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习题7-3定积分的计算






7.3

⒈ 设函数 f ( x ) 连续,求下列函数 F ( x ) 的导数: ⑴ F( x ) ? ⑶ F( x ) ?

?
?

b

f ( t ) dt
x

;
1 1? t
2

⑵ F( x ) ? .

?

ln x

f ( t ) dt
a

;

? ? ?

?0 sin

x

2

? t dt ? ?

dt

a

解(1) F( x ) ? ?

?

x

f ( t ) dt
b

,所以 F ?( x ) ? ? f ( x ) 。
1 x f (ln x )

(2) F ? ( x ) ? f (ln x ) ? (ln x ) ? ? (3) F ? ( x ) ?
1
x 1 ? ? ? sin ? ? 0 2


4 sin
2

tdt ? ? ?

2

? sin

2

x ?

x
2

4 ? ( x ? sin x cos x )



⒉ 求下列极限: ⑴ lim

?

x 0

cos t dt x

2

x? 0

;
2



lim

x

2 ?w
2

x? 0

?

1

;
dw
2

e
cos x

⑶ lim

?

x 0

(arc tan v ) dv 1? x
2

x ? ??

;

⑷ lim

? x e u 2 du ? ?? ? ? 0 ?

x ? ??

?

x



e
0

2u

2

du

解(1) lim (2) lim

?

x 0

cos t dt x

2

x? 0

= lim cos x 2 ? 1 。
x? 0

x

2 ?w
2

x? 0

?

1

? lim dw
2

2x ?e
? cos
2

e
cos x

x? 0

x

( ? sin x )

? 2e 。

(3) lim

?

x 0

(arc tan v ) dv ? lim 1? x
2 x ? ??

(arctan x ) x 1? x
2

2

x ? ??

? lim (arctan x )
x ? ??

2

?

?

2



4

(4) lim

? x e u 2 du ? ?? ? ? 0 ?

2

2e ? lim
x ? ??

x

2

?
e

x

e
0 2x
2

u

2

du ? lim
x ? ??

2e 2 xe

x

2

x ? ??

?

x

e
0

2u

2

du

x

2

? 0



⒊ 设 f ( x ) 是 [0, ? ?) 上的连续函数且恒有 f ( x) ? 0 ,证明 g ( x ) ?

?0 t ?0
x

x

f (t ) dt f (t ) dt

是定

义在 [0, ? ?) 上的单调增加函数。
216



因为
g ?( x ) ?
x f ( x ) ? x ? f ( t ) dt ? ? ? 0 x

?

tf ( t ) dt ? ? 0 ?
x

? f ( t ) dt ? ?? ? ? 0 ?

2

?

f ( x ) ? ( x ? t ) f ( t ) dt
0

x

? x f ( t ) dt ? ?? ? ? 0 ?

2

? 0



所以 g ( x ) ?

?0 t ?0
x

x

f (t ) dt f (t ) dt

是定义在 [0, ? ?) 上的单调增加函数。

4. 求函数 f ( x ) ?

?

x

( t ? 1)( t ? 2 ) dt
2

的极值。

0

解 f ?( x ) ? ( x ? 1)( x ? 2 ) 2 ,令 f ? ( x ) ? 0 ,得到 x ? 1, 2 。因为当 x ? 1 时,
f ? ( x ) ? 0 ,当 1 ? x ? 2

或 x ? 2 时, f ? ( x ) ? 0 ,所以 x ? 1 是极小值点, x ? 2

不是极值点。由
f (1) ?

?

1 0

[( t ? 2 ) ? ( t ? 2 ) ] dt ? ?
3 2

17 12

,

可知 f ( x ) 在 x ? 1 处有极小值 f (1) ? ? 5 利用中值定理求下列极限: ⑴ lim ?0 n??
1

17 12



xn 1? x

dt ;

⑵ lim ?n n? ?

n? p

sin x x

dt

(p?N ) 。

解(1)由积分第一中值定理,
lim ?0
n?? 1

xn 1? x

dt = lim

1 1??

n? ?

?

1 0

x d x ? lim
n

1 1??

n? ?

?

1 n ?1

?0

(0 ? ? ? 1)



(2)由积分第一中值定理, ? ? ? [ n , n ? p ] ,使得 所以
lim
n? ?

?

n? p n

sin x x

dx ?

sin ?

?

p ?

p n



?

n? p

sin x x

dt ? 0



n

6. 求下列定积分: ⑴ ⑶ (5) (7)

? ?
?

1 0

x ( 2 ? x ) dx
2 2 2

;

⑵ ⑷

?
?

