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空间向量与立体几何.板块四.用空间向量计算距离与角度.学生版


板块四.用空间向量计算距离 与角度 典例分析
【例1】 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, B1E1 ? D1F1 ? 值.

A1B1 1 ? ,求 BE1 与 DF1 所成角的余弦 4 4

BC1 ? AB1 .求证: AB1 ? AC 【例2】 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BC1 ? A1C , . 1
C1

A1

B1

C

A

B

【例3】 如图所示,在底面是直角梯形的四棱锥 S ? ABCD 中, ?ABC ? 90° , SA ? 平面
ABCD , SA ? AB ? BC ? 1, AD ?
S B C

1 .求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值. 2

A

D

1

2, 3) , B(?2 ,, 1 6) , C (1 , ? 1, 5) ,求方向向量为 j ? (0 , 【例4】 已知 A(0 , 0, 1) 直线与平

面 ABC 所成角的余弦值.

【例5】 已知平行六面体 ABCD ? A?B?C ?D? 中, AB ? 4 , AD ? 3 , AA? ? 5 ,
?BAA? ? ?DAA? ? 60° , ?BAD ? 90° ,求 AC ? 的长
D' A' D A B B' C C'

【例6】 如图直角梯形 OABC 中, ?COA ? ?OAB ?

π , OC ? 2 , OA ? AB ? 1 , SO ? 平面 2 OABC ,SO ? 1 , OA 、 OS 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系 O ? xyz . 以 OC 、

⑴ 求 SC 与 OB 的夹角 ? 的大小(用反三角函数表示) ; ⑵ 设 n ? (1, p, q) ,满足 n ? 平面 SBC ,求
n 的坐标; ① OA 与平面 SBC 的夹角 ? (用反三角函数表示) ② ;
O 到平面 SBC 的距离. ③
S

O B C

A

【例7】 如图四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, PG ? 平面 ABCD ,垂足为
G , G 在 AD 上,且 PG ? 4 , AG ? GD , BG ? GC , GB ? GC ? 2 , E 是 BC 的

1 3

中点. ⑴求异面直线 GE 与 PC 所成的角的余弦值; ⑵求点 D 到平面 PBG 的距离; ⑶若 F 点是棱 PC 上一点,且 DF ? GC ,求

PF 的值. FC

2

P

F A G D

B

E

C

F 分别是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 BC 和 CD 的中点,求 【例8】 已知 E ,

A1 D 与 EF 所成角的大小; ⑴

A1 F 与平面 B1 EB 所成角的大小; ⑵

⑶ 二面角 C ? D1 B1 ? B 的大小.

【例9】 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC ? 4 , E 为 A1C1 与 B1 D1 的交点, F 为 BC1 与
B1C 的交点,又 AF ? BE ,求⑴ 长方体的高 BB1 ;⑵ 二面角 B ? AF ? C 的大小.

【例10】 如图:在空间四边形 ABCD 中, AB 、 BC 、 BD 两两垂直,且 AB ? BC ? 2 , E 是
AC 的中点,异面直线 AD 和 BE 所成的角为 arccos

10 ,求⑴BD 的长度;⑵ 二面 10

角 D ? AC ? B 的余弦值.
D

B E C

A

【例11】 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC , D 、 E 分别为 AA1 、 B1C 的中点,

DE ? 平面 BCC1
⑴ 证明: AB ? AC . ⑵ 设二面角 A ? BD ? C 为 60 ? ,求 B1C 与平面 BCD 所成角的大小.

