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上海市浦东新区2013届高三下学期4月高考预测数学理试题


一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目 要求的. 1.设全集 U 是实数集 R,集合 M={x| >2x},N={x| ≤0},则(CUM)∩N= A.{x|1<x<2} C.{x|1<x<≤2} B.{x|1≤x≤2} D.{x|1<x<2}

2.对任意复数 z=a+bi(a,b ∈ ,i 为虚数单位,则下列结论中正确的是 R) A. z- =2a B.z? =|z|2 C. =1 3.双曲线 的离心率为 A. B. C. D. D. ≥0

4.某学生在一门功课的 22 次考试中,所得分数如下茎叶图所示,则此学生该门功课考试分数的 极差与中位数之和为

A.117

B.118

C.118.5

D.119.5

5.在△ABC 中,M 是 AB 边所在直线上任意一点,若 =-2 +λ ,则 λ= A.1 B.2 C.3 D.4

6.公差不为 0 的等差数列{ }的前 21 项的和等于前 8 项的和.若 ,则 k= A.20 B.21 C.22 D.23

7.设函数 f(x)= -lnx,则 y=f(x) A.在区间( ,1)(1,e)内均有零点 , B.在区间( ,1)(1,e)内均无零点 , C.在区间( ,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点 D.在区间( ,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

A.

B.2

C. +1)π D. +2)π (2 (2

9.已知函数 f(x)是定义在 R 上的增函数,则函数 y=f(|x-1|)-1 的图象可能是

10.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 =2014 ,则 的值为 A.0 B.1 C.2013 D.2014

11.若 = + + +…+ (x∈ ,则 + + +…+ R)

A.-

B.

C.-

D.

12.四面体 ABCD 中,AD 与 BC 互相垂直,AD=2BC=4,且 AB+BD=AC+CD=2 ,则四面 体 ABCD 的体积的最大值是 A.4 B.2 C.5 D.

第Ⅱ 非选择题 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题。每个试题考生都必须作 答.第 22 题~第 24 题为选考题.考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.圆 -2x+my-2=0 关于抛物线 =4y,的准线对称,则 m=_____________ 14.不等式组 对应的平面区域为 D,直线 y= k(x+1)与区域 D 有公共点,则 k 的取值范围是______. 15.运行如下程序框图对应的程序,输出的结果是_______ 16.设数列{ }是等差数列,数列{ }是等比数列,记数列 { },{ }的前 n 项和分别为 , .若 a5=b5,a6=b6, 且 S7-S5=4(T6-T4) ,则 =____________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=cos(2x- )+sin2x-cos2x. (Ⅰ )求函数 f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程; (Ⅱ )设函数 g(x)=[f(x)]2+f(x) ,求 g(x)的值域. 18. (本小题满分 12 分) 为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普 通行人中随机选取了 200 人进行调查,得到如下数据:

(Ⅰ )若用表中数据所得频率代替概率,则处罚 10 元时与处罚 20 元时,行人会闯红灯 的概率的差是多少? (Ⅱ )若从这 5 种处罚金额中随机抽取 2 种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验. ① 求这两种金额之和不低于 20 元的概率; ② 若用 X 表示这两种金额之和,求 X 的分布列和数学期望. 19. (本小题满分 12 分)

如图所示的几何体 ABCDFE 中,△ABC,△DFE 都是 等边三角形,且所在平面平行,四边形 BCED 为正方 形,且所在平面垂直于平面 ABC. (Ⅰ )证明:平面 ADE∥ 平面 BCF; (Ⅱ )求二面角 D-AE-F 的正切值. 20. (本小题满分 12 分) 已知圆 C: 的半径等于椭圆 E: (a>b>0)的短半轴长,椭圆 E 的右焦点 F 在圆 C 内,且到直线 l:y=x- 的距离为 - ,点 M 是直线 l 与 圆 C 的公共点,设直线 l 交椭圆 E 于不同的两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . (Ⅰ )求椭圆 E 的方程; (Ⅱ )求证:|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.

21. (本小题满分 12 分) 对于函数 f(x) (x∈ ,若 x∈ 时,恒有 > 成立,则称函数 是 D 上 D) D 的 J 函数. (Ⅰ )当函数 f(x)=m lnx 是 J 函数时,求 m 的取值范围; (Ⅱ )若函数 g(x)为(0,+∞)上的 J 函数, ① 试比较 g(a)与 g(1)的大小; ② 求证:对于任意大于 1 的实数 x1,x2,x3,…,xn,均有 g(ln(x1+x2+…+xn) ) >g(lnx1)+g(lnx2)+…+g(lnxn) . 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时 请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知⊙ 的半径为 1,MN 是⊙ 的直径,过 M 点 O O 作⊙ 的切线 AM,C 是 AM 的中点,AN 交⊙ 于 B 点, O O 若四边形 BCON 是平行四边形; (Ⅰ )求 AM 的长; (Ⅱ )求 sin∠ ANC. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρcos(θ- )=-1,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=