2 1

( x ? 1)( x ? x ? 1)
2

2x
x (1 ? 4 x )
2

2

dx

;

2 0

1

( 2 ? 3 ) dx
x x 2

; ;

2

10

dx

0

;

1

( x ? 1) dx (x
2

?1

? 2 x ? 5)

2

(6) (8)

?
?

1

arcsin x dx
0
?

; ;

??

? 4 ? 4

x cos 2 x

dx ;

4

x tan

2

xdx

0

217

(9) (11) (13) (15)

?0

? 2

e x sin 2 x d x
2

; ; ;

(10) ? sin(ln x) dx ; 1 (12) (14) (16)

e

?
?

1 0

x arc tan xdx
ln 2 0

? ?

e ?1

x ln( x ? 1) dx
2 x ?1



1 1

x e
1 0

3

?x

2

dx

e
0
1 2 1 2

2

dx

; ;
3

?

dx 1? e
2x

;
4

?

dx (1 ? x )
2

?

(17)

? x ?1? ? 0 ? x ? 1 ? dx ? ?
1

;

(18)

?

1 0

x ?1
2 4

x ?1
x

dx

;

(19)

?
1

2 1

dx x 1? x
2

;
1

(20)
4 3

?

1

x
0

2? x
? 1 7 ?

dx

;

解 (1) ? x 2 ( 2 ? x 2 ) 2 d x ? ? ( 4 x 2 ? 4 x 4 ? x 6 ) d x ?
0 0

?

4 5

71 105



(2) ?

2 1

( x ? 1)( x ? x ? 1)
2

2x

2

dx ?

?

2

(

x 2
x

?1?

1 x

?

1 2x
2

) d x ? ln 2 ?

1 2

。 。
1 2 11 2

1

(3) ? ( 2 x ? 3 x ) 2 d x ?
0
1 2

2

?

2 0

(4 ? 2 ? 6 ? 9 )dx ?
x x

15 ln 4

?

70 ln 6

?

40 ln 3

(4) ? x (1 ? 4 x ) d x ? ?
2 10 0

1

1 2 0

? 8
1 ?1

(1 ? 4 x ) d (1 ? 4 x ) ? ?
2 10 2

1 88

(1 ? 4 x )

?

1 88



0

(5) ?

1 ?1

( x ? 1) d x ( x ? 2 x ? 5)
2 2

?

1

? 2

d ( x ? 1)
2

2 2

[( x ? 1) ? 4 ]
1 0

? ?

1 2 ( x ? 2 x ? 5)
2

1 ?1

?

1 16



(6) ? arcsin x d x ? x arcsin x
0
?

1

1 0

?

?

x 1? x
2

dx ?

?
2

?1。

(7) ?

4

x co s x
2

?
?

?
4

dx ? 0
?

。 (奇函数在对称区间上的积分为零)
?
4

(8) ? x tan 2 xd x ?
4

0

?

x sec xd x ?
2

0

?

4

xd x ? x tan x

?
4

?

?

?

0

0

?

4

tan xd x ?

0

?

4

xd x

0

?
?

?
4
2

?

1 2

ln 2 ?

?

2


3 2

(9) ? e x sin 2 x d x ?
0
?

1

?
2

? 2

e (1 ? co s 2 x ) d x ,由
x
?
2

0
? ?
2

?

2

e co s 2 xd x ? e co s 2 x
x x

?
2

?

0

0

? 2 ? e sin 2 xd x ? ? e 2 ? 1 ? 2 e sin 2 x
x
x

0

0

? 4 ? e co s 2 xd x
2

x



0

218

?

得到 ? e co s 2 xd x ? ?
2

x

e2 ?1 5 1 2

?

,所以
e2 ?1 10
e
?

0

?

?

2

e sin x d x ?
x 2

( e ? 1) ?
2

?

?

3e 2 ? 2 5

?



0

e (10) ? sin (ln x ) d x ? x sin (ln x ) 1 ? ? co s(ln x ) d x 1 1

e

? e( s i n ? 1

c o s 1 )? 1 ? ?
1

e

s i d ,x l n x n (

)

所以

?
1 0

e

sin (ln x ) d x ?

e 2
1 3

(sin 1 ? co s 1) ?
1

1 2


1 0

1

(11) ? x 2 arctan xd x ?
?

x arctan x

3

1 0

?

? 3

x

3 2

1? x

dx ?

?
12

?

1

? 3

1 0

(x ?

x 1? x
2

)dx

(12) ?
?

? l n? 2 1 l n 2?) ? 。 1 2 2 1 2 6 1 3 1 1 2 2 x ln ( x ? 1) d x ? x ln ( x ? 1) ? ? ( x ? x ? 1 ? )dx 3 3 x ?1
? 1 ( 3 1 ? 2 1
1 3 (x ? 1 ) l n? x(
3

?

