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【数学】2010年高考试题——数学(北京卷)(理)精校版含答案


知识改变命运, 知识改变命运,学习成就未来
绝密 使用完毕前

2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理) 北京卷) (北京卷) (北京卷

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分.考 试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效,考试结束后,将本试 卷和答题卡. 第Ⅰ卷(选择题 共 140 分) 一,本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. (1) 集合 P = {x ∈ Z 0 ≤ x < 3}, M = {x ∈ Z x 2 ≤ 9} ,则 P I M = (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x≤3}

(2)在等比数列 {an } 中, a1 = 1 ,公比 q ≠ 1 .若 am = a1a2 a3 a4 a5 ,则 m= (A)9 (B)10 (C)11 (D)12

(3) 一个长方体去掉一个小长方体, 所得几何体的正 (主) 视图与侧 (左) 视图分别如右图所示,则该几何体的俯视图为

(4)8 名学生和 2 位第师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为 (A) A8 A9
8 2

(B) A8 C9

8

2

(C) A8 A7

8

2

(D) A8 C7

8

2

(5)极坐标方程(p-1) θ π )=(p ≥ 0)表示的图形是 ( (A)两个圆 (C)一个圆和一条射线 (B)两条直线 (D)一条直线和一条射线

(6)a,b 为非零向量. a ⊥ b "是"函数 f ( x ) = ( xa + b)i( xb a ) 为一次函数"的 "

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(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

x + y 11 ≥ 0 (7)设不等式组 3 x y + 3 ≥ 0 5 x 3 y + 9 ≤ 0

表示的平面区域为 D,若指数函数 y= a 的图像上

x

存在区域 D 上的点,则 a 的取值范围是 (A)(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, +∞ ]

(8)如图,正方体 ABCD- A1 B1C1 D1 的棱长为 2,动点 E,F 在棱 A1 B1 上,动点 P, Q 分别在棱 AD,CD 上,若 EF=1, A1 E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z大于 零) ,则四面体 PEFQ的体积 (A)与x,y,z都有关 (B)与x有关,与y,z无关 (C)与y有关,与x,z无关 (D)与z有关,与x,y无关

第 II 卷(共 110 分)
小题, 二,填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 填空题:
(9)在复平面内,复数

2i 对应的点的坐标为 1 i

.

(10)在△ABC 中,若 b = 1,c = 3 , ∠C =

2π ,则 a = 3

.

(11) 从某小学随机抽取 100 名同学, 将他们的身高 (单 位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图) .由图中 数据可知 a= .若要从身高在[ 120 , 130) ,

[130 ,140) , [140 , 150]三组内的学生中,用分层抽样的 方法选取 18 人参加一项活动,则从身高在[140 ,150] 内的学生中选取的人数应为 .

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(12)如图, ⊙O 的弦 ED,CB 的延长线交于点 A.若 BD ⊥ AE,AB =4, BC=2, AD=3,则 DE= (13) 已知双曲线 ;CE= .

x2 y2 χ2 γ 2 2 = 1 的离心率为 2, 焦点与椭圆 + =1 a2 b 25 9
;渐近线方程为 .

的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为

(14) (14)如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动. 设顶点 p(x,y)的轨迹方程是 y = f ( x ) ,则 f ( x ) 的最小正周 期为 ; y = f ( x ) 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴 .

所围区域的面积为

说明: "正方形 PABC 沿 χ 轴滚动"包括沿 χ 轴正方向和沿 χ 轴负方向滚动.沿 χ 轴正方向 说明: 滚动指的是先以顶点 A 为中心顺时针旋转,当顶点 B 落在 χ 轴上时,再以顶点 B 为中心顺 时针旋转,如此继续.类似地,正方形 PABC 可以沿 χ 轴负方向滚动.

小题, 解答应写出文字说明, 三,解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证 解答题: 明过程. 明过程.
(15) (本小题共 13 分) 已知函数 f (x) = 2 cos 2 x + sin x 4 cos x .
2

(Ⅰ)求 f = ( ) 的值;

π

3

(Ⅱ)求 f (x) 的最大值和最小值. (16) (本小题共 14 分) 如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF‖AC,AB= 2 , CE=EF=1. (Ⅰ)求证:AF‖平面 BDE; (Ⅱ)求证:CF⊥平面 BDE; (Ⅲ)求二面角 A-BE-D 的大小.

