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北京市2016届高三数学一轮专题突破训练《圆锥曲线》(文)及答案


北京市 2016 届高三数学文一轮复习专题突破训练 圆锥曲线
一、填空、选择题 1、 (2015 年北京高考)已知 ? 2,0 ? 是双曲线 x ?
2

y2 ? 1 ( b ? 0 )的一个焦点,则 b ? b2



2、(2014 年北京高考)设双曲线 C 的两个焦点为 ? 2, 0 , 方程为 .
2

?

? ?

2, 0 ,一个顶点式 ?1,0 ? ,则 C 的

?

3、 (2013 年北京高考) 若抛物线 y =2px 的焦点坐标为(1, 0), 则 p=________; 准线方程为________. 4、 (昌平区 2015 届高三上期末) 双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 的离心率是_________; 若抛物线 y 2 ? 2mx 3
2 2 2

与双曲线 C 有相同的焦点,则 m ? _____________. 5、(朝阳区 2015 届高三一模)若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点与双曲线 x ? y ? 2 的右焦点重 合,则 p 的值为 A. 2 B. 2 C. 4 D. 2 2 ,点 P 到

2 6、(东城区 2015 届高三二模)已知抛物线 y ? 2 x 上一点 P (m , 2) ,则 m ?

抛物线的焦点 F 的距离为 7、(房山区 2015 届高三一模)双曲线 A. y ? ?

.

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程是( 9 4

)

2 4 3 9 x B. y ? ? x C. y ? ? x D. y ? ? x 3 9 2 4

8、(丰台区 2015 届高三一模)双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 2 6

9、 (丰台区 2015 届高三二模)设 O 是坐标原点, F 是抛物线 y ? x2 的焦点, A 是抛物线上的一点,

??? ? ? FA 与 x 轴正向的夹角为 ,则 | AF |? 6 1 3 (A) (B) 2 4
2

(C) 1

(D) 2 ? 3 ) (D) 4

10、(海淀区 2015 届高三一模)抛物线 x =4 y 的焦点到准线的距离为( (A)

1 2

( B) 1

(C) 2

11、(海淀区 2015 届高三二模)以坐标原点为顶点, (?1, 0) 为焦点的抛物线的方程为

12、(西城区 2015 届高三二模)抛物线 C:y 2 ? 4 x 的准线 l 的方程是____;以 C 的焦点为圆心,且 与直线 l 相切的圆的方程是____. 13、 已知抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点 F 到其准线的距离是 8 , 抛物线的准线与 x 轴的交点为 K , 点A在 抛物线上且 | AK |? 2 | AF | ,则 ?AFK 的面积为 A.32 B.16 C.8 D.4 ( ) ( )

14、点 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一点, P 到该抛物线焦点的距离为 4 ,则点 P 的横坐标为 A.2 B.3 C.4
2

D.5

15、 已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 , 抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的 距离之和的最小值是 A. ( C. )

3 5 5

B. 2

11 5

D. 3

二、解答题

1、 (2015 年北京高考)已知椭圆 C : x ? 3 y ? 3 ,过点 D ?1,0 ? 且不过点 ? ? 2,1? 的直线与椭圆 C 交
2 2

于 ? , ? 两点,直线 ?? 与直线 x ? 3 交于点 ? . (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)若 ?? 垂直于 x 轴,求直线 ?? 的斜率; (Ⅲ)试判断直线 ?? 与直线 D ? 的位置关系,并说明理由.

2、(2014 年北京高考)已知椭圆 C: x ? 2 y ? 4 .
2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设 O 为原点,若点 A 在直线 y ? 2 ,点 B 在椭圆 C 上,且 OA ? OB ,求线段 AB 长度的最小 值.

3、 (2013 年北京高考)直线 y=kx+m(m≠0)与椭圆 W: +y =1 相交于 A,C 两点,O 是坐标原点. 4 (1)当点 B 的坐标为(0,1),且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长;

x2

2

(2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明:四边形 OABC 不可能为菱形.

4、(昌平区 2015 届高三上期末)已知椭圆 C:

y 2 x2 2 ,其四个顶 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

点组成的菱形的面积是 4 2 , O 为坐标原点, 若点 A 在直线 x ? 2 上, 点 B 在椭圆 C 上, 且 OA ? OB . (I) 求椭圆 C 的方程; (II)求线段 AB 长度的最小值; (III)试判断直线 AB 与圆 x
2

? y 2 ? 2 的位置关系,并证明你的结论.
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的 两 个 焦 点 分 别 为 a 2 b2

5 、 ( 朝 阳 区 2015 届 高 三 一 模 ) 已 知 椭 圆 C :

F1 (?2,0), F2 (2,0) ,离心率为 6 .过焦点 F2 的直线 l (斜率不为 0)与椭圆 C 交于 A, B 两点,线 3
段 AB 的中点为 D , O 为坐标原点,直线 OD 交椭圆于 M , N 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当四边形 MF1 NF2 为矩形时,求直线 l 的方程.

