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2016届河北省衡水中学高考数学猜题卷(理科)解析版


2016 年河北省衡水中学高考数学猜题卷(理科)
一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的). 1. (5 分)“m=±1”是“复数(1﹣m )+(1+m)i(其中 i 是虚数单位)为纯虚数”的( A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2. (5 分)设全集 U=R,函数 f(x)=lg(|x+1|﹣1)的定义域为 A,集合 B={x|sinπx=0},则(?UA)∩B 的元素个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3. (5 分)若点(sin A. B. ,cos C. )在角 α 的终边上,则 sinα 的值为( D. )
2



4. (5 分)如图所示的茎叶图(图一)为高三某班 50 名学生的化学考试成绩,图(二)的算法框图中输 入的 ai 为茎叶图中的学生成绩,则输出的 m,n 分别是( )

A.m=38,n=12 B.m=26,n=12 C.m=12,n=12 D.m=24,n=10 5. (5 分)函数 f(x)=sin2x 和函数 g(x)的部分图象如图所示,则函数 g(x)的解析式可以是( )

A.g(x)=sin(2x﹣ (2x﹣ )

) B.g(x)=sin(2x+

)C.g(x)=cos(2x+



D.g(x)=cos

6. (5 分)若函数 f(x)=

的图象如图所示,则 m 的范围为(



A. (﹣∞,﹣1) B. (﹣1,2)

C. (0,2) D. (1,2) )

7. (5 分)某多面体的三视图如图所示,则该多面体各面的面积中最大的是(

A.1

B.

C.

D.
* n n

8. (5 分)已知数列{an}的首项为 a1=1,且满足对任意的 n∈N ,都有 an+1﹣an≤2 ,an+2﹣an≥3×2 成 立,则 a2014=( ) 2014 2014 2015 2015 A.2 ﹣1 B.2 +1 C.2 ﹣1 D.2 +1 9. (5 分)已知非零向量 , , 满足| ﹣ |=| |=4, ( ﹣ )?( ﹣ )=0,若对每一个确定的 , | |的最大值和最小值分别为 m,n,则 m﹣n 的值为( A.随 增大而增大 B.随 增大而减小 )

C.是 2 D.是 4 10. (5 分)已知在三棱锥 P﹣ABC 中,PA=PB=BC=1,AB= 棱锥的顶点在同一个球面上,则该球的表面积是( ) A. π B.3π C. D.2π ,AB⊥BC,平面 PAB⊥平面 ABC,若三

11. (5 分)如图,已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的右顶点为 A,O 为坐标原点,以 A 为圆

心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P、Q,若∠PAQ=60°且

=3

,则双曲线 C 的离心率为(



A.

B.

C.

D.

12. (5 分)已知函数 f(x)= 能为( )

,关于 x 的方程 f(x+ ﹣2)=a 的实根个数不可

A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. (5 分)已知 a>0, 展开式的常数项为 15,则 = . .

14. (5 分) 设 a, b∈R, 关于 x, y 的不等式|x|+|y|<1 和 ax+4by≥8 无公共解, 则 ab 的取值范围是
2

15. (5 分)设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,其准线与 x 轴交于点 C,过点 F 作它的弦 AB,若∠ CBF=90°,则|AF|﹣|BF|= . 16. (5 分)已知数列{an}满足 a1=2,an+an+1+n =0.则 a31=
2



三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (12 分) 如图△ABC 中, 已知点 D 在 BC 边上, 满足 (Ⅰ)求 AD 的长; (Ⅱ)求 cosC. ? =0. sin∠BAC= , AB=3 , BD= .

18. (12 分)已知矩形 ABCD,AD=2AB=2,点 E 是 AD 的中点,将△DEC 沿 CE 折起到△D’EC 的位置, 使二面角 D'﹣EC﹣B 是直二面角. (1)证明:BE⊥CD’; (2)求二面角 D'﹣BC﹣E 的余弦值.

19. (12 分)2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分,台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆,造成 165.17 万人受灾,5.6 万人紧急转移安置,288 间房屋倒塌,46.5 千公顷农田受灾,直接经济损失 12.99 亿元.距 离陆丰市 222 千米的梅州也受到了台风的影响,适逢暑假,小明调查了梅州某小区的 50 户居民由于台风 造成的经济损失,将收集的数据分成[0,2000], (2000,4000], (4000,6000], (6000,8000], (8000, 10000]五组,并作出如图频率分布直方图:

(1)试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失(同一组中的数据用该组区间的中点值作 代表) ; (2)小明向班级同学发出倡议,为该小区居民捐款,现从损失超过 4000 元的居民中随机抽出 2 户进行 捐款援助,设抽出损失超过 8000 元的居民为 ξ 户,求 ξ 的分布列和数学期望; (3)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的 50 户居民捐款情况如图,根据图表格 中所给数据,分别求 b,c,a+b,c+d,a+c,b+d,a+b+c+d 的值,并说明是否有 95%以上的把握认为捐款 数额多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关? 捐款超过 500 元 捐款不超过 500 元 合计 P(K ≥k) k
2

经济损失不超过 4000 元 a=30 c

经济损失超过 4000 元 b d=6

合计

0.15 2.072

0.10 2.706
2

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

附:临界值表参考公式:K =

,n=a+b+c+d.

