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山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试理科数学


2013 年高考模拟试题

理科数学
2013.5 本试卷分为选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分. 考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县 区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上. 2.第 1 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题纸各题目指定区域内 相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷

(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.复数 z 满足方程 z ? ( z ? 2 )i (i 为虚数单位),则 z = (A) 1 ? i
2

(B) 1 ? i (B) (0 ,1)

(C) ? 1 ? i (C) [0 ,1]

(D) ? 1 ? i (D) [ ? 1,1]

2.已知集合 A ? ? x x >1? , B = ? x lo g 2 x<1? , ( ?R A ) ? B ? 则 (A) (0 ,1] 3.甲、乙两名运动员在某项测试中的 6 次成绩如茎叶图所示, x1 , x 2 分别表示甲、乙两 名运动员这项测试成绩的平均数, s1 , s 2 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的 标准差,则有
甲 乙 0 1 2 7 3557 3

(A) x1> x 2 , s1< s 2 (C) x1 ? x 2 , s1> s 2 4.下列选项中叙述错误的是 ..
2

(B) x1 ? x 2 , s1< s 2 (D) x1< x 2 , s1> s 2

9 6554 1

(A)命题“若 x ? 1 ,则 x ? x ? 0 ”的逆否命题为真命题
2 2 (B)若 p : ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p : ? x ? R , x ? x ?1 ? 0
0 0 0

(C) x>1 ”是“ x ? x> 0 ”的充分不必要条件 “
2

(D)若“p∧q”为假命题,则“p∨q”为真命题 5.设 a ? ( ) , b ? ( ) , c ? ( ) , 则 a , b , c 的大小关系是
5 5 5

3

2

2

3

2

2

5

5

5

(A) a> c> b

(B) a> b> c

(C) c> a> b

(D) b> c> a

1

6.要得到函数 f ( x ) ? c o s ( 2 x ? (A)向左平移 (C)向左平移
π 2 π 4

π 3

) 的图象,只需将函数 g ( x ) ? s in ( 2 x ?

π 3

) 的图象

个单位长度 个单位长度

(B)向右平移

π 2 π 4

个单位长度 个单位长度

(D)向右平移

7.一个空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积为
1

(A) 2 3
4 3 3

(B) 2 5
1

(C)

(D)

5 3 3

1

1 正视图

3

侧视图

8.2013 年中俄联合军演在中国青岛海域举行,在某一项演 练中,中方参加演习的有 5 艘军舰,4 架飞机;俄方有 3 艘军舰, 架飞机. 若从中、 6 俄两方中各选出 2 个单位 (1 且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有 (A)51 种 (B)224 种
2

第 7 题图 俯视图

架飞机或一艘军舰都作为一个单位,所有的军舰两两不同,所有的飞机两两不同) , (C)240 种
x

(D)336 种

9.如图是函数 f ( x ) ? x ? a x ? b 的部分图象,函数 g ( x ) ? e ? f ? ( x ) 的零点所在的区间是 ( k , k ? 1) ( k ? z ) ,则 k 的值为 (A)-1 或 0 10. ( x ? a )( 2 x ? 数项为 (A)-40 (B)-20 (C)20 (D)40 11.已知矩形 ABCD 的边 AB⊥x 轴,且矩形 ABCD 恰好能完全覆盖函数 y ? a sin 2 a x
( a> 0 ) 的一个完整周期的图象,则当 a 变化时,矩形 ABCD 的周长的最小值为
1 x
5

(B)0

(C)-1 或 1

(D)0 或 1
-1

1.

) 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常

O

x

(A) 8 π

(B) 4 2π

(C) 4 π

(D) 2 2π

12.某农户计划种植黄瓜和西红柿,种植面积不超过 50 亩,投入资金不超过 48 万元, 假设种植黄瓜和西红柿的产量成本和售价如下表: 年产量/亩 年种植成本/亩 黄瓜 西红柿 4吨 6吨 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和西红 柿的种植面积(单位:亩)分别为: (A)10,40 (B)20,30 (C)30,20
2

(D)40,10

2013 年高考模拟试题

理科数学
2013.5

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上. 13.若不等式 2 x ? a ? a ≤ 4 的解集为 ? x ? 1≤ x ≤ 2 ? ,则实数 a ? . 14.过双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段 OF

(O 为原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为 且 PA=PB=2,PC=3,则此球的表面积为 .