6、(东城区 2015 届高三二模)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的左、右顶点分别为 A , B , a 2 b2

F1 为左焦点,且 AF1 ? 2 ,又椭圆 C 过点 (0, 2 3) .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 和 Q 分别在椭圆 C 和圆 x +y ? 16 上(点 A, B 除外),设直线 PB , QB 的斜率分别为
2 2

k1 , k2 ,若 k1 ?

3 k 2 ,证明: A , P , Q 三点共线. 4

7、(房山区 2015 届高三一模)已知椭圆 W :

1 x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 , Q 是椭圆上 2 2 a b

的任意一点,且点 Q 到椭圆左右焦点 F 1 , F2 的距离和为 4 . (Ⅰ)求椭圆 W 的标准方程;

(Ⅱ)经过点 ?0,1? 且互相垂直的直线 l1 、l2 分别与椭圆交于 A 、 B 和 C 、 D 两点( A 、 B 、C 、

D 都不与椭圆的顶点重合), E 、 F 分别是线段 AB 、 CD 的中点, O 为坐标原点,若 kOE 、 kOF
分别是直线 OE 、 OF 的斜率,求证: kOE ? kOF 为定值.

8、(丰台区 2015 届高三一模)已知椭圆 C: x 2 ? 3 y 2 ? 6 的右焦点为 F. (Ⅰ)求点 F 的坐标和椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)直线 l: y ? kx ? m (k ? 0) 过点 F,且与椭圆 C 交于 P , Q 两点,如果点 P 关于 x 轴的 对称点为 P? ,判断直线 P?Q 是否经过 x 轴上的定点,如果经过,求出该定点坐标;如果不经过,说 明理由.

9、(丰台区 2015 届高三二模)已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F ( 3,0) ,上下 a 2 b2

两个顶点与点 F 恰好是正三角形的三个顶点. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)过原点 O 的直线 l 与椭圆交于 A , B 两点,如果△ FAB 为直角三角形,求直线 l 的方程.

10 、(海淀区 2015 届高三一模)已知椭圆 M :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 A(0, ? 1) ,且离心率 a 2 b2

e?

3 . 2

(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)若椭圆 M 上存在点 B, C 关于直线 y ? kx ? 1 对称,求 k 的所有取值构成的集合 S ,并证明对 于 ?k ? S , BC 的中点恒在一条定直线上.

11、 (海淀区 2015 届高三二模) 已知椭圆 C :

x2 ? y2 ? 1, 点 D 为椭圆 C 的左顶点. 对于正常数 ? , 4

如果存在过点 M ( x0 ,0) (?2 ? x0 ? 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,使得 S?AOB ? ? S?AOD ,则称 点 M 为椭圆 C 的“ ? 分点”.

( 1,0) (Ⅰ)判断点 M 是否为椭圆 C 的“ 1 分点”,并说明理由;
( 1, 0) (Ⅱ)证明:点 M 不是椭圆 C 的“ 2 分点”;
(Ⅲ)如果点 M 为椭圆 C 的“ 2 分点”,写出 x0 的取值范围. (直接写出结果)

2 x2 y2 12、(石景山区 2015 届高三一模)如图,已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? , 2 b a
短轴的右端点为 B, M(1,0)为线段 OB 的中点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 M 任意作一条直线与椭圆 C 相交于两点 P,Q 试问在 x 轴上是否存在定点 N,使得∠PNM =∠QNM ? 若存在,求出点 N 的坐标;若不存在,说明理由.
Q

y

O

. . M B N x

P

13、(西城区 2015 届高三二模)设 F1 , F2 分别为椭圆 E:

x2 y 2 + ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, a 2 b2

点 A 为椭圆 E 的左顶点,点 B 为椭圆 E 的上顶点,且 | AB |? 2 . (Ⅰ)若椭圆 E 的离心率为
6 3

,求椭圆 E 的方程;

(Ⅱ)设 P 为椭圆 E 上一点,且在第一象限内,直线 F2 P 与 y 轴相交于点 Q . 若以 PQ 为直径 的圆经过点 F1 ,证明:点 P 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上.

14、已知椭圆 M :

x2 y2 ? ? 1( a ? 0) 的一个焦点为 F ( ?1,0) ,左右顶点分别为 A , B .经过点 F 的 a2 3

直线 l 与椭圆 M 交于 C , D 两点. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求线段 CD 的长; (Ⅲ)记 ?ABD 与 ?ABC 的面积分别为 S1 和 S2 ,求 | S1 ? S2 | 的最大值.

15、 已知椭圆的中心在原点 O , 短半轴的端点到其右焦点 F ? 2,0? 的距离为 10 , 过焦点 F 作直线 l , 交椭圆于 A, B 两点. (Ⅰ)求这个椭圆的标准方程; (Ⅱ)若椭圆上有一点 C ,使四边形 AOBC 恰好为平行四边形,求直线 l 的斜率.