20. (12 分) 已知椭圆 E:

+

=1 (a>b>0) 的两个焦点 F1, F2, 且椭圆过点 (0, = .

) , (

, ﹣

) ,

且 A 是椭圆上位于第一象限的点,且△AF1F2 的面积 S

(1)求点 A 的坐标; (2)过点 B(3,0)的直线 l 与椭圆 E 相交于点 P,Q,直线 AP,AQ 与 x 轴相交于 M,N 两点,点 C ( ,0) ,则 ? 是否为定值,如果是定值,求出这个定值,如果不是请说明理由.

21. (12 分)已知函数 f(x)=(ax +bx+a﹣b)e ﹣ (x﹣1) (x +2x+2) ,a∈R,且曲线 y=f(x)与 x 轴切于原点 O. (1)求实数 a,b 的值; (2)若 f(x)?(x +mx﹣n)≥0 恒成立,求 m+n 的值. [选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分)如图,PA 为四边形 ABCD 外接圆的切线,CB 的延长线交 PA 于点 P,AC 与 BD 相交于点 M,PA∥BD (1)求证:∠ACB=∠ACD; (2)若 PA=3,PC=6,AM=1,求 AB 的长.
2

2

x

2

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,已知点 P(1,﹣2) ,直线 l:
2

(t 为参数) ,以坐标原点为极点,x

轴正半轴为极坐标建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ρsin θ=2cosθ, 直线 l 和曲线 C 的交点为 A, B. (1)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; (2)求|PA|+|PB|. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=2x﹣1﹣a,g(x)=﹣2x+m,a,m∈R,若关于 x 的不等式 g(x)≥﹣1 的整数解 有且仅有一个值为﹣2. (1)求整数 m 的值;

(2)若函数 y=f(x)的图象恒在函数 y= g(x)的上方,求实数 a 的取值范围.

2016 年河北省衡水中学高考数学猜题卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的). 1. (5 分) (2015?运城二模) “m=±1”是“复数 (1﹣m ) + (1+m) i (其中 i 是虚数单位) 为纯虚数”的 ( A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合纯虚数的概念进行判断即可. 【解答】解:若复数(1﹣m )+(1+m)i 为纯虚数, 则满足 解得 m=1, 当 m=﹣1 时,复数(1﹣m )+(1+m)i=0 为实数,不是纯虚数, 2 即“m=±1”是“复数(1﹣m )+(1+m)i(其中 i 是虚数单位)为纯虚数”的必要不充分条件, 故选:C 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据纯虚数的概念是解决本题的关键. 2. (5 分) (2016?衡水校级模拟) 设全集 U=R, 函数 ( f x) =lg (|x+1|﹣1) 的定义域为 A, 集合 B={x|sinπx=0}, 则(?UA)∩B 的元素个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】由对数式的真数大于 0 求得集合 A,求解三角方程化简集合 B,然后利用交、并、补集的混合 运算得答案. 【解答】解:由|x+1|﹣1>0,得|x+1|>1,即 x<﹣2 或 x>0. ∴A={x|x<﹣2 或 x>0},则?UA={x|﹣2≤x≤0}; 由 sinπx=0,得:πx=kπ,k∈Z,∴x=k,k∈Z. 则 B={x|sinπx=0}={x|x=k,k∈Z}, 则(?UA)∩B={x|﹣2≤x≤0}∩{x|x=k,k∈Z}={﹣2,﹣1,0}. ∴(?UA)∩B 的元素个数为 3. 故选:C. 【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算,考查了对数函数的定义域,考查了三角函数值的求法, 是基础题.
2 2 2



,即



3. (5 分) (2016?朔州模拟)若点(sin A. B. C. D.

,cos

)在角 α 的终边上,则 sinα 的值为(



【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解 sinα 的值. 【解答】解:角 α 的终边上一点的坐标为(sin ,cos )即( , ) ,

则由任意角的三角函数的定义,可得 sinα=



故选:A. 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,根据三角函数的值求角,属于基础题. 4. (5 分) (2015?蒙城县校级模拟)如图所示的茎叶图(图一)为高三某班 50 名学生的化学考试成绩, 图(二)的算法框图中输入的 ai 为茎叶图中的学生成绩,则输出的 m,n 分别是( )