. y
C D B

15.已知三棱锥 P—ABC,点 P,A,B,C 都在球面上,若 PA,PB,PC 两两垂直, 16.如右图放置的正方形 ABCD,AB=1,A,D 分别在 x 轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑动,则OC ·OB 的最大值 是 . 三、 解答题: 本大题共 6 小题, 74 分, 共 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) ? ? cos
2





O

A

x

?
2

x?

3 π sin ? x 的图象上两相邻对称轴间的距离为 ( ? > 0 ) . 2 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调减区间; (Ⅱ)在△ABC 中, a , b , c 分别是角 A,B,C 的对边,若 f ( A ) ? 积是 3 3 ,求 a 的值.
1 2 , c ? 3, △ABC 的面

18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P—ABC 中, ∠APB=90° ,∠PAB=60° AB=BC=CA=PC. , (Ⅰ)求证:平面 APB⊥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 B—AP—C 的余弦值. A

P

B

19. (本小题满分 12 分)
2

C

已知当 x ? 5 时,二次函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c 取得最小值,等差数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n ? f ( n ) , a 2 ? ? 7 .
3

(Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)数列 ? b n ? 的前 n 项和为 T n , 且 b n ?
an 2
n

,证明 T n ≤ ?

9 2

.

20. (本小题满分 12 分) 某市统计局就本地居民的月收入调查 了 10000 人, 并根据所得数据画了样本的频 0.0005 率分布直方图 (每个分组包括左端点, 不包 括右端点,如第一组表示月收入在[1000,
0.0003 0.0002 频率/组距

1500) ,单位:元). 0.0001 (Ⅰ)估计居民月收入在[1500,2000) 0 1000 2000 3000 4000 月收入(元) 的概率; (Ⅱ)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数; (Ⅲ)若将频率视为概率,从本地随机抽取 3 位居民(看做有放回的抽样) ,求月收 入在[1500,2000)的居民数 X 的分布和数学期望.

21. (本小题满分 13 分) 已知直线 l: y ? x ?
e ? 3 3

x y 2 2 6 , 圆 O : x ? y ? 5, 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a> b> 0 ) 的离心率 a b

2

2

, 直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过椭圆右焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点. (1)若AF =2FB 求直线 l 的方程; (2)若动点 P 满足OP =OA +OB , 问动点 P 的轨迹能否与椭圆 C 存在公共点?若存 在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.





→ → →

22. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ( 2 ? a )( x ? 1) ? 2 ln x , g ( x ) ? x e
1 2
1? x

( a ? R , e 为自然对数的底数).

(Ⅰ)若不等式 f ( x )> 0 对于一切 x ? ( 0 , ) 恒成立,求 a 的最小值; (Ⅱ)若对任意的 x 0 ? (0, e], 在 (0, e ] 上总存在两个不同的 x i ( i ? 1, 2 ), 使 f ( x i ) ? g ( x 0 ) 成立,求 a 的取值范围.

4

2013 年高考模拟试题

数学试题(理)参考答案及评分标准
2013.5 说明: 一、本解答只给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容参照评分标准酌情赋分. 二、当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容与 难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确答案应得分数的一 半;如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题: (每小题 5 分,满分 60 分) 1.(B) 2.(A) 3.(B) 4.(D) 5.(A) 6.(C) 7.(D) 8.(C) 9.(C) 10.(A) 11.(B) 12.(A) 二、填空题: (每小题 4 分,满分 16 分) 13. 1 三、解答题: 17. 解:由已知,函数 f ( x ) 周期为π .????????????????(1 分) ∵ f ( x ) ? ? cos
2

14.

2

15. 1 7π

16. 2

?x
2

?