参考答案 一、填空、选择题 1、 【答案】 3 【解析】 试题分析:由题意知 c ? 2, a ? 1 , b ? c ? a ? 3 ,所以 b ? 3 .
2 2 2

2、【答案】 x 2 ? y 2 ? 1 【解析】由题意知: c ? 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1 . 3、2 x=-1 [解析] ∵抛物线 y =2px 的焦点坐标为(1,0),∴ =1,解得 p=2,∴准线方程为 2
2

2, a ? 1 ,所以 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 1,又因为双曲线的焦点在 x 轴上,所以 C

p

x=-1.
4、

2 3; ? 4 3 5 2

5、C 6、 2 , 7、A 8、 y ? ? 3x 9、C 10、C 11、 y ? ?4x
2

12、 x ? ?1 , ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 13、 【答案】A
2 4 0 , ) 解: 由题意知 p ? 8 , 所以抛物线方程为 y ? 16 x , 焦点 F (4, 0) ,准线方程 x ? ?4 , 即 K (?

,

y2 设 A( , y ) , 16
可知 AM ? AF ,所以 AK ?

过 A 做 AM 垂直于准线于 M,由抛物线的定义

2 AF ? 2 AM ,即 AM ? MK ,所以

y2 ? (?4) ? y ,整 16

2 2 理得 y ?16 y ? 64 ? 0 ,即 ( y ? 8) ? 0 ,所以 y ? 8 ,所以 S ?AFK ?

1 1 KF y ? ? 8 ? 8 ? 32 , 2 2

选 A. 14、 【答案】B 解:抛物线的准线为 x ? ?1 ,根据抛物线的对应可知, P 到该抛物线焦点的距离等于 P 到该准 线的距离,即 x ? (?1) ? 4 ,所以 x ? 3 ,即点 P 的横坐标为 3,选 B. 15、【答案】B 解:因为抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,所以焦点坐标 F (1, 0) ,准线方程为 x ? ?1 。所以设 P 到准 线的距离为 PB ,则 PB ? PF 。 P 到直线 l : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离为 PA , 1 所 以 P A? P B? P A ?

PF ?

,D 其 中 FD 为 焦 点 到 直 线 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的 距 离 , 所 以 F

FD ?

4?0?6 32 ? 42

?

10 ? 2 ,所以距离之和最小值是 2,选 B. 5

二、解答题

1、 【答案】 (1) 【解析】

6 ; (2)1; (3)直线 BM 与直线 DE 平行. 3

试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知 识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,先将椭圆方程化为标准方 程,得到 a,b,c 的值,再利用 e ?

c 计算离心率;第二问,由直线 AB 的特殊位置,设出 A,B 点 a

坐标,设出直线 AE 的方程,由于直线 AE 与 x=3 相交于 M 点,所以得到 M 点坐标,利用点 B、点 M 的坐标,求直线 BM 的斜率;第三问,分直线 AB 的斜率存在和不存在两种情况进行讨论,第一种情 况,直接分析即可得出结论,第二种情况,先设出直线 AB 和直线 AE 的方程,将椭圆方程与直线 AB 的方程联立,消参,得到 x1 ? x2 和 x1 x2 ,代入到 kBM ? 1 中,只需计算出等于 0 即可证明 kBM ? kDE , 即两直线平行.

x2 ? y 2 ? 1. 试题解析: (Ⅰ)椭圆 C 的标准方程为 3
所以 a ? 3 , b ? 1 , c ? 所以椭圆 C 的离心率 e ?

2.

c 6 ? . a 3

(Ⅱ)因为 AB 过点 D(1, 0) 且垂直于 x 轴,所以可设 A(1, y1 ) , B(1, ? y1 ) . 直线 AE 的方程为 y ?1 ? (1 ? y1 )( x ? 2) . 令 x ? 3 ,得 M (3, 2 ? y1 ) . 所以直线 BM 的斜率 k BM ?

2 ? y1 ? y1 ?1. 3 ?1

(Ⅲ)直线 BM 与直线 DE 平行.证明如下: 当直线 AB 的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知 k BM ? 1 . 又因为直线 DE 的斜率 k DE ?

1? 0 ? 1 ,所以 BM / / DE . 2 ?1

当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 1) . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则直线 AE 的方程为 y ? 1 ?

y1 ? 1 ( x ? 2) . x1 ? 2

令 x ? 3 ,得点 M (3,

y1 ? x1 ? 3 ). x1 ? 2

? x2 ? 3 y 2 ? 3 由? ,得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 3 ? 0 . ? y ? k ( x ? 1)
所以 x1 ? x2 ?