1? 1 3 ? 1 )? x? 3? 3

1 2

x?
2

? ? ?x ?

,c

所以

?

e ?1

x ln ( x ? 1) d x ?
2

1 3

( x ? 1) ln ( x ? 1)
3

e ?1 1

?

1

1?1 3 1 2 ? ? x ? x ? x? 3?3 2 ?
ln 2

e ?1 1

?

2 9

e ?
3

1 2

e

2



(13) ?

ln 2 0

x e ln 2 4

3

?x

2

dx ? ? e
?x
2

1 2

x e ?
2

2

?x

2

ln 2 0

?

1

? 2

e
0

?x

2

dx

2

? ?

?

1 2

ln 2 0

1 ? ln 2 4



(14)令 t ?

x ? 1, x ? t ? 1 ,于是 则
2

?

1

e
0

2

x ?1

dx ? 2 ?
dx 1? e
2x

e td t ? te
2t
1 0

2t

2 1

?

1
?x ?2 x

?

2

e dt ? e
2t

2

2

( 2 ?

1 2

)?

1 2

e

2


2)
2

1

(15) ?

1 0

? ??

de

1? e

? ? ln ( e

?x

?

1? e

?2 x

)

1 0

? ln

e (1 ? 1?

1? e

? ln(

1? e

2

? 1) ? ln(

2 ? 1) ? 1 。

(16) 令 x ? sin t ,则

?

1 2

dx (1 ? x )
2 3

?

?1 2

?

?

6 ?

dt co s t
2

?

?
6

? 2 tan t

6

?

2 3

3。

0

219

(17)令 t ?

x ?1 x ?1
4

,则 x ?

1? t 1? t
2t
4

, dx ?

2dt (1 ? t )
2

,于是

? x ?1? ?0 ? x ? 1 ? d x ? ? ?
1

?

0 ? ? 4 1 2 ? dt dt ? 2 ? ? t ? 2t ? 3 ? 2 ? ?1 ?1 1 ? t (1 ? t ) ? (1 ? t ) ?
0 2

1 ? ?1 3 2 ? 2 ? t ? t ? 3 t ? 4 ln (1 ? t ) ? ? 1? t ? ?3

0 ?1

?

17 3

? 8 ln 2



注:本题也可令 t ? x ? 1 ,得到
? x ?1? ? 0 ? x ? 1 ? dx ? ? ?
1 4

?

2

(t ? 2 ) t
4

4

dt ?

17 3

? 8 ln 2 。

1

(18)

?

1 0

x ?1
2 4

x ?1
dx

dx ?

?

1 0

d (x ? x ) (x ? x ) ? 2
2 ?1

?1

?

1 2

arctan

x ?1
2

1 0

?

2? 4


2? 1?

2x
?1 ?2

(19) ? (20)

2 1

x 1? x
1

2

? ??

2 1

dx

?1 ?2

1? x x
2

? ? ln ( x

?

1? x

)

2 1

? ln

2 3



?

x
0

x 2?x
1 0

dx ?

?

1 0

2x ? x

dx
2

? ??

2x ? x

2

2x ? x
0 ?1 2

dx ?
2

?

1 0

d (2 x ? x )
2

2x ? x
2 1 0

2

?2?
1 0

1 0

dx 2x ? x
dx
2

? ??

1 ? t dt ? 2 2 x ? x

? 2?

1 ? ( x ? 1)

2

? ?

?
4

? 2 ? 2?

?
2

?

3

? ? 2 。
4

注:本题也可令 x ? 1 ? sin t ,得到

?

1

x
0

x 2? x

dx ?

? ? (1 ? sin
? 2

0

t ) dt ?
2

3 4

? ? 2。

7. 求下列极限: ⑴ lim? ? n?
? 1 ?n
2

?

2 n
2

?

3 n
2

?? ?

n ?1? ?; 2 n ?

⑵ lm i
n ? ?

p 1 ? p ? p? ? p 2 3 ? n p1 n?

( p ? 0 ); 。

⑶ lim? n?

1? ? 2? ( n ? 1) ? ? ? sin ? ? ? sin ? sin ? n? n n n ?

220

解(1)原式= lim ?
n? ?

?1 ?n
n

?

2 n

?

3 n

?? ?

n ?1? 1 ? ? n ?n
1

?

1 0

xd x ?

1 2



(2)原式= lim ?
n? ?

i ?1

? i ? 1 ? ? ? ? ?n? n

p

?

1 0

x dx ?
p

p ?1


2

i ?1 ? n ?1 lim ? ? sin ? ? ? (3)原式= n? ? n ?n ? i ?1

?