3 2 1 2

sin ? x ? ?

1 ? cos ? x 2

?

3 2

sin ? x ???(2 分)

?

3 2

s in ? x ?
π 6

cos ? x ?
1 2

1 2

? s in ( ? x ?

)?

,?????????????????(3 分)
π 6 )? 1 2 2 5 π ≤ 2 x ≤ 2 kπ ? π , 3 3

∴? ? (Ⅰ)由 2 kπ ? ∴ kπ ?

2π π 2

= 2 , ∴ f ( x ) ? s in ( 2 x ? π 6 5 6 ≤ 2 kπ ? 3 2 π (k ? z )

.???????????(4 分)

π

≤2x ?

π , 得 2 kπ ?

π 3

≤ x ≤ kπ ?

5

∴ f ( x ) 的单调减区间是 [ kπ ? (Ⅱ)由 f ( A ) ?
1 2 , 得 s in ( 2 A ? π 6 π 6 <2 A ? π 3 )?

π 3 1 2

, kπ ? ? 1 2

5 6

π ]( k ? z ) .?????????(6 分) π 6 ) ? 1 .???????(7 分)

, s in ( 2 A ?

∵ 0< A< π ,∴ ? ∴2A ?
π 6 ? π 2 1 2

π 6



11 π ,?????????????(8 分) 6

,A?

.???????????????????(9 分)

由 S ? ABC ?

b c sin A ? 3 3 , c ? 3,

得 b ? 4 ,??????????????????????????(10 分) ∴ a ? b ? c ? 2bc cos A ? 16 ? 9 ? 2 ? 4 ? 3 ?
2 2 2

1 2

? 1 3 ,??????(11 分)

故a ?

1 3 ?????????????????????????(12 分)

18.解(Ⅰ)过 P 作 PO⊥AB,垂足为 O,连结 OC. 设 AB=2,则
P A ? 1, A O ? 1 2
z P

,???????????(1 分)
1 2
x

在△AOC 中, A O ?
13 2

, A C ? 2, ? B A C ? 60 ,

?

A

O

B C

y

由余弦定理得 O C ?

. ?????????(2 分)

在△POC 中, P O ?

3 2

,OC ?

13 2

, PC ? 2

,

则 P O 2 ? O C 2 ? P C 2 , ∴PO⊥OC.???????????????(3 分) 又 A B ? O C ? O ,∴PO⊥平面 ABC????????????????(4 分) 又 PO
?

平面 APB,?????????????????????(5 分)

∴平面 APB⊥平面 ABC.???????????????????(6 分) (Ⅱ)以 O 为坐标原点,OB、OP 所在直线为 y 轴、z 轴建立如图所示的空间直线坐标系,则
A( 0 ? , 1 2 ???? , 0C , ) ( 1 2 ??? ? 1 2 3 2
6

3 ,

P0 ), ,

3 ( 0.??????????????(7 分) , 0, ) 2

∴ A C ? ( 3 ,1, 0 ), A P ? (0 ,

,

),

设平面 APC 的一个法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ), 则
???? ? n ? A C ? 0, ? ??? ? ? ? n ? A P ? 0, ?

? 3 x ? y ? 0, 1 1 ? ∴?1 ??????????????( 9 分) 3 y1 ? z1 ? 0 , ? ?2 2

令 x1 ? 1, 则 n ? (1, ? 3 ,1) . 而平面 APB 的一个法向量为 m ? (1, 0 , 0 ), ?????????????(10 分) 设二面角 B-AP-C 的平面角为 ? ,易知 ? 为锐角, 则 cos ? ?
n ?m n m ? 1 3?1?1 ? 5 5
5 5

.??????????????(11 分)

即二面角 B-AP-C 的余弦值为

.???????????????(12 分)

19. (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S 1 ? a ? b ? c , ???????????????(1 分) 当 n≥ 2 时 , a n ? S n ? S n ? 1 ? 2 a n ? b ? a , ? ?? ??? ?? ?? ??( 2 分) 又 a 1 适合上式,得 2 a ? b ? a ? a ? b ? c , ∴ c ? 0 .?????????(3 分) 由已知 a 2 ? 4 a ? b ? a ? 3 a ? b ? ? 7 , ?
b 2a ? 5,