6k 2 3k 2 ? 3 x x ? , . 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

2、解:(Ⅰ)由题意,椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 2

所以 a 2 ? 4 , b 2 ? 2 ,从而 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2 . 因此 a ? 2 , c ? 2 .故椭圆 C 的离心率 e ?
c 2 ? . a 2

2? , ? x0 ,y0 ? ,其中 x0 ≠ 0 . (Ⅱ)设点 A , B 的坐标分别为 ? t ,
因为 OA ? OB , ??? ? ??? ? 所以 OA ? OB ? 0 , 即 tx0 ? 2 y0 ? 0 ,解得 t ? ?
2 2 ? 2 y0 ? 4 ,所以 又 x0

2 y0 . x0

AB ? ? x0 ? t ? ? ? y0 ? 2?
2 2
2

2

? 2y ? 2 ? ? x0 ? 0 ? ? ? y0 ? 2 ? x0 ? ?
2 2 ? x0 ? y0 ? 2 4 y0 ?4 2 x0

2 ? x0 ?

2 2 ? 4 ? x0 ? 4 ? x0 ? ?4 2 2 x0 2

?

2 x0 8 2 ? 2 ? 4 ? 0 ? x0 ≤ 4? . 2 x0

因为

2 x0 8 2 2 2 ? 2 ≥ 4 ? 0 ? x0 ≤ 4 ? ,且当 x0 ? 4 时等号成立,所以 AB ≥ 8 . 2 x0

故线段 AB 长度的最小值为 2 2 . 3、解:(1)因为四边形 OABC 为菱形,所以 AC 与 OB 相互垂直平分. t2 1 ? 1? 所以可设 A?t, ?,代入椭圆方程得 + =1,即 t=± 3. 4 4 ? 2? 所以|AC|=2 3. (2)证明:假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且 AC⊥OB,所以 k≠0.
? ?x +4y =4, 由? 消 y 并整理得 ?y=kx+m ?
2 2

(1+4k )x +8kmx+4m -4=0. 设 A(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2 4km y1+y2 x1+x2 m =- =k· +m= 2, 2. 2 1+4k 2 2 1+4k

2

2

2

? 4km 2, m 2?. 所以 AC 的中点为 M?- ? ? 1+4k 1+4k ?
1 因为 M 为 AC 和 OB 的交点,且 m≠0,k≠0,所以直线 OB 的斜率为- . 4k

? 1? 因为 k·?- ?≠-1,所以 AC 与 OB 不垂直. ? 4k?
所以 OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形.

? c 2 ?e ? ? 2 2 4、解:(I)由题意 ? a 2 ,解得 a ? 4, b ? 2 . ? 2ab ? 4 2 ?
故椭圆 C 的标准方程为

y 2 x2 ? ? 1. 4 2

?????3 分

(II)设点 A,B 的坐标分别为 (2, t ),( x0 , y0 ) ,其中 y0 ? 0 , 因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 2 x0 ? ty0 ? 0 , 解得 t ? ?

uur uu u r

?????4 分

2 x0 ,又 2x02 ? y02 ? 4 , y0

所以 | AB |2 ? ( x0 ? 2)2 ? ( y0 ? t )2 = ( x0 ? 2) ? ( y0 ?
2

2 x0 2 ) y0

= x0 ? y0 ?
2 2

4 x0 2 ?4 y0 2

4 ? y0 2 2(4 ? y0 2 ) y02 8 = y0 ? ? ?4= ? 2 ? 4(0 ? y02 ? 4) ,?????5 分 2 2 y0 2 y0
2

因为

y02 8 ? 2 ? 4(0 ? y02 ? 4) ,当且仅当 y0 2 ? 4 时等号成立,所以 | AB |2 ? 8 , 2 y0
?????7 分 ?????8 分

故线段 AB 长度的最小值为 2 2 . (III)直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切. 证明如下:

设点 A,B 的坐标分别为 ( x0 , y0 ) , (2, t ) ,其中 y0 ? 0 . 因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 2 x0 ? ty0 ? 0 ,解得 t ? ?

??? ? ??? ?

2 x0 . y0

?????9 分

直线 AB 的方程为 y ? t ?

y0 ? t ( x ? 2) , x0 ? 2
?????10 分

即 ( y0 ? t ) x ? ( x0 ? 2) y ? 2 y0 ? tx0 ? 0 , 圆心 O 到直线 AB 的距离 d ?

tx0 ? 2 y0 ( y0 ? t ) 2 ? ( x0 ? 2) 2

,

?????11 分

由 y02 ? 2 x02 ? 4 , t ? ?

2 x0 , y0

2 y0 ?
故 d?
2 2

2 x0 2 y0

4 x0 2 x0 ? y0 ? 2 ? 4 y0

?

4 ? y0 2 y0 y0 4 ? 8 y0 2 ? 16 2 y0 2

? 2 ,

所以 直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切. 5、解:(Ⅰ)由题意可得

?????13 分

?c ? 2, ? 6 ?c , 解得 a ? 6 , b ? 2 . ? ? a 3 ? 2 ?a ? b2 ? c 2 , ?
故椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 6 2

??? 5 分

( Ⅱ) 由题意 可知直 线 l 斜 率存 在,设 其方程 为

y ? k ( x ? 2) , 点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

M ( x3 , y3 ) , N (? x3 , ? y3 ) ,
? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 2 2 由? 6 得 (1 ? 3k ) x ?12k x ? 12k ? 6 ? 0 , 2 ? y ? k ( x ? 2), ?
所以 x1 ? x2 ?