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(17)(本小题共 13 分) 某同学参加 3 门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为

4 ,第二, 5

第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p , q ( p > q ),且不同课程是否取得优秀成绩相 互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为 ξ 0 1 2 3

p

6 125

a

d

24 125

(Ⅰ)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率; (Ⅱ)求 p , q 的值; (Ⅲ)求数学期望 E ξ. (18)(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x )=In(1+ x )- x +

x 2 x ( k ≥0). 2

(Ⅰ)当 k =2 时,求曲线 y = f ( x )在点(1, f (1))处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x )的单调区间. (19) (本小题共 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于

1 . 3

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的 面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由. (20) (本小题共 13 分) 已 知 集 合

S n = { X | X = ( x1 , x2 , …,xn ), x1 ∈ {0,1}, i = 1, 2, …, n}(n ≥ 2)





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知识改变命运, 知识改变命运,学习成就未来 A = (a1 , a2 , …an , ) , B = (b1 , b2 , …bn , ) ∈ S n ,定义 A 与 B 的差为 A B = (| a1 b1 |,| a2 b2 |, … | an b n |);
A 与 B 之间的距离为 d ( A, B ) =


i 1

| a1 b1 |

(Ⅰ)证明: A, B, C ∈ S n , 有A B ∈ S n ,且 d ( A C , B C ) = d ( A, B ) ; (Ⅱ)证明: A, B, C ∈ S n , d ( A, B ), d ( A, C ), d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设 P S n ,P 中有 m(m≥2)个元素,记 P 中所有两元素间距离的平均值为 证明: (P)≤ (P).

d

d

mn . 2(m 1)

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

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2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数学( (北京卷) (北京卷 数学(理) 北京卷)参考答案 一,选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (2)C (3)C (4)A (5)C (6)B (7)A (8)D 二,填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) (-1,1) (10)1 (11)0.030 3 (13) ±4 ,0) ( (12)5

2 7

3x y = 0

(14)4

π +1

三,解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (I) f ( ) = 2 cos

π

3

2π π π 3 9 + sin 2 4 cos = 1 + = 3 3 3 4 4

(II) f ( x) = 2(2 cos 2 x 1) + (1 cos 2 x) 4 cos x = 3cos x 4 cos x 1
2

= 3(cos x )
2

2 3

7 , x∈R 3

因为 cos x ∈ [ 1,1] , 所 以 , 当 cos x = 1 时 , f ( x ) 取 最 大 值 6 ; 当

cos x =

2 7 时, f ( x ) 取最小值 3 3

(16) (共 14 分) 证明: (I) 设 AC 与 BD 交与点 G. 因为 EF//AG,且 EF=1,AG=

1 AC=1. 2

所以四边形 AGEF 为平行四边形. 所以 AF//平面 EG, 因为 EG 平面 BDE,AF 平面 BDE, 所以 AF//平面 BDE. (II)因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面 相互垂直,且 CE ⊥ AC, 所以 CE ⊥ 平面 ABCD. 如图,以 C 为原点,建立空间直角坐标系 C- xyz . 则 C(0,0,0) ,A( 2 , 2 ,0) ,B(0, 2 ,0). 所以 CF = (

2 2 , ,1) , BE = (0, 2,1) , DE = ( 2, 0,1) . 2 2

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所以 CF i BE = 0 1 + 1 = 0 , CF i DE = 1 + 0 + 1 = 0 所以 CF ⊥ BE , CF ⊥ DE . 所以 CF ⊥ BDE. (III) 由(II)知, CF = (

2 2 , ,1) 是平面 BDE 的一个法向量. 2 2

设平面 ABE 的法向量 n = ( x, y , z ) ,则 ni BA = 0 , ni BE = 0 . 即

( x, y, z )i( 2,0,0)=0 ( x, y, z )i(0, 2,1)=0
2 y,

所以 x = 0, 且 z = 令 y = 1, 则 z =

2.