1 0

sin ? xd x ?

?



8. 求下列定积分: ⑴

?

?
0

co s xd x ;

n

⑵ ??? sinn x dx ; ⑷ ?02 x 2 (1 ? 4 x 2 ) 10 dx ;
xdx ;
?
?
2

?

⑶ ?0 (a2 ? x2 )n dx; (5) ? 0 x 解(1) ?
?
0 n

a

1

1

n

ln

m

n (6) ? 1 x ln x dx .

e

?

co s xd x ?

?

2

co s xd x ?
n

0

?

co s xd x

n



在第二个积分中,令 t ? ? ? x ,则

?

?
?
2

co s xd x ? ? ? ? co s (? ? t ) d t ? ( ? 1)
n n
2

0

?

n

?

2

co s td t

n



0

所以当 n 为奇数时, ? co s n xd x ? 0 ;
0

?

当 n 为偶数时, ? co s n xd x ? 2 ? co s n xd x ?
2

?

?

( n ? 1)( n ? 3) ? 1 n(n ? 2)? 2

? 。

0

0

(2)当 n 为奇数时,显然 ? sin n x d x ? 0 ;
??

?

当 n 为偶数时,

??
?

?

sin x d x ? 2 ? sin x d x ? 2 ? sin x d x ? 2 ? ? sin x d x
n n
2

?

?

n

?

n



0

0

2

在积分 ? sin n x d x 中,令 t ? ? ? x ,则
?
2

?

?
所以

?
?
2

sin x d x ? ? ? ? sin (? ? t ) d t ?
n n
2

0

?

?

2

sin td t

n



0

??
?

?

?

sin x d x ? 4
n

?

2

sin td t ?
n

( n ? 1)( n ? 3) ? 1 n(n ? 2)? 2

2?



0

(3)令 x ? a sin t ,则
221

?
(4)令 x ?

a 0

?

(a ? x ) dx ? a
2 2 n

2 n ?1

?

2

co s

2 n ?1

td t ?

( 2 n ) !! ( 2 n ? 1) !!

a

2 n ?!



0

1 2

sin t

,则
2 10

?

1 2

x (1 ? 4 x ) d x ?
2

1 8

?

0

?

2

sin t co s

2

21

td t ?

1 8

?

0

?

2 0

(cos

21

t ? cos

23

t ) dt

?

1 ? 20 !! 22 !! ? 1 20 !! ? 。 ? ? ? 8 ? 21 !! 23 !! ? 184 21 !!

(5) ? x n ln m xd x ?
0

1

1 n ?1
m ?1

x

n ?1

ln

m

x

1 0

?

? n ?1
m

m

1 0

x ln
m!

n

m ?1

xd x
m! ( n ? 1)
n ?1

? ?

? n ?1

m

1 0

x ln

n

xd x ? ? ? ( ? 1)

( n ? 1)
n ?1

m

?
1 2

1 0

x d x ? ( ? 1)
n

m

m ?1



(6) ? x ln n x d x ?
1

e

1 2
2

x ln x

2

n

e 1

?

n

? 2

e

x ln
1

x dx ?

e ?
2

n

? 2

e

x ln
1

x dx

?

1 2

e ?

n? 1 2 n? 1e ? n? 2 ? e ? ? 1 x ln x d x ? ? ? 2?2 2 ?

?

e

2

[1 ?

n 2 n 2

?

n ( n ? 1) 2
2

? ? ? ( ? 1)

n ?1

n! 2
n ?1

] ? ( ? 1)

n

n! 2
n

2 e
2

?

e

xd x
1

?

[ 1?

?

2

n(n ? 1 ) ?? ? ? ( 2 2

n ! ! n n ?1 n 1 ) n ? 1 ? ]? ( 1 ) ? 1。 n 2 2

9. 设 f ( x ) 在 [ 0 ,1] 上连续,证明: ⑴ ? f (cos x) dx ? ? f (sin x ) d x ; 0 0 ⑵ ?0 xf (sin x) dx = 证(1)令 t ?
?
? 2
? 2

?

? 2

?0

?

f (sin x ) d x



?
2

?x

,则
? ?

?

2

f (co s x ) d x ?

0

?
?
0

2

f (sin t ) d t ?

0

?

2

f (sin x ) d x


?

0

(2)令 t ? ? ? x ,则

?
所以

?
0

xf (sin x ) d x ?

?

(? ? t ) f (sin t ) d t ? ?

?

?
0

f (sin x ) d x ?

?

xf (sin x ) d x
0



?0 xf (sin x) dx =
10. 利用上题结果计算:

?

? 2

?0

?

f (sin x ) d x



222

⑴ ?0 x sin4 x dx ; ⑶ ?0
?

