ? b ? c ? 2bc cos A ,? 28 ? (b ? c) ? 3bc ?b ? c ? 10 ? b与c 是方程 x 2 ? 10 x ? 24 ? 0 的两解,? b ? c,?b ? 4, c ? 6
19. (本小题 12 分)
2 【解析】 (1)∵ f ( x) ? ? x ? ax ? b ,∴ f ?( x) ? ?3x ? 2ax ? ?3x( x ?
3 2

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 函数 f ( x) 没有单调递增区间; 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ?

2a ). 3

2a 2 .函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, a ) ; 3 3 2a 2 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , 令 得 函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( a, 0) . … ? x ? 0., 3 3
(Ⅱ)由(1)知, a ? ?3, 4? 时, x, f ?( x), f ( x) 的取值变化情况如下:
-8-

6分

x
f ?( x) f ( x)

(??, 0)

0
0
极小值

2 (0, a ) 3
?

2 a 3
0
极大值

2 ( a, ??) 3

?

?

∴ f ( x)极小值 ? f (0) ? b , f ( x)极大值

∵对任意 a ? ?3, 4? , f ( x) 在 R 上都有三个零点,

2a 4a 3 ? f( )? ?b , 3 27

…8 分

? f ? 0 ? ? 0, ?b ? 0, 4a 3 ? ? ? b ? 0 …10 分 ∴ ? 2a ,即 ? 4a 3 得? 27 ? b ? 0. ? f ( ) ? 0. ? ? 27 ? 3 4a 3 4a 3 4 ? 33 ) max ? ? ? ?4 . ∵对任意 a ? [3, 4] , b ? ? 恒成立,∴ b ? (? 27 27 27 ∴实数 b 的取值范围是 ? ?4, 0 ? . …12 分
20. (本小题 13 分) 【解析】 (Ⅰ)

? ? ? ? 3 ? 1 f ( x) ? sin( x ? ) ? 2 cos2 x ? 1 ? sin x ? ? cos x ? ? 2 ? 2 6 4 2 2 2 2 ? 1 ? 3 ? ? ? 3 (sin x ? ? cos x ? ) ? 3 sin( x ? ) …2 分 2 2 2 2 2 3 又 g (x) 与 f (x) 图像关于 y 轴对称,得
g (x) ? f (? x) ? 3 sin(?

1 ? cos 2

?
2

x

?1

x ? ) ? ? 3 sin( x ? ) 2 3 2 3 ? ? 3 ? ? ? 4? ,1] 即 当 x ? [0,2] 时,得 ( x ? ) ? [ , ] ,得 sin( x ? ) ? [? 2 3 2 2 3 3 3 3 g ( x) ? [? 3, ] …4 分 2
g (x) 单调递减区间满足 2k? ?

?

?

?

?

?

2

?

?

2

x?

?

3

? 2k? ?

?

2

, k ? Z ,得

5 1 ? x ? 4k ? , k ? Z 3 3 5 1 取 k ? 0 ,得 ? ? x ? , k ? Z ,又 x ? [0,2] , g (x) 单调递减区间为 3 3 1 …7 分 [0, ] 3 4k ?
-9-

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

g ( x0 ? 1) ? ? 3 sin[ ( x0 ? 1) ? ] ? 3 sin[ ? ( x0 ? )] ? 3 cos( x0 ? ) 2 3 2 2 3 2 3 3 ? 3 ? ? 1 得 cos( x0 ? ) ? ,由于 2 3 3 2? ? ? 2 7 …8 分 cos(?x0 ? ) ? 2 cos2 ( x0 ? ) ? 1 ? ? 1 ? ? 3 2 3 9 9


?

?

?

?

?

?

?

5 2 2? x0 ? (? ,? ) ? (?x0 ? ) ? (?? ,0) 3 3 3 2? ? ? 4 2 ? sin(?x0 ? ) ? ? 1 ? cos2 ( x0 ? ) ? ? 10 分 3 2 3 9 2? 2? 2? 2? 2? 2? sin(?x0 ) ? sin[(?x0 ? )? ] ? sin(?x0 ? ) cos ? cos(?x0 ? ) sin 3 3 3 3 3 3 4 2 1 7 3 4 2 ?7 3 ? (? )( ? ) ? (? ) ? …13 分 9 2 9 2 18
21. (本小题 14 分) 【解析】 f (x) 是奇函数 ? f (0) ? 0 ? log 3 b ? 0,? b ? 1. : 又? f (? x) ? ? f ( x) ,即 log 3 ∴ …3 分