所以 n = (0,1, 2) . 从而 cos n, CF =

niCF 3 = . | n || CF | 2

因为二面角 A BE D 为锐角, 所以二面角 A BE D 的大小为 (17) (共 13 分)

π
6

.

解:事件 Ai 表示"该生第 i 门课程取得优秀成绩" i =1,2,3,由题意知 ,

P ( A1 ) =

4 , P ( A2 ) = p , P ( A3 ) = q 5

(I)由于事件"该生至少有 1 门课程取得优秀成绩"与事件" ξ = 0 "是对立的,所以 该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是

1 P (ξ = 0) = 1
(II)由题意知

6 119 = , 125 125

1 6 P (ξ = 0) = P ( A1 A2 A3 ) = (1 p )(1 q ) = 5 125 4 24 P (ξ = 3) = P ( A1 A2 A3 ) = pq = 5 125
整理得

6 , p + q =1 125 3 2 由 p > q ,可得 p = , q = . 5 5
pq =

(III)由题意知 a = P (ξ = 1) = P ( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 )

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=

4 1 1 (1 p )(1 q ) + p (1 q ) + (1 p )q 5 5 5 37 = 125

b = P (ξ = 2) = 1 P (ξ = 0) P (ξ = 1) P (ξ = 3)
=

58 125

Eξ = 0 × P (ξ = 0) + 1× P (ξ = 1) + 2 P (ξ = 2) + 3P (ξ = 3)
= (18) (共 13 分) 解: (I)当 k = 2 时, f ( x) = ln(1 + x) x + x 2 , f '( x) = 由于 f (1) = ln 2 , f '(1) =

9 5

1 1 + 2x 1+ x

3 , 2

所以曲线 y = f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为

y ln 2 =


3 ( x 1) 2

3 x 2 y + 2 ln 2 3 = 0

(II) f '( x) =

x(kx + k 1) , x ∈ ( 1, +∞) . 1+ x x 当 k = 0 时, f '( x) = . 1+ x
所以,在区间 (1, 0) 上, f '( x) > 0 ;在区间 (0, +∞ ) 上, f '( x) < 0 . 故 f ( x) 得单调递增区间是 (1, 0) ,单调递减区间是 (0, +∞ ) .

当 0 < k < 1 时,由 f '( x) =

x(kx + k 1) 1 k = 0 ,得 x1 = 0 , x2 = >0 1+ x k 1 k 1 k 所以,在区间 (1, 0) 和 ( , +∞) 上, f '( x) > 0 ;在区间 (0, ) 上, k k

f '( x) < 0
故 f ( x) 得单调递增区间是 (1, 0) 和 (

1 k 1 k , +∞) ,单调递减区间是 (0, ). k k

x2 当 k = 1 时, f '( x) = 1+ x
故 f ( x) 得单调递增区间是 (1, +∞) .

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x(kx + k 1) 1 k = 0 ,得 x1 = ∈ (1, 0) , x2 = 0 . 1+ x k 1 k 1 k ) 和 (0, +∞) 上, f '( x) > 0 ;在区间 ( , 0) 上, 所以没在区间 (1, k k
当 k > 1 时, f '( x ) =

f '( x) < 0
故 f ( x ) 得单调递增区间是 (1, (19) (共 14 分) (I)解:因为点 B 与 A (1,1) 关于原点 O 对称,所以点 B 得坐标为 (1, 1) . 设点 P 的坐标为 ( x, y ) 由题意得 化简得

1 k 1 k ) 和 (0, +∞) ,单调递减区间是 ( , 0) k k

y 1 y + 1 1 i = x + 1 x 1 3 x 2 + 3 y 2 = 4( x ≠ ±1) .

故动点 P 的轨迹方程为 x 2 + 3 y 2 = 4( x ≠ ±1) (II)解法一:设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,点 M , N 得坐标分别为 (3, yM ) , (3, y N ) . 则直线 AP 的方程为 y 1 =

y0 1 y +1 ( x + 1) , 直线 BP 的方程为 y + 1 = 0 ( x 1) x0 + 1 x0 1

令 x = 3 得 yM =

4 y0 + x0 3 2 y0 x0 + 3 , yN = . x0 + 1 x0 1

于是 △ PMN 得面积

S△ PMN =

| x + y0 | (3 x0 ) 2 1 | yM y N | (3 x0 ) = 0 2 | x0 2 1|

又直线 AB 的方程为 x + y = 0 , | AB |= 2 2 , 点 P 到直线 AB 的距离 d = 于是 △ PAB 的面积

| x0 + y0 | 2

.