12k 2 . 1 ? 3k 2
?4k , 1 ? 3k 2

因为 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 4) ?

6k 2 ?2k AB , ). 所以 中点 D( 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2
因此直线 OD 方程为 x ? 3ky ? 0 (k ? 0) .

? x ? 3ky ? 0, 2 ? 2 由 ? x2 y 2 解得 y3 ? , x3 ? ?3ky3 . 1 ? 3k 2 ? 1, ? ? ?6 2 ????? ???? ? 因为四边形 MF1 NF2 为矩形,所以 F2 M ? F2 N ? 0 ,
即 ( x3 ? 2, y3 ) ? (? x3 ? 2, ? y3 ) ? 0 . 所以 4 ? x3 ? y3 ? 0 .
2 2

所以 4 ?

2(9k 2 ? 1) ? 0. 1 ? 3k 2

解得 k ? ?

3 3 .故直线 l 的方程为 y ? ? ( x ? 2) . 3 3
2 2 2

??? 14 分

6、解:(Ⅰ)由已知可得 a ? c ? 2 , b ? 2 3 ,又 b ? a ? c ? 12 , 解得 a ? 4 . 故所求椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 16 12

??????????5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A(?4 , 0) , B(4 , 0) .设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,

y1 y1 y12 所以 kPA ? k1 ? . ? ? x1 ? 4 x1 ? 4 x12 ? 16
因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆 C 上,

所以

3 x12 y12 ? ? 1 ,即 y12 ? 12 ? x12 . 4 16 12

3 2 x1 3 4 ?? . 所以 k PA ? k1 ? 2 x1 ? 16 4 12 ?
又因为 k1 ?

3 k2 , 4
(1)
2 2

所以 kPA ? k2 ? ?1 .

由已知点 Q( x2 , y2 ) 在圆 x ? y ? 16 上, AB 为圆的直径, 所以 QA ? QB . 所以 kQA ? k2 ? ?1 . (2)

由(1)(2)可得 kPA ? kQA . 因为直线 PA , QA 有共同点 A , 所以 A , P , Q 三点共线. ??????????14 分

7、解:(Ⅰ)∵点 Q 到椭圆左右焦点的距离和为 4. ∴ 2a ? 4 , a ? 2 .

又e ?

c 1 ? ,∴ c ? 1 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 . a 2

∴椭圆 W 的标准方程为:

x2 y 2 ? ?1 4 3

???????5 分

(Ⅱ)∵直线 l1 、 l2 经过点 (0,1) 且互相垂直,又 A 、 B 、 C 、 D 都不与椭圆的顶点重合 ∴设 l1 : y ? kx ? 1 , l2 : y ? ?

1 x ? 1 ;点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 、 E( xE , yE ) 、 F ( xF , yF ) k

? y ? kx ? 1 2 2 由? 得 (3 ? 4k ) x ? 8kx ? 8 ? 0 ? x2 y 2 ?1 ? ? 3 ?4
∵点 (0,1) 在椭圆内,∴△ ? 0

8k 3 ? 4k 2 , 3 x ?x 4k y ? kxE ? 1 ? x ? 1 2 ?? 2 , E ∴ E 3 ? 4k 2 2 3 ? 4k
∴ x1 ? x2 ? ? ∴ kOE ?

yE 3 ?? xE 4k

yF 3 3k ?? ? 1 xF 4(? ) 4 K 9 ∴ kOE ? kOF ? ? 16 x2 y 2 8、解: (Ⅰ)因为椭圆 C: ? ?1 6 2
同理 kOF ? 所以焦点 F (2, 0) ,离心率 e ? 分

???????14 分

6 . 3

????????4

(Ⅱ)直线 l: y ? kx ? m (k ? 0) 过点 F,所以 m ? ?2k ,所以 l: y ? k ( x ? 2) . 由?

? x2 ? 3 y 2 ? 6 ? y ? k ( x ? 2)

2 2 2 2 ,得 (3k ? 1) x ?12k x ? 12k ? 6 ? 0. (依题意 ? ? 0 ).

设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

12k 2 12k 2 ? 6 x . x ? , . 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

因为点 P 关于 x 轴的对称点为 P? ,则 P?( x1 , ? y1 ) .