2 cos(θ- ) .以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系. (Ⅰ )求曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ )求曲线 C2 上的动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知不等式 2|x-3|+|x-4|<2a. (Ⅰ )若 a=1,求不等式的解集; (Ⅱ )若已知不等式的解集不是空集,求 a 的取值范围. 2013 年河南省十所名校高中毕业班阶段性测试(三) 数学(理科)?答案 (1)C (7)D (13)2 (15) (17)解: ) (Ⅰ .………………………………………………………………………………(3 分) 的最小正周期为 ,由 得 函数图象的对称轴方程为 ……………………………………………(6 分) (Ⅱ ) …………………………………………………………………(8 分) 当 时, 取得最小值 , 当 时, 取得最大值 2, 所以 的值域为 .………………………………………………………………(12 分) (18)解: )由条件可知,处罚 10 元会闯红灯的概率与处罚 20 元会闯红灯的概率的差 (Ⅰ 是: .………………………………………………………………………(4 分) (Ⅱ 设“两种金额之和不低于 20 元”的事件为 ,从 5 种金额中随机抽取 2 种,总的抽选方法共有 )① 种,满足金额之和不低于 20 元的有 6 种, 故所求概率为 .………………………………………………………………(8 分) ② 根据条件, 的可能取值为 5,10,15,20,25,30,35,分布列为 (2)B (8)B (3)D (9)B (14) (16) (4)B (10)C (5)C (11)D (6)C (12)A

5 10 15 20 25 30 35

=20.……………(12 分) (19)解: )取 的中点 , (Ⅰ 的中点 ,连接 . 则 ,又平面 平面 , 所以 平面 ,同理 平面 , 所以 又易得 , 所以四边形 为平行四边形,所以 , 又 ,所以平面 平面 . ……………………………………………(6 分) (Ⅱ )建立如图所示的空间直角坐标系,设 ,则 , , , , ,. 设平面 的一个法向量是 ,则 , 令 ,得 .…………………………………………………………………(9 分) 设平面 的一个法向量是 ,则 令 ,得 . 所以 , 易知二面角 为锐二面角,故其余弦值为 , 所以二面角 的正切值为 .………………………………………………(12 分) (20)解: )设点 ,则 到直线 的距离为 (Ⅰ ,即 ,………………………………………………(2 分) 因为 在圆 内,所以 ,故 ;………………………………………………(4 分) 因为圆 的半径等于椭圆 的短半轴长,所以 , 椭圆方程为 .……………………………………………………………………(6 分) (Ⅱ )因为圆心 到直线 的距离为 ,所以直线 与圆 相切, 是切点,故 为直角三角形,所以 , 又 ,可得 ,………………………………………………………(7 分) ,又 ,可得 ,………………………(9 分) 所以 ,同理可得 ,…………………………………(11 分) 所以 ,即 .…………………(12 分)

(21)解: )由 ,可得 , (Ⅰ 因为函数 是 函数,所以 ,即 , 因为 ,所以 ,即 的取值范围为 .…………………………………(3 分) (Ⅱ 构造函数 , )① 则 ,可得 为 上的增函数, 当 时, ,即 ,得 ; 当 时, ,即 ,得 ; 当 时, ,即 ,得 .…………………(6 分) ② 因为 ,所以 , 由① 可知 , 所以 ,整理得 , 同理可得 ,…, . 把上面 个不等式同向累加可得 .…………………………(12 分) (22)解: )连接 ,则 , (Ⅰ 因为四边形 是平行四边形,所以 ∥, 因为 是 的切线,所以 ,可得 , 又因为 是 的中点,所以 , 得 ,故 .……………………………(5 分) (Ⅱ )作 于 点,则 ,由(Ⅰ )可知 , 故 .………………………………………………………………(10 分) (23)解: ) , (Ⅰ 即 ,可得 , 故 的直角坐标方程为 .…………………………………………(5 分) (Ⅱ 的直角坐标方程为 , ) 由(Ⅰ )知曲线 是以 为圆心的圆,且圆心到直线 的距离 , 所以动点 到曲线 的距离的最大值为 .………………………………(10 分) (24)解: )当 时,不等式即为 , (Ⅰ 若 ,则 , , 舍去; 若 ,则 , ;

若 ,则 , . 综上,不等式的解集为 .……………………………………………………(5 分) (Ⅱ )设 ,则 ,, , ,即 的取值范围为 .………………………………………(10 分)


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