? 3 a ? b ? ?7 , ? a ? 1, ? 解方程组 ? b 得? ??????????????(5 分 ) ? 5 ?b ? ?10, ?? ? 2a

∴ a n ? 2 n ? 1 1 .???????????????????????(6 分) (Ⅱ) b n ? ∴ Tn ?
1 2

2n ? 11 2
?9 2
n

,
? ??? ? ? ??? ? 9 2 ? 2n ? 11 2
n

?

?7 2
2


? 2 2
n

T n ? ......... 1 2

?9 2
2

2n ? 13 2 2
2 n

2n ? 11 2 ?
n ?1

②?????????????? 分) (7 ???????????(8 分)

①-②得

Tn ? ?

? ... ?

2n ? 11 2
n ?1

2

7

1 ? ? 9 2
7 2

(1 ? 1?

1 2 1 2
n ?1

) ?

? 2

2n ? 11 2
n ?1

? ?

? 2

1
n ?1

?

2n ? 11 2 2
n n ?1

,?????????????????????(9 分)

∴ Tn ? ? 7 ? 则 T1 ? ?
T2 ? ? T3 ? ? 9 2 9 2 ? 9 2 ? 7 2 7 2

2n ? 7

.??????????????????????(10 分)

,
<? 5 2 2n ? 7 2
n

9 2

,
9 2 > 0 , ∴ Tn ? ? 7 ? 2n ? 7 2
n

<?

,?????????????????????(11 分)
< ? 7< ? 9 2

当 n≥ 4 时,

,

综上,得 T n ≤ ?

9 2

.???????????????????????(12 分)

20.解(Ⅰ)居民月收入在[1500,2000)的概率约为
1? ( 0 . 0 0 0 2 ? 0 . 0?0 0 1 0 ? 0 0 0 3 ? 0 . ? 0 ??????????(2 分) . 0 05 2) 500
? 1 ? 0 .0 0 1 6 ? 5 0 0 ? 1 ? 0 .8 ? 0 .2 . ?????????????????(3 分)

(Ⅱ)由频率分布直方图知,中位数在[2000,2500), 设中位数为 x,则
0.0002 ? 5? 0 0 ? .2 0 0x 0 ? 0 5 ( . 0 ?2000) 0.5, ??????????(5 分)

解得 x ? 2 4 0 0 .???????????????????????(6 分) (Ⅲ)居民月收入在[1000,2000)的概率为
0.0002 ? 5? 0 0 ? . 2 ???????????????????(7 分) 0 0.3,

由题意知,X~B(3, 0.3),???????????????????(8 分) 因此 P ( x ? 0 ) ? C 3 ? 0 .7 ? 0 .3 4 3,
0 3

P ( x ? 1) ? C 3 ? 0 .7 ? 0 .3 ? 0 .4 4 1, ?????????????(9 分)
1 2

P ( x ? 2 ) ? C 3 ? 0 .7 ? 0 .3 ? 0 .1 8 9,
2 2

P ( x ? 3) ? C 3 ? 0 .3 ? 0 .0 2 7 . ???????????????(10 分)
3 3

故随机变量 X 的分布列为 X P

0 0.343

1 0.441

2 0.189

3 0.027

??(11 分)

X 的数学期望为 3×0.3=0.9.?????????????????(12 分) 21.解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c,圆心 O 到直线 l 的距离为

8

d ?

6 1?1

?

3 , ???????????????????(1 分)

∴b ?

5?3 ?

2 .???????????????????(2 分)

c a

?
2

3 3
2

,
2

由题意得

a ? b ? c , ????????????????(3 分) b ? 2,

解得 a ? 3, b ? 2 .
2 2

故椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

? 1 . ??????????????(4 分)

3

2

(Ⅱ) (1)当直线 l 的斜率为 0 时,检验知 A F ? 2 F B . 设 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 由 A F ? 2 F B ,得 (1 ? x1 , ? y 1 ) ? 2 ( x 2 ? 1, y 2 ), 则有 y1 ? ? 2 y 2 ①?????????????????????(5 分)
???? ??? ?