所以,直线 P?Q 的方程可以设为 y ? y1 ? 令 y ? 0,

y2 ? y1 ( x ? x1 ) , x2 ? x1

x?

x2 y1 ? x1 y1 x y ?x y kx ( x ? 2) ? kx1 ( x2 ? 2) ? x1 ? 2 1 1 2 ? 2 1 y1 ? y2 y1 ? y2 k ( x1 ? x2 ? 4)

12k 2 ? 6 12k 2 ? 2 2 2 2 x x ? 2( x1 ? x2 ) ? 1 2 ? 3k ? 1 2 3k ? 1 ? 3 . 12k ( x1 ? x2 ? 4) ( 2 ? 4) 3k ? 1 2
所以直线 P?Q 过 x 轴上定点 (3, 0) . 9、解:(Ⅰ)因为椭圆 C 的右焦点为 F ( 3,0) ,则 c ? 3 . 因为上下两个顶点与 F 恰好是正三角形的三个顶点, 所以 b ? 1 , a ? b ? c ? 2 .
2 2

????????14 分

x2 ? y2 ? 1 . 所以椭圆 C 的标准方程为 4
(Ⅱ)依题意,当△ FAB 为直角三角形时,显然直线 l 斜率存在, 可设直线 l 方程为 y ? kx ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

????????4 分

(ⅰ)当 FA ? FB 时, FA ? ( x1 ? 3, y1 ) , FB ? ( x2 ? 3, y2 ) .

??? ?

??? ?

? y ? kx ,消 y 得 (4k 2 ? 1) x 2 ? 4 ? 0 . ? 2 2 ?x ? 4 y ? 4
所以 x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? ?

4 4k ? 1
2



??? ? ??? ? FA ? FB ? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? y1 y2 ? (k 2 ? 1) x1x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 3
? (k 2 ? 1) ?
解得 k ? ?

?4 ?3? 0. 4k 2 ? 1
????????9 分

2 . 4 2 x. 4

此时直线 l 的方程为 y ? ?

(ⅱ)当 FA 与 FB 不垂直时,根据椭圆的对称性,不妨设 ?FAB ?

?
2



也就是点 A 既在椭圆上,又在以 OF 为直径的圆上.

? x12 ? y12 ? 1 ? 2 3 6 ?4 所以 ? ,解得 x1 ? , y1 ? ? . 3 3 ?( x ? 3 ) 2 ? y 2 ? ( 3 ) 2 1 1 ? ? 2 2
所以 k ?

y1 2 . ?? x1 2
2 x. 2 2 2 x或y?? x. 4 2
????????14 分

此时直线 l 的方程为 y ? ?

综上所述,直线 l 的方程为 y ? ?

10、解:(Ⅰ)因为 椭圆 M 过点 A(0, ?1) , 所以 b ? 1 . 因为 e ? ??????1 分

c 3 2 ? , a ? b2 ? c 2 , a 2

所以 a ? 2 . 所以 椭圆 M 的方程为 (Ⅱ)方法一: 依题意得 k ? 0 . 因为 椭圆 M 上存在点 B, C 关于直线 y ? kx ? 1 对称, 所以 直线 BC 与直线 y ? kx ? 1 垂直,且线段 BC 的中点在直线 y ? kx ? 1 上. 设直线 BC 的方程为 y ? ?

x2 ? y 2 ? 1. 4

??????3 分

1 x ? t , B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) . k
??????5 分

1 ? ? y ? ? x ? t, k 由? 得 (k 2 ? 4) x2 ? 8ktx ? 4k 2t 2 ? 4k 2 ? 0 . ? x2 ? 4 y 2 ? 4 ?
由 ? ? 64k 2t 2 ? 4(k 2 ? 4)(4k 2t 2 ? 4k 2 ) ? 16k 2 (4 ? k 2t 2 ? k 2 ) ? 0 , 得 k 2t 2 ? k 2 ? 4 ? 0 .(*) 因为 x1 ? x2 ?

8kt , k2 ? 4

??????7 分

所以 BC 的中点坐标为 (

4kt k 2t , ). k2 ? 4 k2 ? 4

又线段 BC 的中点在直线 y ? kx ? 1 上,

所以

k 2t 4kt ?k 2 ?1 . 2 k ?4 k ?4

所以

3k 2t ?1. k2 ? 4

??????9 分

代入(*),得 k ? ?

2 2 或k ? . 2 2
2 2 ,或k ? }. 2 2
??????11 分

所以 S ? {k | k ? ?

k 2t 1 因为 2 ? , k ?4 3
所以 对于 ?k ? S ,线段 BC 中点的纵坐标恒为

1 1 ,即线段 BC 的中点总在直线 y ? 上. 3 3
??????13 分

方法二: 因为 点 A(0, ?1) 在直线 y ? kx ? 1 上,且 B, C 关于直线 y ? kx ? 1 对称, 所以 AB ? AC ,且 k ? 0 . 设 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) ( y1 ? y2 ), BC 的中点为 ( x0 , y0 )( x0 ? 0) . 则 x1 ? ( y1 ? 1) ? x2 ? ( y2 ? 1) .
2 2 2 2

??????6 分

又 B, C 在椭圆 M 上, 所以 x1 ? 4 ? 4 y1 , x2 ? 4 ? 4 y2 .
2 2 2 2

所以 4 ? 4 y1 ? ( y1 ? 1) ? 4 ? 4 y2 ? ( y2 ? 1) .
2 2 2 2

化简,得 3( y1 ? y2 ) ? 2( y1 ? y2 ) .
2 2

所以 y0 ?

y1 ? y2 1 ? . 2 3

??????9 分

又因为 BC 的中点在直线 y ? kx ? 1 上,

所以 y0 ? kx0 ?1 . 所以 x0 ?