A.m=38,n=12 B.m=26,n=12 C.m=12,n=12 D.m=24,n=10 【分析】算法的功能是计算学生在 50 名学生的化学考试成绩中,成绩大于等于 80 的人数,和成绩小于 80 且大于等于 60 的人数,根据茎叶图可得 【解答】解:由程序框图知:算法的功能是计算学生在 50 名学生的化学考试成绩中,成绩大于等于 80 的人数,和成绩小于 80 且大于等于 60 的人数, 由茎叶图得,在 50 名学生的成绩中,成绩大于等于 80 的人数有 80,80,81,84,84,85,86,89,90, 91,96,98,共 12 人,故 n=12, 由茎叶图得,在 50 名学生的成绩中,成绩小于 60 的人数有 43,46,47,48,50,51,52,53,53,56, 58,59,共 12 人, 则在 50 名学生的成绩中,成绩小于 80 且大于等于 60 的人数有 50﹣12﹣12=26,故 m=26 故选:B. 【点评】本题借助茎叶图考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是关键

5. (5 分) (2016?丽水一模)函数 f(x)=sin2x 和函数 g(x)的部分图象如图所示,则函数 g(x)的解

析式可以是(

) ) B.g(x)=sin(2x+ )C.g(x)=cos(2x+ ) D.g(x)=cos

A.g(x)=sin(2x﹣ (2x﹣ )

【分析】由图象可得 g(x)的图象经过点( 【解答】解:代值计算可得 f( )=sin , ≠ =

, , ) ,

) ,逐个选项验证可得.

由图象可得 g(x)的图象经过点( 代入验证可得选项 A,g( 选项 B,g( 选项 D,g( 选项 C,g( )=sin )=cos )=cos )=sin ≠

,故错误;

,故错误; =≠ = ,故错误;

=﹣cos =cos

,故正确.

故选:C. 【点评】本题考查三角函数图象和解析式,逐个验证是解决问题的关键,属基础题.

6. (5 分) (2016?池州二模)若函数 f(x)=

的图象如图所示,则 m 的范围为(



A. (﹣∞,﹣1) B. (﹣1,2) C. (0,2) D. (1,2) 【分析】根据函数的极值点范围和函数值的符号判断. 【解答】解:∵当 x>0 时,f(x)>0,∴2﹣m>0,故 m<2. f′(x)= .

∵f(x)由两个绝对值大于 1 的极值点,∴m﹣x =0 由两个绝对值大于 1 的解, ∴m>1. 故选:D. 【点评】本题考查了函数图象的判断,通常从函数的单调性,奇偶性,特殊点,极限等方面进行判断. 7. (5 分) (2016?朔州模拟)某多面体的三视图如图所示,则该多面体各面的面积中最大的是( )

2

A.1

B.

C.

D.

【分析】作出几何体的直观图,根据几何体的结构特征计算各个面的面积. 【解答】解:由三视图可知该几何体为底面为正方形的四棱锥 P﹣ABCD,P 在底面的投影 E 在 DA 的延 长线上,且 PE=AE=AD=CD=1, ∴S△PAD= PF= ∴S△PCD= = = ,S 底面 ABCD=1×1=1,PA= , = ,S△PAB= = .S△PBC= = . = ,PD= = ,

∴在四棱锥的五个面中,△PCD 的面积最大. 故选 C.

【点评】本题考查了棱锥的结构特征和三视图,作出棱锥的直观图是解题关键. 8. (5 分) (2016?衡水校级四模)已知数列{an}的首项为 a1=1,且满足对任意的 n∈N ,都有 an+1﹣an≤ n n 2 ,an+2﹣an≥3×2 成立,则 a2014=( ) 2014 2014 2015 2015 A.2 ﹣1 B.2 +1 C.2 ﹣1 D.2 +1
*

【分析】 由 an+2﹣an≥3×2 , 得 an+2﹣an+1+an+1﹣an≥3×2 , 结合 an+1﹣an≤2 得 则 得到 an+1﹣an≥2 ,进一步得到 【解答】解:由 an+2﹣an≥3×2 ,得 n an+2﹣an+1+an+1﹣an≥3×2 ①, 且 即 ①+②得:an+1﹣an≥2 , 又 an+1﹣an≤2 , ∴ .
n n n n

n

n

n



.然后利用累加法求出数列{an}的通项公式,则答案可求.

, ②,

∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1 n﹣1 n﹣2 2 1 =2 +2 +…+2 +2 +1 = ∴ 故选:A. 【点评】本题考查了数列递推式,考查了数列与不等式的综合,训练了累加法求数列的通项公式,由两 不等式联立得到 是解答该提的关键,是中高档题. .