????

??? ?

设直线 l: x ? m y ? 1,
? x ? m y ? 1, ? 联立 ? x 2 y 2 ? ? 1, ? 2 ? 3

消去 x,整理得 ( 2 m ? 3) y ? 4 m y ? 4 ? 0 .
2 2

∴ y1 ? y 2 ? ?

4m 2m ? 3
2

, y1 y 2 ?

?4 2m ? 3
2

.

结 合 ① , 得 y1 ? ? 代入 y 1 y 2 ?
8m
2 2

8m 2m ? 3
2

, y2 ?
8m

4m 2m ? 3
2

. ??????????(6 分)
4 2m ? 3
2

4 2m ? 3
2

, 得?

2m ? 3
2

×

4m 2m ? 3
2

? ?

,



2m ? 3

? 1, 解得 m ? ?

2 2

,

9

故直线 l 的方程是 x ? ?

2 2

y ? 1 . ????????????????(7 分)
??? ? ??? ? ??? ?

(2)问题等价于在椭圆上是否存在点 P,使得 O P ? O A ? O B 成立.????(8 分) 当直线 l 的斜率为 0 时,可以验证不存在这样的点, 故设直线 l 的方程为 x ? m y ? 1, 用(1)的设法,可得 P ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ). 若点 P 在椭圆 C 上,则
( x1 ? x 2 ) 3
2 2

?

( y1 ? y 2 ) 2
2

2

? 1,



x1 ? 2 x1 x 2 ? x 2 3

?

y1 ? 2 y1 y 2 ? y 2
2

2

? 1.

2 x1 3
2

又点 A,B 在椭圆上,有
2 3

?

y1 2

2

? 1,

x2 3

2

?

y2 2

2

? 1,



x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 1 ? 0 , 即 2 x1 x 2 ? 3 y 1 y 2 ? 3 ? 0

②????????(10 分)

由(1)知 x1 x 2 ? ( m y 1 ? 1)( m y 2 ? 1)
? m y1 y 2 ? m ( y1 ? y 2 ) ? 1
2

? ?

8m
2

2

2m ? 3
2

? 1,

代入②式得 ?

16m
2

2m ? 3

?2?

12 2m ? 3
2

? 3 ? 0.

解得 m ?
2

1 2

,即 m ? ?

2 2

.?????????????????(11 分)

当m ?

2 2

时, y 1 ? y 2 ? ?

4m 2m ? 3
2

? ?

2 2

,
1 2 3 2

x1 ? x 2 ? m ( y 1 ? y 2 ) ? 2 ? ?

?2 ?

;

当m ? ?

2 2

时, y 1 ? y 2 ? ?

4m 2m ? 3
2

?

2 2

,

10

x1 ? x 2 ? m ( y 1 ? y 2 ) ? 2 ? ?

1 2

?2 ?

3 2

. ???????(12 分)

故椭圆 C 上存在点 P ( , ?
2

3

2 2

??? ? ??? ??? ? ? ) ,使得 O P ? O A ? O B 成立,

即动点 P 的轨迹与椭圆 C 存在公共点,公共点的坐标是 ( , ?
2

3

2 2

) .?(13 分)

22.解: (Ⅰ)由题意得 ( 2 ? a )( x ? 1) ? 2 ln x> 0 在 ( 0 , ) 内恒成立,
2

1

即 a> 2 ?

2 ln x x ?1

在 ( 0 , ) 内恒成立,???????????(1 分)
2

1

设 h(x) ? 2 ?

2 ln x x ?1 2 x 1 2

, x ? (0 ,

1 2

2 ln x ?
), 则 h ? ( x ) ?

2

?2 , ?(2 分)

x 2 ( x ? 1)
2 x 1 2 ? 2 x
2

设 ? ( x ) ? 2 ln x ?