4 . 3k

? x2 ? y 2 ? 1, ? ?4 4 2 由? 可得 x ? ? . 3 ?y ? 1 ? 3 ?
所以 0 ?

2 4 4 2 4 2 4 2 ,或 ? ,或 k ? . ? ? ? 0 ,即 k ? ? 2 3k 3 3 3k 2

所以 S ? {k | k ? ?

2 2 ,或k ? }. 2 2

??????12 分

所以 对于 ?k ? S ,线段 BC 中点的纵坐标恒为

1 1 ,即线段 BC 的中点总在直线 y ? 上. 3 3
??????13 分 ??????1 分

( 1, 0) 11、(Ⅰ)解:点 M 是椭圆 C 的“ 1 分点”,理由如下:
当直线 l 的方程为 x ? 1 时,由

3 3 1 ? y 2 ? 1 可得 A(1, ), B(1, ? ) .(不妨假设点 A 在 x 轴的上方) 4 2 2

所以 S?AOB =

1 3 1 3 3 , S?AOD = ? 2 ? . ?1? 3= = 2 2 2 2 2
??????4 分

( 1, 0) 所以 S?AOB ? S?AOD ,即点 M 是椭圆 C 的“ 1 分点”.

(Ⅱ)证明:假设点 M 为椭圆 C 的“ 2 分点”,则存在过点 M 的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, 使得 S?AOB ? 2S?AOD . 显然直线 l 不与 y 轴垂直,设 l : x ? my ? 1, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

? x2 2 ? ? y ? 1, 2 2 由? 4 得 (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0 . ? x ? my ? 1 ?
所以 y1 ? y2 ?

?2 m , ① m2 ? 4

y1 y2 ?

?3 . ② m ?4
2

??????6 分

因为 S?AOB ? 2S?AOD , 所以

1 1 (| y1 | ? | y2 |) ? 2 ? ? 2 | y1 | ,即 | y2 |? 3| y1 | . 2 2

??????8 分

由②可知 y1 y2 ? 0 ,所以 y2 ? ?3y1 . ③

m , ④ m ?4 1 2 将③代入②中得 y1 ? 2 , ⑤ m ?4
将③代入①中得 y1 ?
2

将④代入⑤中得

m2 ? 1 ,无解. m2 ? 4
??????10 分 ??????14 分 ???????1 分 ???????3 分

( 1, 0) 所以 点 M 不是椭圆 C 的“ 2 分点”.
(Ⅲ) x0 的取值范围为 (?2, ?1) ? (1, 2) . 12、(Ⅰ)由题意知, b ? 2 由e ?

2 a ? 2 2, 2 ,

椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 8

???????4 分

(Ⅱ)若存在满足条件的点 N,坐标为(t,0),其中 t 为常数. 由题意直线 PQ 的斜率不为 0, 直线 PQ 的方程可设为: x ? my ? 1 , (m ? R) 设 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) , ???????5 分

? x ? my ? 1, ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 x 得: (1 ? 2m2 ) y 2 ? 4my ? 6 ? 0 , ? ?1 ? 8 ?4
? ? 16m2 ? 24(1 ? 2m2 ) ? 0 恒成立,所以 y1+y2=
由 ?PNM ? ?QNM 知: kPN +kQN ? 0

???????7 分

?4m ?6 , y1 y2= 2 1 ? 2m 1 ? 2m 2

??8 分

???????9 分

k PN ?

y1 y , kQN ? 2 , x1 ? t x2 ? t
???????10 分



y1 y y1 y2 , ? 2 ? 0 ,即 ?? x1 ? t x2 ? t my1 ? 1 ? t my2 ? 1 ? t

展开整理得 2my1 y2 ? (1 ? t )( y1 ? y2 ) ? 0 ,



2m( ?6) ?4m(1 ? t ) ? ? 0, 1 ? 2m 2 1 ? 2m 2

???????12 分

即 m(t ? 4) ? 0 ,又 m 不恒为 0,? t =4 .故满足条件的点 N 存在,坐标为 (4, 0) ??14 分 13、(Ⅰ)解:设 c ? a2 ? b2 , 由题意,得 a 2 ? b2 ? 4 ,且
c 6 ? , a 3

??????2 分 ??????4 分 ??????5 分

解得 a ? 3 , b ? 1 , c ? 2 . 所以椭圆 E 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 3
x2 y2 ? ?1, a2 4 ? a2

(Ⅱ)解:由题意,得 a 2 ? b2 ? 4 ,所以椭圆 E 的方程为

则 F1 (?c,0) , F2 (c, 0) , c ? a2 ? b2 ? 2a2 ? 4 . 设 P( x0 , y0 ) , 由题意,知 x0 ? c ,则直线 F1 P 的斜率 k F P ? 1

y0 , x0 ? c

??????6 分

直线 F2 P 的斜率 k F2 P ?

y0 , x0 ? c
y0 ( x ? c) , x0 ? c

所以直线 F2 P 的方程为 y ?