9. (5 分) (2016?衡水校级四模)已知非零向量 , , 满足| ﹣ |=| |=4, ( ﹣ )?( ﹣ )=0, 若对每一个确定的 ,| |的最大值和最小值分别为 m,n,则 m﹣n 的值为( A.随 增大而增大 B.随 增大而减小 )

C.是 2 D.是 4 【分析】通过假设 =(4,0) 、 =(2,2 量 的终点在以(3, ) 、 =(x,y) ,利用( ﹣ )?( ﹣ )=0,计算可得向

)为圆心、半径等于 2 的圆上,进而可得结论. ) 、 =(x,y) ,

【解答】解:假设 =(4,0) 、 =(2,2 ∵( ﹣ )?( ﹣ )=0, ∴(4﹣x,﹣y)?(2﹣x,2 即(x﹣3) +(y﹣
2

﹣y)=x +y ﹣6x﹣2

2

2

y+8=0,

) =4,

2

∴满足条件的向量 的终点在以(3, ∴| |的最大值与最小值分别为 m=2+2 ∴m﹣n=4,

)为圆心、半径等于 2 的圆上, ,n=2 ﹣2,

故选:D. 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算,利用特殊值代入法,是一种简单有效的方法,注意解 题方法的积累,属于中档题. 10. (5 分) (2016?大庆一模)已知在三棱锥 P﹣ABC 中,PA=PB=BC=1,AB= ⊥平面 ABC,若三棱锥的顶点在同一个球面上,则该球的表面积是( ) A. π B.3π C. D.2π ,AC 为截面圆的直径,AC= ,由勾股定理可得 R =(
2

,AB⊥BC,平面 PAB

【分析】求出 P 到平面 ABC 的距离为
2



+d =( ) +(

2

2

﹣d) ,求出 R,即可求出球的表面积. ,

2

【解答】解:由题意,AC 为截面圆的直径,AC= 设球心到平面 ABC 的距离为 d,球的半径为 R, ∵PA=PB=1,AB= ∴PA⊥PB, ,

∵平面 PAB⊥平面 ABC, ∴P 到平面 ABC 的距离为 由勾股定理可得 R =( ∴d=0,R = , ∴球的表面积为 4πR =3π. 故选:B. 【点评】本题考查球的表面积,考查学生的计算能力,求出球的半径是关键.
2 2 2 2

. ) +d =( ) +(
2 2

﹣d) ,

2

11. (5 分) (2016?日照二模)如图,已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的右顶点为 A,O 为坐

标原点,以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P、Q,若∠PAQ=60°且 的离心率为( )

=3

,则双曲线 C

A.

B.

C.

D.

【分析】确定△QAP 为等边三角形,设 AQ=2R,则 OP=R,利用勾股定理,结合余弦定理,即可得出结 论. 【解答】解:因为∠PAQ=60°且 所以△QAP 为等边三角形, 设 AQ=2R,则 OP=R, 渐近线方程为 y= x,A(a,0) ,取 PQ 的中点 M,则 AM= =3 ,

由勾股定理可得(2R) ﹣R =( 所以(ab) =3R (a +b )① 在△OQA 中, ①②结合 c =a +b ,可得
2 2 2 2 2 2 2

2

2

),

2

= ,所以 7R =a ② = .

2

2

故选:B. 【点评】本题考查双曲线的性质,考查余弦定理、勾股定理,考查学生的计算能力,属于中档题.

12. (5 分) (2015?安徽模拟)已知函数 f(x)= =a 的实根个数不可能为( ) A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个

,关于 x 的方程 f(x+ ﹣2)

【分析】由基本不等式可得 x+ ﹣2≥0 或 x+ ﹣2≤﹣4,再作出函数 f(x)=

的图象,从而由图象分类讨论,从而由此分析关于 x 的方程 f(x+ ﹣2)=a 的实根个数. 【解答】解:由基本不等式可得, x+ ﹣2≥0 或 x+ ﹣2≤﹣4;

作函数 f(x)=

的图象如下,

①当 a>2 时,x+ ﹣2<﹣24 或 0<x+ ﹣2<1, 故方程 f(x+ ﹣2)=a 的实根个数为 4; ②当 a=2 时,x+ ﹣2=﹣24 或 0<x+ ﹣2<1 或 x+ ﹣2=2, 故方程 f(x+ ﹣2)=a 的实根个数为 6; ③当 1<a<2 时,﹣24<x+ ﹣2<﹣4 或 0<x+ ﹣2<1 或 1<x+ ﹣2<2 或 2<x+ ﹣2<3, 故方程 f(x+ ﹣2)=a 的实根个数为 8; ④当 a=1 时,x+ ﹣2=﹣4 或 0<x+ ﹣2<1 或 1=x+ ﹣2 或 x+ ﹣2=3, 故方程 f(x+ ﹣2)=a 的实根个数为 7; ⑤当 0<a<1 时,﹣4<x+ ﹣2<0 或 3<x+ ﹣2<4, 故方程 f(x+ ﹣2)=a 的实根个数为 6; ⑥当 a=0 时,x+ ﹣2=0 或 3<x+ ﹣2<4, 故方程 f(x+ ﹣2)=a 的实根个数为 3; ⑦当 a<0 时,x+ ﹣2>3, 故方程 f(x+ ﹣2)=a 的实根个数为 2. 故选 A. 【点评】本题考查了函数的图象的作法及基本不等式的应用,同时考查了数形结合的思想应用,属于中 档题.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. (5 分) (2016?长春二模)已知 a>0, = . 展开式的常数项为 15,则

【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得 a 的值,再利用积分的运算性质、法则,求得要求式 子的值. 【解答】解:由 令 的展开式的通项公式为 Tr+1= ,可得 a=1, ?(﹣1) ?a
r 6﹣r

?