?

⑵ ?0

?

x sin x 1 ? cos2 x

dx ;

x 1 ? sin 2 x
?

dx 。

解(1) ? x sin 4 x d x ?
0

?
2

?

?
0

?

sin x d x ? ?
4

?

2

sin x d x ?
4

3 16

? 。
2

0

(2) ? (3) ?
?

?
0

x sin x 1 ? co s x x
2

dx ? dx ?

?
2

? ?

?
0

sin x 1 ? co s x dx
2

dx ? ?
?

?
2

arctan co s x dx
?

?
0

?

1

? 。
2

?
0

?
2

?
0

1 ? sin x
2

1 ? sin x
2
?

??

?

2

0

1 ? sin x
2

??

?

2

4 d tan x
2

0

1 ? 2 tan x

?
2

a rc ta n (

2 2x t a ? n

0

2 ) ? 4

2



11. 求下列定积分: ⑴ ?0 x 2 [ x ] dx ; ⑶ ?0 x | x ? a | d x ; 解(1) ? x 2 [ x ] d x ?
0 2 0 6

6

⑵ ?0 sgn ( x ? x 3 ) d x ; (4) ?0 [ e x ] dx .
2 1

2

1

2

?

x dx ? 2 ? x dx ? 3? x dx ? 4 ? x dx ? 5? x dx ? 285 。
2 2 2 2 2 2 3 4 5

3

4

5

6

(2) ? sg n ( x ? x 3 ) d x ? (3)当 a ? 0 时,

?

1 0

1d x ?

?

2

( ? 1) d x ? 0



1

?
? ?
2 0

1 0

x | x ? a | dx ?

?
? ?

1 0

x ( x ? a )dx ?

1 3
1

?

a 2



当 0 ? a ? 1 时,
1 0

x | x ? a | dx ?

a 0

x (a ? x )dx ? ? x ( x ? a )dx ?
a

1 3

a ?
3

a 2

?

1 3



当 a ? 1 时,
1 0

x | x ? a | dx ?

1 0

x (a ? x )dx ?

a 2

?

1 3



(4) ? [ e x ] d x ?

?

ln 2 0

1d x ?

?

ln 3 ln 2

2dx ?
l n 7 l n 6

?

ln 4 ln 3

3dx ?
2

?

ln 5

4dx
ln 4

?

?

l n 6 l n 5

5d x ?

?

6 d x?

?

7 d x
l n 7

? 1 4? l n ( 7 ! ) 。

12.设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积且关于 x ? T 对称,这里 a ? T ? b 。则

?a


b

f ( x )dx ?

?a

2T ?b

f ( x ) d x ? 2 ?T f ( x ) d x

b



并给出它的几何解释。

?

b a

f ( x)dx ?

?

2T ?b a

f ( x)dx ?

?

T 2T ? b

f ( x)dx ?

?

b

f ( x )dx ,

T

223

由于 f ( x ) 关于 x ? T 对称,所以 f (2 T ? x ) ? f ( x ) ,于是,令 x ? 2T ? t ,则

?
所以

T 2T ?b

f ( x)dx ? ? ?

T b

f ( 2T ? t ) d t ?

?

b

f ( 2T ? t ) d t ?

T

?

b

f (t ) d t ?

T

?

b

f ( x )dx



T

?a

b

f ( x )dx ?

?a

2T ?b

f ( x ) d x ? 2 ?T f ( x ) d x

b


T 2T ?b

从几何上说,由于 f ( x ) 关于 x ? T 对称,所以积分 ?

f ( x)dx

与积分

?

b

f ( x)dx

表示的是相同的面积,从而上述等式成立。
2

T

13.设 解

? xe ? x , ? f (x) ? ? 1 , ? x ?1 ? e

x ? 0, x ? 0.

计算 I ?

?

4

f ( x ? 2 ) dx



1

令 t ? x ? 2 ,则
I ?

?

2 ?1

f ( t) d ? t
d (e e
?t

?

0 ?1

(f ) t ? ?t d
? 1

2

0

0 1 ( f) t ? t t ? d ? 1 1? e

? ?d t
0

2 2 ?t

te

d t

? ??

0 ?1

? 1) ?1
x

?t

? 2
2

2

e
0

?t

2

d t ? ln
2

e ?1 2

?

1 2

(1 ? e

?4

)



14 . 设 函 数 f ( x ) ?
g (1) ? 5
1

1

? 2

( x ? t ) g ( t ) dt

, 其 中 函 数 g ( x ) 在 ( ?? , ?? ) 上 连 续 , 且
x

0

,? g ( t ) dt ? 2 ,证明 f ? ( x ) ? x ? g ( t ) dt ?
0 0

?

x

tg ( t ) dt
x

,并计算 f ??(1) 和 f ???(1) 。
1

0



f (x) ?