? 2 , x ? (0 ,

1 2

), 则 ? ? ( x ) ?

< 0,

∴ ? ( x ) 在 ( 0 , ) 内是减函数,∴ ? ( x )> ? ( ) ? 2 ? 2 ln 2> 0 , ?(4 分) ∴ h ? ( x )> 0 , h ( x ) 在 ( 0 , ) 内为增函数,
2 1

则 h ( x )< h ( ) ? 2 ? 4 ln 2 , ∴ a≥ 2 ? 4 ln 2,
2

1

故 a 的最小值为 2 ? 4 ln 2. ???????????????(6 分) (Ⅱ)∵ g ( x ) ? x e
1? x

, ∴ g ? ( x ) ? (1 ? x )e

1? x

,

∴ g ( x ) 在(0,1)内递增,在(1,e)内递减. 又∵ g (0 ) ? 0, g (1) ? 1, g (e ) ? e
2?e

> 0,

∴函数 g ( x ) 在(0,e)内的值域为(0,1]?????????????(7 分) 由 f ( x ) ? ( 2 ? a )( x ? 1) ? 2 ln x , 得 f ? ( x ) ?
(2 ? a ) x ? 2 x .

①当 a≥ 2 时, f ? ( x )< 0 , f ( x ) 在(0,e]上单调递减,不合题意;??(8 分)

11

②当 a< 2 时,令 f ? ( x )> 0, 则 x> ⅰ)当
2 2?a 2 2?a ≥ e ,即 2 ? 2 e

2 2?a

; 令 f ? ( x )< 0, 则 0 < x<

2 2?a

.

≤ a< 2 时, f ( x ) 在(0,e]上单调递减,不合题意;

???????????????(9 分) ⅱ)当 单调递增. 令 m (a ) ? f (
2 2?a ) ? a ? 2 ln 2 2?a , a< 2 ? e 2 2 e , 则 m ?( a ) ? ?a 2?a , < e ,即 a < 2 ? 2 e

时, f ( x ) 在 ( 0 ,

2 2?a

] 上单调递减,在 (

2 2?a

, e] 上

∴ m ( a ) 在 ( ? ? , 0 ) 上单调递增,在 ( 0 , 2 ? ∴ m ( a )≤ m (0 ) = 0, a ? 2 ln 即 令t ?
2 2?a 2 2?a

] 上单调递减; e 2 ) 上恒成立.???(10 分) t ?1 t
2

≤ 0 在 (?? , 2 ? 1 t

,则 t> 0 , 设 k ( t ) ? ln t ? , t> 0 , 则 k ? ( t ) ?

,

∴ k ( t ) 在(0,1)内单调递减,在 (1, ? ? ) 上单调递增, ∴ k ( t )≥ k (1) =1> 0, ln t ? > 0 , ∴ ln t> - , 即
t t
2

1

1

∴ t> e

?

1 t

,即

2 2?a
a?3

a?2

a?3

>e

2

>e

.

∵当 x ? (0 , e

2

) 时, f ( x ) ? ( 2 ? a )( x ? 1) ? 2 ln x> a ? 2 ? 2 ln x> a ? 2 ? ( a ? 3) ? 1,

且 f ( x ) 在 (0, e ] 上连续.?????????????????????(11 分) 欲使对任意的 x 0 ? (0, e ] 在 (0, e ] 上总存在两个不同的 x i ( i ? 1, 2 ), 使 f ( x i ) ? g ( x 0 ) 成立,则需满足 f (e )≥ 1 ,即 a ≤ 2 ? 又∵ 2 ?
2 e ? (2 ? 3 e?1 )? e? 2
3 e ?1 .

2 3 , ?????(12 分) > 0 ,∴ 2 ? > 2 ? e e ?1 e ( e? 1 ) 3 e ?1 ]. ???????????(13 分)

∴ a≤ 2 ?

3 e ?1

. 综上所述, a ? ( ? ? , 2 ?

12


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