=0,求得 r=2,故常数项为

因此原式为 = 故答案为: . ,

【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,积分的运算,是一道中档的常规 问题 14. (5 分) (2016?衡水校级四模)设 a,b∈R,关于 x,y 的不等式|x|+|y|<1 和 ax+4by≥8 无公共解, 则 ab 的取值范围是 [﹣16,16] . 【分析】画出不等式表示的可行域,通过对 a,b 的符号讨论,然后求解 ab 的取值范围 【解答】解:关于 x,y 的不等式|x|+|y|<1 表示的可行域如图的阴影部分:可行域与坐标轴的交点坐标 (1,0) , (0,1) , (0,﹣1) , (﹣1,0) ,

关于 x,y 的不等式|x|+|y|<1 和 ax+4by≥8 无公共解,则 ax+4by≥8 表示的范围在可行域外侧, 当 a>0,b>0 时满足题意,可得 ≥1, ≥1,可得 0<ab≤16,

当 a>0,b<0 时满足题意,可得 当 a<0,b>0 时满足题意,可得 当 a<0,b<0 时满足题意,可得

﹣1, , ,

,可得:﹣2≤b<0,0<a≤8 可得﹣16≤ab<0, ,可得:0<b≤2,﹣8≤a<0 可得﹣16≤ab<0, ,可得:﹣2≤b<0,﹣8≤a<0,∴0<ab≤16,

当 ab=0 时,不等式|x|+|y|<1 和 ax+4by≥8 无公共解; 故 ab 的取值范围是:[﹣16,16]; 故答案为:[﹣16,16]. 【点评】本题考查线性规划的应用,考查分类讨论的应用,可以利用特殊值方法判断求解. 15. (5 分) (2016?湖南二模)设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,其准线与 x 轴交于点 C,过点 F 作 它的弦 AB,若∠CBF=90°,则|AF|﹣|BF|= 2P . 【分析】先假设方程与抛物线方程联立,借助于求出点的坐标,从而求出线段长,进而求出|AF|﹣|BF|. 【解答】 解: 设 AB 方程为: y=k (x﹣ ) (假设 k 存在) , 与抛物线 y =2px (p>0) 联立得 k (x ﹣px+ =2px, 即 k x ﹣(k +2)px+
2 2 2 2 2 2 2



=0
2

设两交点为 A(x2,y2) ,B(x1,y1) ,∠CBF=90°即(x1﹣ ) (x1+ )+y1 =0, ∴x1 +y1 = ∴B( ∵x1x2= ∴x2= ∴A( ,﹣ ) ,|AF|= , ,x1=
2 2

,∴x1 +2px1﹣ , ,

2

=0,即(x1+p) = p ,解得 x1= ) ,|BC|= ,|BF|= ,

2

2



∴|AF|﹣|BF|=2P, 故答案为 2P. 【点评】直线与曲线相交问题,通常是联立方程组成方程组,从而可求相关问题. 16. (5 分) (2016?衡水校级四模)已知数列{an}满足 a1=2,an+an+1+n =0.则 a31= ﹣463 . 【分析】由已知数列递推式可得 (n≥2) ,两式作差可得 an+1﹣an﹣1=﹣2n+1(n
2

≥2) .然后分别取 n=2,4,…,30,得到 15 个等式,累加即可求得 a31. 【解答】解:在数列{an}中,由 an+an+1+n =0, 得 ∴ , (n≥2) ,
2

两式作差得:an+1﹣an﹣1=﹣2n+1(n≥2) . ∴a3﹣a1=﹣3,a5﹣a3=﹣7,a7﹣a5=﹣11,…,a31﹣a29=﹣59. 累加得: ,

∴a31=﹣463. 故答案为:﹣463. 【点评】本题考查数列递推式,考查了累加法求数列的通项公式,训练了等差数列前 n 项和得求法,是 中档题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (12 分) (2014?郑州一模)如图△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,满足 AB=3 ,BD= . (Ⅰ)求 AD 的长; (Ⅱ)求 cosC. ? =0.sin∠BAC= ,

【分析】 (I)通过向量的数量积,判断垂直关系,求出 cos∠BAD 的值,在△ABD 中,由余弦定理求 AD 的长; (Ⅱ)在△ABD 中,由正弦定理,求出 sin∠ADB,通过三角形是直角三角形,即可求 cosC. 【解答】解: (Ⅰ)∵ ∴AD⊥AC, ∴ ∵sin∠BAC= ∴ , …. (2 分)
2 2 2

?