1

? 2

x

( x ? 2 xt ? t ) g ( t ) dt ?
2 2

1 2

x

2

0

?

x

0

g ( t ) dt ? x ? tg ( t ) dt ?
0

? 2

x

t g ( t ) dt

2



0

等式两边求导,得到
f ? ( x ) ? x ? g ( t ) dt ?
0 x

1 2

x g ( x ) ? ( ? tg ( t ) dt ? x g ( x )) ?
2 2 0

x

1 2

x g (x)

2

? x ? g ( t ) dt ?
0

x

?

x

tg ( t ) dt



0

再求导,得到 f ?? ( x ) ?

?

x

g ( t ) dt , f ??? ( x ) ? g ( x ) ,所以

0

f ?? (1) ? 2

, f ???(1) ? 5 。

15.设 ( 0 , ?? ) 上的连续函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? ln x ? 解 记 ? f ( x ) dx ? a ,则 f ( x ) ? ln x ? a ,于是
1 e

?

e

f ( x ) dx
1

,求 ? f ( x ) dx 。
1

e

a ?

?

e 1

f ( x)dx ?

?

e

ln xd x ? a ( e ? 1) ,

1

所以

224

a ?

1

? e

e

ln xdx ?
1

1 e

1

? x ln

x ? x? ?
e 1

1 e


2

16. 设函数 解 在 ? tf 0
1

f ( x ) 连续,且 ? tf ( 2 x ? t ) dt ?
0

1 2

arctan( x ) , f (1) ? 1 。求 ? f ( x ) dx
1

2



( 2 x ? t ) dt

中,令 u ? 2 x ? t ,则
2 x ?1

?
于是

1

0

tf ( 2 x ? t ) dt ? ? ?

( 2 x ? u ) f ( u ) du



2x

2x?

2x

2 x ?1

f ( u ) du ?

?

2x

2 x ?1

uf ( u ) du ?

1 2

arctan( x ) ,
2

两边求导,得到
2?
2x 2 x ?1

f ( u ) du ? 4 x ( f ( 2 x ) ? f ( 2 x ? 1)) ? 2 ( 2 xf ( 2 x ) ? ( 2 x ? 1) f ( 2 x ? 1)) ?

x 1? x
4





x ? 1, f (1) ? 1 代入上式,得到

?
17. 求 ? 解
n?

2

f ( x ) dx ?

5 4



1

x | sin x | dx

,其中 n 为正整数。
( 2 k ?1)?

0

首先有

?
?
n?

( 2 k ?1)?

2 k?
2 k?

x | sin x | dx ?
x sin x dx ? ? ?

?

2 k?

x sin xdx ? ( 4 k ? 1)?



2 k?

) 2 k ?1 ) ?

( 2 k ?1 ) ?

x sin xdx ? ( 4 k ? 1)?



当 n ? 2 m 时,

?

x | sin x | dx ?

0

? ? ?? ?
k ?0

m ?1

( 2 k ?1)?

2 k?

x sin x dx ?

?

2 ( k ?1)?

( 2 k ?1)?

x sin x dx ? ? ?

?

? [( 4 k ? 1) ? ( 4 k ? 3 )? ] ?
k ?0

m ?1

4m ?
2



当 n ? 2 m ? 1 时,

?

n?

x | sin x | dx ?

0

? ? ?? ?
k ?0

m ?1

( 2 k ?1)?

2 k?

x sin x dx ?

?

2 ( k ?1)?

( 2 k ?1)?

x sin x dx ? ? ? ?

?

( 2 m ?1)?

2m?

x sin x dx

? 4 m ? ? ( 4 m ? 1) ? ? ( 2 m ? 1) ?
2 2



所以

?
18. 设函数 S ( x ) ?

n?

x | sin x | dx ? n ?
2

。 。

0

?

x

| cos t | dt

0

, 求

x ? ??

lim

S (x) x

225



设 n ? ? x ? ( n ? 1)? , n 为正整数,则

x n

? ? ( x ? ?? )

。由于

?
可知

n?

0

cos x dx ? n ? cos x dx ? 2 n
0

?

,0 ?

??
n

x

cos x dx ? ?



2n x

?

S (x) x

?

2n ? ? x
2



所以
x ? ??

lim

S (x) x

?

?



19. 设 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上连续,且对于任何 a ? 0 有
g (x) ?

