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习题6-1不定积分的计算



⒈ 求下列不定积分:



6.1

⑴ ? ( x 3 ? 2 x 2 ? 5 x )dx ;
x ⑶ ?(xa ?ax )d ;

⑵ ? (sin x ? 3 e x ) d x ; ⑷ ;

? ( 2 ? cot

2

x ) dx

;



? ( 2 csc

2

x ? sec x tan x ) dx

⑹ ? ( x 2 ? 2 )3 d x ; ⑻

⑺ ? ( x ? ) 2 dx ;
x
1 ? ? x ? ? 2 ? 3 x ? dx ? ?
2

1

?? ?
?

?

x ?
3

1 x
2

?? 1 ? ? 1 ?? ? 1 ? dx ? ? ? ? ?? x

;



;

⑽ ?

2 ? 3x ? 5 ? 2 x 3x

dx

;
? ? dx ? ?

⑾ ?

cos 2x cos x ? sin x

dx ;



? 2 ??1? x2 ? ? ?

3 1? x
2

;

⒀ ? (1 ? x 2 ) x x d x ;

⒁ ?

cos 2x cos2 x sin2 x
1 4
4

dx .
2 3 10 3
3

解(1) ? ( x 3 ? 2 x 2 ? 5 x ) d x ? ? x 3 d x ? 2 ? x 2 d x ? 5 ? x d x ?

x ?

x ?
3

x2 ? C



(2) ? (sin x ? 3 e x ) d x = ? sin xd x ? 3 ? e x d x ? ? co s x ? 3 e x ? C 。
x (3) ?(xa ?ax )d = ? x a d x ? ? a x d x ?
1 a ?1 x
a ?1

?

a

x

? C ( a ? 1) 。

ln a

(4) ? ( 2 ? cot 2 x ) dx = ? (1 ? csc 2 x ) d x ? x ? co t x ? C 。 (5) ? ( 2 csc 2 x ? sec x tan x ) dx = 2 ? csc 2 xd x ? ? sec x tan xd x ? ? 2 co t x ? sec x ? C 。 (6) ? ( x 2 ? 2 ) 3 d x = ? ( x 6 ? 6 x 4 ? 1 2 x 2 ? 8) d x ? (7) ? ( x ? ) 2 dx = ? ( x 2 ? 2 ?
x 1
1 x
2

1 7

x ?
7

6 5

x ? 4x ? 8x ? C
5 3



)dx ?

1 3

x ? 2x ?
3

1 x

?C



(8) ? ? x ? ?
?

?

1
3

x

2

?? 1 ? ? 1 ?? ? 1 ? dx ? ? ? ? ?? x

= ? (2 ?

1
6

?
7 3

1 x
2

?

1 x

?

x )dx ? 2 x ?

6
6

?3 3 x ? 2

x ?

2 3

x ?C
3



x

x

169

(9) ? ? 2 x ?
?

?

1 ? ? dx x 3 ?

2

=??4x ? 2 ?( )x ?
? 3

?

2

1 ? ? dx x 9 ?

?

1 ln 4

4 ?
x

2 x 1 1 ( ) ? ?C x ln 2 ? ln 3 3 ln 9 9

2


2 x ?( ) ? C ln 2 ? ln 3 3 5

(10) ? (11) ?

2 ? 3x ? 5 ? 2 x 3
x

dx

= ? 2dx ? 5? ( ) x dx ? 2 x ?
3

2



cos 2x cos x ? sin x
? 2
2

dx = ? (co s x ? sin x ) d x ? sin x ? co s x ? C
3 ? ? dx ? ?

。 。

(12) ? ? ?

?1? x

?

1? x

2

=2?
3

dx 1? x
11
2

? 3?

dx 1? x
7
2

? 2 arctan x ? 3 arcsin x ? C

(13) ? (1 ? x 2 ) x x d x = ? ( x 4 ? x 4 ) d x ? (14) ?
cos 2x cos x sin x
2 2

4 7

x4 ?

4 15

15

x

4

?C



dx = ?

cos

2

x ? sin
2

2

x

cos

x sin

2

dx

x

= ? csc 2 xdx ? ? sec 2 xdx

? ?c o t ? t a xn ?C x

? ? 2 c sxc 2。 ? C

⒉ 曲线 y ? f ( x ) 经过点 (e, ?1) ,且在任一点处的切线斜率为该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程。 解 由题意,曲线 y ? f ( x ) 在点 ( x , y ) 处的切线斜率为
y ?
dy dx ? 1 x

,于是

?

dx x

? ln x ? C

,将点 (e, ?1) 代入,得 C ? ? 2 ,所以曲线的方程为

y ? ln x ? 2 。

3.已知曲线 y ? f ( x ) 在任意一点 ( x , f ( x )) 处的切线斜率都比该点横坐标的立方 根少 1, (1) 求出该曲线方程的所有可能形式,并在直角坐标系中画出示意图; (2) 若已知该曲线经过 ( 1 ,1 ) 点,求该曲线的方程。 解(1)由题意可得
dy dx ?
3

x ? 1 ,所以 y ?

?(

3

x ? 1) d x ?

3 4

4

x3 ? x ? C

,这就是所

求曲线方程的所有可能形式。 (2)将点 ( 1 ,1 ) 代入上述方程,可得 C ?
y ? 3 4
4

5 4

,所以过点 ( 1 ,1 ) 的曲线方程为

x3 ? x ?

5 4



170

171


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