S△ PAB =

1 | AB |id =| x0 + y0 | 2 | x0 + y0 | (3 x0 )2 | x0 2 1|

当 S△ PAB = S△ PMN 时,得 | x0 + y0 |= 又 | x0 + y0 |≠ 0 ,

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所以 (3 x0 ) = | x0 1| ,解得 | x0 =
2 2

5 . 3

因为 x0 + 3 y0 = 4 ,所以 y0 = ±
2 2

33 9 5 3 33 ). 9

故存在点 P 使得 △ PAB 与 △ PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 ( , ±

解法二:若存在点 P 使得 △ PAB 与 △ PMN 的面积相等,设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 )

1 1 | PA |i| PB | sin ∠APB = | PM |i| PN | sin ∠MPN . 2 2 因为 sin ∠APB = sin ∠MPN ,
则 所以

| PA | | PN | = | PM | | PB | | x0 + 1| | 3 x0 | = | 3 x0 | | x 1|
2 2

所以

即 (3 x0 ) =| x0 1| ,解得 x0 = 因为 x0 + 3 y0 = 4 ,所以 y0 = ±
2 2

5 3 33 9

故 存 在 点 P S 使 得 △ PAB 与 △ PMN 的 面 积 相 等 , 此 时 点 P 的 坐 标 为

5 33 ( ,± ). 3 9
(20) (共 13 分) 证明: (I)设 A = ( a1 , a2 ,..., an ) , B = (b1 , b2 ,..., bn ) , C = (c1 , c2 ,..., cn ) ∈ S n 因为 ai , bi ∈ {0,1} ,所以 ai bi ∈ {0,1} , (i = 1, 2,..., n) 从而 A B = (| a1 b1 |,| a2 b2 |,...,| an bn |) ∈ S n 又 d ( A C, B C ) =

∑ || a c | | b c ||
i =1 i i i i

n

由题意知 ai , bi , ci ∈ {0,1} (i = 1, 2,..., n) . 当 ci = 0 时, || ai ci | | bi ci ||=|| ai bi | ; 当 ci = 1 时, || ai ci | | bi ci ||=| (1 ai ) (1 bi ) |=| ai bi |

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所以 d ( A C , B C ) =

∑ | a b | = d ( A, B)
i =1 i i

n

(II)设 A = ( a1 , a2 ,..., an ) , B = (b1 , b2 ,..., bn ) , C = (c1 , c2 ,..., cn ) ∈ S n

d ( A, B ) = k , d ( A, C ) = l , d ( B, C ) = h .
记 O = (0, 0,..., 0) ∈ S n ,由(I)可知

d ( A, B ) = d ( A A, B A) = d (O, B A) = k d ( A, C ) = d ( A A, C A) = d (O, C A) = l d ( B, C ) = d ( B A, C A) = h
所以 | bi ai | (i = 1, 2,..., n) 中 1 的个数为 k , | ci ai | (i = 1, 2,..., n) 的 1 的 个数为 l . 设 t 是使 | bi ai |=| ci ai |= 1 成立的 i 的个数,则 h = l + k 2t 由此可知, k , l , h 三个数不可能都是奇数, 即 d ( A, B ) , d ( A, C ) , d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数. (III) d ( P ) =

1 2 Cm

A, B∈P



d ( A, B ) ,其中

A , B∈P



d ( A, B ) 表示 P 中所有两个元素间距离的总和,

设 P 种所有元素的第 i 个位置的数字中共有 ti 个 1, m ti 个 0 则

A , B∈P



d ( A, B ) = ∑ ti (m ti )
i =1

n

由于 ti ( m ti ) ≤

m2 (i = 1, 2,..., n) 4

nm 2 所以 ∑ d ( A, B ) ≤ 4 A , B∈P
从而 d ( P ) =

1 2 Cm

A , B∈P



d ( A, B ) ≤

nm mn = 2 4Cm 2(m 1)

2

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