?

ax

f ( t ) dt ? 常数, x ? ( 0 , ?? )



x

证明: f ( x ) ? 证 在 g (x) ?

c x

, x ? ( 0 , ?? ) ,其中 c 为常数。 两边关于 x 求导,得到 。

?

ax

f ( t ) dt

x

g ? ( x ) ? af ( ax ) ? f ( x ) ? 0

取 x ? 1 ,则 f ( a ) ?

f (1) a

,此式对任何 a ? 0 都成立。记 c ? f (1) ,就得到
c x

f (x) ?

, x ? ( 0 , ?? ) 。

20. 设 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上连续,证明

?
证 令t ?
4 x

4 1

4 2 ? ln x 2?1 ?x ?x f? ? ? dx ? (ln 2 ) ? f ? ? ? dx 1 x? x x? x ?2 ?2



,则 x ?

4 t

, dx ? ?
1 4

4 t
2

dt

,于是

?

4 1

2 ? ln x ?x f? ? ? dx ? x? x ?2

?

2 ? t (ln 4 ? ln t ) 4 ? t f? ? ? ( ? 2 ) dt t ? 4 t ?2

?

?

4 1

2 ? ln 4 ? ln x ?x f? ? ? dx x? x ?2



所以

?

4 1

4 2 ? ln x 2?1 ?x ?x f? ? ? dx ? (ln 2 ) ? f ? ? ? dx 1 x? x x? x ?2 ?2



21.设 f ?( x ) 在 [ a , b ] 上连续。证明

226

max | f ( x ) |?
a? x?b

? b?a

1

b

f ( x ) dx ?

a

?

b

| f ? ( x ) | dx



a



由于

f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续,可设

f (? ) ? max f ( x ) , ? ? [ a , b ] 及
a? x?b

f (? ) ? min f ( x )
a? x?b

,?

? [ a , b ] 。于是

max f ( x ) ? min f ( x ) ? f (? ) ? f (? ) ? f (? ) ? f (? ) ?
a? x?b a? x?b

?? f ' ( x ) dx ? ? a f ' ( x ) dx 。

?

b

另一方面,由积分中值定理, ? ?
min f ( x ) ? f ( ? ) ?

? [ a , b ] ,使 f ( ? ) ?

? b?a

1

b

f ( x ) dx

,于是

a

1 b?a

a? x?b

?a

b

f ( x ) dx



所以
max f ( x ) ? min f ( x ) ? ( max f ( x ) ? min f ( x ) ) ?
a? x?b a? x?b a? x?b a? x?b

1 b?a

?

b

f ( x ) dx ?

a

?

b

| f ? ( x ) | dx



a

22.设 f ( x ) 在 ( ?? , ?? ) 上连续,证明

?0
证 利用分部积分法,

x

f ( u )( x ? u ) d u ?

? ??
x 0

u

f ( x ) dx du

0

?



? ??
x 0

u

f ( x ) dx du ?

0

?

?u ?
?
0

u

f ( x)dx
0

?

x 0

?

?

x

u f (u ) d u
0 x 0

= ?0 f ( u )( x ? u ) d u 。

x

注:本题也可令 F ( x ) ?

x

f ( u )( x ? u ) d u ? ?

??

u 0

f ( x)dx du

?

,证明 F '( x ) ? 0 。

23. 设 f ( x ) 在 [ 0 , a ] 上二阶可导( a ? 0 ) ,且 f ??( x ) ? 0 ,证明:

?
证 将 f (x)在x ?
a 2

a

0

?a? f ( x ) dx ? af ? ? 。 ?2?

展开成 1 阶的 Taylor 公式,有

a a a 1 a 2 f ( x ) ? f ( ) ? f ? ( )( x ? ) ? f ?? (? )( x ? ) , ( 0 ? ? ? a ) 。 2 2 2 2 2

由 f ??( x ) ? 0 ,得到
a a a f ( x ) ? f ( ) ? f ? ( )( x ? ) 。 2 2 2

对上述不等式两边从 0 到 a 积分,由于 ? ( x ? ) dx ? 0 ,就得到
0

a

a

2

?

a

0

?a? f ( x ) dx ? af ? ? 。 ?2?
227

24. 设函数

f ( x ) 在 [ 0 ,1] 上二阶可导,且 f ?? ( x ) ? 0

, x ? [ 0 ,1] , 证明:

?
证 将 f (x)在x ?
1 3

1

0

?1? 2 f ( x ) dx ? f ? ? ?3?



展开成 1 阶的 Taylor 公式,有

由 到

1 1 1 1 1 2 f ( x ) ? f ( ) ? f ? ( )( x ? ) ? f ?? (? )( x ? ) , ( 0 ? ? ? 1) 。 3 3 3 2 3 1 1 1 2 f ?? ( x ) ? 0 ,得到 f ( x ) ? f ( ) ? f ? ( )( x ? ) , x ? [ 0 ,1] ,再用 x 替换 x 3 3 3

,即得

1 1 1 2 2 f ( x ) ? f ( ) ? f ? ( )( x ? ) 。 3 3 3 1 1 对上述不等式两边从 0 到 1 积分,由于 ? ( x 2 ? ) dx ? 0 0 3

,就得到

?