=0,



在△ABD 中,由余弦定理可知 BD =AB +AD ﹣2AB?ADcos∠BAD, 2 即 AD ﹣8AD+15=0, 解之得 AD=5 或 AD=3 …. (6 分) 由于 AB>AD, ∴AD=3…..(7 分) (Ⅱ)在△ABD 中,由正弦定理可知 又由 可知 ∴ , = , , ,

∵∠ADB=∠DAC+∠C,∠DAC= ∴ .…(12 分)



【点评】本题考查解三角形,余弦定理以及正弦定理的应用,考查计算能力. 18. (12 分) (2016?衡水校级四模)已知矩形 ABCD,AD=2AB=2,点 E 是 AD 的中点,将△DEC 沿 CE 折起到△D’EC 的位置,使二面角 D'﹣EC﹣B 是直二面角. (1)证明:BE⊥CD’; (2)求二面角 D'﹣BC﹣E 的余弦值.

【分析】 (1)一般是通过证明线面垂直得到线线垂直,即证明其中一条直线与另一条直线所在的平面垂 直. (2)利用向量法求二面角的平面角,建立空间直角坐标系利用向量的一个运算求出两个平面的法向量, 进而求出二面角的余弦值. 【解答】解: (1)证明:∵AD=2AB=2,E 是 AD 的中点, ∴△BAE,△CDE 是等腰直角三角形,∠BEC=90°, 又∵平面 D'EC⊥平面 BEC,面 D'EC∩面 BEC=EC ∴BE⊥面 D'EC,∴BE⊥CD’. (2)如图,以 EB,EC 为 x 轴、y 轴,过 E 垂直于平面 BEC 的射线为 z 轴,建立空间直角坐标系. 则 设平面 BEC 的法向量为 ;平面 D'BC 的法向量为 ,

代入整理可得:

不妨取 x2=l 得 ,



∴二面角 D'﹣BC﹣E 的余弦值为



【点评】解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征,以便于正确利用线面垂直与线面平行关系,并 且利于建立坐标系利用向量法解决空间角与空间建立问题. 19. (12 分) (2016?衡水校级模拟)2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分,台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇 沿海登陆,造成 165.17 万人受灾,5.6 万人紧急转移安置,288 间房屋倒塌,46.5 千公顷农田受灾,直接 经济损失 12.99 亿元.距离陆丰市 222 千米的梅州也受到了台风的影响,适逢暑假,小明调查了梅州某小 区的 50 户居民由于台风造成的经济损失,将收集的数据分成[0,2000], (2000,4000], (4000,6000], (6000,8000], (8000,10000]五组,并作出如图频率分布直方图:

(1)试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失(同一组中的数据用该组区间的中点值作 代表) ; (2)小明向班级同学发出倡议,为该小区居民捐款,现从损失超过 4000 元的居民中随机抽出 2 户进行 捐款援助,设抽出损失超过 8000 元的居民为 ξ 户,求 ξ 的分布列和数学期望; (3)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的 50 户居民捐款情况如图,根据图表格 中所给数据,分别求 b,c,a+b,c+d,a+c,b+d,a+b+c+d 的值,并说明是否有 95%以上的把握认为捐款 数额多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关? 经济损失不超过 4000 元 捐款超过 500 元 捐款不超过 500 元 合计 P(K ≥k) k
2

经济损失超过 4000 元 b d=6

合计

a=30 c

0.15 2.072

0.10 2.706
2

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

附:临界值表参考公式:K =

,n=a+b+c+d.

【分析】 (1)求得各组区间的中点值,计算各个矩形的面积之和即可每户居民的平均损失; (2)由频率分布直方图可得,损失超过 4000 元的居民共有 15 户;损失超过 8000 元的居民共有 3 户, 因此,ξ 可能取值为 0,1,2,运用排列组合的知识,可得各自的概率,由期望公式计算即可得到; (3)由(2)可得 a,b,c,d,运用临界值参考公式,求出 K ,与临界值比较,即可有 95%以上的把握 认为捐款数额多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关. 【解答】解: (1)记每户居民的平均损失为 元, 则 =(1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003)×2000=3360…(4 分) (2)由频率分布直方图,可得超过 4000 元的居民共有 (0.00009+0.00003+0.00003)×2000×50=15 户, 损失超过 8000 元的居民共有 0.00003×2000×50=3 户, 因此,ξ 的可能值为 0,1,2. P(ξ=0)= = ,
2

P(ξ=1)=

=



P(ξ=2)=

=



∴ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 P

数学期望 E(ξ) ,

…(8 分)

(3)解得 b=9,c=5,a+b=39,c+d=11,a+c=35,b+d=15,a+b+c+d=50, , 所以有 95%以上的把握认为捐款数额多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关…12 元 【点评】本题考查根据频率分布直方图求均值,以及随机分布的概率和期望的计算,考查独立性检验的 概率情况,考查运算能力,属于中档题.