x 2 ? ax ? 1 x 2 ? ax ? 1 ? ? log 3 2 , x 2 ? cx ? 1 x ? cx ? 1

x 2 ? 1 ? ax x 2 ? 1 ? cx ? 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ? a 2 x 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ? c 2 x 2 . 2 x ? 1 ? cx x ? 1 ? ax 2 2 ∴ a ? c ? a ? c 或 a ? ?c ,但 a ? c 时, f ( x) ? 0 ,不合题意;故 a ? ?c . …6 分 x 2 ? cx ? 1 在 ?1,?? ? 上是增函数,且最大值是 1. x 2 ? cx ? 1 x 2 ? cx ? 1 设 u ( x) ? 2 在 ?1,?? ? 上是增函数,且最大值是 3. x ? cx ? 1 (2 x ? c)( x 2 ? cx ? 1) ? (2 x ? c)( x 2 ? cx ? 1) 2c( x 2 ? 1) 2c( x ? 1)( x ? 1) ?( x) ? , ?u ? 2 ? 2 2 2 ( x ? cx ? 1) ( x ? cx ? 1) ( x 2 ? cx ? 1) 2 2 当 x ? 1 时 x ? 1 ? 0 ? u?( x) ? 0 ,故 c ? 0 ; …8 分 又当 x ? ?1 时, u?( x) ? 0 ;当 x ? (?1,1) 时, u?( x) ? 0 ; 故 c ? 0 ,又当 x ? ?1 时, u?( x) ? 0 ,当 x ? (?1,1) 时, u?( x) ? 0 . 所以 u (x ) 在 (??,?1) ? (1,??) 是增函数,在(-1,1)上是减函数. …10 分
这时 f ( x) ? log3 又? x ? 1 时, x ? cx ? 1 ? x ? cx ? 1, u ( x) ? 1,? x ? ?1 时 u (x ) 最大值为 3. …11 分
2 2

- 10 -

1? c ?1 ? 3, c ? 1, a ? ?1. 经验证: a ? ?1, b ? 1, c ? 1时, f (x) 符合题设条件, 1? c ?1 所以存在满足条件的 a、b、c,即 a ? ?1, b ? 1, c ? 1. …14 分


附加题(本小题 10 分,计入总分)
【解析】假设曲线 y ? f (x) 上存在两点 P, Q 满足题意,则 P, Q 只能在 y 轴两侧, 因为△ POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,所以 OP ? OQ ? 0 , 不妨设 P(t , f (t ))(t ? 0) ,则由△ POQ 斜边的中点在 y 轴上知 Q(?t , t ? t ) ,且 t ? 1 .
3 2

由 OP ? OQ ? 0 ,所以 ? t ? f (t )(t ? t ) ? 0 .(*)
2 3 2

是否存在两点 P, Q 满足题意等价于方程(*)是否有解问题. …3 分
3 2 (1)当 0 ? t ? 1 ,即 P, Q 都在 y ? ? x ? x 上,则 f (t ) ? ?t ? t ,代入方程(*),得

3

2

? t 2 ? (?t 3 ? t 2 )(t 3 ? t 2 ) ? 0 , 即 t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 ,而此方程无实数解; a ? (1 ? ln x) 3 2 ( 2 ) 当 t ?1 时 , , 即 P 在 y ? 上 , Q 在 y ? ?x ? x 上 则 x a ? (1 ? ln t ) a ? (1 ? ln t ) 3 2 2 , 代 入 方 程 (*), 得 ? t ? f (t ) ? ? (t ? t ) ? 0 , 即 t t 1 (1 ? t )(1 ? ln t ) ? a t (1 ? x)(1 ? ln x) 设 g ( x) ? 则 x [(1 ? x)(1 ? ln x)] ' ? x ? (1 ? x)(1 ? ln x) x ? ln x g ' ( x) ? …5 分 ? x2 x2 1 x ?1 x ?1 ' ' 再设 h( x) ? x ? ln x , h ( x) ? 1 ? ? 则 所以 h ( x) ? ( x ? 1) , ? 0 在 (1,??) x x x
上恒成立,

? h(x) 在 (1,??) 上递增,? h( x) ? h(1) ? 1 ? 0 从而 g ' ( x) ? 0 故 g (x) 在 (1,??) 也单调
递增。 所以 g ( x) ? g (1) ? 2 ,即

1 1 1 (1 ? t )(1 ? ln t ) 有解,即方 ? 2 ,所以 0 ? a ? 时,方程 ? a 2 a t

程(*)有解. 所以曲线 y ? f (x) 上总存在两点 P, Q ,使得△ POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形, 且此三角形斜边的中点在 y 轴上,此时 0 ? a ?

1 。 2

…10 分

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