1

0

?1? 2 f ( x ) dx ? f ? ? ?3?



25.设 f ( x ) 为 [ 0 , 2? ] 上的单调减少函数, 证明:对任何正整数 n 成立

?


2?

f ( x ) sin nx d x ? 0 。
( 2 k ? 2 )?

0

?

2? 0

? ( 2 k ?1) ? f ( x ) s i nn x d x? ? ? ?2 k ? n f ( x ) s i nn x d x? ? k ?0 ? n
n ?1
( 2 k ? 2 )?

?

n ( 2 k ?1) ? n

? ? f ( x ) s i nn x d x ? ?
2 k? ? t n



( 2 k ? 1) ?

在 ? 2 k? n
n

f ( x ) sin n xd x

与 ? ( 2 k ?n1) ? f ( x ) sin n xd x 中,分别令 x ?
n



x ?

( 2 k ? 1)? ? t n

,得到
f ( x ) sin nxdx ? 1

( 2 k ?1)?

?
?

2 k? n

n

? n
1

?

f(
0

2 k? ? t n

) sin tdt



( 2 k ? 2 )? n ( 2 k ? 1) ? n

f ( x ) sin n xd x ? ?

? n

?

f(
0

( 2 k ? 1)? ? t n

) sin td t



由于 f ( x ) 在 [ 0 , 2? ] 上单调减少, sin t 在 [ 0 , ? ] 上非负,所以

?

2?

f ( x ) sin nx d x ?

1 n

n ?1

0

k ?0

? ?0

?

? ? 2 k? ? t ? ? ( 2 k ? 1 )? ? t ? ? ? f? ?? f? ? ? sin tdt ? 0 。 ? ? n n ? ? ?? ? ?
?

26. 设函数 f ( x ) 在 [ 0 , ? ] 上连续,且 ? f ( x ) dx ? 0 , ? f ( x ) cos xdx ? 0 。证明:在
0 0

?

(0, ? )

内至少存在两个不同的点 ? 1 , ? 2 ,使得 f (? 1 ) ? f (? 2 ) ? 0 。

证 证明一: 设 g ( x ) ?

?

x

f ( t ) dt ,

0

, h ( x ) ? ? 0 g ( x ) sin xdx ,则

x

228

g ( 0 ) ? g (? ) ? 0 h (0) ? 0



, h (? ) ?
?
0

?
?
0

?
0

g ( x ) sin xd x ? ? ? g ( x ) d co s x
0

?

? ? g ( x ) co s x

?

?

f ( x ) co s xd x ?

?

?

f ( x ) cos xdx ? 0 ,

0

对 h(x) 在

上 应 用 Rolle 定 理 , 可 知 存 在 ? ? ( 0 , ? ) , 使 得 再在 [ 0 , ? ] 和 [? , ? ] 上对 g ( x ) 分别运用 Rolle 定 h ' (? ) ? g (? ) sin ? ? 0 , 即 g (? ) ? 0 , 理,可知 ? ? 1 , ? 2 ? ( 0 , ? ) ,使得 f (? 1 ) ? f (? 2 ) ? 0 。 证明二:用反证法。若不然,只有一个点 ? ? ( 0 , ? ) ,使得 f (? ) ? 0 ,由 于 f ( x ) 在 [ 0 , ? ] 上连续,所以 f ( x ) 在 ( 0 , ? ) 和 (? , ? ) 上异号,不妨设在 ( 0 , ? ) 中 f ( x ) ? 0 ,在 (? , ? ) 中 f ( x ) ? 0 。
[0, ? ]

设 g (x) ?

?

x

f ( t ) dt

,则 g ( 0 ) ? g (? ) ? 0 , g ?( x ) ? f ( x ) ,可知 g ( x ) 在 ( 0 , ? ) 中

0

单调减少,而在 (? , ? ) 中单调增加,从而 g ( x ) ? 0 , x ? [ 0 , ? ] 。 另一方面, g ( x ) 在 [ 0 , ? ] 上不恒等于零(否则 f ( x ) 恒为零与反证法假 设矛盾) ,于是

?

?

f ( x ) cos xdx ?

0

?

?

cos xdg ( x ) ? g ( x ) cos x

?
0

?

0

?

?

g ( x ) sin xdx ?

0

?

?

g ( x ) sin xdx ? 0 ,

0

与题设矛盾。

229


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