20. (12 分) (2016?衡水校级模拟)已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的两个焦点 F1,F2,且椭圆过

点(0,

) , (

,﹣

) ,且 A 是椭圆上位于第一象限的点,且△AF1F2 的面积 S

=



(1)求点 A 的坐标; (2)过点 B(3,0)的直线 l 与椭圆 E 相交于点 P,Q,直线 AP,AQ 与 x 轴相交于 M,N 两点,点 C ( ,0) ,则 ? 是否为定值,如果是定值,求出这个定值,如果不是请说明理由.

【分析】 (1)由题意可得:

,解出椭圆 E 的方程.由△AF1F2 的面积

,可



,解得 yA,代入椭圆方程可得 xA.

(2) 法一: 设直线 l 的方程为 x=my+3, P (x1, y1) , Q (x2, y2) . 直线 AP 的方程为



可得

.同理可得

.联立

,可得(2+m )

2

y +6my+3=0.把根与系数的关系代入|CM|?|CN|,即

2

?

,即可得出定值.

法二:设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,M(x3,0) ,N(x4,0) ,直线 l,AP,AQ 的斜率分别为 k,k1,k2, 由 ,得(1+2k )x ﹣12k x+18k ﹣6=0,可得 k1+k2=﹣2.由 y﹣1=k1(x﹣2) ,令 y=0,得 ,即 定值. 【解答】解: (1)∵椭圆 . ,同理可得: ,代入|CM|?|CN|,即 ? ,即可得出
2 2 2 2



,解得



∴椭圆 E 的方程为 ∵△AF1F2 的面积 ∴ ,

. ,

∴yA=1,代入椭圆方程 ∵xA>0,∴xA=2,∴A(2,1) .



(2)法一:设直线 l 的方程为 x=my+3,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) . 直线 AP 的方程为 ,

可得

,即



直线 AQ 的方程为



可得

,即



联立
2 2

,消去 x,整理,

得(2+m )y +6my+3=0. 2 2 2 由△=36m ﹣12(2+m )>0,可得 m >1. ∴ ,

∴|CM|?|CN|为定值,且





?

= .

法二:设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,M(x3,0) ,N(x4,0) ,直线 l,AP,AQ 的斜率分别为 k,k1,k2, 由 ,得(1+2k )x ﹣12k x+18k ﹣6=0,△=144k ﹣4(1+2k ) (18k ﹣6)>0,可得 k <1,
2 2 2 2 4 2 2 2



由 y﹣1=k1(x﹣2) ,令 y=0,得 即 同理得 即 , , ,则



∴|CM|?|CN|为定值,该定值为 . 即 ? = .

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线斜率计算公式、数量积运算 性质、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

21. (12 分) (2016?邯郸二模)已知函数 f(x)=(ax +bx+a﹣b)e ﹣ (x﹣1) (x +2x+2) ,a∈R,且 曲线 y=f(x)与 x 轴切于原点 O. (1)求实数 a,b 的值; (2)若 f(x)?(x +mx﹣n)≥0 恒成立,求 m+n 的值. 【分析】 (1)求出 f(x)的导数,由题意可得 f′(0)=a=0,f(0)=(a﹣b)+1=0,即可得到 a,b 的值; (2)由题意可得(x﹣1)[e ﹣ (x +2x+2)]?(x +mx﹣n)≥0, (*)由 g(x)=e ﹣ (x +2x+2) , 求出导数和单调区间,可得(x﹣1) (x +mx﹣n)≥0 恒成立,即有 0,1 为二次方程 x +mx﹣n=0 的两根, 即可得到 m,n 的值,进而得到 m+n 的值. 【解答】解: (1)函数 f(x)=(ax +bx+a﹣b)e ﹣ (x﹣1) (x +2x+2)的导数为 f′(x)=e (2ax+ax +bx+a)﹣ (3x +2x) , 由曲线 y=f(x)与 x 轴切于原点 O,可得 f′(0)=a=0,f(0)=(a﹣b)+1=0, 即有 a=0,b=1; (2)f(x)?(x +mx﹣n)≥0 恒成立,即为 [(x﹣1)e ﹣ (x﹣1) (x +2x+2)]?(x +mx﹣n)≥0, 即有(x﹣1)[e ﹣ (x +2x+2)]?(x +mx﹣n)≥0, (*) 由 g(x)=e ﹣ (x +2x+2)的导数为 g′(x)=e ﹣x﹣1, 设 h(x)=e ﹣x﹣1,h′(x)=e ﹣1, 当 x≥0 时,h′(x)≥0,h(x)递增,可得 h(x)≥h(0)=0, 即 g′(x)≥0,g(x)在[0,+∞)递增, 可得 g(x)≥g(0)=0,即 e ﹣ (x +2x+2)≥0; 当 x≤0 时,h′(x)≤0,h(x)递减,可得 h(x)≤h(0)=0, 即 g′(x)≤0,g(x)在[0,+∞)递减, 可得 g(x)≤g(0)=0,即 e ﹣ (x +2x+2)≤0. 由(*)恒成立,可得 x≥0 时, (x﹣1) (x +mx﹣n)≥0 恒成立, 2 且 x≤0 时, (x﹣1) (x +mx﹣n)≤0 恒成立, 即有 0,1 为二次方程 x +mx﹣n=0 的两根, 可得 n=0,m=﹣1, 则 m+n=﹣1. 【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间,注意运用函数的单调性,考查化简整理的运 算能力,属于中档题. [选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?合肥二模)如图,PA 为四边形 ABCD 外接圆的切线,CB 的延长线交 PA 于点 P,AC 与 BD 相交于点 M,PA∥BD
2 2 x 2 x 2 x x x 2 x x 2 2 x 2 2 2 x 2 2 2 x 2 2 2 x 2 2 x 2 2

