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2013届高三数学(文)一轮复习训练:2.12 导数的综合应用(广东专用版)


导数的综合应用
一、选择题 1.f(x)=x3+ax2+bx+c,其中 a,b,c 为实数,且 a2<3b,则( A.f(x)在 R 上是增函数 B.f(x)在 R 上是减函数 C.f(x)在 R 上不是单调函数 D.f(x)是常数 2.设曲线 y=xn 1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,则


)

x1· x2· …· xn 等于( 1 A.n C. n n+1 D.1

) B. 1 n+1

3.若直线 y=m 与 y=3x-x3 的图象有三个不同的交点,则实数 m 的取值范 围为( )

A.-2<m<2 B.-2≤m≤2 C.m<-2 或 m>2 D.m≤-2 或 m≥2

图 2-12-3 4. 在 R 上可导的函数 f(x)的图象如图 2-12-3 所示, 则关于 x 的不等式 x· f′(x) <0 的解集为( )

A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) f?x? 5. 已知函数 y= ex (x∈R)满足 f′(x)>f(x), 则 f(1)与 ef(0)的大小关系是( )

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A.f(1)<ef(0)

B.f(1)>ef(0)

C.f(1)=ef(0) D.不能确定 二、填空题 1 39 6.电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间有如下关系:y=3x3- 2 x2-40x(x> 0),为使耗电量最小,则速度应定为______. 7.已知函数 f(x)=xsin x+cos x,则 f(-3)与 f(2)的大小关系是________. 8. 已知函数 f(x)=x2+mx+ln x 是单调递增函数, 则 m 的取值范围是________. 三、解答题 9. 甲、 乙两地相距 400 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 100 千米/小时,已知该汽车每小时的运输成本 P(元)关于速度 v(千米/小时)的函数关系 1 1 是 P=19 200v4-160v3+15v, (1)求全程运输成本 Q(元)关于速度 v 的函数关系式; (2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的最 小值. 10. f(x)=x3-x2-x+a, 当 a 在何范围内取值时, y=f(x)与 x 轴仅有一个交点. 11.(2011· 辽宁高考改编)已知函数 f(x)=ln x-ax2+(2-a)x. (1)讨论 f(x)的单调性; 1 1 1 (2)设 a>0,证明:当 0<x<a时,f(a+x)>f(a-x).

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答案及解析
1. 【解析】 f′(x)=3x2+2ax+b, 当 a2<3b 时,Δ=4a2-12b=4(a2-3b)<0. ∴f′(x)>0 恒成立.f(x)在 R 上是增函数. 【答案】 2. 【解析】 A y′=(n+1)xn,曲线在点(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(x- n . n+1

1),令 y=0,得 xn=

12 n 1 则 x1· x2· …· xn=2· …· = . 3· n+1 n+1 【答案】 3. 【解析】 B y′=3(1-x)· (1+x)

由 y′=0,得 x=± 1,∴y 极大=2,y 极小=-2, ∴-2<m<2. 【答案】 4. 【解析】 A (1)当 x∈(-∞,-1)和 x∈(1,+∞)时,f(x)是增函数,

∴f′(x)>0,因此 x<0, ∴x· f′(x)<0 的范围是(-∞,-1). (2)当-1<x<1 时,f(x)递减,∴f′(x)<0. 由 x· f′(x)<0,得 x>0, ∴0<x<1. 故 x· f′(x)<0 的解集为(-∞,-1)∪(0,1). 【答案】 5. 【解析】 A f?x? 令 g(x)= ex ,

f′?x?ex-f?x?ex f′?x?-f?x? 则 g′(x)= = >0, e2x ex f?1? f?0? 则函数 g(x)在 R 上单调递增,所以有 g(1)>g(0),即 e1 > e0 ,所以可得 f(1) >ef(0).

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【答案】 6. 【解析】

B 由 y′=x2-39x-40=0,得 x=-1 或 40,

由于 0<x<40 时,y′<0;当 x>40 时,y′>0. 所以当 x=40 时,y 有最小值. 【答案】 7. 【解析】 40 f′(x)=x· cos x+sin x-sin x=xcos x.

π 当 x∈(2,π)时,f′(x)<0, π ∴f(x)在( ,π)上递减, 2 ∴f(2)>f(3). 由 f(x)是偶函数,得 f(-3)=f(3), ∴f(2)>f(-3). 【答案】 8.【解析】 f(2)>f(-3) 依题意知,x>0,f′(x)= 2x2+mx+1 , x

令 g(x)=2x2+mx+1,x∈(0,+∞), m 当- 4 ≤0 时,g(0)=1>0 恒成立, ∴m≥0 成立, m 当- 4 >0 时,则 Δ=m2-8≤0, ∴-2 2≤m<0, 综上,m 的取值范围是 m≥-2 2. 【答案】 9. 【解】 m≥-2 2 400 1 1 400 (1)Q=P·v =(19 200v4-160v3+15v)·v

1 1 =(19 200v3-160v2+15)· 400 v3 5 =48-2v2+6 000(0<v≤100). v2 (2)由(1)知,Q′=16-5v,

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令 Q′=0,则 v=0(舍去)或 v=80, 当 0<v<80 时,Q′<0;当 80<v≤100 时,Q′>0. ∴当 v=80 千米/小时时,全程运输成本取得极小值, 又函数在(0,100]内有唯一极小值,也就是最小值. 2 000 故运输成本的最小值为 Q(80)= 3 (元). 10. 【解】 1 令 f′(x)=3x2-2x-1=0,得 x=-3,x=1,

当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下: x f′(x) f(x) 1 (-∞,-3) + 1 -3 0 极大值 1 (-3,1) - 1 0 极小值 (1,+∞) +

1 5 可知 f(-3)=27+a 为极大值,f(1)=a-1 为极小值. 5 5 ①当27+a<0,即 a∈(-∞,-27)时,y=f(x)与 x 轴仅有一个交点; ②当 a-1>0,即 a∈(1,+∞)时,y=f(x)与 x 轴仅有一个交点. 5 故所求 a 的取值范围是(-∞,-27)∪(1,+∞). 11. 【解】 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),

?2x+1??ax-1? 1 f′(x)= x-2ax+(2-a)=- . x ①若 a≤0,则 f′(x)>0, 所以 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 1 ②若 a>0,则由 f′(x)=0,得 x=a. 1 1 又当 x∈(0,a)时,f′(x)>0;当 x>a时,f′(x)<0. 1 1 所以 f(x)在(0,a)上单调增加;在(a,+∞)上单调减少. (2)证明 1 1 设函数 g(x)=f(a+x)-f(a-x).

则 g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax,

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g′(x)=

a a 2a3x2 + -2a= . 1+ax 1-ax 1-a2x2

1 当 0<x<a时,g′(x)>0, 又 g(0)=0,所以 g(x)>0. 1 1 1 故当 0<x<a时,f(a+x)>f(a-x).

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