当 x ? 0 时, y ?

? y0c ,即点 Q(0, ? y0c ) , x0 ? c x0 ? c y0 , c ? x0
??????8 分

所以直线 F1Q 的斜率为 k F Q ? 1

因为以 PQ 为直径的圆经过点 F1 , 所以 PF1 ? FQ 1 . 所以 kF1P ? kF1Q ?
2 2

y0 y ? 0 ? ?1 , x0 ? c c ? x0
2

??????10 分

化简,得 y0 ? x0 ? (2a ? 4) , 又因为 P 为椭圆 E 上一点,且在第一象限内,

1 ○

所以

2 2 x0 y0 ? ? 1 , x0 ? 0 , y0 ? 0 , a2 4 ? a2

○ 2

由○ 1○ 2 ,解得 x0 ? 所以 x0 ? y0 ? 2 ,

1 2 a2 , y0 ? 2 ? a , 2 2

??????12 分

即点 P 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上. 14、解:(I)因为 F ( ?1,0) 为椭圆的焦点,所以 c ? 1, 又 b2 ? 3, 所以 a 2 ? 4, 所以椭圆方程为

??????14 分

x2 y2 ? ?1 4 3

??????3 分

(Ⅱ)因为直线的倾斜角为 45? ,所以直线的斜率为 1, 所以直线方程为 y ? x ? 1 ,和椭圆方程联立得到

? x2 y2 ?1 ? ? ,消掉 y ,得到 7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 3 ?4 ? ? y ? x ?1
所以 ? ? 288, x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 所以 | CD |? 1 ? k | x1 ? x2 |?
2

??????5 分

8 7

8 7
??????7 分

24 7

(Ⅲ)当直线 l 无斜率时,直线方程为 x ? ?1 , 此时 D(?1, ), C(?1, ? ) ,

3 2

3 2

?ABD, ?ABC 面积相等, | S1 ? S2 |? 0

??????8 分

当直线 l 斜率存在(显然 k ? 0 )时,设直线方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) , 设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 )

? x2 y2 ?1 ? ? 和椭圆方程联立得到 ? 4 ,消掉 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 3 ? ? y ? k ( x ? 1)
显然 ? ? 0 ,方程有根,且 x1 ? x2 ? ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? ??????10 分 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

此时 | S1 ? S2 |?| 2 || y2 | ? | y1 ||? 2 | y2 ? y1 | ? 2 | k ( x2 ? 1) ? k ( x1 ? 1) |

? 2 | k ( x2 ? x1 ) ? 2k |?

12 | k | 3 ? 4k 2

??????12 分

因为 k ? 0 ,上式 ?

12 3 ?4|k | |k |

?

12 12 3 ? ? 3 ,( k ? ? 时等号成立) 2 3 2 12 2 ?4 | k | |k |
??????14 分

所以 | S1 ? S2 | 的最大值为 3 15、解: (Ⅰ)由已知,可设椭圆方程为 则 a ? 10 , c ? 2 . 所以

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,???????? 1 分 a 2 b2

????????????????2 分

b ? a2 ? c2 ? 10 ? 4 ? 6 , ?????????????3 分
x2 y 2 ? ? 1 . ????????????????4 分 10 6

所以 椭圆方程为

(Ⅱ)若直线 l ? x 轴,则平行四边形 AOBC 中,点 C 与点 O 关于直线 l 对称,此时点 C 坐标为

? 2c,0 ?
直.

. 因 为 2c ? a

, 所 以 点 C 在 椭 圆 外 , 所 以 直 线 l 与 x 轴 不 垂 ????????????????6 分

于是,设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 2? ,点 A ? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , ?7 分

? x2 y 2 ? ? 1, ? 2 2 2 2 则 ? 10 6 整理得, ? 3 ? 5k ? x ? 20k x ? 20k ? 30 ? 0 ? 8 分 ? y ? k ? x ? 2? , ?
x1 ? x2 ?
所以

20k 2 , 3 ? 5k 2

???????????????? 9 分

12k . ??????????????? 10 分 3 ? 5k 2 因为 四边形 AOBC 为平行四边形, ??? ? ??? ? ??? ? 所以 OA ? OB ? OC , ??????????????? 11 分 y1 ? y2 ? ?

? 20k 2 12k ? 所以 点 C 的坐标为 ? ,? ? , ???????????12 分 2 3 ? 5k 2 ? ? 3 ? 5k
? 20k 2 ? ? 12k ?2 ? ? ?? ? 3 ? 5k 2 ? ? 3 ? 5k 2 ? ? 所以 ? ? 1, 10 6
解得 k ? 1 ,
2

2

???????????13 分

所以 k ? ?1 .

????????????14 分


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