2

x

2

(1)求证:∠ACB=∠ACD; (2)若 PA=3,PC=6,AM=1,求 AB 的长.

【分析】 (1)利用弦切角定理及平行线的性质,证明:∠ACB=∠ACD; (2)由切割线定理及△AMB~△ABC,求 AB 的长. 【解答】 (1)证明:∵PA 为切线,∴∠PAB=∠ACB. ∵PA∥BD,∴∠PAB=∠ABD=∠ACD, ∴∠ACB=∠ACD…(5 分) (2)解:已知 PA=3,PC=6,AM=1,由切割线定理 PA =PB?PC 得: ∵PA∥BD,得 又知△AMB~△ABC,所以 所以 AB =AM?AC=4,所以 AB=2…(10 分) 【点评】本题考查弦切角定理及平行线的性质,考查切割线定理,考查三角形相似的判定与性质,考查 学生分析解决问题的能力,属于中档题. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. (2016?衡水校级四模)在直角坐标系 xOy 中,已知点 P(1,﹣2) ,直线 l:
2 2 2



(t 为参数) ,

以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρsin θ=2cosθ,直线 l 和 曲线 C 的交点为 A,B. (1)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; (2)求|PA|+|PB|. 【分析】 (1)由代入消元法,可得直线的普通方程;运用 x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得曲线 C 的普通方程; (2)求得直线 l 的标准参数方程,代入曲线 C 的普通方程,可得二次方程,运用韦达定理和参数的几何 意义,即可得到所求和. 【解答】解: (1)直线 l: (t 为参数) ,

消去 t,可得直线 l 的普通方程为 x﹣y﹣3=0; 曲线 C 的极坐标方程为 ρsin θ=2cosθ, 2 2 即为 ρ sin θ=2ρcosθ, 由 x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得 曲线 C 的普通方程为 y =2x;
2 2

(2)直线 l 的标准参数方程为
2

(m 为参数) ,

代入曲线 C:y =2x, 2 可得 m ﹣6 m+4=0,即有 m1+m2=6

,m1m2=4,

则|PA|+|PB|=|m1|+|m2|=m1+m2=6 . 【点评】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化、参数方程和普通方程的互化,考查直线的参数方 程的运用,注意运用联立方程和韦达定理,以及参数的几何意义,考查运算能力,属于基础题. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (2016?衡水校级模拟)已知函数 f(x)=2x﹣1﹣a,g(x)=﹣2x+m,a,m∈R,若关于 x 的不等式 g(x)≥﹣1 的整数解有且仅有一个值为﹣2. (1)求整数 m 的值; (2)若函数 y=f(x)的图象恒在函数 y= g(x)的上方,求实数 a 的取值范围. 【分析】 (1)由 g(x)≥﹣1,即﹣|2x+m|≥﹣1,|2x+m|≤1,得 可得到所求整数 m 的值; (2)由题意可得 2|x﹣1|﹣a>﹣|x+2|,即为 a<2|x﹣1|+|x+2|的最小值,由绝对值的含义和一次函数 的单调性,即可得到最小值,进而得到 a 的范围. 【解答】解: (1)由 g(x)≥﹣1,即﹣|2x+m|≥﹣1,|2x+m|≤1, 得 . ,解不等式即

因为不等式的整数解为﹣2, 所以 ,解得 3≤m≤5.

又不等式仅有一个整数解﹣2,所以 m=4…(4 分) (2)函数 y=f(x)的图象恒在函数 所以 a<2|x﹣1|+|x+2|对任意 x∈R 恒成立. 设 h(x)=2|x﹣1|+|x+2|, 的上方,故 .



则 h(x)在区间(﹣∞,1)上是减函数, 在区间(1,+∞)上是增函数, 所以当 x=1 时,h(x)取得最小值 3, 故 a<3,所以实数 a 的取值范围是(﹣∞,3) . (或者因为 h(x)=2|x﹣1|+|x+2|=|x﹣1|+|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1|+3≥3,故 a<3. )…(10 分) 【点评】本题考查绝对值不等式的解法,考查不等式恒成立问题的解法,注意运用参数分离和绝对值的 含义,以及一次函数的单调性,考查运算能力,属于中档题.


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