3

A1 B1

C1

D E

A B

C

AB ? BC ,求二面角 【例12】 如图,在直三棱柱 ABC ? A 1 B 1 C 1 中, AA 1 ? BC ? AB ? 2 ,

B1 ? A1 C ? C1的大小.
B1 A1 C1

B A

C

【例13】 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面是等腰直角三角形, ?ACB ? 90? ,侧棱
AA1 ? 2 , D 、 E 分别是 CC1 与 A1 B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是 ?ABD

的垂心 G .
⑴ 求 A1 B 与平面 ABD 所成角的余弦值; ⑵ 求点 A1 到平面 AED 的距离.
C1 A1 D E G C A B B1

【例14】 如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, SD ? 底面 ABCD , AD ? 2 ,
DC ? SD ? 2 .点 M 在侧棱 SC 上, ?ABM ? 60? .

⑴ 证明: M 是侧棱 SC 的中点; ⑵ 求二面角 S ? AM ? B 的大小.

4

S

M

D A B

C

【例15】 如图所示: 边长为 2 的正方形 ABFC 和高为 2 的直角梯形 ADEF 所在的平面互相垂 直且 DE ? 2 , ED∥ AF 且 ?DAF ? 90? . ⑴ 求 BD 和面 BEF 所成的角的余弦; ⑵ 线段 EF 上是否存在点 P 使过 P 、 A 、 C 三点的平面和直线 DB 垂直,若存在, 求 EP 与 PF 的比值;若不存在,说明理由.
D E P C A B F

AB ? 6 , AC ? 4 , BC ? 5 , ?OAC ? 45° , 【例16】 如图,在空间四边形 OABC 中, OA ? 8 ,
?OAB ? 60° ,求 OA 与 BC 的夹角的余弦值.
O

C A B

【例17】 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 侧面 BB1C1C , E 为棱 CC1 上异于 C 、C1

的一点, EA ? EB1 ,已知 AB ? 2 , BB1 ? 2 , BC ? 1 , ?BCC1 ?
求:⑴ 异面直线 AB 与 EB1 的距离; ⑵ 二面角 A ? EB1 ? A1 的平面角的正切值.

π , 3

5

A B C C1

A1

B1 E

【例18】 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 、 G 分别是 C1 D1 、 A1 D1 、
BB1 的中点,取如图所示的空间直角坐标系,

⑴ 写出 A 、 B1 、 E 、 G 的坐标; ⑵ 求证: CF ? AE ,且 CF ? AE ; ⑶ 求异面直线 EF 与 AG 所成角的余弦值.
D1 F A1 B1 E C1

D A

G

C B

【例19】 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 、 G 分别是 C1 D1 、 A1 D1 、
BB1 的中点,

⑴ 求证: CF ? AE ,且 CF ? AE ; ⑵ 求异面直线 EF 与 AG 所成角的余弦值. ⑶ 写出平面 AGC 的一个法向量.
D1 F A1 B1 E C1

D A

G

C B

【例20】 如图,在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面是边长为 1 的菱形,侧棱长为 2 . ⑴ B1 D1 与 A1 D 能否垂直?请证明你的判断;

6

π π ⑵当 ?A1 B1C1 在 [ , ] 上变化时,求异面直线 AC1 与 A1 B1 所成角的取值范围. 3 2
A B C A1 B1 C1 D

D1

PE ? 面ABCD , 【例21】 如图: 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是平行四边形, 垂足 E 在边 AD

8 上 △ BEC 是等腰直角三角形, BE ? EC ? 2 ,四面体 PBEC 的体积为 . 3
P

A E B C

D

⑴ 求面 PBC 与底面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值; ⑵ 求点 A 到面 PBC 的距离; PF ⑶若点 F 在直线 PC 上,且 PC ? 面BEF ,求 的值. PC

【例22】 如图所示: 边长为 2 的正方形 ABFC 和高为 2 的直角梯形 ADEF 所在的平面互相垂 直且 DE ? 2 , ED∥ AF 且 ?DAF ? 90? . ⑴ 求 BD 和面 BEF 所成的角的余弦; ⑵ 线段 EF 上是否存在点 P 使过 P 、 A 、 C 三点的平面和直线 DB 垂直,若存在, 求 EP 与 PF 的比值;若不存在,说明理由.

7

D

E P C

A B

F

8


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